古诺均衡及其扩展

古诺均衡及其拓展假设市场反需求函数为p（Q） a Q ，企业的生产成本为C（Q） cQ ,求：（1）完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润；（2）完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润；（3）双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；（4）n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。

（5）双寡头勾结下的产量、价格和利润；（6）如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；（7）比较（3）（6）的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；（8）求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？（9）求n家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果（8）（9），你会得出什么结论。

（10）求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg 均衡解。

并与古诺竞争均衡解对比，说明first-mover adva ntages ，并通过反应函数图来解释这两个均衡。

（1）完全垄断结构下，只有一家企业，Max p（Q） Q C（Q），Q利润最大化的一阶条件为：a 2Q cQ M a c 2M p a c22M a c4N （2）完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数p（Q） a Q a q ,每一家的边际成本为c ,而且完全竞争情形下价格是给定的(price-taker ),对 一家企业来说，边际收益就是 p ，根据利润最大化的条件 MR=M,C 这时最优的价每一家的利润企业1的利润函数为本为c 。

企业i 的利润函数为Nip q i c q i (a qj q c q ii i带入总需求函数 p(Q) a Q ，可以得到 根据对称性假设, 每家企业的均衡产量为(3)双寡头结构下，p(Q)(q 1 q 2)，边际成本都为c 。

ip(Q) q i c q i(a (q i q 2)) q i c q 1Max i p(Q) q i利润最大化的条件为a c q 22容易看出，这一结果表明，企业 i 的最优产量取决于企业2的产量， 这也 正是博弈论中战略依存(strategic-interdependenee )这一核心理念的反映。

我们把这一结果称为企业I 的反应函数。

同样道理'我们可以得出企业2的反应函数q 2皆若存在一个战略组合(q i c，q ；)同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在 一个古诺-纳什均衡解(Cournot-Nash Equilibrium)，容易得出2 c ca c c a c c ca cq i q 2〒 p 〒 i 2(4) n 家企业结构下，总需求函数p(Q) aNq ，每一家的边际成i iNa cq il 2利润最大化的一阶条件：q 12这就是企业1的反应函数。

根据对称性假设，每应函数。

如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么ca c a ncq — ,i 1,...,i,...,N p ——-n 1 n 1当n 分别等于1、2时，这一结果等同于垄断和双寡头的结果，当n时,c a c anc c a c 2llm q i llm 0 llm p llm c llm i lim( )n n n 1 n nn 1n nn 1这一结果和完全竞争情形下结果相同。

由此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。

（5）双寡头勾结情形下（串谋、卡特尔），相当于两家企业像一家独占企业 一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以collusl on pMpa c 2collusl on Mcollusl on 2a c 12284家企业存在一个类似的反collusl onq 1collusl onq 1Q 2（6）假设企业遵守卡特尔协议，则collusl onq而企业1则把企业2这一产量看做给定，去生产自己利润最大化的产量，所 以企业1背叛情形下的利润最大化为betray collusl on1p 5 c q 1 (a q q 2 ) q 1 c q 1betra yq3(a c) 8可以看出，这一产量大于遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必然会导 致均衡价格低于垄断价格，容易知道betray3a 5c 8betray collusl onp p因为市场存在的前提是保留价格大于边际成本，所以上式小于0。

betray 19(a c)264a c而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业 2 的产出和利润为比较得,的博弈框架如下假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个commonkn owledge ，那么双方的均衡就是古诺均衡。

可以看出，（Betray ， Betray ）的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而 （Collusion ，Collusion ）不是纳什均衡的结果。

这个均衡说明给定对方遵守协 议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。

这也就是现实中卡特尔协议难以稳定 存在的原因。

从反应函数图上看，古诺产量组合（皂丄，心）是纳什均衡，而产量组33合（也上，）不构成纳什均衡，因为给定企业 1生产王上，企业2的反 444 应函数表明他的最优产量是大于仝丄的。

4fooled collusi onq 2 q 2fooled 23(a c)232fooled 23(a c)232collusi onM 2a c 2betray 9(a c)128164（7）利用双寡头古诺竞争、 Normal Formcollusi on勾结和背叛情形下的结构构造一个q24 3 2从Evoluti on ary Game勺角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。

就是首先给定企业生产一个任意产量q；，企业2会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出q；（q；）,依次类推，收敛于（圧，以）。

这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。

这说明，即使初始3 3的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。

(8)在双寡头重复博弈的架构下，假设企业1有一个触发战略(TriggerStrategies ，或称冷酷战略，Grim Strategies ): a ，开始阶段选择勾结产量(也即选择合作)；b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。

本质上这个触发战略是个战略承诺。

通俗的说，就是企业1会一开始会选 择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作。

2 2 n )9(a c) a c)64 9 1企业2选择合作的条件是合作长期收益大于不合作的长期受益，即2 2 2a c 9(a c) a c8(1 ) 64 9 1那么这一条件的含义是什么呢？我们来考虑贴现因子的经济学含义。

子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代 程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐(impatient )程度。

1在数量上， -------- ，r 为利息率。

对于一个普通人来说，如果他愿意接受1 r16%的利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是-0.94，所以从1 6%现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。

9所以-是个很容易满足的条件。

这也说明了，在正常的时间眼界条件下，17我们来分析在这一条件下，企业 2的战略选择。

如果选择与企业1合作，则每一期生产古诺均衡的产出丁，获得利润 2守，设时间贴现因子'则合作的长期收益为:2n) a c )8(1 )而如果选择不合作，则第一期获得利润容，由于企业采取触发战略,企业2从第二期开始各期利润为不合作的长期收益为:2 29(a c) a c (64 9(解不等式得:9。

贴现因合作在两个人长期博弈中是容易达成的。

(9)当上述合作结构不仅限于2家，而是在n家企业之间展开博弈时，合作的条件是什么呢?我们来看企业的1的决策行为。

假定其他n-1家企业都坚持触发战略，那么Q M牛 冷，那么企业1的最优产量为选择背叛的长期利润为:所以选择合作的条件为:企业选择合作的每一期产量为a c 2n利润为 -，长期利润为:n 4n2a c(n)4n(1 )背叛情形下的产量和利润。

假定其他n-1 家企业分别生产合作的产量NMax 1 p q 1 c q 1 (aq i q1i 1c)qi (a (n 1)a c2n利润最大化的产出为q 1(n 1)(a c)4n ，此时的市场价格为2 2p n ，企业1的利润为(n 1) (a c) 16n 2而此后其他企业选择触发 战略，企业从第2期开始选择古诺均衡的产量干，获得利润2a c (n 1)22 2 2(n 1)2(a c)2 a c ( 16n2(n 1)2(n)(n 1)2(a c)216n 22C(n 1)2 12a c4n(1 )(n 1)(a c)216n 2 a (解得:(n 1)216n 2 (n 1)216n 21(n 1)2((n 1)2((n 1)216 1 —T) (n -)n容易知，当时,趋近于 1,所以n 家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻, 或者说越来越难以满足。

总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响：1. 时间眼界，越有耐心合作越容易达成；2. 参与博弈的人数。

人数越多，合作越困难。

（10）序贯行动的博弈和 Stackelberg 均衡解。

假如博弈的顺序不是 simultaneous move ，而是sequential move :企业1首先选择产量，然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。

在这个博 弈结构下，我们看到，企业2的决策受到了企业1决策的影响。

我们用backward in duction 方法来求解。

在第二阶段企业2的最优决策:利润最大化的条件为:在第一阶段，企业1在明确企业2的反应函数（也就是战略）情形下做出自己 的最优决策：Maxq 11p(Q) q c q(a q q ?) q c q s.t.q ?a c q-i2解得:sa csq 1 2q ?a c sp2a 3c s a c 2sa c44 ， 18，216与古诺均衡利润1c；a c 9 2-相比，企业1获得更多利润, 而企业2所获利润减少Max 2q 2p(Q) q 2 c q 2q 2) q 2 c q 23 2可以看出，通过率先采取行动，可以获得First-mover Adva ntages ，这就是战略承诺(strategic commitment)或威慑(deterrenee )的价值。

战略承诺有以下的表现形式：a.率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤大规模投资，造成沉没成本sunk costb.事先发出声明；c.长期明确坚持某一原则。