基本不等式配套导学案

3.4.1 基本不等式【学习目标】１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．【重点难点】基本不等式的证明与应用．【学习过程】一、自主学习：如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、合作探究归纳展示(一)．命题的探究图3．4-1-1观察图3-4-1-1思考：（1）上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？（2）假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：_______ ___；（教材P97）（3）假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；（4）综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________（5）如果 a >0且 b >0 用 a 和b 代替不等式中的a 、b 上不等式可变形为 _____ _____； （*）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：______________________________．对于不等式（*）我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图3.4-1-2 观察它的几何意义。

基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。

（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。

《基本不等式》导学案一、学习目标1、理解基本不等式的内容及其证明过程。

2、掌握基本不等式的应用，能运用基本不等式求最值。

3、通过对基本不等式的学习，培养数学思维能力和应用意识。

二、学习重难点1、重点（1）基本不等式的内容和证明。

（2）运用基本不等式求最值的条件和方法。

2、难点（1）基本不等式的证明。

（2）基本不等式在实际问题中的应用。

三、知识回顾1、重要不等式：对于任意实数 a、b，有＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。

四、新课导入观察以下两个图形：图 1 是一个边长为 a、b 的矩形，其面积为＼（ab\）。

图 2 是一个以 a、b 为直角边的直角三角形，其斜边长为＼（＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＼）。

我们知道直角三角形的斜边大于直角边，所以＼（＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼geq ＼sqrt{2ab} ＼）。

当且仅当＼（a ＝ b\）时，等号成立。

将上式两边平方，得到＼（ a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\），这就是我们前面回顾的重要不等式。

如果我们令＼（ A ＝＼frac{a ＋ b}｛2} ＼），＼（ G ＝＼sqrt{ab} ＼），则有＼（ A ＼geq G ＼），其中＼（ A ＼）称为 a、b 的算术平均数，＼（ G ＼）称为 a、b 的几何平均数。

这就是我们今天要学习的基本不等式：＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab} ＼）（＼（ a ＞ 0\），＼（ b ＞ 0\））五、基本不等式的证明方法一：作差法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ b}｛2} ＼sqrt{ab} ＆＝＼frac{a ＋ b 2\sqrt{ab}｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2}＼end{align}＼因为＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），所以＼（＼frac{（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2}｛2} ＼geq 0\），即＼（＼frac{a ＋b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当＼（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即＼（ a ＝ b\）时，等号成立。

基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式ab ≤2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。

2.掌握用均值不等式求函数的最值问题.【学习重难点】理解利用基本不等式ab ≤2b a +求函数的最值问题 【类法通解】 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab b a ≥+2成立的前提条件，0,0>>b a ； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【合作探究】【探究一】 (1)已知0,>n m ，且16=+n m ，求mn 21的最大值． (2)已知3>x ，求()34-+=x x x f 的最小值； (3)设0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．【探究二】 (1)已知2lg lg =+b a ,求b a +的最小值；(2)已知0,0>>y x ，且632=+y x ，求xy 的最大值．(3)已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值．【探究三】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【达标检测】1．已知())0(21<-+=x x x x f ，则()x f 有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若0>>b a ，则下列不等式成立的是( )A ．ab b a b a >+>>2B ．b ab b a a >>+>2 C ．ab b b a a >>+>2D ．b b a ab a >+>>23．若0,0>>y x ，且14=+y x ，则xy 的最大值为________．4．已知0,0>>y x ，1lg lg =+y x ，则yx z 52+=的最小值为________． 5.若对任意的a x x x x ≤++>13,02恒成立,则a 的取值范围是____________________. 6.已知两正数,4,=+y x y x 且若不等式m yx ≥+41恒成立,则实数m 的取值范围是____. 7.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z ++++的最小值为________________. 8.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的取值范围是9.若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为 10.设y x y x xy y x +=+->则且,1)(,0,的取值范围是___________________.11.设正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的最小值．。

基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为√a2+b2.问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立.我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号.问题2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),则a+b√ab,当且仅当时,等号成立.2问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上的.在圆中,半径不小于半弦长.看作正数a、b的,√ab看作正数a、b(2)如果把a+b2的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.为a、b的,称√ab为a、b(3)在数学中,我们称a+b2的.因此,两个正数的不小于它们的.问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x ,y ∈(0,+∞),若积x ·y=p (定值),则和x+y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.(2)已知x ,y ∈(0,+∞),若和x+y=s (定值),则积x ·y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.即“积为常数, ;和为常数, ”. 概括为:一正二定三相等四最值.利用基本不等式求最值(1)已知x>54,求函数y=4x-2+14x-5的最小值.(2)已知正数a ,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知x 、y 都是正数,求证:(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.单调性与基本不等式 设函数f (x )=x+a x+1,x ∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f (x )的最小值; (2)当0<a<1时,求函数f (x )的最小值.若函数f (x )=x+1x-2(x>2)在x=a 处取最小值,则实数a 的值为( ).A .1+√2B .1+√3C .3D .4参考答案 知识体系梳理问题1:a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab a 2+b 2≥2ab a=b a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab 问题2:≥ a=b问题3:(1)中线不小于 高 (2)等差中项 等比中项 等差中项 等比中项 (3)算术平均数 几何平均数 算术平均数 几何平均数问题4:(1)小 2√p (2)大 s 24和有最小值 积有最大值重点难点探究探究一:【解析】(1)∵x>54,∴4x-5>0,∴y=4x-5+14x-5+3.∵4x-5+14x-5≥2√(4x-5)·14x-5=2, 当且仅当4x-5=14x-5,即x=32时,等号成立.∴y ≥2+3=5.故当x=32时,函数y=4x-2+14x-5取得最小值5.(2)∵ab-3=a+b ≥2√ab ,∴ab-2√ab -3≥0且ab>0,即(√ab -1)2≥4,∴√ab ≥3,即ab ≥9(当且仅当a=b 时取等号),∴ab 的取值范围是[9,+∞).【小结】使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”. 探究二:【解析】∵x ,y 都是正数,∴x 2>0,y 2>0,x 3>0,y 3>0.∵x+y ≥2√xy >0,x 2+y 2≥2√x 2y 2>0,x 3+y 3≥2√x 3y 3>0, ∴(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥2√xy ·2√x 2y 2·2√x 3y 3=8x 3y 3,即(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.当且仅当“x=y ”时取“=”.【小结】多次利用基本不等式证明时,一定要注意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当一致.探究三:【解析】(1)把a=2代入f (x )=x+a x+1中,得f (x )=x+2x+1=x+1+2x+1-1.由于x ∈[0,+∞),所以x+1>0,2x+1>0,所以f (x )≥2√2-1,当且仅当x+1=2x+1,即x=√2-1时,f (x )取得最小值2√2-1.(2)因为f (x )=x+a x+1=x+1+ax+1-1.当且仅当x+1=ax+1时,等式成立,即x=√a -1<0, 又x ∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到. 设x 1>x 2≥0,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+ax 1+1-x 2-ax 2+1=(x 1-x 2)·[1-a(x 1+1)(x 2+1)].由于x 1>x 2≥0,所以x 1-x 2>0,x 1+1>1,x 2+1≥1,所以(x 1+1)(x 2+1)>1,而0<a<1,所以a(x1+1)(x 2+1)<1,所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以f (x )在[0,+∞)上单调递增. 所以f (x )min =f (0)=a.【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,因为基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常碰到的问题. 全新视角拓展【解析】∵x>2,∴f (x )=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2√(x-2)·1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2,即x=3时取等号.∴a=3.【答案】C。

基本不等式及其运用专题复习导学案复习目标：1.熟练掌握不等式及其成立时的条件2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．基础再现：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22； 两个变形(1)a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．课前热身练习：1.若3x >-，则23x x ++的最小值为 223- 2. .设0x <,则433y x x =--的最小值为____433+______.3．设,,5x y x y ∈+=R 且，则33x y +的最小值是___183__4.若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___12_ 考点一 利用基本不等式求最值【典例剖析】►(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为___1_____． (3) 求的值域.(][),19,-∞⋃+∞考点二 利用基本不等式解决恒成立问题【典例剖析】►1.(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是_____15a ≥___．2.（2009·海门市第一次诊断）已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ()4,2- .3.的最小值为恒成立，则对任意的正实数）已知不等式（)0(,9)1(>≥++a a y x ya x y x 4 .考点三 利用基本不等式解决实际问题【典例剖析】►某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？答案：10年解实际应用题要注意以下几点：（挑战能力.）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?答案 用对号函数反馈练习： 的最小值求满足已知正数yx y x y x 11,12,.1+=+ 322+ . 的最大值求)52(,520.2x x y x -=<< 15. 3.已知03<<-x ，则29x x y -=的最小值是： 92-. 4.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_____18___．5.正数a 、b 满足 b a +=1，求 )1)(1(++b a 的最大值 32. 6. (2010·山东卷) 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 3 . 7.(2011·郑州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是___10_____．8..某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 (B )A.x =21(a+b )B.x ≤21(a +b )C.x >21(a +b )D.x ≥21 (a +b ) 9.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 (C )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞)10.求函数最大值)10(log 5log 2)(22<<++=x xx x f 225- . 11.(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n=8 520万12.（挑战能力）的最大值为恒成立，则且设n ca n cb b a N nc b a -≥-+-∈>>*11, 4 13.（挑战能力）的最大值求满足若正数2221,12,b a b a b a +=+ 324 . 14.（挑战能力）的最小值求2)3(222++=x x y 32。

第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式ab ≤ 2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。

2. 理解利用基本不等式ab ≤ 2b a + 证明不等式的方法 学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式ab ≤2b a +证明不等式的方法 3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a 、b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0.∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，“＝”号何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，“＝”何时成立？提示：当且仅当a ＝b 时成立．[导入新知]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式1．有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． [化解疑难] 1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则 ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b 2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．自主学习：[例1] [证明] 由基本不等式可得： a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． 2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[活学活用]1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b ≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求2mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值；(3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 x －4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 以下同解法一．[类题通法]1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用]2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2yx ×9xy ＋10＝16， 当且仅当yx ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.[例3] 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．[活学活用]3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋ ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．[达标检测]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞ab B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等． 求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c ≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋ab c ＞a ＋b ＋c .。

§3 基本不等式 第1课时 基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值. 难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件. 学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b 都是非负数，那么2ba +≥ab ,当且仅当a=b 时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，取"＝"）. 证明：a 2+b 2-2ab =(a-b ) 2,当a ≠b 时，（a-b ）2>0；当a=b 时，（a-b ）2＝0. 所以（a-b ）2≥0,即a 2+b 2≥2ab .3.基本不等式的几何解释： 基本不等式一种几何解释如下：以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连结AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ,则CD ２=CA ·CB ,即CD =ab .这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即2ba +≥ab ， 其中，当且仅当点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2ba +（a ≥0,b ≥0）. 其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2ba +≥ab （a,b >0） （1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2ba +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2ba +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab , 2b a +≥ab 中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2ba +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S ;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2yx +≥xy (1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ， ∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy 为定值p 时，有2yx +≥p ,∴x+y ≥2p .上式当“x=y ”时取“＝”，因此，当x=y 时，和x+y 有最小值2p .注意：（1）在应用均值不等式ab ≤2ba +求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b 都是非负数，那么 ，当且仅当 时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中 称为a,b 的算术平均数， 称为a,b 的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有 ，即若a >0,b >0,且a+b=M,M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a=b 时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有 ，即若a >0,b >0,且ab=P,P 为定值，则a+b ≥ ,等号当且仅当a=b 时成立.［答案］ 1.2b a +≥ab a=b 2ba + ab2.(1)最大值 42M (2)最小值 2p思路方法技巧命题方向 利用基本不等式比较代数式的大小［例1］ 已知0＜a ＜1,0<b <1,则a+b ,2ab ,a 2+b 2,2ab 中哪一个最大？［分析］ 由已知a,b 均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］ 方法一：∵a >0,b >0,∴a+b ≥2ab ,a 2+b 2≥2ab ,∴四个数中最大数应为a+b 或a 2+b 2. 又∵0＜a ＜1,0<b <1,∴a 2+b 2-(a+b )=a 2-a+b 2-b=a (a -1)+b (b -1)<0, ∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大．方法二：令a=b =21, 则a+b =1,2ab =1,a 2+b 2=21, 2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21， ∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定［答案］ A∵a >2,∴a -2>0,又∵m=a +21-a =(a -2)+ 21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4，∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12+3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )=x12+3x 的最大值. ［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为 x 12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x 12<0,3x <0,所以-x 12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0, 所以f (x )=x 12+3x ≥2x x312⋅=236=12. 当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立. 所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立. 所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值. ［解析］ ∵x >0,∴x +x 4≥2x x 4⋅=4,∴y =2- (x +x 4)≤2-4=-2.当且仅当x =x 4，即x =2时等号成立，y 取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值. ［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0, 所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x 451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121. 当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立， 所以当x =61时，函数y 取得最大值121. ［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值. ［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3, ∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2, 当且仅当31-x =x -3,即x -3=1, x =4时，等号成立.∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5. 命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？ ［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x =(x -50)·()()1005020501025+-+-x x =()()205010050105+-+-x x .x -50≥0，∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0），则S =()251010+t t =100201025++t t t =20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60. 答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多.［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)； （2）P ＝- (2x ＋x 32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a 1+b9=1,求a+b 的最小值.∵a >0,b >0∴a 1+b 9≥2ab 9=6ab1,∴6ab1≤1， ∴ab 1≤361， ∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a 1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12. ［正解］ ∵a >0,b >0，a 1+b9＝1， ∴a+b =(a 1+b9)(a+b ) =1+9+b a a b 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16.当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则baa b +的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞)［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,b a>0,∴b a a b +≥2baa b ⋅=2. 当且仅当baa b =，即a=b 时，等号成立. 2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ）A.a =±2B.a =2C.a =-2D.a =4［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A.21B.aC.2abD.a 2+b 2［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a ,a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab ,又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21. 解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95, ∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大. 二、填空题4.若x >0,则x +x2的最小值为 . ［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x 2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x+3y的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x>0,3y>0.∴3x+3y≥2y x 33⋅=2y x +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立. 课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ）A.y=x +x 1B.y =sin x +x sin 1,x ∈ (0,2π) C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件；B 中，∵x ∈ (0,2π), ∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)；D 中x >0,y=x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab+2三个数的大小顺序是（ ） A.2b a +≤ab ≤ba ab +2 B. ab ≤2b a +≤ba ab+2 C.b a ab +2≤ab ≤2b a + D. ab ≤b a ab +2≤2ba +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，b a ab +2=3.2,∴选 C.解法二：已知2ba +≥ab， 又ab -b a ab +2=()b a ab b a ab +-+2 =()2b a b a ab +-≥0 ∴ab ≥b a ab+2. 也可作商比较ab ba ba ab ab 22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（）A.a 2+b 2>2abB.a+b ≥2abC.b a 11+ >ab 2D.b aa b +≥2［答案］D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断.用排除法：A:a=b 时不满足；B:a<0,b <0时不满足；C:a <0,b <0时不满足； D:a b >0,b a >0, a b +b a≥2b aa b⋅=2.4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32B.22C.3D.6［答案］D［解析］ ∵x +3y =2,∴x =2-3y .∴z =3x +27y =32-3y +27y ＝y 279+27y ≥2y y 27279⋅＝6，当且仅当y 279=27y ,即27y =3,∴33y =3,∴3y =1,∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6. 5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ）A.x =2b a +B.x ≤2b a + C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0.∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +. 等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6. 当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号. 7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ） A.R<P<Q B.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0，Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ， R=lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ， ∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ）A.40B.10C.4D.2［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy , ∴xy ≤44y x + =440=10, 当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”，∴xy ≤100,即（xy ）max =100,∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 .［答案］ 42 l ［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +， ∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l . 当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）.①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤ba 11+≥2. ［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a 1+b 1≥2,即证abb a +≥2, 即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3 ［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy , ∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立. 12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是［答案］ 332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2 ∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］ ∴x+y 的最大值为332. 三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a 21+t 的大小. ［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1，∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a 21+t ≥log a t =21log a t , ∴21log a t ≤log a 21+t . 14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a 1，β=b +b 1,求α+β的最小值. ［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1,α+β= (a +a 1)+ (b +b 1)=(a+b )+ (a 1+b1)=1+ab b a +=1+ab1, ∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5 (当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x 2+y 5的最小值. ［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10.则x 2+y 5=1052x y +≥10102xy =2， 所以 (x 2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得：x >0,y >0,且xy =10, x 2+y 5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。

3.4基本不等式(第一课时)学习要求1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.自学评价1.算术平均数：2.几何平均数3.设a ≥0,b ≥0则2a b +的关系为 4.基本不等式的证明方法：【基本不等式的证明】例1：（1）设a 、b 为实数，证明：ab b a 222≥+（重要不等式）（2）设a 、b 为正数, 证明：ab b a ≥+2（基本不等式）1.常用不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法2.本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．3.把不等式ab b a ≥+2(a ≥0,b ≥0)称为基本不等式 4.两正数的算术平均数是2b a +，两个正数的几何平均数是ab 即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5. 基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．6. 基本不等式的变形：ab b a 2≥+ ；2)2(b a ab +≤ 【基本不等式的应用】例2：教材99页例题1总结归纳：用基本不等式求最值1.求最值的两种情况：若b a ,都是正数，(1)如果积ab 是定值P , 根据ab b a 2≥+， 则当且仅当b a =时， 和b a +有最小值 ．.(2)如果和b a +是定值S , 根据2)2(b a ab +≤，则当且仅当b a =时, 积ab 有最大值 ． 2.利用基本不等式求最值满足的条件：“一正、二定、三相等”例3：当0>x 时，求xx 1+的最小值。

拓展：（1）设0>x 时，求xx 12+的最小值。

（2）设1>x 时，求11-+x x 的最小值 （3）当0<x 时，求xx 1+的最大值。

（4）设0≠ab ，求ba ab +的最值。

2.2基本不等式 (一)导学案 班级 小组 姓名 自我评介 教师评价 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习重点① 了解基本不等式的证明过程② 会用基本不等式解决简单的最大小值问题学习难点：基本不等式的应用【知识链接】1：重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立. 2：基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则_____2a b ab +，当且仅当____时，不等式取等号. 称_______为a,b 的算术平均数，_____为a,b 的几何平均数。

基本不等式又称为________.3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.自主学习一.复习重要结论：一般的，如果,R a b ∈，我们有222a b ab +≥当且仅当a b =时，等号成立. 探究1：你能给出它的证明吗？特别的，如果0a >，0b >，我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤问：由不等式的性质证明基本不等2a b ab +≤？ 用分析法证明：证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a b +≥ (2)要证（2），只要证____0a b +-≥ （3）要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.二、理解基本不等式2a b ab +≤的几何意义 探究2：课本的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a ，BC=b. 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式2a b ab +≤的几何解释吗？结论：基本不等式2a b ab +≤几何意义是三、基本不等式(a>0,b>0)2a b +，当且仅当a b =时，等号成立在数学中，我们称2a b +为a 、b a 、b 的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.四.例题讲解：例1. 0x >时，当x 取什么值时，1x x +的值最小？最小值是多少？变式1：把0x >改为0<x ，上式的最小值还成立吗？ 变式2：把0x >改为2≥x ，上式的最小值还成立吗例2 已知y x ,都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当y x =时，和y x +有最小值P 2（2）如果和y x +等于定值S ，那么当时，积xy 有最大值241S 五、课堂练习多少？取得最小值？最小值是取什么值时，当221.1x x x + ;11,1.2的最小值求时当-+=>x x y x .111.32的最大值，求已知x x -≤≤-六、自我总结:我学到了什么?我有哪些问题与老师交流?七、达标检测1. 已知x >0，若x ＋81x的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．162. 若实数a ，b ，满足2a b +=，则33a b +的最小值是（ ）.A ．18B ．6C ．D ．3. 已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是________. 4. 做一个体积为323m ，高为2m 的长方体纸盒，底面的长为_______，宽为________时，用纸最少.八、作业布置 课本48页 习题2.2 复习巩固1、 2九、课后反思。