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西城区22．先阅读材料，再解答问题：小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A 、B 、C 、D 均 为⊙O 上的点，则有∠C =∠D ．小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧， 则有∠D >∠E ．请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,7)，点B 的坐标为(0,3)， 点C 的坐标为(3,0)．①在图1中作出△ABC 的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB =∠ADB ，则点D 的坐标为 ；(2) 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,m )，点B 的坐标为(0,n )，其中m >n >0．点P 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．22．解：（1）①如图5；………………………… 1分②点D 的坐标为()70，； ………………… 3分（2）点P的坐标为)0． ……………… 5分昌平区22. （1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，□ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ；（2）如图2，点P 为□ABCD 内一点，过点P 分别作AD 、AB 的平行线分别交□ABCD的四边于点E 、F 、G 、H . 已知S □BHPE = 3，S □PFDG = 5，则PAC S ∆= ； （3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD 的面积为11，则菱形EFGH 的周长为 ．图2图3图1⑤④③②①H PA BGEH DF C ABGEP DF C HGFE DCBA22．解：（1）□AEPH 和□PGCF 或□ABGH 和□EBCF 或□AEFD 和□HGCD . …………… 1分 （2）1. ……………………………………………………………………………………… 2分（3）24． ……………………………………………………………………………………… 4分房山区22.已知，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，AD =6cm ，按下列步骤进行操作：如图①，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)；如图②，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；如图③，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180°，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC 与HE 重合，拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)（1）通过操作，最后拼成的四边形为 （2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm,最大值为___________________________cm ．22. （1）平行四边形；-----------------------------1分（2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN 的长，当MN 垂直于BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边AB 的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；----------------------------3分当点E 与点A 重合，点M 与点G 重合，点N 与点C 重合时，线段MN 最，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+=12+ ----------------------------------------5分怀柔区22. 理解与应用：我们把对称中心重合、四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．．．．. 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、'M 、'N 、N ．小明在探究线段'MM 与N N ' 的数量关系时，从点'M 、'N 向对边作垂线段E M '、F N '，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：(1)直线l 与方形环的对边相交时（22题图1），直线l 分别交AD 、D A ''、C B ''、BC 于M 、'M 、'N 、N ，小明发现'MM 与N N '相等，请你帮他说明理由；(2)直线l 与方形环的邻边相交时（22题图2），l 分别交AD 、D A ''、C D ''、DC 于M 、'M 、'N 、N ，l 与DC 的夹角为α，请直接写出NN MM ''的值（用含α的三角函数表示）.122题图图①图②图③EC BE G HM NA D22. 理解与应用：⑴解: 在方形环中，∵AD BC F N AD E M ,',⊥⊥'∥BC∴M ’E=N ’F …………………………………………1分 ∠M ’EM=∠N ’FN=90°，∠EMM ’=∠N ’NF∴△E MM '≌△F NN ' ……………………………2分 ∴N N M M '=' ……………………………3分 ⑵ 则 αtan =''N N M M （或ααcos sin ） ……………………………5分密云县22．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝8cm ,AD ＝6cm ,按下列步骤进行裁剪和拼图:第一步:如图①,在线段AD 上任意取一点E ,沿EB ,EC 剪下一个三角形纸片EBC (余下部分不再使用)；第二步:如图②,沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分,并在线段GH 上任意取一点M ,线段BC 上任意取一点N ,沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步:如图③,将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180︒,使线段GB 与GE 重合,222题图222题图122题图将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180 ,使线段HC 与HE 重合,拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片.(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠). （1）所拼成的四边形是什么特殊四边形？（2）拼成的这个四边形纸片的周长的最小值是多少? 22．(1)平行四边形……………………………………2分 (2)最小值为12+2×4=20，………………………5分朝阳区22．阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等l 1l 1l 2l 3图1l 1l 2l 3图2边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．22. 解： 5；……………………………………………2分 如图； ………………………………………3分. ………………………………………5分大兴区22.分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，连结D 1D 2.(1)如图1，过点C 作直线HG 垂直于直线AB 于点H ，交D 1D 2于点G ．试探究线段GD 1与线段GD 2的数量关系，并加以证明．（2）如图2，CF 为AB 边中线，试探究线段CF 与线段D 1D 2的数量关系，并加以证明．22．（1）答：FD 1 = FD 2 。
西城区24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =α，点P 在△ABC 的内部．(1) 如图1，AB =2AC ，PB =3，点M 、N 分别在AB 、BC 边上，则cos α=_______， △PMN 周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB =2AC 不变，而P A =2，PB =10，PC =1，求△ABC 的面积； (3) 若P A =m ，PB =n ，PC =k ，且cos sin k m n αα==，直接写出∠APB 的度数．24．解：（1）cos αPMN 周长的最小值为 3 ； ………………………2分 （2）分别将△P AB 、△PBC 、△P AC 沿直线AB 、BC 、AC 翻折，点P 的对称点分别是点D 、E 、F ，连接DE 、DF ，（如图6）则△P AB ≌△DAB ，△PCB ≌△ECB ，△P AC ≌△FAC .∴AD =AP =AF ， BD =BP =BE ，CE =CP =CF .∵由（1）知∠ABC =30°，∠BAC =60°，∠ACB =90°， ∴∠DBE =2∠ABC =60°，∠DAF =2∠BAC =120°， ∠FCE =2∠ACB =180°. ∴△DBE 是等边三角形，点F 、C 、E 共线. ∴DE =BD =BP EF =CE +CF =2CP =2. ∵△ADF 中，AD =AF ∠DAF =120°， ∴∠ADF =∠AFD =30°.∴DF .∴22210EF DF DE +==. ∴∠DFE =90°. ………………………………………………………4分 ∵2ABC DBE DFE DAF BDAFE S S S S S ∆∆∆∆==++多边形，∴21122222ABC S ∆=++=PBACD E F图6∴ABC S ∆=. ……………………………………………5分 （3）∠APB =150°. ………………………………………………………… 7分 说明：作BM ⊥DE 于M ，AN ⊥DF 于N .（如图7） 由（2）知∠DBE =2α，∠DAF =1802α-o . ∵BD =BE=n ，AD =AF=m ， ∴∠DBM =α，∠DAN =90α-o . ∴∠1=90α-o，∠3=α. ∴DM =sin n α，DN =cos m α. ∴DE =DF =EF . ∴∠2=60°.∴∠APB =∠BDA =∠1+∠2+∠3=150°.昌平区24．在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A24．解：（1）如图1，依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB .……… 1分∴BC 1=BC ，∠A 1C 1B =∠C =30°. ∴∠BC 1C = ∠C =30°.321NMP ACD EB图7A 1C 1ABC图1∴∠CC 1A 1 = 60°.…………………………… 2分 （2）如图2，由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB .∴A 1B = AB ，BC 1 = BC ，∠A 1BC 1 =∠ABC . ∴∠1 = ∠2，114263A B AB C B BC === ∴ △A 1BA ∽△C 1BC ………………… 3分 ∴112ΔΔ2439A BA C BCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……………………4分∵1Δ3C BC S =， ∴1Δ43A BA S =. ……………………………5分 （3）线段EP 1长度的最大值为8，EP 1长度的最小值1. ………… 7分房山区24（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .24.(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD∴△BCE ≌△ACD （SAS ）21C 1CBA 1A图2AB 第24题图1第24题图2ADACB∴BE=AD --------------1分 （2）①②③都正确 --------------4分 （3）证明：在PE 上截取PM=PC ，联结CM由（1）可知，△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴∠1=∠2设CD 与BE 交于点G ,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5分 ∴CP=CM ，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD ≌△CME （AAS ）---6分 ∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7分 即PB+PC+PD=BE .怀柔区24. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ．（1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由； （2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．24. （1）解：当∠ADN 等于90度时，∠ACE=∠EBF. ……………………………1分 理由如下：∵∠ACB=∠ADN =90°，∴△ABC 和△AND 均为直角三角形又∵AC=AD ，AB=AN∴△ABC ≌△AND ……………………………2分∴∠CAB=∠DAN∴∠CAD=∠BAN又∠ACD=∠ADC, ∠ABN=∠ANB∴∠ACD= ∠ABN 即∠ACE=∠EBF……………………………3分（2）解：当2βα=时，△ACE ≌△FBE ． ……………………………4分在△ACD 中，∵AC=AD ，∴αβ-=-=∠-=∠οοο9021802180CAD ACD ……………………………5分 21GM PDECAB在Rt △ABC 中， ∠ACD+∠BCE=90°，即9090BCE α︒-+∠=︒，∴∠BCE=α．∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE ……………………6分 ∴CE=BE由（1）知：∠ACE=∠EBF,又∠AEC=∠BEF∴△ACE ≌△FBE ．………………………7分密云县24．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，， 60B =︒∠.（1）点E 到BC 的距离为 ；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A D EBF C（备用）A D E BF C（备用）A D E BF C图1图2A DE BF CP N M图3A DE BF CP N24．（1）如图1，过点E 作EG ⊥BC 于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴BE=21AB=2 在Rt △EBG 中，∠B=60°，∴∠BEG=30度． ∴BG=21BE=1，EG=31222=- 即点E 到BC 的距离为3……………………………………1分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，周长不变．∵PM ⊥EF ，EG ⊥EF ， ∴PM ∥EG ． ∵EF ∥BC ，∴EP=GM ，PM=EG= 3同理MN=AB=4．如图2，过点P 作PH ⊥MN 于H ， ∵MN ∥AB ，∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30度．∴PH=21PM=23∴MH=3/2.则NH=MN-MH=4- 3/2=5/2.在Rt △PNH 中，PN=.723252222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+PH NH ∴△PMN 的周长=PM+PN+MN=37 4.................................3++分②当点N 在线段DC 上运动时，存在．当PM=PN 时，如图3，作PR ⊥MN 于R ，则MR=NR ． 类似①，MR= 3/2. ∴MN=2MR=3．∵△MNC 是等边三角形， ∴MC=MN=3．此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．…………………………………5分朝阳区24．在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．（1）如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； （2）如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．24. 解：(1)EB DC =………………………………………………………………………2分(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF .∴四边形EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3分 ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. 图2B 图1FB∵BD=kAE，∴BDkAE=.………………………………………………………………………4分∴BF BDAB AE=.∴DBF∆∽EAB∆.……………………………………………………………5分∴DFkBE=,∠GDB=∠AEB.∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.∵12CF EBDC DC==.∴3DF DFEB CF==.∴k=3.…………………………………………………………………………7分大兴区24. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，请直接写．．．出．S与x的函数关系式，并求出．．S的最小值．24．（1）证明：∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB .又∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP .即∠PBC=∠BPH .又∵AD∥BC ,GFDECBA∴∠APB=∠PBC .∴∠APB=∠BPH . ………………………………………2分 （2）△PHD 的周长不变，为定值 8 ………………………3分证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q由（1）知∠APB=∠BPH 又∵ ∠A=∠BQP=90°，BP=BP∴ △ABP ≌△QBP ∴ AP=QP , AB=BQ 又∵ AB=BC ∴ BC = BQ 又∵ ∠C=∠BQH=90°，BH=BH ∴ △BCH ≌△BQH ∴ CH=QH∴ △PHD 的周长为：PD+DH+PH =AP+PD+DH+HC =AD+CD =8………………5分（3）21282S x x =-+ 配方得，21(2)62S x =-+，∴当x =2时，S 有最小值6 …………………………………7分东城区24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.A B CDEF G H PQ24. （本小题满分7分）解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN．……………1分（2）猜想的结论：MN=CN-AM．……………3分证明:在NC截取CF= AM，连接BF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠DAB+∠C=180°．又∵∠DAB+∠MAB=180°，∴∠MAB=∠C．∵AB=BC AM=CF，∴△AMB≌△CFB ．∴∠ABM=∠CBF，BM=BF．∴∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF．即∠MBF =∠ABC．∵∠MBN=12∠ABC，∴∠MBN=12∠MBF．即∠MBN=∠NBF．又∵BN=BN BM=BF，∴△MBN≌△FBN．∴MN=NF．∵NF=CN-CF，∴MN=CN-AM．…………………7分丰台区 24．在ABC △中，∠ACB =90°，AC ＞BC ，D 是AC 边上的动点，E 是BC 边上的动点，AD =BC ，CD =BE ．（1） 如图1，若点E 与点C 重合，连结BD ，请写出∠BDE 的度数；（2）若点E 与点B 、C 不重合，连结AE 、BD 交于点F ，请在图2中补全图形，并求出∠BFE 的度数．24.海淀区24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为 ；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．24．（1）2AE =.………………………1分（2）线段AE 、CD 之间的数量关系为2AE CD =.………………………2分 证明：如图1，延长AC 与直线l 交于点G ． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠ACB ＝90︒，D BC （E ）A图1图2CABFEDCAB∴∠3=∠4. ∴BA BG =.∴CA ＝CG ．………………………3分 ∵AE ⊥l ，CD ⊥l ， ∴CD ∥AE ． ∴△GCD ∽△GAE ． ∴12CD GC AE GA =＝． ∴2AE CD =．………………………4分 （3）解：当点F 在线段AB 上时，如图2， 过点C 作CG ∥l 交AB 于点H ，交AE 于点G ． ∴∠2＝∠HCB ． ∵∠1=∠2， ∴∠1＝∠HCB ． ∴CH BH =． ∵∠ACB ＝90︒，∴∠3+∠1＝∠HCB +∠4 =90︒． ∴∠3＝∠4． ∴CH AH BH ==． ∵CG ∥l ，∴△FCH ∽△FEB ． ∴56CF CH EF EB =＝． 设5,6CH x BE x ==，则10AB x =．∴在△AEB 中，∠AEB ＝90︒，8AE x =． 由（2）得，2AE CD =． ∵4CD =, ∴8AE =. ∴1x =.∴10,6,5AB BE CH ===． ∵CG ∥l ，∴△AGH ∽△AEB ． ∴12HG AH BE AB ==． ∴3HG =．………………………5分 ∴8CG CH HG =+=．图3图2∵CG ∥l ，CD ∥AE , ∴四边形CDEG 为平行四边形. ∴8DE CG ==.∴2BD DE BE =-=．……………………6分 当点F 在线段BA 的延长线上时，如图3， 同理可得5CH =,3GH =,6BE =. ∴DE =2CG CH HG =-=． ∴ 8BD DE BE =+=．∴2BD =或8．……………………7分门头沟区24．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，点M 在线段DF 上，且∠BAE ＝∠BDF ，∠ABE ＝∠DBM ． （1） 如图1，当∠ABC ＝45°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ； （2） 如图2，当∠ABC ＝60°时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；（3）① 如图3，当ABC α∠=（0<<90α︒︒）时，线段 DM 与AE 之间的数量关系是 ；② 在（2）的条件下延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连结CP ，若AB ＝7，AE＝求sin ∠ACP 的值．24．解：（1）DM AE ．………………………………………………………………2分 （2）12DM AE =． ……………………………………………………………3分（3）① cos DM AE =α． ………………………………………………………4分② 如图，连结AD 、EP ． ∵AB =AC ，∠ABC =60°， ∴△ABC 为等边三角形．又∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠DAC =30°，BD =DC =12BC =72． ∵∠BAE =∠BDM ，∠ABE =∠DBM ，∴△ABE ∽△DBM ．A B CD EFMMFED CA ACD EF M 图1图2图3∴12BM DB BE AB ==．∴EB =2BM ． 又∵PB =2BM ，∴EB =PB ．∵60EBP ABE ABP PBC ABP ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒, ∴△BEP 为等边三角形． ∴EM ⊥BP ．∴∠BMD =90°． ∵D 为BC 的中点，M 为BP 的中点，∴DM ∥PC ．∴∠BPC =∠BMD = 90°． ∵AB CB =，BE BP =，∠ABE ＝∠DBM ， ∴△ABE ≌△CBP ．∴BCP BAE ∠=∠，∠BPC =∠BEA = 90°．在Rt △AEB 中，∵∠BEA =90°，AE =AB =7， ∴cos EAB ∠．∴cos cos PCB BAE ∠=∠5分 在Rt △ABD 中，sin AD AB ABD =⋅∠ 在Rt △NDC 中，cos DC CN NCD =∠∴ND =． ∴NA AD ND =-=． 过点N 作NH ⊥AC 于H ． ∴12NH AN ==．…………………………………………………6分 ∴sin NH ACP CN ∠=．……………………………………………7分平谷区 24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相 交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程. 24．解：（1）60°HP ACEF M N 图2（2）45° ………………………………..2分 证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==.可证EAM MBC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.ME MC AME BCM =∠=∠∵ 90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒ ∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ……………….5分又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）…………………………………………………………..6分 ∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分顺义区24．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合．三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点.G （1）求证：EF EG =； （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB a =，BC b =，求EFEG的值．24．（1）证明：∵9090GEB BEF DEF BEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.DEF GEB ∠=∠又∵ED BE =，∴Rt Rt FED GEB △≌△.∴.EF EG = ………………………………………………………2分（2）成立.证明：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为H I 、，则90EH EI HEI =∠=，°. ∵9090GEH HEF IEF HEF ∠+∠=∠+∠=°，°，∴.IEF GEH ∠=∠∴Rt Rt FEI GEH △≌△.图2∴.EF EG = …………………………………4分（3）解：如图，过点E 分别作BC CD 、的垂线，垂足分别为M N 、，则90MEN ∠=°，.EM AB EN AD ∥，∥∴.EM CE ENAB CA AD == ∴.EM AD a EN AB b ==…………………………………5分 ∴9090GME MEF FEN MEF ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴.MEN GEM ∠=∠∴Rt Rt FEN GEM △∽△. ∴.EF EN b EG EM a ==…………………………………7分通州区24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长； （2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.24． 解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，3AG =， ∴ 3GB =，∴ tan 33AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，23AB =， ……………… 1分；∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，23BC =， ……………… 2分；由勾股定理得：()222242327CD DB BC =+=+=. …… 3分；（2）作60EAD ∠=o，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分；第24题图ADBCG第24题图D CBA∴△AED 是等边三角形， ∴AE AD =，60EAD ∠=o，∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ∠=o ，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o. …………… 7分.另解：作60DBF ∠=o，且使BF BD =，连接DF 、AF . 参照上面解法给分第24题图ECBA FA BC D第24题图。
石景山区2013年初三第一次统一练习暨毕业考试数 学 试 卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1－8题的相应位置上． 1．－1.5的倒数是 A ．32-B ．23-C ．5.1D ． －3 2．今年财政部公布的最新数据显示，1至2月累计，全国公共财政收入22426亿元，比去年同期增加1508亿元，数字1508用科学记数法表示为 A ．410508.1⨯B ．4101508.0⨯C ．21008.15⨯D ．310508.1⨯3．无理数6在哪两个整数之间 A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ． 4与54．函数1-=x x y 中自变量x 的取值范围是A ．x ≥1B ．1x <且 0≠xC ．1>xD ．x ≥1且 0≠x 5．某班有10名学生参加篮球的“定点投篮”比赛，每人投10次，他们的进球数分别为：6，1，4，2，6，4，8，6， 4，6．这组数据的极差和中位数分别是 A ．7、5 B ．5、5 C ．5、4 D ． 7、46．如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD ⊥AM C ，OC 平分∠AOB .则∠OCD 的度数为 A ．︒110 B ．︒115C ．︒120D ．︒1257．把同一副扑克牌中的红桃6、红桃7、红桃9三张牌背面朝上放在桌子上，从 中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为 A ．31 B ．32 C ．21 D ．61 8．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为AB 、AD 的中点， G 为线段CE 上的一个动点，设x CECG=，y S GDF =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．将二次函数762++=x x y 配方为k h x y +-=2)(形式，则=h ___，=k ________．10．分解因式：3244x x x -+=_______________．11. 如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为1)中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C.则弧AC 所在圆的半径长为；弧AC 的长为 . 12．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n 的代数式表示） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13114cos302-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭A B C DGD EFAB C第8题图第11题图DAC EB14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．3(2) 4 1214x x xx --≤⎧⎪⎨-<-⎪⎩①,②.15.已知：如图，点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD ＝BE .求证：△ACD ≌△CBE .16．已知：24510x x +-=，求代数式()()()()221122x x x x x +--++-的值.17．已知：一次函数3+=x y 与反比例函数3m y x-=(0<x ,m 为常数)的图象交于点A （a ，2）、B 两点． （1）求m 的值和B 点坐标；（2）过A 点作y 轴的平行线，过B 点作x 轴的平行线，这两条直线交于点E ，若反比例函数ky x=的图象与△ABE 有公共点，请直接写出k 的取值范围．18．如图，一架飞机由A 向B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头C 、D .飞机在A 处时，测得山头D 恰好在飞机的正下方，山头C 在飞机前方，俯角为30°.飞机飞行了6千米到B 处时，往后测得山头C 、D 的俯角分别为60°和30°.已知山头D 的海拔高度为1千米，求山头C 的海拔高度. （精确到0.011.732≈）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD DC ⊥，△DB C 是等边三角形，︒=∠45ABD ，2=AD .求四边形ABCD 的周长.BACDDCBA20．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2.(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接F A，试判断直线F A与⊙O的位置关系，并说明理由．21．以下是根据北京市2012年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制成的统计表和统计图的一部分.电话用户包括固定电话用户和移动电话用户两种. 2008－2012年全国电话用户到达数和净增数统计表年份 全国电话用户2008 2009 2010 2011 2012 到达数（单位：万户） 98160 106095 115335 127135139031 净增数（单位：万户）686679359240a11896请根据以上信息，解答下列问题（注意：所求数据均保留整数）： （1）统计表中的数据a 的值为_________； （2）通过计算补全条形统计图并注明相应数据；（3）2012年，全国移动电话用户净增约12591万户，求该年固定电话用户减少了多少万户.2008－2012年全国移动电话用户统计图2008－2012年全国移动电话用户占电话用户的百分22．问题解决：已知：如图，D 为AB 上一动点，分别过点A 、B 作AB CA ⊥于点A ，AB EB ⊥于点B ，联结CD 、DE .（1）请问：点D 满足什么条件时，DE CD +的值最小？（2）若8=AB ，4=AC ，2=BE ，设x AD =.用含x 的代数式表示DE CD +的长（直接写出结果）. 拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，+的最小值.AB CDE五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交x 轴于另一点M （－3,0）. (1)求抛物线1C 的解析式；(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式；(3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.24．如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24－1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24－2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数；（3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．图24－1 图24－2B 1ABCD备用图 AD备用图AD25．如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ， ''C D 与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合).（1）求直线AD 的函数解析式；（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN 为边，在''E D 的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．DAC EB参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）9． 32--，；10．()22-x x ； 11． ； 12．13， 262n n -+．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13-114cos302⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭=2422-⨯- ……………………………4分 =3 …………………………………………………5分 14.解：解不等式①， 1≥x …………………………………………2分 解不等式②， 23<x ……………………………………………4分 原不等式组的解集为231<≤x ，在数轴上表示为：……5分15．证明：∵C 是AB 的中点∴CB AC = …………………………… 1分 又∵CD ∥BE∴B ACD ∠=∠…………………………… 2分 在△ACD 和△CBE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BE CD B ACD CB AC …………………………… 4分 ∴△ACD ≌△CBE …………………………………………………… 5分16．解：原式4144222-++-++=x x x x x …………………………………2分2453x x =+- ………………………… 3分当01542=-+x x 时，1542=+x x …………………………… 4分 原式132=-=-． ………………………………5分17．解：(1)∵一次函数3+=x y 与反比例函数xm y 3-=（0<x ） (m 为常数)的图象交于点A （a ，2）、B 两点∴ 3223a a m +=⎧⎨=-⎩解得11a m =-⎧⎨=⎩…………………………………2分∴反比例函数3m y x-=（0<x ）的解析式为2y x =-由题意解23y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得1112x y =-⎧⎨=⎩，2221x y =-⎧⎨=⎩………………………………3分 ∵A （1-，2），∴B （2-，1） ………………………………4分 (2)914k -≤≤- ………………………………5分18．解：在Rt △ABD 中，∵∠ ABD = 30°， ∴AD = AB ·tan 30° = 6 ×33= 23．……………1分 ∵∠ABC = 60°，∠BAC = 30°，∴∠ACB = 90°， …………………………………2分 ∴AC = AB ·cos 30° = 6 ×32= 33．……………3分 过点C 作CE ⊥AD 于点E ，BACDE则∠CAE = 60°，AE = AC ·cos 60° =2.……………4分 ∴DE = AD − AE = 2 3 −332 = 32∴山头C 的海拔高度为1+32≈1.87千米. …………5分19. 解：过点A 作BD AE ⊥于点E ………………… 1分∵AD DC ⊥ ∴︒=∠90ADC ∵△DBC 是等边三角形 ∴︒=∠60BDC∴︒=∠30ADB ………………… 2分 在Rt △AED 中，2=AD ∴121==AD AE 由勾股定理得：3=DE ………………………………3分 在Rt △AEB 中，︒=∠45ABD ∴1==AE BE ∴2=AB ………………………………4分∴31+=BD∴31+===BD BC DC∴322432222++=+++=+++AD CD BC AB …………5分 即四边形ABCD 的周长为3224++.20． (1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，又∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠ADB . …………1分 (2) ∵∠ABC =∠ADB 又∵∠BAE =∠DAB ， ∴△ABE ∽△ADB ， …………………………2分 ∴AB AEAD AB=， ∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(1＋2)×1=3，∴AB 3分 (3) 直线F A 与⊙O 相切，理由如下：联结OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°，ABCDE∴BD =4分BF =BO=12BD∵ABBF =BO =AB ，可证∠OAF =90°，∴直线F A 与⊙O 相切．………………………………………5分21.解：（1）11800； …………………… 1分（2）1112258.11122480%139031≈=⨯ …………………2分图略 …………………4分 （3）69511896-12591= …………………………5分22. 解：（1）当点D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小………1分(2)CD DE +=……………………2分(3)如图，令4=AB ，1=AC ，2=BE ，设x AD =，则x BD -=4,CD DE += ……………………3分∵D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小∴CE的最小值.过点E 作AB 的平行线交CA 的延长线于点F ∵AB CA ⊥于A ，AB EB ⊥于B . ∴AF ∥BE∴四边形AFEB 是矩形 ……………………4分 ∴2AF BE ==,4EF AB ==在Rt △CFE 中，90F ∠=︒, 3CF = (5)分的最小值为5．23．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，FEDC BA∴0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴抛物线1C 的解析式为：223y x x =--+．………………2分（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：223y x x =-++. ……3分 （3）'A 点的坐标为（－1,0），∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，①当DA AP =3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3……………5分 ②当DA AP =1'3BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，P 点坐标为1(,0)3-或7(,0)3或(11,0)-或(13,0) ………………7分24.解：(1) BC …………………………… 1分 （2由作图知AQ AP =，∠︒=06PAQ ∵△ACD 是等边三角形．∴AD AC =,PAQ CAD ∠=︒=∠06 ∴QAD PAC ∠=∠ 在△PAC 和△QAD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AC QAD PAC AQ AP ∴△PAC ≌△QAD∴︒=∠=∠90ACP ADQ …………………………… 3分 （3）如图3，同①可证△PAC ≌△QAD ，︒=∠=∠90ACP ADQ图3 图4AB CDPQD BQPCA当AD ∥CQ 时，︒=∠-︒=∠90180ADQ CQD∵︒=∠60ADC ∴︒=∠30QDC ∵2==AC CD ∴31==DQ CQ ，∴3==DQ PC 且AD CQ ≠…………………………… 5分 ∴此时四边形ACQD 是梯形．如图4，同理可证△PAC ≌△QAD ,︒=∠=∠90ACP ADQ 当AQ ∥CD 时，︒=∠=∠60ADC QAD ,︒=∠30AQD∵2==AC AD∴4AQ DQ ==，∴PC DQ ==此时DQ 与AC 不平行，四边形ACDQ 是梯形．综上所述，这样的点P 有两个，分别在C 点两侧，当P 点在C 点左侧时，3=PC ；当P 点在C 点右侧时，PC =…………………………… 7分25.解：（1）由题意A (2.0) …………………………………………………………………1分由D (4,2),可得直线AD 解析式：2-=x y …………………………………………………2分 由B (0，4)，可得直线AB 解析式：42+-=x y ，直线BD 解析式：421+-=x y ，J （21，）. （2）在△ECD 平移t 秒时，由∠CDF =45°，可得D ’（t t --24，），N （t 2340-，） 设直线E ’D ’解析式为：13422y x t =-+- 可得M (t t 24,-)，…………………………………………………3分 Q （t t -+222，），P （t -20，）由△MQD ’∽△BJD ,得2)3233'tS S BJDMQD -=∆∆（，可得 S △MQD ’ 2)211(3t -=…………………………………………………4分 S 梯形E ’C ’ PN t t t t 241)2122(212+-=-+=………………………………………5分 S 四边形MNPQ = S △E ’C ’D ’― S △MQD ’― S 梯形E ’C ’ PN23)1(2112122+--=++-=t t t ∴当1=t 时,S 最大=23…………………………………………………6分 （3）当点H 在x 轴上时，有M (t t 24,-)横纵坐标相等 即t t 24-= ∴34=t ∴340<<t .…………………………………………………8分。
北京市西城区2013年初三一模试卷数 学 2013. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的相反数是A ．31-B ．31 C ．3 D ．3-2．上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心，该项目营业面积约130 000平方米，130 000用科学记数法表示应为A ．1.3×105B ．1.3×104C ．13×104D ．0.13×106 3．如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ．若∠1=25°，则BAF ∠的度数为 A ．15° B ．50° C ．25° D ．12.5°4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 A ．21B ．31 C ．61D ．1 5．若菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为 A ．5B ．6C ．8D ．10 6则该队队员年龄的众数和中位数分别是A ．16，15B ．15，15.5C ．15，17D ．15，167．由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，则构成这个几何体 的小正方体共有 A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个8．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD 绕点C 沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE （点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、G 、E ）．动点P 从点B 开始沿BC-CE 运动到点E 后停止，动点Q 从点E 开始沿EF -FG 运动到点G 后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P 和点Q 同时开始运动，运动时间为x （秒），△APQ 的面积为y ，则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象大致是 A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数y =x 的取值范围是 ．10．分解因式：32816a a a -+= ．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C=45°.若AD=2，BC=8，则AB 的长为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A (1,0)处．第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1； 第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2； 第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3； 第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4； ……依此规律进行，点A 6的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2013，2012）， 则n = ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：10345sin 2)13(8-+︒--+．14．解不等式组 4(1)78,25,3x x x x +≤-⎧⎪-⎨-<⎪⎩并求它的所有整数解． 15．如图，点C 在线段AB 上，△DAC 和△DBE 都是等边三角形 (1) 求证：△DAB ≌△DCE ；(2) 求证：DA ∥EC ．16．已知3=y x ，求22222()x y x y xy xy y--÷-的值． 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数错误！未指定书签。
2013年北京通州中考一模数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．3-的倒数是（）．A．3B．3-C．13-D．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（）．3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多．将17800用科学记数法表示应为（）．A．317.810⨯B．51.7810⨯C．50.17810⨯D．41.7810⨯4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，32∠=︒ABC，则∠AOC的度数是（）．A．32︒B．64︒C．16︒D．58︒5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是（）．A．25B．12C．15D．236．一个扇形的圆心角为90︒，半径为2，则这个扇形的面积是（）．A．6πB．4πC．2πD．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是（）．A．平均数是2.5B．中位数是3C．众数是2D．方差是48．如图，在直角坐标系xOy 中，已知(0,1)A ，(3,0)B ，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为（ ）．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2-x x的值为零，则=x __________．10．分解因式：322-+=x x x __________．11．如图，∥AB CD ，点E 在AB 上，且=DC DE ，70∠=︒AEC ，则∠D 的度数是__________．12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31+n ；②当n 为偶数时，结果为2kn（其中k 是使得2kn为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如，取6=n ，则：12363105−−−→−−−→−−−→① F F F ②②第次第次第次，若1=n ，则第2次“F 运算”的结果是__________；若13=n ，则第2013次“F 运算”的结果是__________．y xOABCD第8题图（2）第8题图（1）DCBA Oxy三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：1023tan30(23)12--︒+-+．14．解不等式组20512(1)-<⎧⎨+>-⎩xx x．15．已知：如图，=AB AC，点D、E分别在AB、AC上，且使=AE AD．求证：∠=∠B C．16．化简求值：222(1)-+⋅-y x yx y x，其中30-=x y，且0≠y．17．已知(4,2)-A ，(2,4)-B 是一次函数=+y kx b 的图象和反比例函数=my x图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数=+y kx b 的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，若12=ABC S △，求n 的值．18．列方程或列方程组解应用题：根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务．问原计划每天修建公路多少米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，3=BC ，DCE △是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求BEF △的周长．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若53=AC AB ，求EOFO的值．22．如图所示，在44⨯的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60︒），菱形ABCD的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上． （1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）E DCBA ②①（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为1S 、2S 、3S ，周长分别记为1l 、2l 、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“>”、“<”、“≤”或“≥”连接）：面积关系是______________________________； 周长关系是______________________________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象与x 轴分别交于点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且13122-<<-x ． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象与y 轴交于点M ，若=OM O B ，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数22(1)4=-++y x k x k 的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积．24．已知：2=AD ，4=BD ，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当60∠=︒ADB 时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应∠ADB 的大小．25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数223=--y x x 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ，半圆与y 轴的正半轴交于点C ． （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式； （2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标．2014年北京通州中考一模数学试卷答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CCDBADBA二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 910 11 12答案2=x 2(1)-x x40︒ 1；4三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式13312323=-⨯++， 131232=-++， 332=+．14．解：解不等式20-<x ，得2<x ，解不等式512(1)+>-x x ，1>-x ，∴这个不等式组的解集是12-<<x ．15．证明：在ABE △和ACD △中，∵=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB AC A A AE AD ， ∴≅ABE ACD △△（SAS ）． ∴∠=∠B C ．16．解：原式=2222222()--+⋅--x y y x yx y x y x222-=⋅-x x y x y x ， 2()()-=⋅+-x x y x y x y x， =+xx y． 由30-=x y ，得3=x y ， ∴原式333344===+y y y y y ．17．解：（1）把(4,2)-A ，(2,4)-B 分别代入=+y kx b 和=my x中， ∴42244=2⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪-⎩k b k b m ， 解得128=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩k b m ．∴反比例函数的表达式为8=-y x，一次函数的表达式为2=--y x ． （2）设一次函数2=--y x 的图象与y 轴的交点为D ，则(0,2)-D ， ∵12=ABC S △，∴11421222⋅⋅-+⋅⋅=CD CD ， ∴4=CD ， ∴4=n ．18．解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米，根据题意得：600480060092-+=x x， ∴27009=x， ∴300=x ．经检验：300=x 是原方程的解，且符合实际问题的意义． 答：原计划每天修建公路300米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）被抽查的学生总数为520.26200÷=，∴100.05200==a ,200(10.050.20.260.37)24=⨯----=b ． 补全的频数分布直方图如图所示：（2）根据题意得，0.371000370⨯=．答：估计全校1000名学生中约有370名获奖．20．解：∵矩形ABCD ，等边三角形DCE △，∴60∠=∠=︒EDC ECD ，3==ED EC ．过点E 作⊥EH CD 交CD 于点H ，交AB 于点G ．∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30∠=︒FEG ，3==GH AD ， 在Rt EHD △中，90∠=︒EHD ，3=ED ，∴sin ∠=EH EDH ED ，即3sin 6032︒==EH ， ∴332=EH ，∴3133322=-=-=EG EH GH ． 在Rt EGF △中，90∠=︒EGF ，60∠=︒EFG ， ∴sin ∠=EG EFG EF，即1332sin 602︒==EF ， ∴1=EF ，∴1122==FG EF ， ∵点G 是AB 的中点，3=AB ， ∴1322==GB AB ， ∴13222=+=+=FB FG GB ，由勾股定理得，222=+EB EG GB ， ∴3=EB （舍去负值），∴BEF △的周长33=++=+EF FB EB ． 21．（1）证明：连接OD ．∵=OD OA ， ∴∠=∠OAD ODA ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠=∠BAD CAD ， ∴∠=∠ODA CAD ， ∴∥AE OD ， ∵⊥DE AE ， ∴⊥ED DO ， ∵点D 在⊙O 上， ∴ED 是⊙O 的切线．（2）解：连接CB ，过点O 作⊥OG AC 于点G ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴90∠=ACB ， ∵⊥OG AC ， ∴∥OG CB ，∴=AG ACAO AB， ∵53=AC AB ，∴35=AG AO ， 设3=AG x 5=AO x ， ∵⊥DE AE ，⊥ED DO ， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴=EG OD ，∥AE OD ， ∴5=DO x ，5=GE x ，8=AE x ，∴∽AEF DFO △△， ∴=EF AE FO OD ， ∴85=EF FO ， ∴135=EO FO ．22．解：（1）如图所示：②①②①②①（直角三角形）①②（等腰梯形）（矩形）（2）由于各个图形都是由①和②拼接而成，故面积关系是123==S S S ； 经过计算可知，1623=+l ，28=l ，3423=+l ，故周长关系是123>>l l l ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0=y ，则22(1)40-++=x k x k ，解方程得：12=x k 或22=x ， 由题意得：(2,0)A k ，(2,0)B ，∴31222-<<-k ，∴3144-<<-k ．（2）令0=x ，则4=y k ， ∴(0,4)M k ， ∵=OM OB ， ∴42-=k ，∴12=-k ，∴22=--y x x ．（3）2，517+，517-．由（2）知，12=-k ，则(1,0)-A ．如图1，当AM 为边时，=AN MF ，且∥AN MF ． 由（2）知，二次函数的表达式为22=--y x x ． ∵点M 的坐标为(0,2)-， ∴当2=-y 时，222-=--x x ， 解得11=x ，20=x ，∴点F 的坐标为(1,2)-或(0,2)-（与点M 重合，舍去）， ∴1==AN MF ，此时==12=2⋅⨯平行四边形AMFN S AN NM ；如图2，当AM 为对角线时，同理证得1==AN MF ， 此时==12=2⋅⨯平行四边形AMFN S AN NM ；如图3，当AM 为边时，=AE EN ，=ME FE ． 设(,)F a b ，(,0)N t ，则21222022-⎧=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=--⎪⎩a tb b a a ， 解得117223172⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩a b t 或117223172⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩a b t ，此时，317==(1)2=225172+⋅+⨯⨯+=+平行四边形AMFN S AN OM t ， 或317==(1)2=225172-⋅+⨯⨯+=-平行四边形AMFN S AN OM t ； 综上所述，符合条件的平行四边形的面积是2，517+或517-．24．解：（1）过点A 作⊥AH BD 于点H ．∵60∠=︒ADB ，2=AD ， ∴1=DH ，3=AH ， ∴3=-=HB BD DH ， ∴3tan 3∠==AH ABH BH ， ∴30∠=︒ABH ，23=AB ， ∵ABC △是等边三角形， ∴90∠=︒DBC ，23=BC ，由勾股定理得：22224(23)27=+=+=CD DB BC ． （2）作60∠=︒EAD ，且使=AE AD ，连接ED 、EB ． ∴AED △是等边三角形， ∴=AE AD ，60∠=︒EAD ，∵ABC △是等边三角形， ∴=AB AC ，60∠=︒BAC ，∴∠+∠=∠+∠EAD DAB BAC DAB ，即∠=∠EAB DAC ， ∴≅EAB DAC △△． ∴=EB DC ．当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大， ∴246=+=EB ，∴CD 的最大值为6，此时120∠=︒ADB ．25．解：（1）由题意得：(1,0)-A ，(3,0)B ，(0,3)-D ，(1,0)M ．∴2===AM BM CM ， ∴223=-=OC CM OM ， ∴(0,3)C ．∵GC 是⊙M 的切线， ∴90∠=︒GCM ， ∴cos ∠==OM MC OMC MC MG ，即122=MG， ∴4=MG ，∴(3,0)-G ，∴直线GC 的表达式为333=+y x ． （2）设过点D 的直线表达式为3=-y kx ，由2323=-⎧⎨=--⎩y kx y x x 得2(2)0-+=x k x ， 由2[(2)]0∆=-+=k ，得2=-k ，∴过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23=--y x ．（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设(,)E m n ，则点F 的坐标为(,)-m n ． 设EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴222+=HM EH EM ， ∴22(1)4-+=m n ，∵点F 在二次函数223=--y x x 的图象上， ∴223--=-m m n ，解得131⎧=+⎪⎨=⎪⎩m n 或131⎧=-⎪⎨=⎪⎩m n ．(0=n 舍去)由对称性可得：131⎧=+⎪⎨=-⎪⎩m n 或131⎧=-⎪⎨=-⎪⎩m n ．∴1(13,1)+E ，2(13,1)-E ，3(13,1)+-E ，4(13,1)--E ．2013年北京通州中考一模数学试卷部分解析一、选择题 1. 【答案】C【解析】3-的倒数是13-．故选C ．2. 【答案】C【解析】球体的主视图，左视图和俯视图都是圆，形状相同．故选C ．3. 【答案】D【解析】17800用科学记数法表示应为41.7810⨯．故选D ．4. 【答案】B【解析】264∠=∠=︒AOC ABC ．故选B ．5. 【答案】A【解析】一共5只粽子，其中2只红豆粽，故吃到红豆粽的概率是25．故选A ．6. 【答案】D【解析】扇形的面积290π2π360⋅==．故选D ．7. 【答案】B【解析】通过计算可知，平均数为3；中位数为3；众数为3；方差为2．故选B ．8. 【答案】A【解析】根据题意，易得2=AB ，60∠=︒BAO ，菱形的高为3．设菱形沿y 轴方向滑落的速度为1，则沿x 轴滑落的速度为3．当点A 在x 轴上方时，落在x 轴下方的部分是三角形，面积212332=⋅⋅=S t t t ；当点A 在x 轴下方，点C 在x 轴上方时，落在x 轴下方的部分是梯形，面试13[(1)1]3322=+-⋅⨯=-S t t t ；当点C 在x 轴下方时，落在x 轴下方的部分的面积为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积，即21323(62)(62)233(3)22=⨯--⋅-=--S t t t ．综上可知，选项A 的图形符合．故选A ．二、填空题9. 【答案】2=x【解析】由题意得20-=x x，解得2=x ． 故答案为：2=x ．10. 【答案】2(1)-x x【解析】分解因式：32222(21)(1)-+=-+=-x x x x x x x x ． 故答案为：2(1)-x x ．11. 【答案】40︒【解析】∵∥AB CD ，70∠=︒AEC ，∴70∠=∠=︒C AEC ．∵=DC DE ，∴70∠=∠=︒CED C ． ∴18040∠=︒-∠-∠=︒D C CED ． 故答案为：40︒．12. 【答案】1；4【解析】若1=n ，则12141−−−→−−−→①② F F 第次第次，即第2次“F 运算”的结果是1； 若13=n ，则1234561340516141−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→①②③④⑤⑥ F F F F F F 第次第次第次第次第次第次，从第5次开始，出现循环，周期2=T ，∵(20134)210041-÷=L ，∴第2013次“F 运算”的结果是4． 故答案为：1；4．。
北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．2．（4分）（2013•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数675003．（4分）（2013•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为B∴抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=4．（4分）（2013•朝阳区一模）北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，5．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（）6．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）==47．（4分）（2013•朝阳区一模）二次函数y=（x ﹣1）2+3的顶点在（ ）y=8．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB ﹣BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）BAB=•=•二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2013•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m=5．10．（4分）（2013•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．11．（4分）（2013•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱，棱柱．12．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为3．13．（4分）（2013•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2013•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．﹣×﹣=﹣15．（5分）（2013•朝阳区一模）求不等式组的整数解．则不等式组16．（5分）（2013•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC．求证：DF=DC．17．（5分）（2013•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．，解得18．（5分）（2013•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围；155～160cm；（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有160人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．19．（5分）（2013•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两点且A点的纵坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．y=得，y=组成方程组得，，，×4+20．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．都对BF=CF=ABC=，=521．（6分）（2013•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B 重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M 的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？=x+过点﹣）联立抛物线及直线解析式可得：或，，）BE==EBO=，EBO==（×t=t t=（（．﹣t最大面积是22．（7分）（2013•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=2．=cot60，== HG=AM=2=cot60===AM=2 AB=HG=2．。
2013年北京市各城区中考一模数学——选择题第8题汇总1、（2013年门头沟一模）8．如图1，从矩形纸片AMEF 中剪去矩形BCDM 后，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DE 、EF 运动到点F 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则图形ABCDEF 的面积是A ．28B ．32C ．2、（2013年丰台一模）8．如图，在ABC △中，1AB AC ==，20BAC ∠=．动点P 、Q 分别在直线BC 上运动，且始终保持100PAQ ∠= ．设BP x =，CQ y =，则y 与x 的函数关系的图象大致可以表示为3、（2013年平谷一模）8．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x =(k ≠0)与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是A ．12k <<B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤D ．14k <≤图1E DMB A FC PA B C D8．如图，AB 为半圆的直径， 点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 和PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为A ．B ．C ．D ．5、（2013年石景山一模）8．已知：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别为AB 、AD 的中点， G 为线段CE 上的一个动点，设x CECG=，y S GDF =∆，则y 与x 的函数关系图象大致是A B C DGDEFABC第8题图AB 厘米，点P从点B出发,沿BC以每秒8.如图，△ABC是等边三角形，61厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发,沿折线BA-AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t 的函数关系的图象大致是A. B. C. D.7、（2013年西城一模）8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是A B C D8、（2013年通州一模）8． 如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)B ，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间的函数关系的图象为第8题图（1） 第8题图（2）9、（2013年东城一模）8. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是SSSDCBAtO 1234213tO1234213tO12342133124321OtS第8题图（1）DCBA Oxy8．如图，将一张三角形纸片ABC 折叠，使点A 落在BC 边上，折痕EF ∥BC ，得到△EFG ；再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形EMNF ，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2，则△ABC 的面积为A. 6B. 9C. 12D. 1811、（2013年密云一模）8．如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为,则关于的函数图象大致为（ ）12、（2013年延庆一模）8． 在如图所示的棱长为1的正方体中， A 、B 、C 、D 、E 是正 方体的顶点，M 是棱CD 的中点. 动点P 从点D 出发，沿着D→A→B 的路线在正方体的棱上运动，运动到点B 停止运动. 设点P 运动的路程是x ， y=PM ＋PE ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A B C DDCBA8．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是14、（2013年昌平一模）8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6cm ，动点P 从点A 出发，沿AB 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P '.设Q 点运动的时间为t 秒，若四边形QP CP '为菱形，则t 的值为 A. B. 2 C. D. 3CB PH E (F)ABCD 题图88. 如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F→H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）16、（2013年大兴一模）8. 如图，已知A 、B 是反比例函数y ＝ k x (k ＞0，x ＞0)图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C 匀速运动，终点为C ．过点P作PM ⊥x轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为。
EFDABC2013年北京市平谷区第二学期初三统一练习 数 学 试 卷 2013．4考生须知1．试卷分为试题和答题卡两部分，共11页，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答。
2．答题前，在答题卡上考生务必将自己的考试编号、姓名填写清楚。
3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用2B 铅笔。
4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。
请保持卡面清洁，不要折叠。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13D ．13-2．最新统计，中国注册志愿者总数已超30 000 000人，30 000 000用科学记数法表示为 A ．7310⨯ B ．6310⨯ C ．63010⨯ D ．5310⨯ 3．如图，在□A B C D 中，C E AB ⊥，E 为垂足． 如果125A =∠，则B C E =∠ A ．25B ．30C ．35D ．554．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是 A ．17B ．18C ．19D ．1105．如图，点D E F ，，分别是A B C △三边的中点，若A B C △的 周长为20cm ，则D EF △ 的周长为 A ．15cmB ．20cm 3C ．5cmD ．10cm6．北京市2013年4月份某一周天气预报的日最高气温（单位：℃） 分别为13，14，17，22，22，15，15，这组数据的众数是 A ．22℃ B ．15℃C ．C ︒22℃和15D ．18.5℃7．将函数267y x x =++进行配方，正确的结果应为 A ．2(3)2y x =+- B ．2(3)2y x =++C ．2(3)2y x =-+D ．2(3)2y x =--A E BCDCBAED8．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直 角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线k y x=(k ≠0)与A B C ∆有交点，则k 的取值范围是 A ．12k << B ．13k ≤≤C ．14k ≤≤D ．14k <≤二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．如果分式31x -的值为正数，那么x 的取值范围是_____________．10．分解因式：324a ab -=__________ ．11．如图，⊙O 的半径OA =6，弦AB =8，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 ．12．如图1、图2、图3，在A B C △中，分别以A B A C 、为边，向A B C △外作正三角形，正四边形，正五边形，B E C D 、相交于点O ．如图4，A B A D 、是以A B 为边向A B C △外所作正n 边形的一组邻边；A C A E 、是以A C 为边向A B C △外所作正n (n 为正整数)边形的一组邻边．B E C D 、的延长相交于点O ．图1中B O C ∠= ； 图4中B O C ∠= （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算： 011()20132s i n 60122--+︒--．14．已知2250x x --=，求21(21)(2)(2)4()2x x x x x -++---的值．15．已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .16．如果2-是一元二次方程280x mx +-=的一个根，求它的另一根． 17．如图，一次函数4+=mx y 的图象与x 轴相交于点A ， 与反比例函数)0(>=x xk y 的图象相交于点(16)B ，．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点P 是x 轴上一点，若18=∆APB S ,直接写出点P 的坐标．y1 xOA BCO PBACABDE18．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．四、解答题（本题共20分，第小题5分）19．已知：如图，四边形ABCD中，90A∠=︒，120D∠=︒，E 是AD上一点，∠BED=135°，22BE=，23DC=,23DE=-．求(1)点C到直线AD的距离；（2）线段BC的长．20. 如图，A B是O⊙的直径，点C在O⊙上，C A B∠的平分线交O⊙于点D，过点D作A C的垂线交A C的延长线于点E，连接B C交A D于点F.（1）求证：E D是O⊙的切线；（2）若108A B A D==，，求C F的长.21．2010年4月，国务院出台“房贷新政”，确定实行更为严格的差别化住房信贷政策，对楼市产生了较大的影响．下面是某市今年2月~5月商品住宅的月成交量统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）该市今年2月~5月共成交商品住宅套；(2）请你补全条形统计图；（3）该市这4个月商品住宅的月成交量的极差是套，中位数是套．22. 对于平面直角坐标系中的任意两点11122(,)()P x y P x y2、，，我们把1122x x y y-+-叫做12P P、两点间的直角距离，记作12()d P P，．（1）已知点12(3,4)(1)P P-、，1，那么12P P、两点间的直角距离12()d P P，=_____________；x（元）15 20 25 …y（件）25 20 15 …11yx（2）已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形；（3）设0()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0()d P Q ，的最小值叫做点0P 到直线y ax b =+的直角距离.试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD C E =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN=，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM = °，并写出你的推理过程.25．如图1，在直角坐标系中，已知直线112yx =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，以线段BC 为边向上作正方形ABCD . （1）点C 的坐标为（ ），点D 的坐标为（ ）； （2）若抛物线22(0)yax bx a =++≠经过C 、D 两点，求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 BA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时， 正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式， 并写出相应自变量t 的取值范围.BCA图1PM BCAN图2图1平谷区2012～2013学年度第二学期初三统一练习数学试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案DACBDC AC二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．1x >； 10．(2)(2)a a b a b +-； 11．25； 12．120360n.（每空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：011()20132sin 60122--+︒--3212122=-+⨯-........................................................................... (4)分1323=+- 13.=- ……………………………………………………………………………… 5分 14．解：解：12(21)(2)(2)4()2x x x x x -++---222441442x x x xx =-++--+ …………………………………………………… 3分 223x x =-- ………………………………………………………………………… 4分∵ 2250,x x --= ∴ 当225x x -=时， 原式 2=. …………………… ………………………………… 5分15．证明：∵ AB //CD ，∴B D C E ∠=∠．………………………………………………………………1分在△ABC 和△ECD 中，= =B D C E AB EC BC C D ∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩，，， ∴ △ABC ≌△ECD ． ………………………………………………………4分 ∴ AC =ED ．…………………………………………………………………5分16．解：因为2-是280x mx +-=的一个根， 所以 2(2)(2)80m -+--=．解得 2m =-．…………………………………………………… 2分当2m =-时，原方程化为 2280x x --=．解得 12x =-，24x =. ……………………………………………………………… 4分∴ 它的另一根是4．……………………………………………………………… 5分GFCAB ED17．解：（1）把1,6xy ==分别代入4+=mx y 和)0(>=x xk y ，得 2, 6.m k ==…………………………………………………………………………… 2分 ∴ 一次函数的解析式为 24y x =+， 反比例函数的解析式为6(0)y x x=> (3)分（2）P 点坐标为（5,0）或（7,0-）．………………………………………………………5分 18．解：（1）设此一次函数解析式为.y kx b =+ ……………………..…………………1分则1525,2020.k b k b +=⎧⎨+=⎩ ………………………………………………………..…..…2分解得k =-1，b =40．即一次函数解析式为40y x =-+． ………………………………………………3分 （2）每日的销售量为304010y=-+= ……………………………. ………….……..4分所获销售利润为（30-10）×10=200元． ……………………………………….……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）作CF ⊥AD 交AD 的延长线于F . ………………………………………..1分 ∵ ∠ADC =120°， ∴ ∠CDF =60°.在Rt △CDF 中，3sin 6023 3.2FC C D =⋅︒=⋅=………………………………………2分即点C 到直线AD 的距离为3. （2）∵ ∠BED=135°，22BE =， ∴ ∠AEB =45°. ∵ 90A ∠=︒， ∴ ∠ABE =45°. ∴ 2.ABAE == (3)分作BG ⊥CF 于G .可证四边形ABGF 是矩形. ∴ FG =AB =2，CG =CF -FG =1. ∵132DF CD ==，∴ 2233 4.BG AF AE ED DF ==++=+-+= ………………………………..4分 ∴ 22224117.BC BG CG =+=+=……………………………………………… 5分4500月份成交套数05月4月3月2月7 0002 0003 0004 0005 0006 0001 00011yx20．解：（1）证明：连结O D ，则O A O D =．∴ .O A D O D A ∠=∠∵ A D 平分C A B ∠，∴ .C AD O AD O D A ∠=∠=∠,∴ O D A E ∥． ………………………………….1分∴ 180AED O D E ∠+∠=°． ∵D E AE ⊥，即90A E D ∠=°，∴ 90O D E ∠=°，即O D E D ⊥．∴ E D 与O ⊙相切．……………………………..2分（2）连结B D ． ∵A B 是O ⊙的直径， ∴90A D B ∠=°．∴ .622=-=AD ABBD ……………………………………………………….3分∵ B A D C A D C B D A D B B D F ∠=∠=∠∠=∠，． ∴ .D AB D BF △∽△ ∴A DB D B DF D=，即866F D =，得92F D =．∴ 97822A F A D F D =-=-=． …………………………………………………4分可证.A C F B D △∽△F∴.CF AFFD BF = ∴ .2110CF = ……5分21．解：（1）18 000； …………………2分（2）如图； ………………………3分 （3）3 780，4 410． ……………..5分．22．解：（1）12()7d P P =，；…………………..1分（2）由题意，得1x y +=，……………2分 所以符合条件的点P 组成的图形如图所示；…3分（3）∵………………………………………..∴ 点(2,1)M 到直线2y x =+的直角距离为3． ……………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）(,)2122121.d M Q x y x x x x =-+-=-++-=-++∵ x 可取一切实数，21x x -++表示数轴上实数x 所对应的点到数2和1-所对应 的点的距离之和，其最小值为3.…..4分EPMBCAN23．解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+…….…………………………………………….1分∵ 20,m ≥ ∴ 280.m ∆=+>所以无论m 取任何实数，方程221x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分(2)设221y x mx =+-．∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间，∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．当32x =时，0y >，即：931022m +->．∴ 1213m -<<． ………………………..………..………………………………3分∵ m 为整数， ∴ 210m =--，，． …………………………………………………………….. 4分 ① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，， 此时方程的根为无理数，不合题意．②当0m =时，方程2210x -=，22x =±，不符合题意．③当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．综合①②③可知，1m =-．………………………………………..………………7分24．解：（1）60°………………………………..1分（2）45° ………………………………..2分 证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==.可证EAM M BC ∆≅∆. ……………………………..3分 ∴ ,.M E M C AM E BC M =∠=∠∵ 90,C M B M C B ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒∴90.EMC ∠=︒∴ EM C ∆是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ ……………….5分又△AEC ≌△CAN （s ， a ， s ）…………………………………………………………..6分 ∴ .ECA NAC ∠=∠ ∴ EC ∥AN.∴ 45.APM ECM ∠=∠=︒…………………………………………………………………..7分 25．解：（1）C （－3，2），D （－1，3） ………………………………………………2分 （2）抛物线经过（－1，3）、（－3，2），则93222 3.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得123.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴ 223212+--=x x y ……………….…3分（3）①当点D 运动到y 轴上时，t =12. …………..…4分图2当0＜t ≤21时，如图1 设D ′A ′交y 轴于点E.∵ tan ∠BAO =O B O A=2,又∵∠BAO =∠EAA ′∴ tan ∠EAA ′=2, 即''E A A A =2∵AA ′=5t , ∴EA ’=25t . ∴S △EA ’A =21AA ′·EA ′=521t ×52t =5 t 2………5分当点B 运动到点A 时，t =1. ………………………………………………6分 当21＜t ≤1时，如图2设D ′C ′交y 轴于点G ，过G 作GH ⊥A ′B ′于H . 在Rt △AOB 中，AB =51222=+∴ GH =5,AH =21GH =25∵ AA ′=5t ,∴HA ′=5t －25,GD ′=5t －25.∴S 梯形AA ′D ′G =21(5t －25+5t ) 5=5t －45……………………………7分当点C 运动到y 轴上时，t =23.当1＜t ≤23时，如右图所示设C ′D ′、C ′B ′分别交y 轴于点M 、N ∵AA ′=5t ，A ′B ′=5,∴AB ′=5t －5, ∴B ′N =2AB ′=52t －52 ∵B ′C ′=5,∴C ′N =B ′C ′－B ′N =53－52t ∴'C M =21C ′N =21(53－52t )∴'C MN S ∆=21(53－52t )·21(53－52t )=5t 2－15t +445∴S 五边形B ′A ′D ′MN =S 正方形B ′A ′D ′C ′ －S △MNC ′ =-2)5((5t 2－15t +445)=－5t 2+15t －425综上所述，S 与x 的函数关系式为：当0＜t ≤21时, S =52t当21＜t ≤1时，S =5t 45-当1＜t ≤23时，S =－5t 2+15t 425-………………………………………………..8分图2图1。
北京市怀柔区2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．2．（4分）（2013•怀柔区一模）2012年“博爱在京城”募捐救助活动中，我区红十字会共接收4．（4分）（2013•怀柔区一模）如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是矩形的是（）B5．（4分）（2013•怀柔区一模）有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三BP=．6．（4分）（2013•怀柔区一模）关于x的方程（a﹣2）x2﹣2x﹣3=0有一根为3，则另一根3==3=，，=7．（4分）（2013•怀柔区一模）我市连续十天的空气污染指数的数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物，又称PM10）：61，75，70，56，81，90，92，91，76，81．那么该组数据的8．（4分）（2013•怀柔区一模）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）．B ．C ．DDF）≤2BH=3BH x x+923综上可知，图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•怀柔区一模）分解因式：2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2．10．（4分）（2013•怀柔区一模）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，则∠E的度数为80°．11．（4分）（2013•怀柔区一模）如图是某太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150cm，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76cm，∠CED=60°．则水箱半径OD的长度为（150﹣76）cm．（结果保留根号）=cm+xAO+x=767612．（4分）（2013•怀柔区一模）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D1D2的长为，线段D n﹣1D n的长为（n为正整数）．B=（=的长为（故答案为：；三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2013•怀柔区一模）计算：．2+．14．（5分）（2013•怀柔区一模）解不等式组，．15．（5分）（2013•怀柔区一模）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．××===116．（5分）（2013•怀柔区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．17．（5分）（2013•怀柔区一模）已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．=6===代入得：，18．（5分）（2013•怀柔区一模）某商店经销一种T恤衫，4月上旬的营业额为2000元，为扩大销售量，4月中旬该商店对这种T恤衫打9折销售（原销售价格的90%），结果销售量增加20件，营业额增加700元．求该种T恤衫4月上旬的销售价格．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2013•怀柔区一模）将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，P是AC上的一个动点，连接DP．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数．，PF=DP==PD=BC==20．（5分）（2013•怀柔区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：∠PCB=∠A；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，求证：AM2=MN•MC．21．（5分）（2013•怀柔区一模）我区开展“体育、艺术2+1”活动，各校学生坚持每天锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是20%，其所在扇形图中的圆心角的度数是72°；（2）请把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1000人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？=10022．（5分）（2013•怀柔区一模）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．则比例式可化为：=）（或），（或），则（或五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•怀柔区一模）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．，h+xhhh=9h=由方程组h＜24．（7分）（2013•怀柔区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，AB=AN，连结CD、BN，CD的延长线交BN于点F．（1）当∠ADN等于多少度时，∠ACE=∠EBF，并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=E，∠CAD=B，试探索N、A′满足什么关系时，△ACE≌△FBE，并说明理由．25．（8分）（2013•怀柔区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．）根据题意，得，时，得．时，得的坐标为，=×。
北京市东城区2012－－2013学年第二学期初三综合练习（一）数学试卷 2013.5学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1.15-的倒数是 A. 5 B.15 C. 15- D. －5 2. 2013年国家财政支出将大幅向民生倾斜，民生领域里流量最大的开销是教育，预算支出达到23 000多亿元.将23 000用科学记数法表示应为A. 23×104B. 0.23×106C. 2.3×105D. 2.3×104 3．用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x +=4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是S 2甲=0.90，S 2乙=1.22，S 2丙=0.43，S 2丁=1.68.在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ． 丁5. 如图，下面是利用尺规作AOB ∠的角平分线OC 的作法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若12OC OA =，则∠C 等于A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°7. 在一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，标号为1，2，3，现随机地取出一个小球，然后放回，再随机地取出一个小球，两次取得小球的标号相同的概率是 A.16 B. 14 C. 13 D. 128. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，△APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k =0有两个相等的实数根，则k 的值为 ．10. 分解因式：316a a -=________________.11. 已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成． 则阴影部分的面积是 ．12. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如右图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.计算： 1012sin 60()(2013)3--︒+-．14．求不等式 2x +9 ≥ 3(x +2) 的正整数解．15.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，作∠EAB =∠BAD ，AE 边交CB 的延长线于点E ，延长AD 到点F ，使AF =AE ，连结CF ．求证：BE =CF ．16．先化简，再求值：21)3(21)m m -++2(，其中m 是方程210x x +-=的根．17.列方程或方程组解应用题小红到离家2100米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．初中数学辅导网(1)小红步行的平均速度(单位：米/分)是多少？(2)小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）18.如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2，0)，B（2，0），D(0，3)，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过点C.（1）求此反比例函数的解析式；（2）问将平行四边形ABCD向上平移多少个单位，能使点B落在双曲线上.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调査中，共调査了名中学生家长；（2）将图①补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区80 000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？20．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；的值．（2）若BE=1，AG=4，求sin AEB21. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AB=4，AP∶PC=1∶2，求CF的长.22. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图2，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，再与三角形纸片EGH拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)（1）请你在图3中画出拼接成的四边形；（2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm，最大值为________cm．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．24. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.25.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA ＜OB ），与y 轴的交点坐标为（0，－5）.点M 是线段AB 上的任意一点，过点M （a ，0）作直线MC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D （C ，D 不重合），点P 是线段MC 上一点，连结CD ，BD ，PD . （1）求此抛物线的解析式；（2）当1a =时，问点P 在什么位置时，能使得PD ⊥BD ； （3）若点P 满足14MP MC =，作PE ⊥PD 交x 轴于点E ，问是否存在这样的点E ，使得PE =PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.北京市东城区2012－－2013学年第二学期初三综合练习（一）参考答案及评分标准13．（本小题满分5分） 解：原式=231+- ………………4分 2 . ………………5分 14．（本小题满分5分）解：2936x x +≥+ ， ………………1分2369x x -≥- ， ………………2分3x -≥- ， ………………3分 3x ≤． ………………4分∴ 不等式的正整数解为1,2,3 ． ………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵ AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴ ∠CAD =∠BAD ． ………………1分 又∵ ∠EAB =∠BAD ，∴ ∠CAD =∠EAB ． ………………2分 在△ACF 和△ABE 中，,,,AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACF ≌△ABE ． ………………4分 ∴ BE =CF ． ………………5分16．（本小题满分5分）解：原式=221)63m m m -+++2( =24263m m m -+++2=225m m ++2． ………………3分 ∵ m 是方程210x x +-=的根，∴ 210m m +-=． ∴ 21m m +=．∴ 原式=2)5m m ++2(=7．………………………5分 17．（本小题满分5分）解：(1)设小红步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分． 1分根据题意得：21002100203x x=+ ． ······················································· 2分 得 70x = ． ··················································································· 3分 经检验70x =是原方程的解 ． ································································ 4分答：小红步行的平均速度是70米/分． (2)根据题意得:21002100404570370+=<⨯ ． ∴小红能在联欢会开始前赶到． …………………………………5分18.（本小题满分5分） 解：（1）∵ 平行四边形ABCD ，A (－2，0)，B （2，0），D (0，3)， ∴ 可得点C 的坐标为（4,3）.∴ 反比例函数的解析式为 12y x=. …………………………………3分 （2）将点B 的横坐标2代入反比例函数12y x=中，可得y =6.∴ 将平行四边形ABCD 向上平移6个单位，能使点B 落在双曲线上.………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.（本小题满分5分）解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人； …………………………1分 （2）持赞成态度的学生家长有200﹣50﹣120=30人，故统计图为： …………………………3分 （3）持赞成态度的家长有：80000×15%=12000人．………………………………5分20.（本小题满分5分）解：（1）证明：∵ 矩形ABCD ，∴ AD ∥BC .∴ ∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点，∴ AG =DG .∴ ∠DAG =∠ADE .∴ ∠CED =∠DAG . …………………………2分(2) ∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ，∴ ∠AED =∠AGE .∴ AE =AG .∵ AG =4，∴ AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴ sin 4AB AEB AE ∠== …………………………5分21．（本小题满分5分） 解：（1）证明：连结OC ．∵ OE ⊥AC ，∴ AE =CE ．∴ F A =FC ．∴ ∠F AC =∠FCA ．∵ OA =OC ，∴ ∠OAC =∠OCA ．∴ ∠OAC +∠F AC =∠OCA +∠FCA ．即∠F AO =∠FCO ．∵ F A 与⊙O 相切，且AB 是⊙O 的直径，∴ F A ⊥AB ．∴ ∠FCO =∠F AO =90°．∴ PC 是⊙O 的切线． ………………………………………………… 2分（2）∵∠PCO =90°，即∠ACO +∠ACP =90°.又∵∠BCO +∠ACO =90°，∴ ∠ACP =∠BCO .∵BO=CO，∴∠BCO=∠B.∴∠ACP=∠B.∵∠P公共角，∴△PCA∽△PBC .∴PC PA AC PB PC BC==.∵AP∶PC=1∶2，∴1=2 ACBC.∵∠AEO=∠ACB=90°，∴OF∥BC.∴AOF ABC∠=∠.∴1 tan tan2 AOF ABC∠=∠=.∴1 tan2AFAOFAO∠==.∵AB=4，∴AO=2 .∴AF=1 .∴CF=1 . ………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）拼接成的四边形所图虚线所示；………………2分（2）8+；8+. …………………………5分（注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来菱形的边AB=4，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为2）=8+E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于边形的周长最大，其值为8+）五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（=26944m m m ++--=225m m ++=2(1)4m ++．∵ 2(1)m +≥0，∴ 2(1)4m ++＞0．∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分（2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，得 x = ………………3分 要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=，则(1)(1)4a m a m ++--=.∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同，可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩. ………………5分将m =－1代入x =，得 122,0x x =-=符合题意. ………………6分 ∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分24. （本小题满分7分） 解：（1）猜想的结论：MN =AM +CN ． ……………1分（2）猜想的结论：MN =CN －AM ． ……………3分证明: 在 NC 截取 CF = AM ，连接BF ．∵ ∠ABC +∠ADC =180°，25．（本小题满分8分）解：（1） 抛物线2229y x mx m =-+-与y 轴交点坐标为（0,-5），259m ∴-=-. 解得2m =±.抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA OB <），2m ∴=.∴抛物线的解析式为245y x x =--. ……….. 2 分（2）过D 点作DF x ⊥轴于点F ， //,CD MF DF MF ⊥ ， CD MF ∴⊥.PD BD ⊥ ,.PDC BDF ∴∠=∠.又=90PCD BFD ∠=∠︒ ， PCD BFD ∴∆∆∽.CD PC FD BF∴=. (1,8),(3,8),(3,0),(5,0)C D F B -- ，设Py （1，），28=82y +∴. 解得152y =-. ∴当P 的坐标为15(1,)2-时， PD BD ⊥. ……….. 4分（3）假设E 点存在，MC EM ⊥ ，CD MC ⊥， EMP PCD ∴∠=∠.PE PD ⊥ ，EPM PDC ∴∠=∠.,PE PD =EPM PDC ∴∆∆≌.,PM DC EM PD ∴==.设00(,)C x y ，则00(4,)D x y -，001(,)4P x y . 001244x y ∴-=-. 2000124(45)4x x x ∴-=---. 解得01x =或03x =.(1,-2)(3,-2)P P ∴或.6PC ∴=.6ME PC ∴==.(7,0)E ∴或(-3,0)E .…………………………………………… 8分。
