3.1直线的倾斜角与斜率

【题型】单选题

【题目】

设直线l与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将直线l按逆时针方向旋转45°，得到直线l′的倾斜角为α+45°，则（ ）。

A．0°≤α<90° B. 0°≤α<135°

C．0°

【答案】

D

【解析】

由于直线l与x轴相交，可知α≠0°。又α与α+45°都是直线的倾斜角，∴.1804545,1800∴0°

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题型】填空题

【题目】

给出下列结论：

①直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；

②如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；

③如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；

④如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。

其中，正确的结论是__________。（填序号）

【答案】

②③④

【解析】

本题主要考查对倾斜角和斜率的理解，关键是理解概念。①错，错在遗漏了0°的角；②对，如果用α表示直线的倾斜角，此时0°

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题型】单选题

【题目】

下列说法中，正确的是（ ）。

A.直线的倾斜率为α，则此直线的斜率为tanα

B.直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜率为θ

C.若直线的倾斜角为α，则sinα>0

D.任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率

【答案】

D

【解析】

本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系。

对于A项，当α=90°时，直线的斜率不存在，∴A项错；对于B项，虽然直线的斜率为tanθ，但只有当θ∈[0°，180°）时，θ才是此直线的倾斜角，∴B项错；对于C项，当直线平行于x轴时，α=0°，而sin0°=0。∴C项错；∴应选D项。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

已知直线l的斜率为-33，则直线l的倾斜角是（ ）。

A.30° B.120° C.150° D.60°

【答案】

C

【解析】 利用斜率与倾斜角的关系，并运用三角知识即得。

∵k=tanα=-33，且0°≤α<180°, ∴α=150°。

【难度】

难度1

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

若0

A．α B. 2+α C.- α D.- α

【答案】

C

【解析】

要求直线的倾斜角，必须先求斜率，因为斜率是倾斜角的正切值（斜率存在），由此可得解题思路。

设直线的倾斜角θ（θ≠2），则

K=tanθ=1212xxyy=0cossin0=-tanα=tan(-α)。

∵0

∴2<-α<。

又θ∈[0，)，∴θ=-α。故选C。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题型】解答题

【题目】

已知直线l经过两点A（2，1），B（m，2）（m∈R），求直线l的斜率。

【答案】 21m

【解析】

①当m=2时，x1=x2=2，直线l与x轴垂直，

∴直线l的斜率不存在。

②当m≠2时，直线l的斜率k=21212mm。

综上，当m=2时，斜率不存在；当m≠2时，斜率k=21m。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

已知l1经过点A（-3,3），B（-8,6），l2经过点M（-621，6），N（29，-3），求证：l1∥l2。

【答案】

直线l1的斜率为k1=53)3(836，

直线l2的斜率为k2=5329221)3(6，

∵k1=k2，∴l1∥l2。

【解析】

判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）。

判定两条直线是否平行，只有研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率 【题目】

判断下列各题中l1与l2是否垂直。

（1）l1经过点A(-1，-2)，B（1,2），l2经过点M（-2，-1），N（2,1）；

（2）l1的斜率为-10，l2经过点A（10,2），B（20,3）；

（3）l1经过点A（3,4），B（3,10），l2经过点M（-10，40），N（10，40）。

【答案】

（1）k1=2)1(1)2(2，k2=21)2(2)1(1，k1k2=1，

∴l1与l2不垂直；

（2）k1=-10，k2=101102023，k1k2=-1，∴l1⊥l2；

（3）l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2=0)10(104040，则l2∥x轴，∴l1⊥l2

【解析】

求出斜率，利用l1⊥l2k1k2=-1进行判断，注意数形结合及斜率不存在的特殊情况。判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，这两条直线也垂直。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

如图3-1-6所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1与l2垂直，求l1 、l2的斜率。

【答案】

由图形可知，α2=α1+90°，则k1、k2可求。

直线l1的斜率k1=tanα1=tan30°=33。

∵直线l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，∴直线l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-3。

【解析】

（1）本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线l1与l2的倾斜角之间的关系是解题的关键。

（2）公式tan（180°-α）=-tanα是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线的斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切。由这个公式可知，若α为直线l的倾斜角，k为直线l的斜率，则有：0°0；90°

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

已知A（-4,3），B（2,5），C（6,3），D（-3,0）四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判断图形ABCD的形状。

【答案】

A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图3-1-7所示，由斜率公式可

,212653,3)4(330,316330,31)4(235BCADCDABkkkk

∴KAB=KCD,由图可知，AB与CD不重合，

∴AB∥CD,又KAD≠KBC, ∴AD与BC不平行。 又∵KAB·KAD=31×（-3）=-1，∴AB⊥AD。

故四边形ABCD为直角梯形。

【解析】

判断几何图形的形状要先画图后证明。若四边形ABCD为直角梯形，则必有一边垂直于与它相邻的两边，且这一边与它相对的边不平行，因此将各边的斜率表示出来后，利用其关系解决。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

已知A（-3，-5），B（1,3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上。

【答案】

见解析。。

【解析】

由题意可知直线AB的斜率23153ABk，直线BC的斜率215311BCk。因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

点M（x，y）在函数y=-2x+8图像上，当x∈[2,3]时，求（1）xy的最大值与最小值；（2）11xy的取值范围。

【答案】

见解析。。

【解析】

（1）∵y=-2x+8，∴xy=x8-2。

设f(x)=xy= x8-2，则f(x)在[2,3]上单调递减。 当x=2是f(x)max=2；当x=3是，f(x)min=32。

故xy的最大、最小值分别为2，32。

（2）由于11xy=)1()1(xy，其几何意义是过M（x，y），N（-1，-1）两点的直线的斜率。

设函数y=-2x+8在x∈[2,3]的图像的左、右端点分别为A（2,4），B（3,2）。

∵kNA=35，kNB=43，∴43≤11xy≤35。

∴11xy的取值范围为[43,35]。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题目】

利用斜率公式证明不等式：mbmaba（0＜a＜b且m＞0）。

【答案】

见解析。

【解析】

由所给式子的结构特点，联想到斜率的坐标表示公式，通过构造法分析不等式所表达的几何意义。

∵0＜a＜b，∴点P(b，a)在第一象限且位于直线y=x的下方。

又∵m＞0，∴-m＜0，∴点M（-m，-m）在第三象限且必在直线y=x上。

∴直线MP的倾斜角大于OP的倾斜角∴kMP＞kOP，

又kMP =mbma，kOP =ba，∴mbmaba。

【难度】

难度2

【知识点】直线的倾斜角与斜率

【题型】单选题

【题目】

下列命题正确的是（ ）。

A．直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾斜程度