近世代数证明题.

{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。

若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 分。

1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。

2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。

2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。

4、偶数环是的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。

8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。

近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。

在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。

本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。

答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。

由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。

再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。

因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。

2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。

答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。

则有a * b = a * c。

两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。

根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。

因此，元素a的逆元素是唯一的。

二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。

答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。

由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。

再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。

因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。

2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。

答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。

则有a * b = a * c。

两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。

近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。

（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。

（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。

（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。

（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。

（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。

（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。

（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。

（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。

解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。

近世代数初步石生明课后答案一、选择题部分1. 选出所有正整数 a，b，满足条件 a²– 6ab + b² > 0 的是：选 C：a ≠ b2. 在德国哈雷大学上课的学生人数是 210。

其中男生人数与女生人数之比为 3:1，则女生人数是多少人？选 B：703. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 1，g(x) = (x + 1)²– 2，则 f(x) = g(x) 的解为：选 B：04. 已知函数 f(x) = 3x + 1，g(x) = 2x – 1，则 f(g(x)) = g(f(x)) 的解为：选 A：05. 设 P(x) = 2x²– 3ax + 2a²– 2，Q(x) = x²– ax + a²– 1。

则 P(x) – Q(x) =0 的解为：选 C：1 或 4a – 26. 已知不等式（x – 2）² + （y – 1）² > 1，则下列几何图形有哪些？选 AB：圆心为（2，1），半径为 1 的圆的外部面积。

7. 设方程 x²– kx + 2 = 0 有两个不同的根，则 k 的取值范围是：选 B：-4 < k < 48. 设 f(x) = x² + 2x + 1，则 f(f(x)) = 0 的根为：选 C：-19. 对于下列哪一个数 a，都不存在整数 b，使得 a = b²– 3b + 1选 B：a = 710. 已知函数 f(x) = x²– 6x + 13，则下列哪一个函数与 f(x) 完全相同？选 A：g(x) = (x – 3)² + 4二、计算题部分1. 联立方程组：y = 8x – 1y = -2x + 17求解：x = 2, y = 152. 计算 2(x – 2)(x + 3) – (x – 2)² + 5(x + 3) – 5 的值：= x² + 53. 已知函数 f(x) = (x + 3)² + 1，求 f(-2) 的值：= 104. 解方程：x²– 6x + 7 = 0x = 1 或 55. 解方程：(x – 1)(x + 1)(x – 4) = 0x = -1, 1, 或 46. 求函数 f(x) = x²– 4x + 4 在 x = 2 处的导数：= 07. 已知函数 f(x) = x² + 2x – 3，求函数 g(x) = f(x + 1) 的表达式：= (x + 3)²– 78. 已知函数 f(x) = x²– 2ax + a² + 1，求 a 的值，使得 f(x) 的最小值为 0：a = 19. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 3，求 f(x) 的图象与 x 轴交点的坐标：(1,0)10. 解下列不等式：(x – 1)(x + 2) > 0x < -2 或 x > 1三、证明题部分1. 证明 x² + 4x + 3 > 0 对所有实数 x 成立。

个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。

能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。

（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。

（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。

（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。

（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。

（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。

（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。

（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。

是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。

五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。

一、判断题。

！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。

（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。

（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。

2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。

《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。

G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。

010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。

证明题1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：CG （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈H }。

证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。

4、设R =cob a ，a ，b ，c ∈Z ，I =oo xo x ∈Z 。

（1）验证R 是矩阵环Z2×2的一个子环。

（2）证明I 是R 的一个理想。

5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2b （a ，b ∈G ），证明（G ，o ）构成一个群.6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域I 是由R 的一个素元生成的主理想.7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想.8、设G 是群，H ≤G 。

令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，h ∈H ，hx = xh }.证明：（1）N G （H ）≤G（2）C G （H ）△N G （H ）9、证明数域 F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的一个素元.11、设G 与G 是两个群，G ~G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H .12、在多项式环Z [x ]中，证明：（1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋,＋a n x n|a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素.13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群．14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a ,b 的最大公因数是一个素数。

习题1-1(参考解答)1. （1）姊妹关系（2）()(),P S ⊆（3） (),{1},1a b Z a b ∈−≠,.例如(2 ,6 )2,(3 ,6 )3,==但()2,31=.2. 若b 不存在，则上述推理有误.例如{}{~~~~}S a b c R b c c b b b c c =,,,：,,,.3. (1)自反性:,(),,n A M E GL R A EAE ∀∈∃∈=~A A ∴ 对称性:1111,,~,,(),,,,().~.n n A B M A B P Q GL R A PBQ B P AQ P Q GL R B A −−−−∀∈∃∈==∈∴ 传递性:12211221212,,~,~,,,,(),,,,n A BC M A B B C P Q P Q GL R A PBQ B P CQ A PP CQ Q ∀∈∃∈===1212,(),~.n PP Q Q GL R A C ∈∴(2) 自反性:1,(),,~.n A M E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:()11,,~,(),,,(),~.TT n n A B M ifA B T GL R A T BT B T BT T GL R B A −−∀∈∃∈=∴=∈∴传递性: 121122,,,~,~,,(),,,T T n A B C M ifA B B C T T GL R A T BT B T CT ∀∈∃∈==()12211221,TT T A T T CT T TT CT T ∴==12(),~.n TT GL R A C ∈∴ (3) 自反性:()1,,,~.n n A GL E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:1,(),~,(),,n n A B GL R ifA B T GL R A T BT −∀∈∃∈= ()11111,(),~n B TAT TAT T GL R B A −−−−−∴==∈∴.传递性:11121122,,(),~,~,,(),,,n n A B C GL R A B B C T T GL R A T BT B T CT −−∀∈∃∈== ()()11112212121,A T T CT T T T C T T −−−∴==21(),~.n T T GL R A C ∈∴ 4. 证明: (1) 反身性:,()(),~a A a a a a φφ∀∈=∴Q(2)对称性: ,,~,()(),()(),.a b A ifa b a b b a b a φφφφ∈=∴==(3) 传递性: ,,,~,~,()(),()(),()(),~.a b c a a b b c a b b c a c a c φφφφφφ∀∈==∴=∴{}[]|()().a x A x a φφ=∈=5. (1)()S P A ∀∈,则S =S~S S ∴，~∴具有反身性（2）设12,()S S P A ∈，若12~S S ，则12S S =，21S S ∴=21~S S ，~∴具有对称性（3）设123,,()S S S P A ∈若12~S S ,23~S S ，则12S S =，23S S =13S S =，13~S S ，~∴具有传递性 ~∴是()P A 上的一个等价关系. []{}{}{}{}{}(),1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~P A φ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]{}φφ={}{}{}{}{}{}11,2,3,4=⎡⎤⎣⎦{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}{}{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}1,2,3,41,2,3,4=⎡⎤⎣⎦6. 证明：（1）反身性: ,0,~.a Q a a Z a a ∀∈−=∈∴(2) 对称性: 设,,a b Q ∈若~a b , 即,a b Z −∈则(),b a a b Z −=−−∈ ~b a ∴ (3) 传递性: 设,,,a b c Q ∈若~,~a b b c 即,a b Z b c Z −∈−∈那么()(),a c a b b c Z −=−+−∈~a c ∴∴~是Q 上的一个等价关系. 所有的等价类为: []{}|[0,1).~Qa a Q a =∈∈且7. 证明: (1) 反身性: ~a C a a a a ∀∈=∴Q ，，(2) 对称性: a b C ∀∈，，若~a b ,则由a b =,得~b a b a =∴，.(3) 传递性: a b c C ∀∈，，，若~~a b b c ，，则a b b c a c ==∴=，，，即~.a c 所以~是一个等价关系. 商集为[]{}{0}~Ca a R +=∈U8. 设集合(){},/,,0S a b a b Z b =∈≠,在集合S 中，规定关系“~”：()(),~,a b c d ad bc ⇔=证明：~是一个等价关系.证明: 自反性: (),a b S ∀∈,则ab ba =,所以()(),~,.a b a b 对称性: 若()(),,,a b S c d S ∈∈,且()(),~,a b c d 则ad bc =所以cb da =,即()(),~,c d a b 传递性: 若()(),~,a b c d 且()(),~,c d e f由()(),~,a b c d 有ad bc =,所以adc b= 由()(),~,c d e f 有cf de =,所以adf de b⋅= 所以adf bde =,所以 af be =,即()(),~,a b e f . 所以~是一个等价关系9. 设{},,,A a b c d =试写出集合A 的所有不同的等价关系.解: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,,,,2,,,,3,,,,4,,,,P a b c d P a b c d P a c b d P a d b c ===={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}5,,,,6,,,,7,,,,8,,,,P a b c d P a c d b P a b d c P b c d a ==== {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}9,,,,,10,,,11,,,,P a b c d P a c b d P a b c d === {}{}{}{}{}{}{}{}12,,,,13,,,,P c d a b P a b c d == {}{}{}{}{}{}{}{}{}14,,,,15,,,P a c b d P a b c d ==10. 不用公式（1 .1），直接算出集合{}1,2,3,4A =的不同的分类数.解: 1212211211135554254254331()((/)(/))(/)152C C C C P C C P C C C P ++++++=.。