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第六章全同粒⼦体系第六章全同粒⼦体系6.1 全同粒⼦体系之前所讨论的问题都是单粒⼦问题，在⾃然界中经常碰到由多个粒⼦所组成的体系，称为多粒⼦体系，这些体系或者由⾮全同粒⼦构成或者由全同粒⼦构成，⽽我们关注是由全同粒⼦构成的体系。
⾸先研究由全同粒⼦组成的多粒⼦体系的特性。
1、全同粒⼦我们称质量m，电荷q，磁矩M，⾃旋S等固有属性完全相同的微观粒⼦为全同粒⼦。
其中，固有属性⼜叫内禀属性，如所有的电⼦，所有的质⼦系都是全同粒⼦系，在相同的物理条件下，全同粒⼦体系中的全同粒⼦的⾏为应该是相同的。
全同粒⼦体系有个重要的特点，就是我们量⼦⼒学第5个基本假设给出的。
2、量⼦⼒学基本假设全同性原理假设（不能由量⼦⼒学中的基本假设推出）：全同粒⼦具有不可区分性，交换任何两个粒⼦不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量⼦⼒学中，粒⼦的状态是⽤波函数来描述的，如果描述两个粒⼦的波没有重叠，例如：把两个粒⼦分别置于两个不同的容器中，⾃然可以区分哪个是1粒⼦，哪个是2粒⼦；但如果描述两个粒⼦的波发⽣重叠，例如：氢原⼦中的两个电⼦，这两个全同电⼦就⽆法区分了，因为⼀切测量结果都不会因为交换⽽有所改变。
由于全同粒⼦的不可区分性，每个粒⼦都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒⼦并不形成新的状态。
在⾃然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒⼦体系的⼀些重要性。
3、全同粒⼦体系?H算符的交换不变性粒⼦不可区分，单体算符形式⼀样。
在量⼦⼒学情况下，微观粒⼦不存在严格意义的轨道，对于粒⼦的坐标，我们仅知道粒⼦在某处出现的⼏率，设有两个全同粒⼦在不同时刻给它们照相，根据照⽚上的位置，在某⼀时刻把它两个粒⼦编号，则在后⼀时刻的照⽚上没有任何根据能指出哪个是第⼀号，哪个是第⼆号，即使两次的照⽚时间间隔再短，也⽆法分辨。
但我们⼜必须给粒⼦的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒⼦的不同坐标的哦要⽤⼀个变量q来表⽰，这样，12,N q q q 代表第⼀个位置（含⾃旋），第⼆个位置，……各有⼀个粒⼦，不能规定是哪⼀个粒⼦；于是，12,N q q q 表⽰粒⼦的坐标（含⾃旋），但每⼀个坐标q 都不专属于某⼀个粒⼦，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有⼀个粒⼦。
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
第六章 全同粒子体系§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。
经典理论的预言是M M M z≤≤-，连续变化。
实验结果是：.B z M M ±= eB m e M 2≡(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。
推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：,2±=z S这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为.2B ez e z M m e S m e M ==-= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧S ，自旋磁矩算符记为s M ∧，则.∧∧-=S m e M es2. 电子自旋的描述自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。
自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符zy x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。
通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵.1001,00,0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y x ii σσσ则.2σ=∧SPauli 矩阵的主要性质是：,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵显然，zS ˆ的对应于本征值2±的本征矢量是：,01,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z.10,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-v S z3. 带有自旋的电子波函数现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。
由叠加原理，-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21,),(),(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。
第七章 全同粒子本章介绍：本章首先介绍全同粒子的特性，然后介绍了全同粒子体系的波函数及泡利不相容原理。
§7.1 全同粒子的特性§7.2 全同粒子体系的波函数◆全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
◆全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
◆在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，体系的哈密顿算符是1ˆ(,,,,)i j N H q q q q t ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变交换算符ˆij P 引入交换算符ˆijP ，表示将第i 个粒子和第j 个粒子相互交换的运算： ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：即ˆˆ[,]0ijP H =另外，将交换算符作用到薛定谔方程上，得表明：若ψ是薛定谔方程的解，则ˆij P ψ也是薛定谔方程的解。
于是有ˆijP ψλψ=利用22ˆijP ψλψψ==得21,1λλ==± 即ˆˆ,ij ijP P ψψψψ==-由上两式可见，全同粒子组成的体系的状态只能用交换对称或交换反对称的波函数描述。
全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r ϖ与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μηΛΛΛ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ΛΛΛ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j ΛΛΛ= ),,,(ˆ21t q q q q q H Nj i ΛΛΛ= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i ΛΛΛΦ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij ΛΛΛΛΛΛΦ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
当λ＝-1时，则Φ-=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为A Φ 。
可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。
这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。
不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。
另外，由于0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij ，可见ij P ∧是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨时间而变化。
1.5 全同粒子的分类实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。
（1）凡是自旋为η整数倍的粒子),2,1,0(Λ=s 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。
例如，π介子)0(=s ，α粒子（S ＝0），基态的He(S=0)，光子（S ＝1）。
它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
（2）凡是自旋为η半奇数倍的粒子),2/3,2/1(Λ=s ，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。
例如，电子、质子、中子等，S ＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi ）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。
2 全同粒子体系的波函数介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数2.1 两个全同粒子体系的波函数假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为0ˆH , 归一化本征函数为i ϕ, 本征值为i ε，则应有)()()()()()(ˆ22201110q q q H q q q H j j j i i i ϕεϕϕεϕ==∧ （8）对于全同粒子，)(),(ˆ2010q H q H ∧在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为)(ˆ)(ˆˆ2010q H q H H += （9） 相应的本征方程),(),(ˆ2121q q E q q H Φ=Φ （10） 式中的),(21q q Φ可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。
当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于j 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q j i ϕϕ=Φ （11） 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 j i E εε+= 。
当第一个粒子处于j 态，第二个粒子处于i 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q i j ϕϕ=Φ （12）它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 j i E εε+= 。
（交换简并）注意：),(21q q Φ是否具有交换对称性？当j i =时，),(21q q Φ具有交换对称，对应玻色子当j i ≠时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。
（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当j i ≠时，归一化的对称波函数构成如下)]()()()([21),(122121q q q q q q j i j i S ϕϕϕϕ+=Φ （13）当j i =时 )()(),(2121q q q q i i S ϕϕ=Φ （14）（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下)()()()(21)]()()()([21),(2121122121q q q q q q q q q q j j i i j i j i A ϕϕϕϕϕϕϕϕ=-=Φ （15）由上式可以看出，当j i =时，则0=ΦA ，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态2.2 N 个全同粒子体系的波函数设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量0ˆH 不显含时间，以i ε 和i ϕ表示0ˆH 的第i 个本征值和本征函数，则N 个全同粒子体系的哈密顿量为∑=∧∧=+++=Ni iN q H q H q H q H H 1002010)()()(ˆ)(ˆˆΛΛ （16） 对应本征值 N j i E εεε+++=Λ的本征态)()()(),,(2121N k j i N q q q q q q ϕϕϕΛΛ=Φ （17） 体系的本征方程为 Φ=Φ∧E H （18）由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。
但),,(21N q q q ΛΦ并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。
（1）对于N 个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是 N 个单粒子态的一种排列，用∑PP 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为!N ，所以玻色子系统的对称波函数是∑=ΦPk j i N S N P N q q q )()2()1(!1),,(21ϕϕϕΛΛ （19） 但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有1n 个粒子处于i 态，2n 个粒子处于j 态，l n 个粒子处于k 态，且N n n n l =+++Λ21，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数!!!!!!)!(!)!()!(!)!()!(!!21111121211111211l l l l l l l n n n N n n N n N n N n n n N n n n N n n n N n n N n n N n N n N C C C l l ∏==-------⋅---⋅-=-------ΛΛΛΛΛΛ 所以N 个玻色子体系的对称波函数为[][][])()()()()(!!211111N k Pn n j n j n i i l l S q q q q q P N n ϕϕϕϕϕΛΛΛΛ∑++⋅∏=Φ )91(' 这里的P 只对处于不同状态的粒子进行对换。
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。
解：设三个单粒子态分别为321,,ϕϕϕ，（1）若三个粒子各处于不同状态 6!3!==N （共6项），则)]()()()()()()()()()()()()()()()()()([61132231331221233211231231133221332211q q q q q q q q q q q q q q q q q q S ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++++=Φ （2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如0,1,2321===n n n则 3!1!2/!3=⋅ （共3项），有)]()()()()()()()()([31122131223111322111q q q q q q q q q S ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=Φ 也可以是 1,0,2321===n n n 或1,2,0321===n n n 等，这样的对称波函数共有六个。
（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如0,0,3321===n n n ，则 )()()(312111q q q S ϕϕϕ=Φ也可以是 0,3,0321===n n n 或3,0,0321===n n n 这样的对称波函数共有三个。
（2）对于N 个费米子，若它们分别处于k j i Λ,,态，则反对称的波函数为)]()()([)1(!1)()()()()()()()()(!121212121k k Pj i P N k k k N j j j N i i i A q q q P N q q q q q q q q q N ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕΛΛMMMMΛΛ∑-==Φ （20）式中P )1(-规定了求和号下每一项的符号，若把)()()(21N k j i q q q ϕϕϕΛ作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换P )1(-为正，奇次对换P )1(-为负。
