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江苏省南京市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1 ()1xxef xe+=-（其中e是自然对数的底数）的大致图像为（）A． B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x∈R且0x≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x xxx xxe eef x f xe ee----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 3．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ． B ．C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为，服从二项分布，故.故选：. 【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 7．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i + C ．13i + D ．13i -【答案】D 【解析】 【分析】直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.8．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A． B．C．D．【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h，则2O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =.故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 10．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.11．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=L .故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题. 12．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{4，5}2．四3．304．345．－56．257．348．69．－110．211．1412．57713．210＋214．(－∞，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A cos C ，得(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin C cos A ，······2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，·······························································4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．·········································6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．·········8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．·························10分所以cos B ＝13．···············································································12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．····································14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．·············································································2分因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60º，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos60º＝3．····4分因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ．······················6分又因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB ．····································8分（2）因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．····································································10分又因为BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．················································································14分17．(本小题满分14分)解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，设l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34，或k ＝0（舍）．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．…………………………………………4分点C (160，75)到l 的距离ABC PQHM Nxy（第17题图）CH ＝|3×160－4×75|32＋(－4)2＝36．········································································6分因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12．················8分又因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3MCN ＝2∠MCH ＝2π3，·········12分所以所用时长为30×2π32π＝10min ．····························································13分答：该游客能看到点B 的时长为10min ．····················································14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．·························································2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．①····································4分因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23．·································································6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263．······························8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，x ＋m ，y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23．…………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝1m ．·······························································14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m ＝1．……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，x －x 0＋y 0，y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．·····································································2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………………………………………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2.设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12)，则m (0)＝－a ＜0，m (12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．·····························································································6分（ii ）若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………………………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．………………………………………………………10分②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．………………………………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………………………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b2＞0，即1b ＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ．由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r ．因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2(*)；由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5(**)；由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1．·······················································2分（2）①（i ）若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1．因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1．······················3分（ii ）当q ≠1，因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r)1－q＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12．························································5分当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132．综上，q ＝－12或q ＝－132．·····························································6分②因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t)1－q＝r ，两式作商，得1－q r1－q t ＝t r，即r (1－q r )＝t (1－q t )．·····································8分（i ）若r 为偶数，t 为奇数，则r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )．因为r ＜t ，0＜1－|q |r ＜1，1＋|q |t ＞1，所以r (1－|q |r )＜t (1＋|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )矛盾，所以假设不成立．·························10分（ii ）若r 为偶数，t 为偶数，则r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )．设函数y ＝x (1－a x )，0＜a ＜1,则y '＝1－a x －xa x ln a ，当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x (1－a x )在(0，＋∞)为增．因为r ＜t ，所以r (1－|q |r )＜t (1－|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立．··························12分(iii)若r 为奇数，t 为奇数，则r (1＋|q |r )＝t (1＋|q |t )．设函数y ＝x (1＋a x )，0＜a ＜1,则y '＝1＋a x ＋xa x ln a ．设g (x )＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g '(x )＝a x ln a (2＋x ln a )，令g '(x )＝0，得x ＝－2ln a．因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g '(x )＞0，则g (x )在区间(－2ln a，＋∞)递增；当0＜x ＜－2ln a ，g '(x )＜0，则g (x )在区间(0，－2ln a)递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a－2ln a．因为－2ln a ＞0，所以a－2ln a＜1，所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．··························14分(iv)若r为奇数，t为偶数．由①知，存在等比数列{a n}为“M(1，2)数列”．综上，r为奇数，t为偶数．·································································16分南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M 2＝21122112＝5445．························································4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝|λ－2－1－1λ－2|＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．·········································6分①当λ＝1时，2112[x y ]＝[x y ]＋y ＝0，＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为[1－1]．··················8分②当λ＝3时，2112[x y ]＝3[x y ]－y ＝0，－y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为[11]．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为[1－1]，[11]．·····10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为：x －3y －2＝0．··················································2分曲线C 的普通方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2．………………………………………4分圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，……………………………6分所以r ＝d 2＋(AB2)2＝3．………………………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z )2．·······················4分因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z )2≤36，·············································6分所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6．当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23，或x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，·································8分所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6．································································10分22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………………………………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2＝2x ，＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．··································································4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k ．···································································6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k(x －2)，＝1k ，＝－1k (x －2)，·········································································8分＝1，＝1k，即P (1，1k )，所以，点P 在定直线x ＝1上．·····························································10分23．（本小题满分10分）解：（1）在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1．···················································································2分在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2．···················································································4分（2）当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*．··············································6分因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3)＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．···················8分因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋5]是3的倍数．由①，②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．·························10分高三数学答案第11页共11页。
2019届江苏省百校联考高三考前模拟密卷（三）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合则 .【答案】【解析】试题分析：．故答案应填：【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2.“”是“”的________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】x>2,或x<0.得“x＞2”是“” 充分不必要.【详解】 x>2,或x<0.根据充分不必要的定义，判断出“x＞2”是“” 充分不必要.故答案为：充分不必要【点睛】本题考查的是不等式的解法和充分不必要的判断，属于基础题.3.命题“若，则”的否命题为____________．【答案】若，则【解析】试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若，则．考点：四种命题及其相互关系．4.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】根据根式的被开方式非负和对数的真数大于0，列出不等式求出即可；【详解】,故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域，就是使各个式子有意义即可，属于基础题.5.函数在上为奇函数，且时，，则当时， ________.【答案】【解析】试题分析：∵为奇函数，时，，∴当时，，，即时，，故答案为：. 考点：函数解析式的求解及常用方法.6.曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。
南京市达标名校2019年高考三月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-2．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A．B ．C．D．3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．354．数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A ．1021B ．2021C ．919D ．18195．已知函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞6．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3B．5C D ．7．若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A．2B ．32C ．2D ．128．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．439．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+10．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n11．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．2312．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S 7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，∠PBC＝∠BAD＝90°.求证：(1) BC⊥平面P AB；(2) AD∥平面PBC.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1) 求a 的值；(2) 设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .(1) 试用解析式将y 表示成x 的函数；(2) 求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.(1) 若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；(2) 如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．(1) 请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；(2) 若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；(3) 若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2.22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z|＝22. 3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a<0或a>2，∴ “a>2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16 解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k>0且k ×1－1≥2×1－12，∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e<1，∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a<7，∴ －6<a<－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13.55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55. 14. (1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x＋4，x ＜0，ln x ＋1x ，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2.15. 证明：(1) 如图，在平面PAB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面PAB ， 所以PH ⊥平面ABCD.(4分)而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC. 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC.又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB, 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ， 故在平面ABCD 中，AD ∥BC.(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝12bc sin A ，∴ 12·4·c sin π3＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分) (2) ∵a sin A ＝b sin B ，∴ 23sinπ3＝4sin B，∴ sin B ＝1. 又0<B<π，∴ B ＝π2，C ＝π6，∴ f(x)＝2(cos C sin x －cos A cos x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12，得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(14分)17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π4， 由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y5，则tan (∠COF ＋∠AOE)＝x 4＋y51－xy 20＝1，即有y ＝20－5x 4＋x，由0≤y ≤4⇒49≤x ≤4，则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x ⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4.(6分)(2) 三角形池塘OEF 的面积S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF ＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（5－x ）2＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4， 令t ＝x ＋4⎝⎛⎭⎫409≤t ≤8，即有S ＝10＋12⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160t，即t ＝42时取“＝”，此时x ＝(42－4)m ，∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分) 18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝12. 设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，32，得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则满足x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 224＋y 21－y 22＝0，化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0. 因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 22， 当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12； 当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝12时l 与OP 重合；综上，直线l 的斜率为除12以外的任意实数．(8分) ② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故PA →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 21＝0，得x 21＋y 21＝5，联立x 214＋y 21＝1，得y 21＝－13<0，舍去； 当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－12(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝12(t 2－1)，(13分) 故PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝52(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为y ＝－12x ＋1.(16分) 19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列，∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5，即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －1.(4分)(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n .又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －1＝a 2n ，∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p>q>r)成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －r ＋1.∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －r ＋1为奇数，∴ 2q －r ＋1≠2p －r ＋1，矛盾，故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分)② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a.∵ b n ＋1>b n 恒成立，∴ (n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a 恒成立，显然a ≠1.当0<a<1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a<1－1n ＋1恒成立，∴ 0<a<12； 当a>1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a>1－1n ＋1恒成立，∴ a>1. 综上所述，a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．(16分) 20. (1) 解：举例：函数f(x)＝1是“超导函数”，因为f(x)＝1，f ′(x)＝0，满足f(x)≥f′(x)对任意实数x 恒成立，故f(x)＝1是“超导函数”. (4分)(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分)(2) 证明：∵ F(x)＝g(x)h(x)，∴ F ′(x)＝g′(x)h(x)＋g(x)h ′(x)，∴ F(x)－F′(x)＝g(x)h(x)－g′(x)h(x)－g(x)·h ′(x)＝[g(x)－g′(x)][h(x)－h′(x)]－g′(x)h′(x)． ∵ 函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，∴ 不等式g(x)≥g′(x)与h(x)≥h′(x)对任意实数x 都恒成立，故g(x)－g′(x)≥0，h(x)－h′(x)≥0 ①，而g(x)与h(x)一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②， 由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立，∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分)(3) 解：∵ φ(1)＝e ，∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x 可化为φ（－x －ln x ）e x ln x＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）e x，x ∈R ， 则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）e x<0恒成立， ∴ G (x )在R 上单调递减，故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0，设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，则H ′(x )＝1＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立， 故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断， 故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16分)。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如下所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，∠PBC＝∠BAD＝90°.求证：(1) BC⊥平面P AB；(2) AD∥平面PBC.在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.(1) 求a 的值；(2) 设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .(1) 试用解析式将y 表示成x 的函数；(2) 求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.(1) 若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；(2) 如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．设函数f (x )的导函数为f ′(x )．若不等式f (x )≥f ′(x )对任意实数x 恒成立，则称函数f (x )是“超导函数”． (1) 请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；(2) 若函数g (x )与h (x )都是“超导函数”，且其中一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，求证：函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”；(3) 若函数y ＝φ(x )是“超导函数”且方程φ(x )＝φ′(x )无实根，φ(1)＝e(e 为自然对数的底数)，判断方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1.2.22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z|＝22. 3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a<0或a>2，∴ “a>2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16 解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k>0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b4c －a 2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e<1，∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a<7，∴ －6<a<－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13.55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55. 14. (1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x ，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e)∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面PAB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面PAB ， 所以PH ⊥平面ABCD.(4分)而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC. 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC.又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB, 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ， 故在平面ABCD 中，AD ∥BC.(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC.(14分)16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝12bc sin A ，∴ 12·4·c sin π3＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分) (2) ∵a sin A ＝b sin B ，∴ 23sinπ3＝4sin B，∴ sin B ＝1. 又0<B<π，∴ B ＝π2，C ＝π6，∴ f(x)＝2(cos C sin x －cos A cos x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12，得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(14分)17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π4， 由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y5，则tan (∠COF ＋∠AOE)＝x 4＋y51－xy 20＝1，即有y ＝20－5x 4＋x，由0≤y ≤4⇒49≤x ≤4，则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4.(6分)(2) 三角形池塘OEF 的面积S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（5－x ）2＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝⎛⎭⎫49≤x ≤4， 令t ＝x ＋4⎝⎛⎭⎫409≤t ≤8， 即有S ＝10＋12⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160t，即t ＝42时取“＝”， 此时x ＝(42－4)m ，∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分)18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝12. 设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，32，得b ＝1， 故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则满足x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 224＋y 21－y 22＝0， 化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0. 因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 22， 当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12； 当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝12时l 与OP 重合； 综上，直线l 的斜率为除12以外的任意实数．(8分) ② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故PA →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 21＝0，得x 21＋y 21＝5，联立x 214＋y 21＝1，得y 21＝－13<0，舍去；当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－12(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝12(t 2－1)，(13分) 故PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝52(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为y ＝－12x ＋1.(16分) 19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列，∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5，即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －1.(4分)(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n .又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －1＝a 2n ，∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p>q>r)成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －r ＋1.∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －r ＋1为奇数，∴ 2q －r ＋1≠2p －r ＋1，矛盾，故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分)② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a.∵ b n ＋1>b n 恒成立，∴ (n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a 恒成立，显然a ≠1.当0<a<1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ，得a<1－1n ＋1恒成立，∴ 0<a<12； 当a>1时，由(n ＋1)a n ＋1lg a>na n lg a ， 得a>1－1n ＋1恒成立，∴ a>1. 综上所述，a 的取值范围是(0，12)∪(1，＋∞)．(16分) 20. (1) 解：举例：函数f(x)＝1是“超导函数”，因为f(x)＝1，f ′(x)＝0，满足f(x)≥f′(x)对任意实数x 恒成立，故f(x)＝1是“超导函数”. (4分)(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分)(2) 证明：∵ F(x)＝g(x)h(x)，∴ F ′(x)＝g′(x)h(x)＋g(x)h ′(x)，∴ F(x)－F′(x)＝g(x)h(x)－g′(x)h(x)－g(x)·h ′(x)＝[g(x)－g′(x)][h(x)－h′(x)]－g′(x)h′(x)．∵ 函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，∴ 不等式g(x)≥g′(x)与h(x)≥h′(x)对任意实数x 都恒成立，故g(x)－g′(x)≥0，h(x)－h′(x)≥0 ①，而g(x)与h(x)一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②，由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立，∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分)(3) 解：∵ φ(1)＝e ，∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －ln x 可化为φ（－x －ln x ）e －x －ln x＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）e x，x ∈R ， 则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）e x<0恒成立， ∴ G (x )在R 上单调递减，故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0，设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，则H ′(x )＝1＋1x>0在(0，＋∞)上恒成立， 故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断，故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16分)。
2019年江苏省南京市秦淮区高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知全集U={1，2，3}，A={2}，则∁U A=______2.复数z=i（2+i）（其中i为虚数单位）的共轭复数为______3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5：5：4，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为______人．4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为______5.将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是______．6.曲线y=xcosx在x=π处的切线的斜率为______．7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=2，CC1=2，P是BC1的中点，则三棱锥C-A1C1P的体积为______．8.函数f（x）=cos（3x+π）在[0，π]的零点个数为______．9.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a2+a6=a8．若p-q=10．则a p-a q=______10.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+，双曲线C2的方程为-．C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为______．11.已知无盖的圆柱形桶的容积是12π立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为______元．12.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足EF=1，则•的最大值为______．13.在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为______．14.对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下两个条件：（1）对任意的x∈[0，1]总有f（x）≥0；（2）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）称为G函数．看h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上G函数，则实数a的取值范围为______ 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，四条侧棱长均相等．（1）求证：AB∥平面PCD；（2）求证：平面PAC⊥平面ABCD．16.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=-．（1）求sinC的值；（2）当c=2a，且b=3时，求△ABC的面积．17.运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为：20元、10元、50元．这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（m＞0），运输的路程为s（千米）．设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y1（元）、y2（元）、y3（元）．（1）请分别写出y1、y2、y3的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR•OS为定值．19.已知函数f（x）=e x+be-x-2asinx（a，b∈R）．（1）若a=0，b=1，求函数f（x）的单调区间；（2）b=-1时，若f（x）＞0对一切x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．20.对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列{a n}满足：a n-k•a n-k+1…a n-1•a n+1…a n+k-1•a n+k=（a n）2k对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“Q（k）数列”．（1）证明：等比数列{a n}是“Q（3）数列”（2）若数列{a n}既是“Q（2）数列”又是“Q（3）数列”证明：数列{a n}是等比数列．21.（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．22.已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数），若直线l与圆C相切，求实数m的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对a≠0，a、b∈R恒成立．求实数x的范围．24.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．（1）若m=，求直线AP与平面BDD1B1所成角；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有D1Q⊥AP，并证明你的结论．25.附加题：已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+a n（x-1）n，（其中n∈N*）S n=a1+a2+a3+…+a n．（1）求S n；（2）求证：当n≥4时，S n＞（n-2）2n+2n2．答案和解析1.【答案】{1，3}【解析】解：∵U={1，2，3}，A={2}，∴∁UA={1，3}，故答案为：{1，3}．根据补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】-1-2i【解析】解：∵z=i（2+i）=-1+2i，∴．故答案为：-1-2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】42【解析】解：设抽取的样本为n，则由题意得得n=42人，故答案为：42．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】15【解析】解：根据题中的程序框图，可得：T=1．I=3执行循环体，T=3，I=5不满足条件I＞6，执行循环体，S=15，I=7此时，满足条件I＞6，退出循环，输出T的值为15．故答案为：15．由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到本题答案．本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的T，I的值是解题的关键，属于基本知识的考查．5.【答案】【解析】解：将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，“点数之和等于6”包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，∴“点数之和等于6”的概率为p=．故答案为：．先求出基本事件总数n=6×6=36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6.【答案】-π【解析】解：∵y=f（x）=xcosx，∴f′（x）=cosx-xsinx，∴f ′（）=cos -sin =-，即y=xcosx在x=处的处的切线的斜率k=-．故答案为：-．求出函数的导数，利用导数的几何意义令x=，即可求出切线斜率即可．本题主要考查导数的计算，以及导数的几何意义，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．7.【答案】【解析】解：∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，AA1∩AC=A，∴AB⊥平面AA1C1C，∵P是BC1的中点，∴V=V =V ==．故答案为：．证明AB⊥平面AA1C1C，于是V=V =V．本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．8.【答案】3【解析】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：3由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设等差数列{an }的公差为d＞0，∵a1=1，且a2+a6=a8．∴2+6d=1+7d，解得d=．若p-q=10．则ap -aq=10d=．故答案为：．设等差数列{an }的公差为d＞0，根据a1=1，且a2+a6=a8．可得2+6d=1+7d，解得d，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：椭圆C1的方程为+=1，离心率e1=．双曲线C2的方程为-=1，离心率e2=．∵C1与C2的离心率之积为，∴×=．∴=，解得．∴C2的渐近线方程为．故答案为：．椭圆C1的方程为+=1，离心率e1=．双曲线C2的方程为-=1，离心率e2=．利用C1与C2的离心率之积为，即可得出．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】360π【解析】解：设桶的底面半径为r，高为h，则πr2h=12π，故h=，∴圆桶的造价为y=30•πr2+20•2πr•=30πr2+=30πr2++≥3=360π．当且仅当30πr2=即r=2时取等号，故答案为360π．设桶的底面半径为r，用r表示出桶的总造价，根据基本不等式得出最小值．本题考查了函数解析式求解及函数最值的计算，属于中档题．12.【答案】4【解析】解：建立平面直角坐标系，如图1所示；设E（2，a），F（b，1），∵EF=1，∴=1，即（a-1）2+（b-2）2=1；又•=2b+a，令a+2b=t，其中0≤a≤1，0≤b≤2；画出图形，如图2所示；当直线a+2b=t经过点F（0，2）时，t取得最大值t=4．故答案为：4．利用平面直角坐标系，设出点E、F的坐标，由EF=1可得（a-1）2+（b-2）2=1，利用数量积运算求得•=2b+a，再用线性规划的知识求出t=a+2b的最大值．本题考查了两点间的距离公式、平面向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，也考查了推理能力和计算能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则tan∠OPA=，tan∠OPB=，∴tan∠APB==，∵=|r+1|，∴a2=（r+1）2-4，∴tan∠APB==，∵∠APB的大小恒为定值，∴，∴|OP|=．设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长．本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：因为h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上G函数，所以对任意的x∈[0，1]总有f（x）≥0；则a ≥对任意的x∈[0，1]恒成立，解得a≥1，当a≥1时，f（x1+x2）-（f（x1）+f（x2））=a•22+1-a•2-a•2=a（2-1）（2-1）+1-a≥0恒成立，所以（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时恒成立，又（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时的最小值为0，即，所以a≤1，即a=1，故答案为：．由不等式恒成立问题常采用分离变量最值法得：a ≥对任意的x∈[0，1]恒成立，解得a≥1，又（2-1）（2-1）在x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时恒成立，即，所以a≤1，即a=1，得解．本题考查了不等式恒成立问题，通常采用分离变量最值法，属中档题．15.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．…（6分）（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结PO，在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，又PA=PB=PC=PD，故PO⊥AC，PO⊥BD，…（9分）又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，…（12分）又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．…（14分）【解析】（1）由矩形ABCD，对边平行得到AB∥CD，结合线面平行的判定定理得到AB∥平面PCD；（2）连结BD，交AC于点O，连结PO，由在矩形ABCD中，点O为AC，BD的中点，可得PO⊥AC，PO⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PO⊥平面ABCD，进而由面面垂直的判定定理得到平面平面PAC⊥平面ABCD．本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，属于中档题．16.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由已知可得1-2sin2C=-．所以sin2C=．因为在△ABC中，sinC＞0，所以sinC=．…（6分）（2）因为c=2a，所以sinA=sinC=．因为△ABC是锐角三角形，所以cosC=，cosA=．所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=．由正弦定理可得：，所以a=…（13分）所以S△ABC=absinC==．…（14分）【解析】（1）利用二倍角公式cos2C=1-2sin2C求解即可，注意隐含条件sinC＞0；（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA，cosA，cosC的值，又由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能，属于中档题．17.【答案】解：（1）y1=20s+，y2=10s+，y3=50s+，（2）∵m＞0，s＞0，故20s＞10s，＞，∴y1＞y2恒成立，故只需比较y2与y3的大小关系即可．令f（s）=y3-y2=40s-=（40-）s，故当40-＞0即m＜时，f（s）＞0，即y2＜y3，此时选择火车运输费用最省；当40-＜0即m＞时，f（s）＜0，即y2＞y3，此时选择飞机运输费用最省；当40-=0即m=时，f（s）=0，即y2=y3，此时选择火车或飞机运输费用最省．【解析】（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式；（2）作差比较y2，y3的大小关系得出结论．本题考查了函数解析式的求解，不等式的大小比较，属于基础题．18.【答案】解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（-2，0），则，，，，∴，，=（x1+2）2-==．…（6分）由于-2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），则θ，θθ，θ=（2cosθ+2）2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=θ．…（6分）故当θ时，取得最小值为，此时，，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：ααθαθα，令y=0，得αθαθαθ，同理：αθαθαθ，…（12分）故αθαθαθαθαθ．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）【解析】（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，-y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（-2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sin θ＞0，由T（-2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y），则直线MP 的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP 的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．19.【答案】解：（1）当a=0，b=1时，f（x）=e x+e-x，∴f′（x）=e x-e-x，令f′（x）=0，解得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；（2）当b=-1时，f（x）=e x-e-x-2asinx，由于f（x）＞0对一切x∈（0，π）恒成立，（2）当b=-1时，函数f（x）=e x-e-x-2asinx，又∵当x∈（0，π）时sinx＞0，∴f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立等价于2a＜恒成立，记g（x）=，其中0＜x＜π，则g′（x）=，令h（x）=e x（sinx-cosx）+e-x（sinx+cosx），则h′（x）=2（e x-e-x）sinx＞0，∴h（x）在（0，π）上单调递增，h（x）＞h（0）=0，∴g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，π）上单调递增，g（x）＞g（0），由洛必达法则可知，g（0）=′′==2，∴2a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．【解析】（1）求导，根据导数和函数单调性关系即可求出，（2）通过分离参数可知条件等价于2a ＜恒成立，进而记g（x）=，问题转化为求g（x）在（0，π）上的最小值问题，通过二次求导，结合洛必达法则计算可得结论．本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，涉及分离参数法等技巧，涉及罗比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题20.【答案】证明：（1）{a n}是等比数列，由等比数列的性质可得：a n-3•a n-2•a n-1•a n+1•a n+2•a n+3=a n-3•a n+3•a n-2•a n+2•a n-1•a n+1==．∴{a n}为“Q（3）数列”；（2）证明：{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，∴a n-2•a n-1•a n+1•a n+2=，（*）a n-3•a n-2•a n-1•a n+1•a n+2•a n+3=．可得：a n-3•a n+3=对于任意n∈N*（n≥4）都成立．∴a3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．∴n=3，4时，由（*）可得：，a2a3a5a6=，可得a1q=a2，a2q=a3．∴{a n}是等比数列．【解析】（1）由{an }是等比数列，由等比数列的性质可得：an-3•an-2•an-1•an+1•an+2•an+3=an-3•an+3•an-2•an+2•an-1•an+1==．即可证明；（2）{an }既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，可得an-2•an-1•an+1•an+2=，a n-3•an-2•an-1•an+1•an+2•an+3=．则an-3•an+3=对于任意n∈N*（n≥4）都成立．则a 3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．验证a1q=a2，a2q=a3得答案．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：矩阵M的特征多项式为λλ=（λ-1）（λ-a）-4…（1分）因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以a=1…（3分）由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）设λ2=-1对应的一个特征向量为α，则得a=-y…（8分）令x=1则y=-1，所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α…（10分）【解析】根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．本题主要考查了特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于基础题．22.【答案】解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，即圆C的方程为（x-2）2+y2=4，∴圆的圆心坐标为（2，0），半径为2 又由消t，得x-y-m=0，∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线的距离等于半径∴，解得．【解析】将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线l与圆C 相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数m的值本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径，研究直线与圆相切．23.【答案】解：由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，得≥f（x）．…（3分）又因为≥=2，则有2≥f（x）．…（6分）不等式即|x+1|+|x-2|≤2，由于|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，其最小值为3，故|x+1|+|x-2|≤2不可能，故实数x的范围为∅．…（10分）【解析】由题意可得≥f（x），而由绝对值不等式的性质可得的最小值为2，故2≥f（x）．由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|≤2不可能成立，由此可得到实数x的范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．24.【答案】解：（1）连接AC交BD于O，设AP与平面BDD1B1的公共点为M，连接OM，则平面ACP∩平面BDD1B1=OM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BB1∩BD=B，∴AC⊥平面BDD1B1，∴∠AMO为AP与平面BDD1B1所成的角，∵CP∥平面BDD1B1，CP⊂平面ACP，平面ACP∩平面BDD1B1=OM，∴OM∥CP，又O为AC的中点，∴OM=PC=，AO=AC=，∴tan∠AMO==，∴∠AMO=π．∴直线AP与平面BDD1B1所成角为π．（2）∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，又A1C1∩AA1=A1，∴B1D1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，∴B1D1⊥AP，∴当Q为A1C1的中点时，对任意的实数m，都有D1Q⊥AP．【解析】（1）作出平面APC与平面BDD1B1的交线OM，可证AO⊥平面BDD1B1，计算OM，AO，得出tan∠AMO，从而得出∠AMO的大小；（2）证明B1D1⊥平面ACC1A1，故而可得当Q为A1C1的中点时D1Q⊥AP．本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．25.【答案】解：（1）取x=1，则a0=2n；取x=2，则a0+a1+a2+a3+…+a n=3n，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=3n-2n；（4分）（2）要证S n＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，①当n=4时，81＞80；②假设当n=k（k≥4）时，结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2] 而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2，即n=k+1时结论也成立，由①②可知，当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．综上原不等式获证．（10分）【解析】（1）由于与二项式有关，故可采用赋值法．取x=1，则a0=2n；取x=2，则a+a1+a2+a3+…+an=3n，从而可求Sn；（2）要证Sn＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，再利用数学归纳法加以证明．本题以二项式为载体，考查赋值法的运用，考查数学归纳法，解题的关键是先分析转化，再利用数学归纳法证明．。
