函数的微分等于导数

浅谈函数点x处可微及其与可导的关系摘要：可微与可导及其关系是微积分学中的一个入门级重点，更是一个难点。

以增量、高阶无穷小为突破口，分析了可微与微分的定义，通过严格证明论述其与可导的关系，并举例说明微分的基本求法。

关键词：增量高阶的无穷小可微可导1 引言导数与微分是学习微积分学中的钥匙。

经常给人不好理解的印象，但如果以增量、高阶无穷小为突破口，去看微分的定义，并严格证明论述其与可导的关系，在加上一些简单微分的基本求，达到条理清晰、深入浅出的效果。

2 增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义2.1增量△y是否能写成A△x+O（△x）设函数y=f（x）在点x的某个邻域=3x2·△x+（3x·（△x）2+（△x）3）内有定义，则y=f（x）在点x的增量△y=f（x+△x）-f（x）。

如果我们对△y=f（x+△x）-f（x）的结果进行整理，就会发现，对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果可以整理成△y=f（x+△x）-f（x）=A△x+O（△x），这里A与△x无关，O（△x）是较△x高阶的无穷小，但是对于有些函数y=f（x）及点x来说△y=f（x+△x）-f（x）的结果无法整理成上述形式。

例如：y=x2在点x0的增量就可以写成上述形式，△y=（x0+△x）2-x02=2x0·△x+（△x）2，这里2x0与△x无关，（△x）2是较△x高阶的无穷小。

但是，y=在点x=0的增量就无法写成上述形式，△y=f（0+△x）-f（0）=-0= 。

2.2增量△y是否能写成A△x+O（△x）的意义为什么要研究函数y=f（x）在点x的增量△y是否能写成A△x+O（△x）呢？可以看到，如果函数y=f（x）在点x的增量△y能写成△y=A△x+O（△x），那么当△x的值很小时，O（△x）值就会比A△x的值小的多，可以忽略不记，即当△x的值很小时△y≈A△x，这时我们只要知道A的值就可以很方便地计算出函数y=f（x）在点x的增量△y的近似值。

dx
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注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
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上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x

A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x

f ( x0 ),
即 y x

f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v


vdu udv v2
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例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解

y

1
x
2
xe ex
x
2
2
,

dy

1
x

【练习】 • P182的思考题11.1 • P194的习题11.1的（b）部分
（五）全微分的数学应用 • 1. 近似计算 • 可以采用全微分的方法求解近似的因变量的变化
• 【例子】P182的思考题11.2
z 6 1012 3022 6 1002 3002 182232024 传统解法：
采取全微分方法：
z z z x y 12xy 2 x 12x 2 yy x y 12100 3002 1 121002 300 2 1.8 108
【练习】 • 求函数
z y x
当 x 2, y 1, x 0.1, y 0.2 时的全
• 【练习】 • z ( x y) xy ，求一阶偏导数。
z xy 1 xy xy( x y ) y ( x y ) ln(x y ) x z xy 1 xy xy( x y ) x( x y ) ln(x y ) y
三、全微分的应用
d1 500 2 p1 3 p2 2Y
z z z , ,, 的偏导数 x1 x2 xn
在点（x1 , x2 ,, xn ）处连续，则
z z z x1 x2 xn x1 x2 xn
就称为函数z=f( x1 , x2 ,, xn )在点（x1 , x2 ,, xn ）的 全微分，记为 dz 或 df ( x1 , x2 ,, xn ) ，即：
第11章 全微分和全导数
一、全微分
（一）微分
• 设函数 y f ( x) 在点 x 可导，则 f ( x)x 称为函
数 y f ( x) 在点 x 处的微分，记为 dy df ( x) ，
即 dy f ( x)x ，由于 dx x x x ，即自变

三角函数微分公式三角函数是解析几何与三角学中经常出现的函数类型之一、常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。

在微积分中，我们常需要对三角函数进行微分，以求出其导数。

本文将介绍一些常用的三角函数微分公式。

一、正弦函数的微分公式正弦函数是一个周期函数，其图像在一个周期内是一条波浪线。

正弦函数的微分公式如下：d/dx (sin(x)) = cos(x)这个公式表明，正弦函数的导数等于其自变量的余弦函数。

换言之，正弦函数的导数就是其函数图像的斜率。

二、余弦函数的微分公式余弦函数也是一个周期函数，其图像在一个周期内与正弦函数的图像相似，但相位不同。

余弦函数的微分公式如下：d/dx (cos(x)) = -sin(x)这个公式表明，余弦函数的导数等于其自变量的负正弦函数。

也就是说，余弦函数的导数就是其函数图像的斜率乘以-1三、正切函数的微分公式正切函数是余弦函数和正弦函数的商。

在一些点上，它的导数可能为无穷大或负无穷大，但在其他点上的导数有简单的表达式。

正切函数的微分公式如下：d/dx (tan(x)) = sec^2(x)其中，sec(x)表示求x的余割函数，它的定义是sec(x) = 1/cos(x)。

从该公式中可以看出，正切函数的导数等于其自变量的余割函数的平方。

四、余切函数的微分公式余切函数是正弦函数和余弦函数的商。

和正切函数一样，它的导数也可能为无穷大或负无穷大。

但在其他点上余切函数的导数有简单的表达式。

余切函数的微分公式如下：d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)其中，csc(x)表示求x的正割函数，它的定义是csc(x) = 1/sin(x)。

从该公式中可以看出，余切函数的导数等于其自变量的正割函数的平方的相反数。

这些是常见的三角函数微分公式，它们在微积分中的应用非常广泛。

通过对这些公式的应用，我们可以轻松地计算三角函数的导数，进而解决许多与三角函数相关的问题。