山东省济宁市高考数学专题复习第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习新人教A版

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}， ∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件． 答案：C2．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n≤1 000 B ．∀n ∈N,2n＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n＜1 000解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A3．命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2<1，则－1<x <1 C ．若x 2>1，则x >1或x <－1 D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”． 答案：D4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin60°＝32，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．答案 D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．答案：B6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案：A7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )．A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.答案 C二、填空题8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,219．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________(填序号)．解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假． 答案 110．定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f (x )＝0，则称函数f (x )为D 上的零函数． 根据以上定义，“f (x )是D 上的零函数或g (x )是D 上的零函数”为“f (x )与g (x )的积函数是D 上的零函数”的________条件．解析 设D ＝(－1,1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈－1，0]，x ，x ∈，，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－1，0]，0，x ∈，，显然F (x )＝f (x )·g (x )是定义域D 上的零函数，但f (x )与g (x )都不是D 上的零函数．答案 充分不必要11．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件． 解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，即a ·b >0；由a ·b >0可得cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要12．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＞1，即|a ＋b |＞1，故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确． 答案 2 三、解答题13.设p ：函数||()2x a f x -=在区间（4，+∞）上单调递增；:log 21a q <，如果“p ⌝”是真命题，“p 或q ”也是真命题，求实数a 的取值范围。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是() A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，a n＝a1q n－1<0，此时数列{S n}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}单调递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a ·b ＝0，则(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，所以“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充分条件；反之，由(a ＋b )2＝a 2＋b 2得a ·b ＝0，所以非零向量a ，b 垂直，“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的必要条件．故“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充要条件．题型三 充分、必要条件的应用例3已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x ≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2 答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2， 所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是a ≤2. 7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是()A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2， 即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1.9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0， 解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x <－1(答案不唯一)解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案a ∈[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B ．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2－a <2<a ，a >0，无解， 综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x ，设f (x )＝x ＋4x (1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x (1<x <3)的值域为[4,5)，∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。

[第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题． ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③2．已知命题p ：若x >0，y >0，则xy >0，则p 的否命题是( ) A ．若x >0，y >0，则xy ≤0 B ．若x ≤0，y ≤0，则xy ≤0C ．若x ，y 至少有一个不大于0，则xy <0D ．若x ，y 至少有一个小于或等于0，则xy ≤03．设命题p ：sin αtan α＝cos α，命题q ：sin α＝cos α，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2013·唐山模拟] 设a ，b ∈R ，则“a >1且0<b <1”是“a －b >0且a b>1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件能力提升5．[2013·商丘模拟] 直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <16．[2013·山东卷] 设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．2 C．1 D．08．[2013·石家庄模拟] 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，则λ<－4是向量m＝λa ＋b与向量n＝(3，－1)夹角为钝角的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件9．[2013·东北三省四市联考] 等比数列{a n}的首项为a，公比为q，其前n项和为S n，则数列{S n}为递增数列的充分必要条件是________．10．设p：xx－2<0，q：0<x<m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．11．若“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．12．(13分)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．难点突破13．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．课时作业(二)【基础热身】 1．D [解析] ①的逆命题为：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．2．D [解析] 否命题应在否定条件的同时否定结论，而原命题中的条件是“且”的关系，所以条件的否定形式是“x ≤0或y ≤0”．3．B [解析] 命题p 成立时sin 2α＝cos 2α，得sin α＝±cos α，由此可得p 是q 的必要不充分条件．4．A [解析] 显然a >b >0，故a >1且0<b <1⇒a －b >0且a b >1；反之，a －b >0且a b>1⇒a >b 且a －b b >0⇒a >b 且b >0，推不出a >1且0<b <1.故“a >1且0<b <1”是“a －b >0且ab>1”的充分不必要条件． 【能力提升】5．C [解析] 圆心坐标为(1，0)，半径为2，直线x －y ＋m ＝0与圆有两个不同交点的充要条件是|1＋m |2<2，即－3<m <1，充分不必要条件的m 的范围是这个范围的真子集，故只能是选项C 中的范围．6．A [解析] 因为函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，所以0<a <1，由函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数可得2－a >0，即a <2.所以若0<a <1，则a <2，而若a <2推不出0<a <1.所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．7．B [解析] 原命题是一个假命题，因为当c ＝0时，不等式的两边同乘上一个0得到的是一个等式；原命题的逆命题是一个真命题，因为当ac 2>bc 2时，一定有c 2≠0，所以必有c 2>0，两端同除一个正数，不等式方向不变，即若ac 2>bc 2，则a >b 成立．根据命题的等价关系，四个命题中有2个真命题．8．A [解析] m ＝(λ＋2，2λ＋3)，m ，n 的夹角为钝角的充要条件是m ·n <0且m ≠μn (μ<0)．m ·n <0，即3(λ＋2)－(2λ＋3)<0，即λ<－3；若m ＝μn ，则λ＋2＝3μ，2λ＋3＝－μ，解得μ＝17，故m ＝μn (μ<0)不可能，所以，m ，n 的夹角为钝角的充要条件是λ<－3，λ<－4是m ，n 的夹角为钝角的充分不必要条件．9．a >0且q >0 [解析] 由S n ＋1>S n 得，当q ＝1时，S n ＋1－S n ＝a >0；当q ≠1时，S n ＋1－S n ＝aq n>0，即a >0，1≠q >0.综合可得数列{S n }为递增数列的充分必要条件是a >0且q >0.10．(2，＋∞) [解析] 命题p 成立时，0<x <2，命题p 是q 成立的充分不必要条件，说明(0，2)是(0，m )的真子集，故m >2，即m 的取值范围是(2，＋∞)．11．[0，1) [解析] 问题等价于对任意实数x ，不等式ax 2＋2ax ＋1>0恒成立．当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，只能是a >0且Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.故a 的取值范围是[0，1)．12．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，方程有两个大于1的实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，－2k －12>1，f （1）>0，即k <－2.所以使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件为k <－2.【难点突破】13．解：假设三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0都没有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝（2a ）2－4（－2a ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，得－32<a <－1，∴根据题意知a ≤－32或a ≥－1.。

其次节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题p:“若x2<1,则x<1”的逆命题为q,则p与q的真假性为( )A.p真q真B.p真q假C.p假q真D.p假q假答案 D q:若x<1,则x2<1.由x2<1,解得-1<x<1,∴p假,当x<1时,x2<1不肯定成立,∴q假.故选D.2.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0⇒x<0;而x<0⇒/-1<x<0.故选B.3.“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B 直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直,所以a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或a=-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.4.(2024辽宁沈阳质检)命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x=4,则x2+3x-4=0”,真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”,假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”,假命题答案 C 依据逆否命题的定义可以解除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.5.(2024江西南昌摸底调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π答案 B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.6.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x ≠0”B.命题“若cosx=cosy,则x=y ”的逆否命题为真命题C.命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 都不是有理数”D.“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题为真命题答案 D A 中,命题的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0”,选项A 不正确;B 中,命题“若cosx=cosy,则x=y ”为假命题,因此其逆否命题为假命题;对于C,命题“a,b 都是有理数”的否定是“a,b 不都是有理数”,所以C 错误;D 中命题为真命题.故选D.7.已知命题α:假如x<3,那么x<5;命题β:假如x ≥3,那么x ≥5;命题γ:假如x ≥5,那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系,下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③答案 A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换,故①正确,②错误,③正确.8.已知等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,则“d>0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C 解法一:S 4+S 6>2S 5等价于(S 6-S 5)+(S 4-S 5)>0,等价于a 6-a 5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵S n =na 1+12n(n-1)d,∴S 4+S 6-2S 5=4a 1+6d+6a 1+15d-2(5a 1+10d)=d,则S 4+S 6>2S 5等价于d>0.故选C. 9.设a,b ∈R,则“a>b ”是“a|a|>b|b|”的 条件.答案 充要解析 设f(x)=x|x|,则f(x)={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,所以f(x)是R 上的增函数,所以“a>b ”是“a|a|>b|b|”的充要条件.10.原命题“设a 、b 、c ∈R,若a>b,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 .答案 2解析 由题意可知原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题;逆命题为“设a 、b 、c ∈R,若ac 2>bc 2,则a>b ”,该命题是真命题,所以否命题也是真命题.故真命题有2个11.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是.答案[3,8)解析因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m 的取值范围是[3,8).12.(2024安徽合肥模拟)已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=√x2-3x+2}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.答案{a|a≤0或a≥3}解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以a+1≤1或a-1≥2,所以a≤0或a≥3.所以实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥3}.13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并推断它们的真假.解析(1)逆命题:已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,则a2<4b,为真命题.(3)逆否命题:已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0无实数解,为真命题.。

高考数学总复习：第二节命题及其关系、充分条件与必要条件学习要求:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以①判断真假的陈述句叫做命题,其中②判断为真的语句叫做真命题,③判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦相同的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧没有关系.▶提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的⑨充分条件,q是p的⑩必要条件.(2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件.(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件.(4)若p⇔q,则p是q的充要条件.(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.▶提醒不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)“x2-3x+2=0”是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. ()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.()(6)一个命题非真即假.()答案(1)✕(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)√2.“若x>1,则x>0”的否命题是()A.若x>1,则x≥0B.若x≤1,则x>0C.若x≤1,则x≤0D.若x<1,则x<0答案 C3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是()A.若q,则pB.若¬p,则¬qC.若¬q,则¬pD.若p,则¬q答案 C4.(新教材人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)已知a>0,b>0,则“ab>1”是“a+b>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A已知a>0,b>0,充分性:若ab>1,因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,所以(a+b)2>4,所以a+b>2;必要性:时,ab=1,所以必要性不成立.若a+b>2,则当a=3,b=13因此“ab>1”是“a+b>2”的充分不必要条件.5.(易错题)“ln x<0”是“x<1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B因为ln x<0,所以0<x<1,又集合(0,1)为集合(-∞,1)的真子集,所以“ln x<0”为“x<1”的充分不必要条件.故选B.易错分析本题容易忽视x的取值范围.命题及其相互关系典例1 (多选题)下列命题为真命题的是( )A.“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题;B.“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的逆否命题;C.“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的否命题;D.“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.答案ACD名师点评1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.1.[2021年1月“八省(市)联考”]关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则x1=3,x2=-1,符合.若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x1=1,x2=1,两根不异号,不符合.若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,x1=1,x2=3,两根不异号,不符合.若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则x1=1,x2=3,两根和不为2,不符合.综上可知,选A.2.(多选题)下列命题为真命题的是()A.“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;C.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;D.命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案BD充分条件、必要条件的判断1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:a>b,条件q:a2>b2,则p是q的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案D当a=1,b=-2时,a2<b2,故充分性不成立;当a2>b2时,a2-b2>0,即(a-b)(a+b)>0,所以a>b且a+b>0或a<b且a+b<0,故必要性不成立.故选D.2.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.≥a成立”的()3.(2020山东潍坊高三模拟)“a=2”是“∀x>0,x+1xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≥2,答案A∵∀x>0时,x+1x≥a”等价于a≤2,∴“∀x>0,x+1x而a=2可以推出a≤2,但a≤2不能推出a=2,≥a成立”的充分不必要条件,故选A.∴“a=2”是“∀x>0,x+1x4.集合A={x|x>1},B={x|x<2},则“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的条件.答案必要不充分名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分、必要条件的应用典例2(1)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是.(2)已知条件p :2x 2-3x +1≤0,条件q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .答案 (1)[-12,0] (2)[0,12]解析 (1)若α是β的充分条件,则α对应的集合是β对应集合的子集,则{x +1≤1,2x +4≥3,解得-12≤m ≤0.(2)由2x 2-3x +1≤0,得12≤x ≤1,设条件p 对应的集合为P ,则P ={x |12≤x ≤1}.由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1,设条件q 对应的集合为Q ,则Q ={x |a ≤x ≤a +1}. ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件, ∴P ⫋Q ,∴0≤a ≤12,∴实数a 的取值范围是[0,12].名师点评1.解题“2关键”:(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题“1注意”:求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.(2020陕西山阳中学高三月考)已知集合A ={x |2xx -2<1},集合B ={x |x 2-(2m +1)x +m 2+m <0},p :x ∈A ,q :x ∈B ,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 . 答案 [-2,1] 解析 集合A ={x |2xx -2<1}={x |x +2x -2<0}={x |-2<x <2},集合B ={x |x 2-(2m +1)x +m 2+m <0} ={x |m <x <m +1},因为p 是q 的必要不充分条件, 所以B ⫋A ,得{x ≥-2,x +1≤2,解得-2≤m ≤1,所以m 的取值范围为[-2,1].2.(2020河南高三月考)已知p :|x -1|≤2,q :x 2-2x +1-a 2≥0(a >0),若p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,2]解析 ∵|x -1|≤2,∴-1≤x ≤3,即p :-1≤x ≤3; ∵x 2-2x +1-a 2≥0(a >0),∴x ≤1-a 或x ≥1+a , ∴¬q :1-a <x <1+a ,∵p 是¬q 的必要不充分条件,∴{x >0,1-x ≥-1,1+x ≤3,解得0<a ≤2, ∴实数a 的取值范围是(0,2].A 组 基础达标1.命题“若x ≥a 2+b 2,则x ≥2ab ”的逆命题是 ( ) A.若x <a 2+b 2,则x <2ab B.若x ≥a 2+b 2,则x <2ab C.若x <2ab ,则x <a 2+b 2D.若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 2答案 D2.(2020河北邯郸鸡泽第一中学高三月考)下列命题是真命题的为 ( )A.若1x =1x ,则x =y B.若x 2=1,则x =1C.若x=y,则√x=√xD.若x<y,则x2<y2答案 A3.(2020浙江高三开学考)“x=1”是“lg2x-lg x=0”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为lg2x-lg x=0,所以lg x=0或lg x=1,解得x=1或x=10,所以由“x=1”可以推出“lg2x-lg x=0”成立;但由“lg2x-lg x=0”不能推出“x=1”,所以“x=1”是“lg2x-lg x=0”成立的充分不必要条件.故选A.4.(2019河北承德第一中学高三月考)命题“若两个整数a,b都是奇数,则它们的和a+b是偶数”的逆否命题是()A.若两个整数a与b的和a+b是偶数,则a,b都是奇数B.若两个整数a,b不都是奇数,则a+b不是偶数C.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b都不是奇数D.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b不都是奇数答案 D5.(多选题)下列命题中是真命题的是()A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N+,(x-1)2>0C.∃x∈R,lg x<1D.∃x∈R,tan x=2答案ACD6.(2020浙江高三模拟)已知a,b为正实数,则“a+1x >b+2x”是“a>b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若0<a ≤b ,则1x ≥1x ,所以2x ≥1x ,所以a +1x ≤b +2x , 所以由a +1x >b +2x能够推出a >b.当a =19,b =110时,满足a >b ,但此时a +1x <b +2x , 所以a >b 推不出a +1x>b +2x ,综上,“a +1x>b +2x”是“a >b ”的充分不必要条件.故选A .7.(多选题)已知a ,b ,c 是实数,则下列结论正确的是 ( ) A.“a 2>b 2”是“a >b ”的充分条件 B.“a 2>b 2”是“a >b ”的必要条件 C.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件D.“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件 答案 CD8.(多选题)下列命题错误的是 ( ) A.∃x ∈R,e x≤0 B.∀x ∈R,2x >x 2C.a +b =0的充要条件是xx =-1D.若x ,y ∈R,且x +y >2,则x ,y 中至少有一个大于1答案 ABC 根据指数函数的性质可得e x >0,故A 错误;当x =2时,2x >x 2不成立,故B 错误;当a =b =0时,xx 没有意义,故C 错误;因为“若x ,y ∈R,且x +y >2,则x ,y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x ,y ∈R,且x ,y 都小于等于1,则x +y ≤2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.B 组 能力拔高 9.圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是 ( )A.k ≤-2√2或k ≥2√2B.k ≤-2√2C.k ≥2D.k ≤-2√2或k >2答案 B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx -y -3=0的距离d =√≤1,即√x 2+1≥3,∴k 2+1≥9,即k 2≥8,∴k ≥2√2或k ≤-2√2,∴由选项知圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是k ≤-2√2,故选B .10.已知条件p :|x -4|≤6;条件q :(x -1)2-m 2≤0(m >0),若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是 ( )A.[21,+∞)B.[9,+∞)C.[19,+∞)D.(0,+∞)答案 B 由题意知,条件p :-2≤x ≤10,条件q :1-m ≤x ≤m +1,又p 是q 的充分不必要条件,故有{1-x ≤-2,1+x ≥10,x >0,解得m ≥9.11.(2020江苏扬州中学高三月考)“a >b ”是“3a >3b ”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”).答案 充要解析 因为y =3x 在R 上是增函数,所以当a >b 时,3a >3b ,故充分性成立;当3a >3b 时,a >b ,故必要性成立.故“a >b ”是“3a >3b”的充要条件.12.(2020黑龙江鹤岗一中期末)下列命题中为真命题的是 .(填序号)①命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题;②命题“若x >1,则x 2>1”的否命题;③命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题;④“若x 2<4,则-2<x <2”的逆否命题.答案 ①④解析 对于①,命题的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,为真命题,对于②,命题的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,为假命题,对于③,命题的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,为假命题,对于④,命题“若x2<4,则-2<x<2”为真命题,故其逆否命题为真命题,综上,①④为真命题.C组思维拓展13.(2020河南高三模拟)若关于x的不等式(x-a)(x-3)<0成立的充要条件是2<x<3,则a=.答案 2解析因为2<x<3是不等式(x-a)(x-3)<0成立的充分条件,所以a≤2,因为2<x<3是不等式(x-a)(x-3)<0成立的必要条件,所以2≤a<3,故a=2.14.设集合A={x|x(x-1)<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由m∈B不能推出m∈A,如x=2,故必要性不成立.由x∈A能推出x∈B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.15.在熟语“水滴石穿”中,“石穿”是“水滴”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案必要不充分解析“水滴”可以推出“石穿”,但“石穿”推不出“水滴”,有可能是“化学腐蚀”,故“石穿”是“水滴”的必要不充分条件.。

课时限时检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件命题报告充分必要条件的判定1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【解析】依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．【答案】 B2．(2014·广州市培正中学模拟)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝1时，(a－1)(a－2)＝0，反之当(a－1)(a－2)＝0，则a＝1或a＝2，故“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的充分非必要条件．【答案】 A3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为( )A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C.【答案】 C4．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A5．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.【答案】 A6．(2014·桂林模拟)已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜5B ．a ≤5C ．a ＞5D ．a ≥5【解析】 由题意可知A B ，又A ＝{x |x ＞5}，B ＝{x |x ＞a }，如图所示，由图可知a ＜5.【答案】 A二、填空题(每小题共5分，共15分)7．命题“若m ＞0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【解析】 由Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－14，故原命题及其逆否命题是真命题，逆命题“若关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实数根，则m ＞0”，是假命题； 从而否命题也是假命题．故共有2个真命题． 【答案】 28．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【解析】 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根，且n ∈N ＋， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 【答案】 3或49．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 【解析】 p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3，q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，qp ，由数轴可知m ＋32≥3，解得m ≥3.【答案】 [3，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】 (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下： ∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． ∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )， 因此f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )， ∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它． 因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ， ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．(12分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3x－1的定义域为集合B .已知α：x ∈A ∩B ，β：x 满足2x ＋p ≤0.且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解】 依题意，得A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3x－1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]． 设集合C ＝{x |2x ＋p ≤0}， 则x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－p 2. ∵α是β的充分条件，∴(A ∩B )⊆C . 则需满足3≤－p2⇒p ≤－6. ∴实数p 的取值范围是(－∞，－6]．12．(13分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【证明】 必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， 则x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0. 充分性：若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－a －c ，∴ax 2＋bx ＋c ＝0可化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0， ∴(ax －c )(x －1)＝0， ∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0，∴x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．综上，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[学生用书P5]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分[学生用书P5]四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B ＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选 C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q 的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件时需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.A＝60°⇒cos A＝12，cos A＝12⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B.3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D.由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )A ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≥cB ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≤cC ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则b ＞cD ．若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则b ＜c解析：选A.令A ＝{a |a ＞b }，B ＝{a |a ＞c }，C ＝{a |a ＜b }．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则有A ⊆B ，则b ≥c ，故选项A 正确，选项B 错误；若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则有A ＝B ，则b ＝c ，故选项C 错误；若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则有B ⊆C ，这是不可能的，故选项D 错误．故选A.2．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是“命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.3．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案： 3[学生用书P7]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.[学生用书P357(单独成册)][A级基础练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C.3．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A.5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a 与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a 与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0 B．a－b＞0C．ab＞1 D.ab＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，ab＞1，故选A.7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2ab，故4≥ab，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/x ＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分10．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．解析：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <211．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]12．给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②在△ABC 中，“sin B >sin C ”是“B >C ”的充要条件是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法中正确的是________．(填序号)解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[B级综合练]13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)[C级提升练]15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.16．能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。