2019年上海市高考数学真题试题含答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

学

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7T2题每题5分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9（4 分）己知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5）, B = {3, 5, 6},则 A B =

（4分）计算lim

（4分）不等式|x + l|<5的解集为.

（4分）函数f（x） = x2（x>0）的反函数为・

（4分）设，为虚数单位，3z-i = 6 + 5i,贝！J|z|的值为

（4分）己知J2x + 2； = T,当方程有无穷多解时，。的值为_.

[4x + a y = a

（5分）在3 + *）6的展开式中，常数项等于.

（5 分）在 AABC 中，AC = 3, 3sinA = 2sin3,且 cosC = -,则 AB=4 ----（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,

其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有—种（结果用数值表示）_2_10.（5分）如图，已知正方形OABC ,其中OA = a（a>l）,函数j = 3x2交BC于点P,函数y = G

交AB于点！2，当\AQ\ + \CP\最小时，则。的值为.

11. （5分）在椭圆七+匕=1上任意一点F, Q与P关4 2

于x轴对称，若有F{P F2P„ 1,则gP与乙。的夹角范围

为.

12. （5 分）已知集合A = [t, z + 1] [r + 4, t + 9], 0",

存在正数九，使得对任意aeA,都有-eA,贝!U的值 a是.

二、 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. （5分）下列函数中，值域为[0, +8）的是（ ）2A. y = 2x B. y = x2 C. y = tanx D. y=cosx

14. （5 分）己知 a、beR,则" a2>b2 "是"\a\>\b\"的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

15. （5分）已知平面a、§、/两两垂直，直线a、b、c满足：aga , b g 0 , cc.y ,

则直线a、b. c不可能满足以下哪种关系（ ）

A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面

16. （5分）以（％, 0） , （a2, 0）为圆心的两圆均过（1,0）,与y轴正半轴分别交于, 0） , （y2,

0）,且满足lny}+lny2=O,则点（―,—）的轨迹是（ ）

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线三、 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18 = 76分）— 3n +1

/ — 4〃 +117. (14 分)如图，在正三棱锥P-ABC 中，PA = PB = PC = 2,AB = BC = AC = @

(1) 若正3的中点为M, BC的中点为N ,求AC与A/N的夹角；(2) 求P-ABC的体积.

18. (14分)已知数列｛%｝, %=3,前〃项和为S广

(1) 若｛弓｝为等差数列，且％=15,求& ;

(2) 若｛%｝为等比数列，且limS„ <12,求公比g的取值范围.n—>oo19. (14分)改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍.卫生

总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年-2015年我国卫生货用中

个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位：亿元)和在卫生总费用中的占比.

(数据来源于国家统计年鉴)(1) 指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化

趋势：

(2) 设，=1表示1978年，第〃年卫生总费用与年份f之间拟合函数的)=*2盟 研究

函数/■①的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.年份卫生总费用(亿

元)个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出

绝对数(亿元)占卫生总费用

比重(％)绝对数(亿元)占卫生 总 费

用比重

(%绝对数

(亿

元)

)占卫 生

总

费

用 比 重

(%)

201228119. 009656. 3234. 3410030.7035. 678431. 9829. 99

201331668.9510729.3433.8811393.7935. 989545.8130. 14

201435312. 4011295.4131.9913437. 7538. 0510579. 2329. 96

201540974. 6411992.6529. 2716506. 7140. 2912475. 2830. 45

20. (16分)已知抛物线方程尸=4了，F为焦点，P为抛物线准线上一点，。为线段睥与

抛物线的交点，定义：d(P) = M坦.IFQIQ(1) 当 时，求 d(P);

(2) 证明：存在常数a,使得2d(P) =| PF\+a-,

(3) 片，P2, F,为抛物线准线上三点，且| P｝P2 P2P31,判断d(4)+ d(g)与2d(R)的关系.

21. ( 18分)已知等差数列｛a“｝的公差e (0 , 7],数列｛如｝满足0“=sinQ“，集合

S-^x\x-bn,neN*^ .

(1)若％ =0,』=一，求集合S；

3（2） 若％=号，求d使得集合S恰好有两个元素；

（3） 若集合S恰好有三个元素：bn+T=bn, T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

学答案

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. （4 分）已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5）, 3 = {3, 5, 6},则 A B = _{3 —5}_.

【解答】解：集合A = {1, 2, 3, 4, 5）,

B = {3 , 5, 6）,

.•.A B = (3 , 5}.

故答案为：{3, 5}.

2. （4分）计算limIn —3n + \

n2 — 4n +1=2

【解答】解：1血2厂3〃 + 1 = Hm “I = 2 .100 n — 4〃 + 1 "TOO 4 11 一c

故答案为：2.3. (4分)不等式|x + l|<5的解集为_(-6,4)_.

【解答】解：由|x + l|v5得一5V1 + 1V5 ,艮P -6 < x < 4

故答案为：{-6, 4）.

4. (4 分)函数 /(x) = x2(x>0)的反函数为—f~1(x) = 4x(x>0)

【解答】解：由y = x2(x>0)解得x = y[y ,

二 f~x (x) = a/x(x > 0)

故答案为 f~x (x) = G(x > 0)

5. （4分）设，为虚数单位，3z-i = 6 + 5i,则I z I的值为 2很

【解答】解：由 3z-z = 6 + 5i,得 3z=6 + 6i ,即 z =2 + 2z ,

.•Jz|=|z|=72 + 2 = 2^2.22

故答案为：2很.

6. （4分）已知]2x + 2； = T,当方程有无穷多解时，。的值为2_.

[4x + a y = a

【解答】解：由题意，可知：

方程有无穷多解，可对①x2,得：4x+4y = -2.

再与②式比较，可得：a = -2.

故答案为：-2 •

7. （5分）在3 +二）6的展开式中，常数项等于15 .

【解答】解：（"±）6展开式的通项为队=C；f 令玄9 = °得,=2,

故展开式的常数项为第3项：C；=15.

故答案为：

15.1 /_8. （5 分）在 AABC 中，AC = 3, 3sinA = 2sinB,且 cosC = -,则 面 .4 一 一【解答】解：3sinA = 2sinB,由正弦定理可得：3BC = 2AC ,.•.由 AC = 3,可得：BC = 2,

八 1cos C-——，4由余弦定理可得：J_ = / + 22 AB2 ,

4 2x3x2解得：AB = a/10 .

故答案为：JlQ .

9. （5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动， 其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表

示）

【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有4^=24种，

故答案为：24.

10. （5分）如图，已知正方形OABC ,其中OA = a（a>l）,函数j = 3x交BC于点P,函数y = G

交AB于点Q,当\AQ\ + \CP\最小时，则。的值为_右_.2

3|AQ| + |CP|=J?Q点坐标为（a, J-）,

当且仅当a = y/3时，取最小值，

故答案为：a/3 .2 211. （5分）在椭圆土 +匕=1上任意一点P,。与F关于工轴对称，若有耳FER,1,则 4 2

与F2Q的夹角范围为_[i-arccos（2_4]—.

【解答】解：设P（x,y）,则。点（x-y）,2 2 _椭圆—+ ^ = 1的焦点坐标为（-皿，0） , （72 , 0）,4 2

F.P F2P„ 1,

— 2 + y2,, 1,

结合—+^=1

4 2

可得：/ e[l , 2]

故RP与EQ的夹角。满足

:c EP F2Q cos 6 = !-----”P| 一 7(x2+2+/)2-8x2

arccos—, 〃] 3空=-3 + ¥-1，3 y1+2 y2+2 3

故答案为：[^--arccos—,3

12. (5分)己知集合A = [t, r + 1] [1 + 4, £ + 9], OwA,存在正数4,使得对任意A ,

都有-eA,贝!U的值是1或-3 . a

【解答】解：当[>0时，当a&[t, f + 1]时，则-e[r + 4, t + 9], a

当。e[f + 4, r + 9]时，则-e[n f + 1], a

即当时，一,,1 + 9;当 a = t + 9 时，—..t,即人=« + 9)； a a

当 a = t + \ 时，一.4 + 4,当。=，+ 4 时，—„ r + 1,即 4 = Q + l)(f + 4), a a."。+ 9) = (/ + 1)。+ 4),解得，=1.

当 r + l

当 qe[> + 4, Z + 9],则一c[，+ 4, 1 + 9], a2 Q即当.时，一,,，+ l,当 a = t + \ 时，一.4, Bp 2 = t(t +1), a a

即当 i =，+ 4 时，一,，，+ 9,当" =，+ 9 时，一.4 + 4,即 2 = (/ + 4)(Z + 9), a a.•.e + l) = ( + 4)(f + 9),解得t =

-3.