湘教版八年级数学第二章《 三角形》知识点梳理

八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。

（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。

3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。

（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。

（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。

（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。

（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。

4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。

（3）等腰三角形的判定：等角对等边。

（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。

（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。

5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。

（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。

（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。

八年级上册数学湘教版第二章一、知识点总结。

1. 三角形的相关概念。

- 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。

- 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。

- 三角形的内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

- 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

2. 三角形的分类。

- 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形中直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

3. 三角形的三边关系。

- 三角形两边之和大于第三边。

- 三角形两边之差小于第三边。

- 判断三条线段能否组成三角形的方法：只需判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段。

4. 三角形的高、中线与角平分线。

- 三角形的高。

- 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

- 三角形的三条高所在的直线相交于一点。

- 锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高为直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。

- 三角形的中线。

- 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

- 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。

- 三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

- 三角形的角平分线。

三角形一、三角形的概念1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形注意：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示-------三角形可用符号“△”表示顶点是A,B,C的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”△ABC 中，（1）三角形的顶点：A，B，C ．（2）三角形的内角（简称角）：∠A ，∠B ，∠C．【由相邻的两边组成的角】（3）三角形的边：（线段）AB，（线段）BC，（线段）AC 或c，a，b．例题：1、2、图中的三角形共有多少个？（）A、2个B、3个C、4个D、5个练习：1、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。

2、以BD为边的三角形有哪些？3、以A为顶点的三角形有哪些？三、三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a2、应用（1）判断三条已知线段a、b、c 能否组成三角形.当 a 最长，且有b+c>a 时,就可构成三角形（2）确定三角形第三边的取值范围: 两边之差<第三边<两边之和.例题：1、任画一个△ABC，一只虫子从B点出发，沿着三角形的边爬到点C，请问他有几条路可以选？各条路的长度相同吗？2、（1）在△ABC中，若b=3，a=7，则第三边c的取值范围为____________________ （2）在△ABC中，若b=3，a=7，则其周长L的取值范围为____________________练习：1、用一根长为18cm的绳子围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边是4cm的等腰三角形吗？为什么？四、三角形的主要线段1、三角形的高线（任意一个三角形都有3条高）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的垂线段叫做三角形的高①角三角形三条高线都在三角形内部，且交于三角形内部一点；②角三角形三条高线有一条在三角形内部，另两条高为直角边，且三条高交于直角顶点；③角三角形三条高线有一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，且三条高所在直线交于三角形外部一点2、三角形的角平分线（任意一个三角形都有3条角平分线）三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。

（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。

AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。

第2章三角形知识点复习全等三角形定义：___________________________________三角形全等的条件：边边边：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。

简称为“三边”边角边：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。

简称为“边夹角”角边角公：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA。

简称为“角夹边”角角边：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS。

简称为“角角边”斜边直角边定理：两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，简记为：HL。

三角形全等的应用：证明全等测量距离证明平行判定三角形全等的方法：（1）已知两边对应相等①证第三边相等，再用SSS证全等②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等（2）已知一角及其邻边相等①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等③证已知边的对角相等，再用AAS证全等（3）已知一角及其对边相等证另一角相等，再用AAS证全等(4)已知两角对应相等①证其夹边相等，再用ASA证全等②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 （2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）1、 典型例题例题1、如图，在∠AOB的两边OA,OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ， DN 和EM 相交于点C ．求证：点C 在∠AOB 的平分线上．例题2、.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．例题3、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =．AB DC E OM NDCBAO123 4例题4、(1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石 铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？例题5、FBD（图１）。

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2)三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。

（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质:三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

湘教版数学八年级上《第2章三角形》单元复习与小结湘教版数学八年级上册单元复与小结第二章：三角形一、知识构建二、知识点拨考点1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和大于第三边。

例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是（）A．1<C<5B．4≤C≤6C．4<C<6D．1<C<6考点2：三角形的高、角平分线和中线①三角形的高是从三角形的一个顶点到所对的边的垂线段。

②三角形的角平分线是从一个角的顶点到所对边上的一点，且把这个角分成两个相等的角。

③三角形的中线是从一个顶点到所对边的中点的线段。

例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（）A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是考点3：三角形的内角和三角形的内角和等于180°。

例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=120°。

考点4：三角形按角分类三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC是钝角三角形；2)∠A=90°，则△ABC是直角三角形；3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是钝角三角形。

考点5：三角形的外角①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。

例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=100°。

考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。