2019年高考真题 数学(上海卷)含答案
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数 学
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合{1A，2，3，4，5}，{3B，5，6}，则ABI ．
2．（4分）计算22231lim41nnnnn ．
3．（4分）不等式|1|5x的解集为 ．
4．（4分）函数2()(0)fxxx的反函数为 ．
5．（4分）设i为虚数单位，365zii，则||z的值为
6．（4分）已知22214xyxaya，当方程有无穷多解时，a的值为 ．
7．（5分）在61()xx的展开式中，常数项等于 ．
8．（5分）在ABC中，3AC，3sin2sinAB，且1cos4C，则AB ．
9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
10．（5分）如图，已知正方形OABC，其中(1)OAaa，函数23yx交BC于点P，函数12yx交AB于点Q，当||||AQCP最小时，则a的值为 ．
11．（5分）在椭圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FPFPuuuruuuurg„，则1FPuuur与2FQuuuur的夹角范围为 ．
12．（5分）已知集合[At，1][4ttU，9]t，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）下列函数中，值域为[0，)的是( ) A．2xy B．12yx C．tanyx D．cosyx
14．（5分）已知a、bR，则“22ab”是“||||ab”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
16．（5分）以1(a，0)，2(a，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于1(y，0)，2(y，0)，且满足120lnylny，则点1211(,)aa的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC．
（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；
（2）求PABC的体积．
18．（14分）已知数列{}na，13a，前n项和为nS．
（1）若{}na为等差数列，且415a，求nS；
（2）若{}na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围．
19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用绝对数（亿元） 占卫绝对数占卫 比重(%) 生总费用比重(%) （亿元） 生总费用比重(%)
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70
35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设1t表示1978年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tfte研究函数()ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（16分）已知抛物线方程24yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：||()||PFdPFQ．
（1）当8(1,)3P时，求()dP；
（2）证明：存在常数a，使得2()||dPPFa；
（3）1P，2P，3P为抛物线准线上三点，且1223||||PPPP，判断13()()dPdP与22()dP的关系．
21．（18分）已知等差数列{}na的公差(0d，]，数列{}nb满足sin()nnba，集合*|,nSxxbnN．
（1）若120,3ad，求集合S；
（2）若12a，求d使得集合S恰好有两个元素；
（3）若集合S恰好有三个元素：nTnbb，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数
学
答
案
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）已知集合{1A，2，3，4，5}，{3B，5，6}，则ABI {3，5} ．
【解答】解：Q集合{1A，2，3，4，5}，
{3B，5，6}，
{3ABI，5}．
故答案为：{3，5}．
2．（4分）计算22231lim41nnnnn 2 ．
【解答】解：2222312231limlim241411nnnnnnnnnn．
故答案为：2．
3．（4分）不等式|1|5x的解集为 (6,4) ．
【解答】解：由|1|5x得515x，即64x
故答案为：{6，4)．
4．（4分）函数2()(0)fxxx的反函数为 1()(0)fxxx ．
【解答】解：由2(0)yxx解得xy，
1()(0)fxxx
故答案为1f ()(0)xxx
5．（4分）设i为虚数单位，365zii，则||z的值为
【解答】解：由365zii，得366zi，即22zi，
22||||2222zz．
故答案为：22． 6．（4分）已知22214xyxaya，当方程有无穷多解时，a的值为 2 ．
【解答】解：由题意，可知：
Q方程有无穷多解，
可对①2，得：442xy．
再与②式比较，可得：2a．
故答案为：2．
7．（5分）在61()xx的展开式中，常数项等于 15 ．
【解答】解：61()xx展开式的通项为36216rrrTCx令3902r得2r，
故展开式的常数项为第3项：2615C．
故答案为：15．
8．（5分）在ABC中，3AC，3sin2sinAB，且1cos4C，则AB 10 ．
【解答】解：3sin2sinABQ，
由正弦定理可得：32BCAC，
由3AC，可得：2BC，
Q1cos4C，
由余弦定理可得：2221324232AB，
解得：10AB．
故答案为：10．
9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）
【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A种，
故答案为：24．
10．（5分）如图，已知正方形OABC，其中(1)OAaa，函数23yx交BC于点P，函数12yx 交AB于点Q，当||||AQCP最小时，则a的值为 3 ．
【解答】解：由题意得：P点坐标为(3a，)a，Q点坐标为1(,)aa，
11||||233aAQCPa…，
当且仅当3a时，取最小值，
故答案为：3．
11．（5分）在椭圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FPFPuuuruuuurg„，则1FPuuur与2FQuuuur的夹角范围为 1[arccos3，] ．
【解答】解：设(,)Pxy，则Q点(,)xy，
椭圆22142xy的焦点坐标为(2，0)，(2，0)，
Q121FPFPuuuruuuurg„，
2221xy„，
结合22142xy
可得：2[1y，2]
故1FPuuur与2FQuuuur的夹角满足：
22212222222122238cos3[122(2)8FPFQxyyyyFPFQxyxuuuruuuurguuuruuuurg，1]3
故1[arccos3，]
故答案为：1[arccos3，] 12．（5分）已知集合[At，1][4ttU，9]t，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是 1或3 ．
【解答】解：当0t时，当[at，1]t时，则[4ta，9]t，
当[4at，9]t时，则[ta，1]t，
即当at时，9ta„；当9at时，ta…，即(9)tt；
当1at时，4ta…，当4at时，1ta„，即(1)(4)tt，
(9)(1)(4)tttt，解得1t．
当104tt时，当[at，1]t时，则[ta，1]t．
当[4at，9]t，则[4ta，9]t，
即当at时，1ta„，当1at时，ta…，即(1)tt，
即当4at时，9ta„，当9at时，4ta…，即(4)(9)tt，
(1)(4)(9)tttt，解得3t．
