2005年中考动点问题汇总

动点问题题型方法概括动向几何特色----问题背景是特别图形，考察问题也是特别图形，殊的关系；剖析过程中，特别要关注图形的特征（特别角、特别图形的性质、图形置。

）动点问题向来是中考热门，近几年考察研究运动中的特别性：等腰相像三角形、平行四边形、梯形、特别角或其三角函数、线段或面积的最值。

下边就此问题的常有题型作简单介绍，解题方法、重点给予点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线y3x6与坐标轴分别交于A、B4从O点出发，同时抵达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之（3）当48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为S5四个极点M的坐标．yBPxO Q A提示：第（2）问按点P到拐点B全部时间分段分类；2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延伸线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF为直角三角形．注意：第（3）问按直角地点分类议论C CFEA AB AO B D O图（1）图（2）图（面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．注意：发现并充足运用特别角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

二、4、（2009特别四边形边上动点年吉林省）如下图，菱形ABCD的边长为6厘米，B始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A C以2厘米/秒的速度沿 A B C D的方向运动，当点Q运动到同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），解答以下问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时3）求y与x之间的函数关系式．D CPBA Q轴于点H．（1）求直线AC的分析式；（2）连结BM，如图 2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以 2点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S 0），点P的运动时间为数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；3）在（2）的条件下，当t为什么值时，△MPB与△BCO互为余角，并线AC所夹锐角的正切值．yAHB yA H BMOx MCxO C图（1）2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；注意：第（图（2）第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运∠MPB=∠ABM的两种状况，求出t值。

数学中考复习一（动点问题）1、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，7460OA AB COA === ，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且58BD AB =，求这时点P 的坐标．2、如图，等边三角形ABC 的边长为8，点P 由点B 开始沿BC 以每秒1个单位长的速度作匀速运动，到点C 后停止运动；点Q 由点C 开始沿C-A-B 以每秒2个单位长的速度作匀速运动，到点B 后停止运动.若点P ，Q 同时开始运动，运动的时间为t(秒)(t ＞0). （1）指出当t ＝4秒时，点P,Q 的位置，此时直线PQ 有何特点？ （2）当点Q 在AC 边上运动时，求△PCQ 的面积S 1与t 的函数关系式.（3）当点Q 在AB 边上运动时（点Q 与点B 不重合），求四边形PCAQ 的面积S 2与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围.3、半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC ：CA＝4 : 3，点P 在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2）当点P运动弧AB到的中点时，求CQ的长；(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．(1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．数学中考复习一（动点问题）参考答案：1、解：（1）过B 点作BE OA ⊥，垂足是点E ， 四边形OABC 是等腰梯形，60OC ABBAO COA ∴===，∠∠， 在Rt BAE △中，s i n 60c o s 604B E A E AB AB AB===，，，144222BE AE ===⨯=． 725O E O A A E =-=-=，B ∴点的坐标(5，，（2）①当P 点是在x 轴的正半轴上，60COA = ∠ ，OCP △为等腰三角形，O C P ∴△为等边三角形．4O C O P P C ∴===， P ∴点的坐标为(40)，②当点P 是在x 轴负半轴上，有OP=OC=4， P ∴点的坐标为(40)-，， 所以，点P 的坐标为(40)，或(40)-，。

OECB DAα lO CBA（第3题图）动点问题一1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．C（第2题图）3、如上图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．4、（09天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且B D OB '∥，求此时点C 的坐标．5、如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD. （1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，求出点P 坐标；若不存在说明理由.P。

. . .. . .【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。

思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。

第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面的一个动点，BP=BA ，若0︒＜∠PBC ＜180°，且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的部时（如图2），求∠BPD 的度数；（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。

事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD//BC ， DC ⊥BC ，已知AB=5，BC=6，cosB=35． 点O 为BC 边上的一个动点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ． （1）当BO=AD 时，求BP 的长；（2）点O 运动的过程中，是否存在BP=MN 的情况？若存在，请求出当BO 为多长时BP=MN ；若不存在，请说明理由；（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C，请直接写出当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值围。

5.因动点产生的平行四边形问题1.如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()5,0A 、()1,0B -两点，过点A 作直线AC x ⊥轴，交直线2y x =于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A 关于直线2yx =的对称点A '的坐标，判定点A '是否在该抛物线上，并说明理由；（3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段CA '于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵抛物线214y x bx c =++与x 轴交于()5,0A 、()1,0B -两点 ∴25504104b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得154b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴抛物线的解析式为21544yx x =-- （2）过点A '作A E x '⊥轴于E ，AA '与OC 交于点D∵点C 在直线2y x =上，()5,10C ∴∵点A 和A '关于直线2yx =对称，OC AA '∴⊥，A D AD '= 5,10,OA AC ==OC ∴===1122OAC S OA AC OC AD ∆=⋅=⋅，AD AA '∴=∴=在Rt A EA '∆和Rt OAC ∆中90A AE A AC ''∠+∠=︒，90ACD A AC '∠+∠=︒A AE ACD '∴∠=∠又90A EA OAC '∠=∠=︒，A EA OAC '∆∆∽A E AE AA OA AC OC''∴==，即510A E AE '==4,8,3A E AE OE AE OA '∴===-=∴点A '的坐标为()3,4-当3x =-时，()21533444y =⨯-+-=∴点A '在该抛物线上（3）存在理由：设直线CA '的解析式为y kx b =+则51034k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得34254k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴直线CA '的解析式为32544y x =+ 设215,44P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则325,44M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ PM AC ∥∴要使四边形PACM 是平行四边形，只需PMAC = 又点M 在点P 的上方，232515104444x x x ⎛⎫∴+---= ⎪⎝⎭ 解得122,5x x ==（不合题意，舍去）当2x =时，94y =-∴当点P 运动到92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PACM 是平行四边形 2.如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点()0,4C ，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴1x =与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在点F ，使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解析：（1）由抛物线经过点()0,4C可得4c = ① ∵对称轴1,22b x b a a =-=∴=- ② 又抛物线过点()2,0A -，042a b c ∴=-+③ 由①②③解得：1,1,42a b c =-== ∴抛物线的解析式为2142yx x =-++ （2）假设存在满足条件的点F ，连接BC 、CF 、OF ，作FHx ⊥轴于H ，FG y ⊥轴于G设点F 的坐标为21,42t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中04t << 则2142FH t t =-++，FG t =221114428222OBF S OB FH t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=⨯⨯-++=-++ ⎪⎝⎭ 114222OCF S OC FG t t ∆=⋅=⨯⨯= 224282412AOC OBF OFC ABFC S S S S t t t t t ∆∆∆∴=++=-+++=-++四边形 令241217t t -++=，即2450t t -+=则()244540∆=--⨯=-<，方程无解故不存在满足条件的点F（3）设直线BC 的解析式为()0y kx bk =+≠，又过点()4,0B ，()0,4C044k b b =+⎧∴⎨=⎩解得14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4yx =-+ 由()2211941222y x x x =-++=--+，得91,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭又点E 在直线BC 上，则点()1,3E于是93322DE =-= 由于DE PQ ∥，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，只需DE PQ =设点(),4P m m -+，则21,42Q m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭①当04m <<时，()221144222PQ m m m m m =-++--+=-+ 由213222m m -+=，解得1m =或3m = 当1m =时，线段PQ 与DE 重合，1m =舍去3m ∴=，此时()13,1P②当0m <或4m >时，221144222PQ m m m m m ⎛⎫=-+--++=- ⎪⎝⎭由213222m m -=，解得2m =±此时，((232,2P P +--+综上所述，满足条件的点P 有三个，分别是()13,1P ，((232,2P P +--+. 3.如图，抛物线222y x x m=-与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C ．（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为()0,2，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得AMC ∆的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．解析：（1）222211222y x x x m m m m ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ∴抛物线的顶点B 的坐标为11,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （2）令2220x x m-=，解得10x =，2x m = ∵抛物线222y x x m=-与x 轴负半轴交于点A (),0A m ∴且0m <.过点D 作DF x ⊥轴于F由D 为BO 中点，DF BC ∥，可得12CF FO CO == 12DF BC ∴= 由抛物线的对称性得3,4AF AC OC AO =∴=DF EO ∥，ADF AEO ∴∆∆∽，DF AF EO AO∴= 由()0,2E ，11,22B m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得12,4OE DF m ==- 13424m -∴=，6m ∴=- ∴抛物线的解析式为2123yx x =-- （3）依题意，得()6,0A -，()3,3B -，()3,0C -可得直线OB 的解析式为y x =-，直线BC 为3x =-作点C 关于直线BO 的对称点()10,3C ，连接1AC 交BO 于M ，则M 即为所求 由()6,0A -，()10,3C ，可得直线1AC 的解析式为132y x =+ 由132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得22x y =-⎧⎨=⎩ ∴点M 的坐标为()2,2-由点P 在抛物线2123yx x =--上，设21,23P t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①当AM 为平行四边形的一边时如图，过M 作MG x ⊥轴于G ，过P 作PHBC ⊥于H 则2,3G M H B x x x x ==-==-可证AMG PQH ∆∆≌，得4PH AG ==()34t ∴--=，1t ∴=171,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭如图，同理可4PH AG ==34,7t t ∴--=∴=-277,3P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②当AM 为平行四边形的对角线时如右图，过M 作MHBC ⊥于H ，过P 作PG x ⊥轴于G 则3,H B G P x x x x t ==-==可证APG MQH ∆∆≌，得1AG MH ==()61,5t t ∴--=∴=-35:5,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 综上，点P 的坐标为171,3P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，277,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，355,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭4.已知正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 坐标为()4,4，点(),0P t 是x 轴上一动点，过点O 作OH AP ⊥于点H ，直线OH 交直线BC 于点D ，连接AD ．（1）如图1，当点P 在线段OC 上时，求证：OP CD =；（2）在点P 运动过程中，AOP ∆与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，求t 的值；（3）如图2，抛物线212463y x x =-++上是否存在点Q ，使得以P 、D 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）证明：正方形OABC ，OA OC ∴=，90AOP OCD ∠=∠=︒90OAP APO ∴∠+∠=︒OH AP ⊥，90COD APO ∴∠+∠=︒OAP COD ∴∠+∠，AOP OCD ∴∆∆≌OP CD ∴=（2）解：当点P 在线段OC 上时若AOP ABD ∆∆∽，AO AB =，AOP ABD ∴∆∆≌ ,2,2OP CD OP BD CD t ∴=∴===∴=当点P 在OC 延长线上时，如图1ADB ODC APO ∠>∠=∠∴若AOP DBA ∆∆∽，则AO OP DB AB= 可证AOP OCD ∆∆≌，OP CD ∴=，4DB PC t ∴==-444t t ∴=-，解得2t =-（舍去）或2t =+ 当点P 在CO 延长线上时，如图290COD ODC ∠+∠=︒，90HOP APO ∠+∠=︒又COD HOP ∠=∠，ODC APO ∴∠=∠ODC ADB ∠>∠，APO ADB ∴∠>∠∴若AOP DBA ∆∆∽，则AO OP DB AB= 可证AOP OCD ∆∆≌，OP CD ∴=,4DB PC t ∴==-444t t -∴=-，解得2t =+（舍去）或2t =-∴当AOP ∆与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，2t=或2+或2- （3）①若CD 为平行四边形的对角线则,DQ PC DQ PC =∥（i ）当点P 在线段OC 上时，如图3,,4OP t DC OP t DQ PC t =∴====-()8,Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 ()()21288463t t t --+-+=，解得2t =或4t =（舍去）（ii ）当点P 在CO 延长线上时，如图OP t =-，DC OP t ∴==-，4DQ PC t ==-()8,Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 ()()21288463t t t --+-+=，解得2t =（舍去）或4t =（舍去） ②若CD 为平行四边形的边则,PQ DC PQ DC =∥（i ）当点P 在OC 延长线上时，如图5,OP t PQ DC OP t =∴===(),Q t t ∴-，代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=-，解得2t =-（舍去）或12t = （ii ）当点P 在CO 延长线上时，如图6、图7OP t =-，PQ DC OP t ∴===-(),Q t t ∴或(),Q t t -把(),Q t t 代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=，解得6t =-或4t =（舍去） 把(),Q t t -代入212463y x x =-++，得 212463t t t -++=-，解得2t =-或12t =（舍去） 综上所述，抛物上存在点Q ，使得以P 、D 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形， t 的值为：12t =，212t =，36t =-，42t =-5.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的顶点)A ，()0,1C ，将AOC ∆沿AC 翻折得APC ∆．（1）求点P 的坐标；（2）若抛物线243yx bx c =-++经过P 、A 两点，试判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）设（2）中的抛物线与矩形OABC 的边BC 交于点D ，与x 轴交于另一点E ，点M 在x 轴上运动，N 在y 轴上运动，若以点E 、M 、D 、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M 、N 的坐标．解析：（1）在Rt OAC ∆中，OA =1OC =，30,OAC ∴∠=︒过P 作PQ OA ⊥于Q ，如图1⑦在Rt PAQ ∆中，60,PAQ AP ∠=︒=2OQ AQ ∴==，32PQ =，322P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭（2）将P 、A 两点坐标代入抛物线的解析式中，得：312240c c ⎧-++=⎪⎨⎪-++=⎩解得1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线的解析式为2413yx =-++ 当0x =时，1y =，∴点()0,1C 在该抛物线上（3）①若DE 是平行四边形的对角线，如图2点C 在y 轴上，CD x ∥轴，∴过点D 作DM CE ∥交x 轴于M ，则四边形EMDC 为平行四边形把1y =代入抛物线解析式，得点D的坐标为4⎛⎫ ⎪⎝⎭把0y =代入抛物线解析式，得点E的坐标为4⎛⎫- ⎪⎝⎭2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，N 点即为C 点，坐标是()0,1②若DE 是平行四边形的边，如图3、图4过点A 作AN DE ∥交y 轴于N ，四边形DANE 是平行四边形2DE AN ∴====3ON OA =，30EAN ∴∠=︒ ,30AN DE DEA EAN ∴∠=∠=︒∥)(),0,1M N ∴- 同理过点C 作CM DE ∥交x 轴于M ，四边形CMED 是平行四边形()(),0,1M N ∴6.如图，已知抛物线211:4C y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称，点A 、B 的对称点分别是E 、D ，连接CD 、CB ，设AD m =．（1）当2m =时，求b 的值；（2）若点P 是抛物线1C 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），试判断点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2C 上，请说明理由；（3）将CDB ∆沿直线BC 折叠，点D 的对应点为G ．是否存在实数m ，使得四边形CDBG 为平行四边形，且点G 恰好落在抛物线2C 上，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵抛物线211:4C y x bx c =-++的对称轴为直线2x b = 抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称∴抛物线2C 的对称轴为直线2x b =-12,222,2m b b b =∴--=∴=- （2）∵抛物线211:4C y x bx c =-++，抛物线2C 与抛物线1C 关于y 轴对称 ∴抛物线221:4C y x bx c =--+ 设(),P x y 是抛物线1C 上任意一点(0)y ≠则点P 关于原点的对称点()11,Qx y --，且21114y x bx c =-++ 将点Q 的横坐标代入抛物线2C 的解析式 得2111114Q y x bx c y y =-++=≠- ∴点Q 不在抛物线2C 上（3）存在B 、D 关于y 轴对称，点C 在y 轴上，CD CB ∴=由折叠知CG CD =∵四边形CDBG 是平行四边形，CD BG ∴=CB CG BG ∴==，CGB ∴∆是等边三角形CDB ∴∆是等边三角形假设点G 恰好落在抛物线2C 上由抛物线和等边三角形的对称性可知B 点一定在抛物线2C 的对称轴上BD BE AD m ∴===1,2OD OB m ∴==31,0,,022A m B m ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭CDB ∆为等边三角形，2c CO m ∴=== 对于抛物线211:4C y x bx c =-++，根据根与系数的关系，有31422m m c -⋅=-314222m m m ∴-⋅=-⨯0,3m m ≠∴=∴存在实数3m =，使得四边形CDBG 为平行四边形，且点G 恰好落在抛物线2C 上 7.已知抛物线212y x c =+经过点()3,5A -，顶点为Q ，点P 是y 轴上位于点Q 上方的一个动点，连接AP 并延长，交抛物线于点B ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为C 、D ，连接AQ 、BQ ．（1）求抛物线的解析式；（1）当A 、Q 、B 三点构成直角三角形时，求点P 的坐标；（2）当AC 、AP 、BD 、BP 四条线段构成平行四边形时，求点P 的坐标．解析：（1）∵抛物线212y x c =+经过点()3,5A - ()21532c ∴=⨯-+，12c ∴= ∴抛物线的解析式为21122y x =+（2）21122y x =+，10,2Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭①若90AQB ∠=︒过点Q 作EF x ∥轴，分别交AC 、BD 于E 、F 则195,322AE AC EC EQ =-=-== 易证AEQ QFB ∆∆∽，AE EQ QF FB ∴= 32AE FQ QE FB ∴== 设13,22B m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，得49m = 425,318B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭可得直线AB 的解析式为5562y x =-+ 50,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ ②若90QAB ∠=︒过点Q 作QE x ∥轴，交AC 于E()13,5,0,,22A Q AQ ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭易证AEQ QAP ∆∆∽，PQ AQ AQ AE ∴=，2132AQ PQ AE ∴== ()0,7P ∴③若90ABQ ∠=︒过点A 、Q 分别作x 轴的平行线，交BD 于E 、F 设211,22B n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则3,AE n QF n =+= 22119152222BE n n =--=-，2211112222BF n n =+-= 可证ABE BQF ∆∆∽，AE BE BF QF∴= 229132212n n n n -+∴=，即()()23340n n n +-+= 30n ∴+=，得3n =-（舍去）或2340n n -+=，方程无实数解∴当ABQ ∆为直角三角形时，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或()0,7 （3）①若AC BD =，AP BP =，此时点A 与点B 关于y 轴对称()5,0,5OP AC P ∴==∴②若ACAP =，设()0,P y ，则()29525y +-= 解得1y=或9y = 当1y =时，则()0,1P此时直线AP 解析式为413yx =-+ 与抛物线的交点B 为19()35，59BP BD ∴=== 此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段能构成平行四边形()0,1P ∴符合题意当9y =时，则()0,9P此时直线AP 解析式为493y x =+ 与抛物线的交点B 为17149()39，过P 作PE BD ⊥于E ，则1731739PE ⨯==， 149684179999BE ⨯=-== 51785149999BP ⨯∴==<，即BP BD < 此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段不能构成平行四边形()0,9P ∴不符合题意 ③若AC BP =，则点P 必在点A 上方，AP BD ≠此时AC 、AP 、BD 、BP 四条线段不能构成平行四边形∴满足条件的点P 的坐标为()0,5或()0,1 8.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3)2，．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交CD 于点F ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P ，使45PCF ∠=︒，请直接写出相应的点P 的坐标．解析：（1）在直线解析式122y x =+中，令0x =，得2y =， (02)C ∴，．∵点(02)C ，、7D(3)2，在抛物线2y x bx c =-++上， 27932c b c =⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：2722yx x =-++．（2）PF OC ∥，且以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形，2PF OC ∴==， ∴将直线122y x =+沿y 轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y 轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个． 将直线122y x =+沿y 轴向上平移2个单位，得到直线142y x =+， 联立2142722y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得121,2x x ==，121,2m m ∴==； 将直线122y x =+沿y 轴向下平移2个单位，得到直线12y x =， 联立212722y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得3433,22x x +-==（在y 轴左侧，不合题意，舍去），32m +∴=． ∴当m 为值为12，或2时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P 的横坐标为m ，则271,2,,222P m m m F m m ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由答图2所示，过点C 作CM PE ⊥于点M ，则,2CM m EM ==，12F FM y EM m ∴=-=， tan 2CFM ∴∠=．在Rt CFM ∆中，由勾股定理得：2CF m =． 过点P 作PN CD ⊥于点N ，则tan tan 2PN FN PEN FN CFMFN =⋅∠=⋅∠∠=45PCF ∠=︒，PN CN ∴=，而2PN FN =，,22FN CF m PN FN ∴====，在Rt PFN ∆中，由勾股定理得：52PF m ==． 227122322P F PF y y m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-=-++-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2532m m m ∴-+=， 整理得：2102m m -=，解得0m =（舍去）或12m =， 17()22P ∴，； 同理求得，另一点为2313()618P ，． ∴符合条件的点P 的坐标为17()22，或2313()618，．9.如图，抛物线22y x x c =-+的顶点A 在直线:5l y x =-上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断ABD ∆的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P ，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵顶点A 的横坐标为212x-=-=，且顶点A 在5y x =-上 ∴当1x =时，154y =-=-()1,4A ∴-（2）ABD ∆是直角三角形将(14)A -，代入22y x x c =-+，得124c -+=-，3c ∴=-223y x x ∴=--，(03)B ∴-，当0y =时，2230x x --=，121,3x x ∴=-=(10)C ∴-，，(30)D ，22218BD OB OD =+=，()2224312AB =-+=，()22231420AD =-+= 222BD AB AD +=，90ABD ∴∠=︒即ABD ∆是直角三角形（3）存在．由题意知：直线5yx =-交y 轴于点(05)E -，， 交x 轴于点(50)F ，5OE OF ∴==，又3OB OD ==OEF ∴∆与OBD ∆都是等腰直角三角形BD l ∴∥，即PA BD ∥则构成平行四边形只能是PADB 或PABD ，如图,过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线并交于点G设11(5)P x x -，，则1(15)G x -， 则11PG x =-，11541AG x x =--=-PA BD ==由勾股定理得：()()22111118x x -+-=，12x ∴=-或24x =(27)P ∴--，或(41)P -，∴存在点(27)P --，或(41)P -，使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形 是平行四边形10.抛物线2y axbx c =++与x 轴交于(20)A -，、(40)B ，两点，与y 轴负半轴交于点C ，且12ABC S ∆=．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上一点，若以O 、P 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标；（3）如图2，过点A 作AM AC ⊥交抛物线于点M ，交y 轴于点D ，直线x m =与抛物线交于点Q ，与直线AM 交于点R ．问是否存在这样的m ，使C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形？若存在，求出m 的值，若不存在；说明理由．解析：（1）(20)A -，、(40)B ，2,46OA OB AB ∴===，1161222ABC S AB OC CO ∆=⋅=⨯⋅=，4OC ∴= ∵点C 在y 轴负半轴上，(04)C ∴-，42016404a b c a b c c -+=⎧⎪∴++=⎨⎪=-⎩解得1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2142y x x =-- （2）易知ABC ∆为锐角三角形∴若以O 、P 、B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，点P 只能在线段BC 上过P 作PE OB ⊥于E ，设PE t = 当OP AC ∥时，OBP ABC ∆∆∽ 则EP OB OC AB =，446t ∴=，83t ∴= 4OB OC ==，45OBC ∴∠=︒BE PE t ∴==， 84433OE OB BE ∴=-=-= 148()33P ∴-， 当BPO BAC ∠=∠时，PBO ABC ∆∆∽过A 作AH BC ⊥于H，则2AH AB ==EP OB AH BC ∴=，=，3t ∴=431OE ∴=-=2(13)P ∴-，（3）,AD AC ODA OAC ⊥∴∆∆∽OD OA OA OC∴=，224OD ∴= 1OD ∴=，5CD ∴=，(01)D ，， 设直线AM 的解析式为y kx b =+则201k b b -+=⎧⎨=⎩解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AM 的解析式为112y x =+ 设21(4)2Q m m m --，，则1(1)2R m m +，QR CD ∥，∴当QR CD =时，C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形 2114(1)522m m m ∴---+=解得32m ±= 或2111(4)522m m m +---= 解得0m =（舍去）或3m =∴当32m ±=或3m =时，C 、D 、Q 、R 四点构成平行四边形。

2005—2017河北中考压轴题28、[2005河北]如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB 时，求∠BQP 的正切值； （4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形． ∴PM=DC=12．∵QB=16﹣t ，∴S=21×12×（16﹣t ）=96﹣6t （0≤t ＜16）； （2）由图可知：CM=PD=2t ，CQ=t ．以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ ． 在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122，由PQ 2=BQ 2得t 2+122=（16﹣t ）2，解得t=27； ②若BP=BQ ．在Rt △PMB 中，BP 2=（16﹣2t ）2+122．由BP 2=BQ 2得：（16﹣2t ）2+122=（16﹣t ）2 即3t 2﹣32t+144=0．由于△=﹣704＜0，∴3t 2﹣32t+144=0无解，∴PB ≠BQ ．③若PB=PQ ．由PB 2=PQ 2，得t 2+122=（16﹣2t ）2+122整理，得3t 2﹣64t+256=0．解得t 1=316，t 2=16（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t=27秒或t=316秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形． （3）如图，由△OAP ∽△OBQ ，得BQ AP =OB AO =21．∵AP=2t ﹣21，BQ=16﹣t ，∴2（2t ﹣21）=16﹣t ．∴t=558．过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ．∵PD=2t ，ED=QC=t ，∴PE=t ．在Rt △PEQ 中，tan ∠QPE=293012==t PE QE ．又∵AD ∥BC ， ∴∠BQP=∠QPE ，∴tan ∠BQP=2930； （4）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ．如图，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E ．由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，得EQPEBC DC =，即121612t =．解得t=9． 所以，当t=9秒时，PQ ⊥BD ．点评：梯形的问题可以通过作高线可以转化为直角三角形与矩形的问题．并且要理解以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，应分①若PQ=BQ ，②若BP=BQ ，③若PB=PQ ．三种情况进行讨论．28．（本小题满分12分）(2006河北)如图13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．26．（2007•河北）（本小题满分12分）如图16，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．26．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C此时，QC =35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD =QC ，由QC =3t ，BA +AP =5t 得50＋75－5t =3t ，解得t =1258．经检验，当t =1258时，有PQ ∥DC ．………（4分）（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH = AD =75，于是BF =CH =30．∴DH =AF =40． 又QC =3t ，从而QE =QC ·tan C =3t ·CHDH=4t ． （注：用相似三角形求解亦可）图13A PC图9H 图8∴S =S ⊿QCE =12QE ·QC =6t 2；………………………………………………………（6分）②当点E 在DA 上运动时，如图8．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由①知DH =40，CH =30，又QC =3t ，从而ED =QH =QC －CH =3t －30．∴S = S 梯形QCDE =12(ED ＋QC )DH =120 t －600．…………………………（8分）（4）△PQE 能成为直角三角形． ……………………………………………………（9分） 当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35． …（12分）（注：（4）问中没有答出t ≠1558或t =35者各扣1分，其余写法酌情给分） 下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：①当点P 在BA （包括点A ）上，即0＜t ≤10时，如图9．过点P 作PG ⊥BC 于点G ，则PG =PB ·sin B =4t ，又有QE =4t =PG ，易得四边形PGQE 为矩形，此时△PQE 总能成为直角三角形．②当点P 、E 都在AD （不包括点A 但包括点D ）上，即10＜t ≤25时，如图8． 由QK ⊥BC 和AD ∥BC 可知，此时，△PQE 为直角三角形，但点P 、E 不能重合，即 5t －50＋3t －30≠75，解得t ≠1558． ③当点P 在DC 上（不包括点D 但包括点C ）， 即25＜t ≤35时，如图10．由ED ＞25×3－30=45， 可知，点P 在以QE =40为直径的圆的外部，故 ∠EPQ 不会是直角．由∠PEQ ＜∠DEQ ，可知∠PEQ 一定是锐角． 对于∠PQE ，∠PQE ≤∠CQE ，只有当点P 与C 重合，即t =35时，如图11，∠PQE =90°，△PQE 为直角三角形．综上所述，当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35． 26．(2008河北)（本小题满分12分）如图15，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）． （1）两点间的距离是 ；（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由；（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；（4）连结，当时，请直接．．写出的值． Rt ABC △90C ∠=50AB =30AC =D E F ，，AC AB BC ，，PD DE EF FC CD ---Q B BA Q QK AB ⊥BC CA -G P Q ，P D Q P Q ，t 0t >D F ，QK CDEF t P EF FC -P QK t PG PG AB ∥t图15图10(P )图1126．解：（1）25． （2）能．如图5，连结，过点作于点， 由四边形为矩形，可知过的中点时，把矩形分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时．由，，得．故． （3）①当点在上时，如图6． ，，由，得． ． ②当点在上时，如图7． 已知，从而，由，，得．解得．（4）如图8，；如图9，． （注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上续上行到点时，行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；当时，点均在上，不存在）DF F FH AB ⊥H CDEF QK DF O QK CDEF 12.5QH OF ==20BF =HBF CBA △∽△16HB =12.5161748t +==P EF 6(25)7t ≤≤4QB t =7DE EP t +=PQE BCA △∽△7202545030t t--=21441t ∴=P FC 6(57)7t ≤≤4QB t =5PB t =735PF t =-20BF =573520t t =-+172t =213t =39743t =PG AB ∥6027t <≤PG AB ∥G F 4t =P E EF P EF PG AB ∥6577t ≤≤P G ，FC ∥P G C CD 6787t <<PG AB ∥810t ≤≤P G ，CD PG AB ∥E B图5B图6B图7B 图8B图9如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 26．解：（1）1，；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴． 由△AQF ∽△ABC ，，得．∴． ∴，即．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4． ∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得，即． 解得． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得， 即． 解得．（4）或． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． ，．由，得，解得．方法二、由，得，进而可得，得，∴．∴．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．，】853AP t =-4BC 45QF t =45QF t =14(3)25S t t =-⋅22655S t t =-+AQ AP AC AB =335t t -=98t =AQ APAB AC=353t t -=158t =52t =4514t =PC t =222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--22PC QC =22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--52t =CQ CP AQ ==QAC QCA ∠=∠B BCQ ∠=∠CQ BQ =52AQ BQ ==52t =22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--4514t =图16P图4图3FP图5如图16，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，AD = 6，BC = 8，，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由． 解答：解：（1）y=MP+MQ=2t ； （2）当BP=1时，有两种情形：①如图1，若点P 从点M 向点B 运动，有MB==4，MP=MQ=3，∴PQ=6．连接EM ，∵△EPQ 是等边三角形，∴EM ⊥PQ ．∴．∵AB=，∴点E 在AD 上．∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ，其面积为．②若点P 从点B 向点M 运动，由题意得t=5． PQ=BM+MQ ﹣BP=8，PC=7．设PE 与AD 交于点F ，QE 与AD 或AD 的延长线交于点G ， 过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则HP=，AH=1．在Rt △HPF 中，∠HPF=30°，∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，∴点G 与点D 重合，如图2． 此时△EPQ 与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG ，其面积为．（3）能，此时，4≤t≤5．过程如下：如图，当t=4时，P 点与B 点重合，Q 点运动到C 点，此时被覆盖线段的长度达到最大值，∵△PEQ 为等边三角形，∴∠EPC=60°，∴∠APE=30°，而，∴AF=3，BF=6，∴EF=FG=2，∴GD=6﹣2﹣3=1，所以Q 向右还可运动1秒，FG 的长度不变，∴4≤t≤5．90B ∠=︒33=AB PQ图16（备用图）26、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．（1）求c，b （用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=﹣t；（2）①不变．∵抛物线的解析式为：y=x2﹣tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM=|1﹣t|=t﹣1，∵OP=t，∴AP=t﹣1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6．解t2﹣t+6=，得：t1=，t2=，∵4＜t＜5，∴t1=舍去，∴t=．（3）＜t＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4且＜t＜，解得＜t＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t的取值范围是：＜t＜．如图和图152-，在ABC△中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究 在如图151-，A H B C ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积ABC S △=___________．拓展 如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，（当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0. （1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.151-一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）．探究 如图17-1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′ 交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题：（1）CQ 与BE 的位置关系是___________，BQ 的长是____________dm ； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液 = 底面积SBCQ ×高AB ） （3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展 在图17-1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC = x ，BQ = y .分别就图17-3和图17-4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围.[温馨提示：下页还有题！]延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm ，BM = CM ，NM ⊥BC .继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm 3.26．（13分）（2014•河北）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．探究：设行驶吋间为t分．（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？26. （2015•河北）(本小题满分14分)平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图15－1摆放，分别延长DA 和QP交于点O ，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为)600(︒≤≤︒a a .发现：(1)当︒=0a ，即初始位置时，点P 直线AB 上.(填“在”或“不在”)求当a 是多少时，OQ 经过点B ？ (2)在OQ 旋转过程中，简要说明a 是多少时，点P ，A 间的距离最小？并指出这个最小值；如图15－2，当点P 恰好落在BC 边上时，求a 及阴影S .拓展：如图15－3，当线段OQ 与CB 边交于点M ，与BA 边交于点N时，设BM=x(x >0)，用含x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围.探究：当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin a 的值.15－1图15－2图图15－326. （2016•河北）（本小题满分12分）如图，抛物线L: 1()(4)2y x t x t =---+（常数t >0）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线(0,0)ky k x x =>>于点P ，且OA ·MP =12.（1）求k 值；（2）当t =1时，求AB 长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；（3）把L 在直线MP 左侧部分的图象（含与直线MP 的交点）记为G ，用t表示图象G 最高点的坐标；（4）设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接．．写出t 的取值范围.25. （2017•河北）平面内，如图，在中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．(1)当时，求的大小；(2)当时，求点与点间的距离(结果保留根号)；(3)若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积(结果保留)．【解析】(2)如图2，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，连接BQ .∵tan∠ABP :tan A =，∴AH :HB =3:2.而AB =10，∴AH =6，HB =4.在Rt △PHA 中，PH =AH ·tanA =8.∴PQ =PB∴在Rt △PQB 中，QB=ABCD 10AB =15AD =4tan 3A =P AD PB PB P 90︒PQ 10DPQ ∠=︒APB ∠tan :tan 3:2ABP A ∠=Q B Q ABCD PB PQ π:3:2PHPHHB AH ==考点：邻补角的定义，解直角三角形，勾股定理，扇形的面积，分类思想.。

九年级中考压轴——动点问题集锦1、已知等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动。

过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒。

1) 当四边形MNQP为矩形时，有MN=QP，即MN在运动t秒后，线段QP的长度为3+t。

因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的面积为2根号3*t平方+2t。

2) 四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。

因为三角形ABC是等边三角形，所以三角形ABC的高等于边长的一半，即2根号3.因此，四边形MNQP的高为2根号3.由于四边形MNQP是矩形，所以MN=QP=3+t，PQ=2根号3.因此，S=PQ*MN=2根号3*(3+t)。

函数关系式为S=2根号3*t+6根号3，t的取值范围为t≥0.2、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45度。

动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。

设运动的时间为t 秒。

1) 因为三角形ABD和三角形CBD相似，所以BD=AB-AD=39.由于三角形BCD是直角三角形，所以BC=BD/根号2=39/根号2.2) 当MN∥AB时，由于三角形BMD和三角形BAC相似，所以BD/AB=MD/MN，即39/42=2t/(3+t)，解XXX13秒。

3) 当△MNC为等腰三角形时，由于三角形MNC和三角形ABD相似，所以CN/AD=MN/BD，即CN/3=(3+t)/39，XXX13秒。

3、在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上。

动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点。

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P到达点A时，点Q正好到达点C. 设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.(1)分别求出梯形中BA，AD的长度；(2)写出图3中M，N两点的坐标；(3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.评析本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的关键是从函数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象.2 以双动点为载体，探求结论开放性问题例2 (2007年泰州市)如图5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求∠BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.(4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有几个?请说明理由.解(1)∠BAO=60°.(2)点P的运动速度为2个单位/秒.评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有区分度，是一道具有很好的选拔功能的好题. 解决本题的关键是从图象中获取P 的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.3 以双动点为载体，探求存在性问题例3 (2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米；(2)若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN 的面积都相等?若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t 的代数式表示PM ，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与a 的函数关系式，再利用t 的范围确定的a 取值范围. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题例4 (2007年吉林省)如图9，在边长为82cm 的正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A 、C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt △ACD 的直角边于G ，连结HG 、EB.设HE 、EF 、FG 、GH 围成的图形面积为S 1，AE 、EB 、BA 围成的图形面积为S 2(这里规定：线段的面积为0).E 到达C ，F 到达A 停止.若E 的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0<X(2)①若y 是S 1与S 2的和，求y 与x 之间的函数关系式； (图10为备用图) ②求y 的最大值.解 (1)以E 、F 、G 、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长为82，所以AC=16，过B 作BO ⊥AC 于O ，则OB=89，因为AE=x ，所以S 2=4x ，因为HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以S 1=x(16-2x)， 当S 1=S 2时， 4x=x(16-2x)，解得x 1=0(舍去)，x 2=6，所以当x=6时， S 1=S 2.(2)①当0≤x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ，当8≤x≤16时，AE=x ，CE=HE=16-x ，EF=16-2(16-x)=2x-16，所以S 1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0≤x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y 的最大值为50. 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当x=13时，y 的最大值为82. 综上可得，y 的最大值为82.评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用.专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

包头市（数学）中考---动点专题1．（本小题满分12分）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？2 .如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm ，点D 在BC 上，且CD =3 cm ，现有两个动点P ，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1 厘米／秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1 . 25 厘米／秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P 作P E ∥ BC 交AD 于点E ，连接EQ 。

设动点运动时间为t 秒（t > 0 )。

（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP 能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接P Q ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB 平行。

为什么？（3）当t 为何值时，△EDQ 为直角三角形。

3．（12分）（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A 是∠MON 内部的一点，过点A 作AB ⊥ON ，垂足为点B ，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E ，F 同时从O 点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON 方向运动，点F 以2厘米/秒的速度沿OM 方向运动，EF 与OA 交于点C ，连接AE ，当点E 到达点B 时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF 与△ABO 是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF ⊥OA ．为什么？（3）连接AF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得S △AEF =S 四边形ABOF ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． A Q C D B PA B C D E G H O F4．(10分)如图，等边△ABC 的边长为12cm ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE＝4cm ，若点F 从点B 开始以2cm/s 的速度沿射线BC 的方向运动，设点F 的运动时间为t s ，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ．(1)设△AEG 的面积为S cm 2，求S 与t 的函数关系式．(2)在点F 运动的过程中，试猜想△FGH 的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由．(3)请直接写出t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．5．(10分)在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝90º．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 或其延长线于点E 、F ，图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况．(1)三角板绕点O 旋转，△COF 能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出△COF 是等腰直角三角形时BF 的长)；若不能，请说明理由．(2)三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图①或图②加以证明．(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处(如图③)，当AP ∶AC ＝1∶4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．3.考点： 相似形综合题．AA AB B B O OP C F C E F E CE F 图①图② 图③分析：（1）运用=和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，求出t的值．解答：解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6∵S△AEF=S四边形ABOF∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，解得t=或t=．∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．5.点本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF求t的评：值．。

动点问题题型方法归纳问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别----动态几何特点）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点3??6yx?QP、Q OBA、A、直线沿点，运动停止．点同时从1两点，动点点出发，同时到达与坐标轴分别交于4OOAABP→→运动，速度为每秒1个单位长度，点运动．线段沿路线B、A）直接写出两点的坐标；（1OPQ△Qtt SS 2）设点的面积为的运动时间为之间的函数关系式；秒，，求出与（48?SQP、O、MP的坐标，并直接写出以点的坐标．为顶点的平行四边形的第四个顶点时，求出点（3）当5y所有时间分段分类；）问按点P到拐点B提示：第（2B探究第四点构成平行四边形时按已知线段身，、Q第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P为边。

OQ为对角线，③OP为对角线、为边、OQ为边，②OP为边、OQ①份不同分类-----OP 然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

Px Q O AABC=60o．AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠2、如图，O的直径；（1）求⊙相切；BD长为多少时，CD与⊙OCD（2）若D是AB延长线上一点，连结，当方向运动，BC1cm/s的速度从B点出发沿的速度从以2cm/sA点出发沿着AB方向运动，同时动点F以（3）若动点E)?t?2(ts)(0t为何值时，△BEF设运动时间为为直角三角形．，连结EF，当提示：第（3）问按直角位置分类讨论CC CF FE ABABADOEOB O3）2）图（图（1）图（23?3?1)?ya(x)02，A(?ADOM∥?a0OD过作射线如图，3、已知抛物线抛物线的顶点为经过点，．，（过）xx BCCOMBD轴正半轴上，连结．顶点平行于轴的直线交射线于点，在10/ 101 / 1（1）求该抛物线的解析式；t(s)t OMOPP为何值运动的时间为个长度单位的速度沿射线（2）若动点运动，设点从点．问当出发，以每秒1DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？时，四边形Q OOBOC?BP同时出发，分别以每秒1个长度单位和（3）若分别从点2和点，动点个长度单位的速度沿和动点(s)PQtt BOOC为当，和，连接运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为BCPQPQ的长．的面积最小？并求出最小值及此时何值时，四边形M yD C的面积最小。