期中测试卷(二)

期中测试(二)满分120分，限时100分钟一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2019广西贺州中考)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A.正五边形B.平行四边形C.矩形D.等边三角形2.(2019四川雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为()A.4，-2B.-4，-2C.4，2D.-4，23.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为()4.(2019四川绵阳中考)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是()A.b>8B.b>-8C.b≥8D.b≥-85.(2019山东济南模拟)已知b2-4ac>0，下列方程:①ax2+bx+c=0；②x2+bx+ac=0；③cx2+bx+a=0.其中一定有两个不相等的实数根的方程有()A.0个B.1个C.2个D.3个6.(2019浙江宁波中考)已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A.当a=1时，函数图象过点(-1，1)B.当a=-2时，函数图象与x轴没有交点C.若a>0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D.若a<0，则当x≤1时，y随x的增大而增大7.(2019四川眉山中考)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2-ax()A.有最大值a4B.有最大值-a4C.有最小值a4D.有最小值-a48.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示，对称轴为直线x=1，则下列结论:①ac>0；②b2<4ac；③方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3；④不等式ax2+bx+c<0的解集是x<-1或x>3. 其中正确的是()图1A.①③B.①②C.②③D.③④9.(2019四川德阳中考)如图2，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，再将△DBC绕C点逆时针旋转60°得到△FEC，延长BD交EF于H.已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为()图2A.√312B.√36C.√33D.√3210.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0，N:cx2+bx+a=0，其中a+c=0，下列四个结论中，错误的是()A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C.如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1二、填空题(每小题3分，共30分)11.若点P(a+b，-2)、Q(3，a-b)关于原点对称，则b2-a2=.12.(2019河北保定涞水期末)已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x…-3-2-10…y…-2-5-6-5…则a+b+c的值是.13.(2019辽宁本溪中考)关于x的方程kx2-4x-4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为.14.(2019四川成都中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且a12-a22=10，则a=.15.(2019湖北襄阳老河口期中)如图3，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(2√3，0)，点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O顺时针旋转60°后点P的对应点的坐标是.图316.(2019内蒙古巴彦淖尔中考)如图4，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m.图417.图5是二次函数y=ax2+bx+c的图象的大致位置，其中抛物线与y轴交于点(0，1)，则关于x的一元二次方程x2-2x+ab+c=0的根的情况是.图518.如图6，四边形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且∠ACD=60°，则对角线BD长的最大值为.图619.已知抛物线y=x2-k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是.20.(2019辽宁锦州中考)如图7，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(12，1)，下列结论:①abc>0；②a=b；③a=4c-4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根.其中正确的结论是.(只填序号即可)图7三、解答题(共60分)21.(2019山东青岛三十九中期中)(8分)解下列方程:(1)x2-4x+2=0(用配方法)；(2)3x2-7x+3=-1(用公式法).22.(2019山东济南历城期末)(8分)如图8，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25 m，另外三面用长度为50 m的篱笆围成(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分).(1)若要使矩形羊圈的面积为300 m2，则垂直于墙的一边长AB为多少?(2)农场老板想将羊圈ABCD重新建造，使其面积为320 m2，请聪明的你告诉他:他的这个想法能实现吗?为什么?第1页/共6页图8 23.(2019广东广州中考)(10分)已知抛物线y 1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的解析式；(2)若y 2随x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式.24.(2019江西宜春期末)(10分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2√2的正方形AEFG 按图9①位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上. (1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图9②，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长.图925. (12分)某文具店购进A ，B 两种钢笔，若购进A 种钢笔2支，B 种钢笔3支，共需90元；购进A 种钢笔3支，B 种钢笔5支，共需145元. (1)求A ，B 两种钢笔每支各多少元；(2)若该文具店要购进A ，B 两种钢笔共90支，总费用不超过1 588元，并且A 种钢笔的数量少于B 种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案?(3)文具店以每支30元的价格销售B 种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B 种钢笔，涨价卖出，经统计，B 种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B 种钢笔每支涨价a 元(a 为正整数)，销售这批钢笔每月获得W 元，试求W 与a 之间的函数关系式，并且求出B 种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大?最大利润是多少元? 26.(2019福建南平延平期中)(12分)如图10，抛物线y=-23x 2+43x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，将△OAB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△O'A'B ，点O 落到点O'的位置，点A 落到点A'的位置. (1)求点O'和点A'的坐标；(2)将抛物线沿y 轴方向平移后经过点A'，求平移后所得抛物线对应的函数关系式；(3)设(2)中平移后所得抛物线与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D ，点M 在x 轴上，点N 在平移后所得抛物线上，求出以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形时点N 的坐标.图10期中测试(二)满分120分，限时100分钟一、选择题(每小题3分，共30分)1.(2019广西贺州中考)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A.正五边形 B.平行四边形 C.矩形 D.等边三角形答案 C 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形；平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形；等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形.故选C. 2.(2019四川雅安中考)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx-8=0的一个实数根为2，则另一实数根及 m 的值分别为( )A.4，-2B.-4，-2C.4，2D.-4，2答案 D 解法一:由题意得22+2m-8=0，解得m=2，把m=2代入方程，得x 2+2x-8=0，(x+4)(x-2)=0，∴x=-4或x=2，即另一个根为-4.故选D.解法二:设方程的另一个根为x 1，由根与系数的关系，得{a 1+2=-m ，2a 1=-8，所以{a =2，a 1=-4.3.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为( )答案 D ∵二次函数y=(x+2)2-1中，a=1>0，∴其图象开口向上. 又∵其图象的顶点坐标为(-2，-1)，∴选D.4.(2019四川绵阳中考)将二次函数y=x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A.b>8 B.b>-8 C.b≥8 D.b≥-8答案 D 由题意可得y=x 2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.联立{a =(a -3)2-1①，a =2a +a ①，将②代入①并整理得x 2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点，所以Δ=(-8)2-4(8-b)=4b+32≥0，所以b≥-8，故选D. 5.(2019山东济南模拟)已知b 2-4ac>0，下列方程:①ax 2+bx+c=0；②x 2+bx+ac=0；③cx 2+bx+a=0.其中一定有两个不相等的实数根的方程有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B 方程①中，当a=0，b≠0时，bx+c=0为一元一次方程，没有两个实数根，不合题意；方程③中，当c=0，b≠0时，bx+a=0为一元一次方程，也没有两个实数根，不合题意；而x 2+bx+ac=0为一元二次方程，∵b 2-4ac>0，∴一定有两个不相等的实数根，故选B.6.(2019浙江宁波中考)已知函数y=ax 2-2ax-1(a 是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A.当a=1时，函数图象过点(-1，1) B.当a=-2时，函数图象与x 轴没有交点 C.若a>0，则当x≥1时，y 随x 的增大而减小 D.若a<0，则当x≤1时，y 随x 的增大而增大答案 D 选项A ，当a=1时，y=x 2-2x-1，当x=-1时，y=2，即函数图象不经过点(-1，1)，错误；选项B ，当a=-2时，y=-2x 2+4x-1，Δ=42-4×(-2)×(-1)=8>0，即函数图象与x 轴有两个交点，错误；选项C ，二次函数y=ax 2-2ax-1图象的对称轴为x=1，若a>0，则抛物线开口向上，当x≥1时，y 随x 的增大而增大，错误；选项D ，二次函数y=ax 2-2ax-1图象的对称轴为x=1，若a<0，则抛物线开口向下，当x≤1时，y 随x 的增大而增大，正确.故选D.7.(2019四川眉山中考)若一次函数y=(a+1)x+a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax 2-ax( ) A.有最大值a 4B.有最大值-a 4C.有最小值a 4D.有最小值-a 4答案 B ∵一次函数y=(a+1)x+a 的图象过第一、三、四象限，∴a+1>0且a<0，∴-1<a<0.y=ax 2-ax=a (a 2-x +14-14)=a (a -12)2-a 4，∵a<0，∴抛物线开口向下，当x=12时，二次函数y=ax 2-ax 有最大值-a 4，故选B.8.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图1所示，对称轴为直线x=1，则下列结论:①ac>0；②b 2<4ac ；③方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3；④不等式ax 2+bx+c<0的解集是x<-1或x>3.第3页/共6页其中正确的是( )图1A.①③B.①②C.②③D.③④答案 D ∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，∴c>0，∴ac<0，故①错误；∵图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac>0，即b 2>4ac ，故②错误；∵抛物线的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点是(3，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点是(-1，0)，∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3，故③正确；∵当x<-1或x>3时，抛物线在x 轴的下方，∴不等式ax 2+bx+c<0的解集是x<-1或x>3，故④正确.9.(2019四川德阳中考)如图2，将△ABC 沿BC 所在直线翻折得到△DBC ，再将△DBC 绕C 点逆时针旋转60°得到△FEC ，延长BD 交EF 于H.已知∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF 的面积为( )图2A.√312B.√36C.√33D.√32答案 C ∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，∴BC=2AC=2，∴AB=√aa 2-A a 2=√3，由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，CE=CB=2，EF=BD=AB=√3，∠E=∠ABC=30°，∴DE=2-1=1.在Rt △DEH 中，∵∠E=30°，∴EH=2DH ，又∵DH 2+DE 2=EH 2，即DH 2+1=(2DH)2，∴DH=√33.∴S 四边形CDHF =S △CEF -S △DEH =12×1×√3-12×1×√33=√33.故选C.10.有两个一元二次方程:M:ax 2+bx+c=0，N:cx 2+bx+a=0，其中a+c=0，下列四个结论中，错误的是( ) A.如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根 B.如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同 C.如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D.如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1答案 D 选项A 中，∵M 有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac>0，而此时N 的判别式Δ=b 2-4ac>0，故N 也有两个不相等的实数根；选项B 中，M 的两根符号相同，即x 1·x 2=aa>0，N的两根之积为aa，也大于0，故N的两个根也是同号的；选项C 中，如果5是M 的一个根，则有:25a+5b+c=0①，我们将15代入N 方程看是否成立，代入得125c+15b+a=0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到的，故②式成立；选项D 中，设方程M 和方程N 有一个相同的根，为x 0，则有a a 02+bx 0+c=c a 02+bx 0+a ，整理得(a-c)a 02=a-c ，因为a+c=0，a≠0，所以a=-c≠0，所以a 02=1，所以x 0=±1，所以选项D 错误.故选D. 二、填空题(每小题3分，共30分)11.若点P(a+b ，-2)、Q(3，a-b)关于原点对称，则b 2-a 2= . 答案 6解析 ∵点P(a+b ，-2)、Q(3，a-b)关于原点对称，∴a+b=-3，a-b=2，∴b 2-a 2=-(a 2-b 2)=-(a+b)(a-b)=-(-3)×2=6. 12.(2019河北保定涞水期末)已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:x … -3 -2 -10 …y … -2 -5 -6 -5 …则a+b+c 的值是 . 答案 -2解析 由表格可知:(-2，-5)与(0，-5)关于对称轴对称，∴该二次函数图象的对称轴为x=-1，∵(1，-2)与(-3，-2)关于x=-1对称，∴把x=1代入y=ax 2+bx+c ，得y=a+b+c=-2.13.(2019辽宁本溪中考)关于x 的方程kx 2-4x-4=0有两个不相等的实数根，则k 的最小整数值为 . 答案 1解析 ∵关于x 的方程kx 2-4x-4=0有两个不相等的实数根，∴{a ≠0，a =16+16a >0，解得k>-1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.14.(2019四川成都中考)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2-5x+a=0的两个实数根，且a 12-a 22=10，则a= . 答案214解析 因为x 1，x 2为方程x 2-5x+a=0的两实根，所以x 1+x 2=5，又a 12-a 22=10，所以x 1-x 2=2，解得x 1=72，x 2=32，所以a=x 1·x 2=214.15.(2019湖北襄阳老河口期中)如图3，在平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(2√3，0)，点P 为线段AB 的中点，将线段AB 绕点O 顺时针旋转60°后点P 的对应点的坐标是 .图3答案 (√3，-1)解析 连OP.∵点A(0，2)，B(2√3，0)，点P 为线段AB 的中点，∴P(√3，1)，AB=4，OP=12AB=2，∴∠PBO=30°，易得∠POB=30°，将线段AB 绕点O 顺时针旋转60°后，OP=OP'=2，∠POP'=60°，∴△OPP'是等边三角形，∴∠BOP'=30°，∴OB ⊥PP'，OB 平分PP'，∴点P 与点P'关于x 轴对称，∴P'(√3，-1).16.(2019内蒙古巴彦淖尔中考)如图4，某小区有一块长为30 m ，宽为24 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m.图4答案 2解析 设人行通道的宽度为x m ，根据题意得(30-3x)·(24-2x)=480，解得x 1=20(舍去)，x 2=2.即人行通道的宽度是2 m.17.图5是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的大致位置，其中抛物线与y 轴交于点(0，1)，则关于x 的一元二次方程x 2-2x+ab+c=0的根的情况是 .图5答案 有两个不等的实数根解析 由抛物线开口向上可得a>0，由对称轴在y 轴右侧可得b<0，由抛物线与y 轴交于点(0，1)可得c=1，∴方程x 2-2x+ab+c=0中，Δ=(-2)2-4(ab+1)=-4ab>0，∴该方程有两个不等的实数根.18.如图6，四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，若AC=AD 且∠ACD=60°，则对角线BD 长的最大值为 .图6答案 5解析 如图，在AB 的上方作等边三角形△ABK ，连接DK.∵AD=AC ，AK=AB ，∠DAC=∠KAB ，∴∠DAK=∠CAB ，在△DAK 和△CAB 中，DA=CA ，∠DAK=∠CAB ，KA=BA ，∴△DAK ≌△CAB ，∴DK=BC=2.∵DK+KB≥BD ，DK=2，KB=AB=3，∴当D 、K 、B 共线时，BD 的值最大，最大值为DK+KB=5. 19.已知抛物线y=x 2-k 的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且△ABP 是正三角形，则k 的值是 . 答案 3解析 ∵抛物线y=x 2-k 的顶点为P ，∴P 点的坐标为(0，-k)，∴PO=|k|.∵抛物线y=x 2-k 与x 轴交于A 、B 两点(设B 在A 的右侧)，且△ABP 是正三角形，∴OA=OB ，∠OPB=30°，由勾股定理可得OB=|√33k |.∴点B 的坐标为(|√33k |，0).又点B 在抛物线y=x 2-k 上，∴|√33k |2-k=0.解得k 1=0(不合题意，舍去)，k 2=3.∴k 的值为3.20.(2019辽宁锦州中考)如图7，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为(12，1)，下列结论:①abc>0；②a=b ；③a=4c-4；④方程ax 2+bx+c=1有两个相等的实数根.其中正确的结论是 .(只填序号即可)图7答案 ③④ 解析 根据图象可知a<0，c>0，x=-a 2a =12，∴b>0，∴abc<0，故①错误；由x=-a 2a =12得b=-a ，故②错误；由4aa -a 24a=1，b=-a 得a=4c-4，故③正确；将b=-a ，c=a +44，代入ax 2+bx+c=1化简得4x 2-4x+1=0，即(2x-1)2=0，可知方程有两个相等的实数根，故④正确.三、解答题(共60分)21.(2019山东青岛三十九中期中)(8分)解下列方程: (1)x 2-4x+2=0(用配方法)； (2)3x 2-7x+3=-1(用公式法). 解析 (1)移项，得x 2-4x=-2. 配方，得x 2-4x+4=-2+4， (x-2)2=2.由此可得x-2=±√2， x 1=2+√2，x 2=2-√2. (2)方程化为3x 2-7x+4=0. a=3，b=-7，c=4，Δ=(-7)2-4×3×4=49-48=1>0， 方程有两个不等的实数根， x=-a ±√a 2-4ac 2a=-(-7)±√12×3=7±16，即x 1=1，x 2=43.22.(2019山东济南历城期末)(8分)如图8，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD ，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN ，墙MN 可利用的长度为25 m ，另外三面用长度为50 m 的篱笆围成(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分).(1)若要使矩形羊圈的面积为300 m 2，则垂直于墙的一边长AB 为多少?(2)农场老板想将羊圈ABCD 重新建造，使其面积为320 m 2，请聪明的你告诉他:他的这个想法能实现吗?为什么?图8解析 (1)设垂直于墙的一边长AB 为x m ，则BC 为(50-2x)m. 依题意得x·(50-2x)=300， 即x 2-25x+150=0， 解得x 1=15，x 2=10. ∵墙的长度不超过25 m ， ∴x 2=10不合题意，应舍去. ∴垂直于墙的一边长AB 为15 m. (2)不能.理由如下:由x·(50-2x)=320得x 2-25x+160=0. b 2-4ac=(-25)2-4×1×160=-15<0， ∴上述方程没有实数根.因此，不能使所围矩形场地的面积为320 m 2.23.(2019广东广州中考)(10分)已知抛物线y 1=-x 2+mx+n ，直线y 2=kx+b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(-1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的解析式；(2)若y 2随x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式. 解析 (1)∵y 1的对称轴与y 2的交点为A(-1，5)， ∴y 1的对称轴为x=-a 2×(-1)=a2=-1，∴m=-2， ∴y 1=-x 2-2x+n=-(x 2+2x+1)+n+1=-(x+1)2+n+1， ∴顶点坐标为B(-1，n+1). ∵点A 到顶点B 的距离是4，∴|AB|=√[-1-(-1)]2+(n +1-5)2=√(a -4)2=4， ∴|n-4|=4， ∴n 1=0，n 2=8.∴y 1=-x 2-2x 或y 1=-x 2-2x+8. (2)①当y 1=-x 2-2x=-x(x+2)时，抛物线y 1=-x 2-2x 与x 轴的交点为(0，0)，(-2，0). ∵y 2随x 的增大而增大，且过点A(-1，5)， ∴y 1与y 2的图象都经过x 轴上同一点(-2，0)， 把(-1，5)，(-2，0)代入y 2=kx+b 得{5=-a +a ，0=-2a +a ，解得{a =5，a =10.∴y 2=5x+10.②当y 1=-x 2-2x+8时，令y 1=0，即-x 2-2x+8=0，解得x 1=2，x 2=-4， ∴抛物线y 1=-x 2-2x+8与x 轴交于点(2，0)，(-4，0). ∵y 2随x 的增大而增大，且过点A(-1，5)，第5页/共6页∴y 1与y 2的图象都经过x 轴上同一点(-4，0)， 把(-1，5)，(-4，0)代入y=kx+b 得{5=-a +a ，0=-4a +a ，解得{a =53，a =203.∴y 2=53x+203. 综上，y 2=5x+10或y 2=53x+203.24.(2019江西宜春期末)(10分)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2√2的正方形AEFG 按图9①位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上. (1)小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由；(2)如图9②，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长.图9解析 (1)证明:如图1，延长EB 交DG 于点H ， ∵四边形ABCD 和AEFG 为正方形， ∴AB=AD ，AG=AE ，∠GAD=∠EAB.在Rt △ADG 和Rt △ABE 中，{aa =aa ，①aaa =①aaa ，aa =aa ，∴Rt △ADG ≌Rt △ABE ，∴∠AGD=∠AEB ， ∵∠HBG=∠EBA ，∠AEB+∠EBA=90°， ∴∠AGD+∠HBG=90°， ∴DG ⊥BE.(2)如图2，过点A 作AP ⊥BD 交BD 于点P ， ∵四边形ABCD 和AEFG 为正方形， ∴AD=AB ，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE.∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG ，即∠DAG=∠BAE. 在△DAG 和△BAE 中，{aa =aa ，①aaa =①aaa ，aa =aa ，∴△DAG ≌△BAE(SAS)，∴DG=BE ， ∵AB=AD=2，∠BAD=90°，∴BD=2√2. ∵∠APD=90°，∴AP=DP=√2， ∵AG=2√2，∴PG=√aa 2-A a 2=√6， ∴DG=DP+PG=√2+√6， ∴BE=√2+√6.25. (12分)某文具店购进A ，B 两种钢笔，若购进A 种钢笔2支，B 种钢笔3支，共需90元；购进A 种钢笔3支，B 种钢笔5支，共需145元.(1)求A ，B 两种钢笔每支各多少元；(2)若该文具店要购进A ，B 两种钢笔共90支，总费用不超过1 588元，并且A 种钢笔的数量少于B 种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案?(3)文具店以每支30元的价格销售B 种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B 种钢笔，涨价卖出，经统计，B 种钢笔售价为30元时，每月可卖68支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B 种钢笔每支涨价a 元(a 为正整数)，销售这批钢笔每月获得W 元，试求W 与a 之间的函数关系式，并且求出B 种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大?最大利润是多少元? 解析 (1)设A 种钢笔每支x 元，B 种钢笔每支y 元， 由题意得{2a +3a =90，3a +5a =145，解得{a =15，a =20.答:A 种钢笔每支15元，B 种钢笔每支20元. (2)设购进A 种钢笔z 支，则购进B 种钢笔(90-z)支， 由题意得{15a +20(90-a )≤1 588，a <90-a ，∴42.4≤z<45，∵z 是整数，∴z=43或z=44.当z=43时，90-z=47；当z=44时，90-z=46.∴共有两种购买方案.方案一:购进A 种钢笔43支，购进B 种钢笔47支；方案二:购进A 种钢笔44支，购进B 种钢笔46支.(3)W=(30-20+a)(68-4a)=-4a 2+28a+680=-4(a -72)2+729(a为正整数)，∵-4<0， ∴W 有最大值， ∵a 为正整数，∴当a=3或a=4时，W 最大， ∴W最大=-4×(3-72)2+729=728，30+a=33或34.即B 种钢笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元.26.(2019福建南平延平期中)(12分)如图10，抛物线y=-23x 2+43x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，将△OAB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△O'A'B ，点O 落到点O'的位置，点A 落到点A'的位置. (1)求点O'和点A'的坐标；(2)将抛物线沿y 轴方向平移后经过点A'，求平移后所得抛物线对应的函数关系式；(3)设(2)中平移后所得抛物线与y 轴的交点为C ，与x 轴的交点为D ，点M 在x 轴上，点N 在平移后所得抛物线上，求出以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形时点N 的坐标.图10解析 (1)当y=0时，-23x 2+43x+2=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A(-1，0)， 当x=0时，y=2，则B(0，2)，∵△OAB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△O'A'B ，∴BO'=BO=2，O'A'=OA=1，∠OBO'=90°，∠BO'A'=∠BOA=90°， ∴O'(2，2)，A'(2，1).(2)∵当x=2时，y=-23x 2+43x+2=2， ∴点O'在抛物线y=-23x 2+43x+2上， ∵抛物线沿y 轴方向平移后经过点A'， ∴把抛物线y=-23x 2+43x+2向下平移1个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y=-23x 2+43x+1. (3)当x=0时，y=-23x 2+43x+1=1，则C(0，1)，∵以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是以CD 为边的平行四边形， ∴CD ∥MN ，当N 点在x 轴上方的抛物线上时，CN ∥DM ，此时N 点的纵坐标为1，N 点与A'点重合，N 点坐标为(2，1)； 当N 点在x 轴下方的抛物线上时，DN ∥CM ，则点C 和点N 到x 轴的距离相等，则N 点的纵坐标为-1，当y=-1时，-23x 2+43x+1=-1，解得x 1=3，x 2=-1，此时N 点坐标为(3，-1)或(-1，-1). 综上所述，满足条件的N 点坐标有(2，1)，(3，-1)和(-1，-1).。