山东省临沭县青云镇八年级数学下册第17章勾股定理综合测试题B卷扫描版新人教版(含答案)

人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．54．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c26．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25 7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高米．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了米．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝，BC＝，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）1．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，则斜边的长为（）A．3B．4C．5D．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理计算得出答案．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为3和5，∴斜边的长为：＝．故选：D．2．（3分）下列定理中，有逆定理的个数是（）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若两个数互为相反数，他们的奇次幂也互为相反数；③面积相等的长方形周长也一定相等；④若a＝b，则a2＝b2．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】分别写出各个命题的逆命题，逐项判断即可．【解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两边相等，正确，有逆定理；②有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是若两个数的奇次幂互为相反数，这两个数互为相反数，正确，有逆定理；③面积相等的长方形周长也一定相等的逆命题是周长相等的长方形面积也相等，为假命题，无逆定理；④若a＝b，则a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，则a＝b，为假命题，无逆定理；故有逆定理的个数是2个，故选：B．3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13B．169C．12D．5【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：AB＝＝13，故选：A．4．（3分）下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）A．62、82、102B．6、8、9C．2、、D．、、【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先找出两小边，求出两小边的平方和，求出大边的平方，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：A、（62）2+（82）2≠（102）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；B、62+82≠92，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；C、22+（）2≠（）2，即组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；D、（）2+（）2＝（）2，即组成的三角形是直角三角形，故本选项正确；故选：D．5．（3分）下列命题的逆命题不成立的是（）A．如果a＞b，那么a﹣b＞0B．如果a+b＝0，那么a2＝b2C．等边对等角D．如果△ABC是直角三角形（两直角边为a，b，斜边为c），那么a2+b2＝c2【考点】命题与定理．【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为：如果a﹣b＞0，那么a＞b，逆命题成立；B、逆命题为：如果a2＝b2，那么a+b＝0，逆命题不成立；C、逆命题为：等角对等边，逆命题成立；D、逆命题为：如果三角形三边满足a2+b2＝c2，那么该三角形是直角三角形，逆命题成立；故选：B．6．（3分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（）A．8，10，12B．3，4，5C．5，12，13D．7，24，25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵82+102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；D、∵72+242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．7．（3分）在下列各组数中能组成直角三角形的有（）；（1）9、80、81（2）10、24、25（3）15、20、25（4）8、15、17．A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：（1）92+802≠812，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（2）102+242≠252，根据勾股定理的逆定理，故不是直角三角形；（3）152+202＝252，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形；（4）82+152＝172，根据勾股定理的逆定理，故是直角三角形．故选：B．二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）8．（3分）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是5cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】由题意可知长方体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理求解即可．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为＝10cm，盒子的对角线长：＝20cm，细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20＝5cm．故答案为：5．9．（3分）如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝15，则S2＝10．【考点】勾股定理．【分析】由勾股定理得AB2＝BC2+AC2，再结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S3＝15，S1＝5，∴BC2＝5，AB2＝15，S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣5＝10，故答案为：10．10．（3分）如图，一根旗杆于离地面3m处断裂，倒向地面，旗杆顶落于离旗杆底部4m处，旗杆断裂之前高8米．【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，根据勾股定理求出AB即可解决问题．【解答】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，AB＝＝＝5（米），∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），故答案为：8．11．（3分）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了9米．【考点】勾股定理的应用．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．12．（3分）如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成2个直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能够组成2个直角三角形．故答案为：2．13．（3分）如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了 2.5米．【考点】勾股定理的应用．【分析】要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设CD＝x，AB＝DE＝y，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求BC的长度，在直角△ABC中，根据BC，AC即可求AB．【解答】解：已知AE＝1.3米，AC＝0.7米，BD＝0.9米，设CD＝x，AB＝DE＝y，则BC＝0.9+x则在直角△ABC中，y2＝（0.9+x）2+0.72，在直角△CDE中，y2＝x2+（1.3+0.7）2，解方程组得：x＝1.5米，y＝2.5米，故答案为 2.5．14．（3分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是．【考点】勾股定理．【分析】在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2＝c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3＝S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．【解答】解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，又S1＝，S2＝2π，则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．故答案为：三、解答题（本题共计7小题，共计78分，）15．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯足向外移0.8米，那么梯子的顶端沿墙下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据EC ＝EB+BC即可求得EC的长度，在直角三角形DEC中，已知DE，EC即可求得DC的长度，根据AD＝AC﹣DC即可求得AD的长度．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝＝2.4（m），∴EC＝BC+BE＝1.5m在直角△DEC中，DC＝＝＝2（m），∴AD＝AC﹣DC＝0.4（m），答：梯子的顶端沿墙下滑0.4m．16．我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米．（1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？【考点】勾股定理的逆定理．【分析】（1）先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（2）根据路程和÷速度和＝相遇的时间，列式计算即可求解．【解答】解：（1）第一组的路程：30×30＝900（米），第二组的路程：40×30＝1200（米），∵9002+12002＝15002，∴两组同学行走的夹角是直角；（2）1500÷（30+40）＝1500÷70＝21（分钟）．答：经过21分钟后才能相遇．17．已知图中的每个方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点在格点上，称为格点三角形，请按要求完成下列各题（1）填空：AB＝3，BC＝2，AC＝；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长；（2）由勾股定理的逆定理即可作出判断．【解答】解：（1）根据勾股定理即可得到：AB2＝62+32＝45，BC2＝42+22＝20，AC2＝72+42＝65，则AB＝3，BC＝2，AC＝．故答案为3，2，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2＝45，BC2＝20，AC2＝65，AB2+BC2＝45+20＝65，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．18．如图，台风过后，一颗白杨树在高地某处断裂，白杨树的顶部落在离白杨树根部8米处，已知白杨树高16米，你能求出白杨树在离根部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意结合勾股定理求出答案．【解答】解：设白杨树在离根部x米的位置断裂，根据题意可得：x2+82＝（16﹣x）2，解得：x＝6．答：白杨树在离根部6米的位置断裂．19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【解答】解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×3×4＝6，在△ACD中，∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，＝AC•CD＝×5×12＝30．∴S△ACD+S△ACD＝6+30＝36．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音声的影响，试问该校受影响的时间为多少秒？【考点】勾股定理的应用．【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．【解答】解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，，∴CD＝2CB＝120m，∵18km/h＝18000m/3600s＝5m/s，∴该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．答：该校受影响拖拉机产生的噪声的影响时间为24秒．21．为了加强农村“疫情防控”知识，某镇政府采用了移动宣传的形式进行宣传：如图，笔直公路l的一侧有一村庄P，P到公路l的距离为1200米，宣传车M匀速在l上行驶，在车周围1300米以内能听到广播宣传，若至少连续宣传5分钟才有效果，宣传车最高时速是多少？【考点】勾股定理；一元一次不等式的应用．【分析】作PH⊥l，垂足为H，由勾股定理求出MH＝500，则MM'＝1000，由题意可得5x≤1000，解不等式可得出答案．【解答】解：作PH⊥l，垂足为H，∵PM＝1300米，PH＝1200米，∠PHM＝90°，∴MH＝＝＝500（米），根据对称性可知，M'H＝MH，∴MM'＝1000米，即宣传车能够让P点有效听到的距离为1000米，设宣传车时速是x米/分钟，由题意可得5x≤1000，∴x≤200，200米/分钟＝12km/h．答：宣传车最高时速是12km/h．。

2020年春天八年级下册第17章《勾股定理》综合测试卷时间100分钟，满分120分班级____________姓名____________学号____________成绩____________一．选择题（共12小题，满分36分）1．以下各组数是勾股数的是（）A．1，2，3C．6，8，10D．5，11，122．由以下条件不可以判断△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A﹣∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝D．（b+c）（b﹣c）＝a23．如图，一个梯形分红一个正方形（暗影部分）和一个三角形（空白部分），已知三角形的两条边分别是12cm和13cm，那么暗影部分的面积是（）cm2．A．16B．25C．36D．494．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D 表示的数为（）A．B．+2C．﹣2D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则CD的长是（）A．6B．9C．12D．6．如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，此中长度是有理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，DAD上一点，连结BE，若∠ABE＝∠BAE═∠BAC，则为BC上一点，连结DE的长为（）AD，E为A．cmB．cmC． cmD．1cm8．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两乡村，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB 上建一个服务站E，使得C、D两乡村到E站的距离相等，则EB的长是（）km．A．4B．5C．6D．9．如图，用4个同样的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19610．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝12，AB ＝5．分别以A，C为圆心，以大于线段AC 长度的一半为半径作弧，两弧订交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AC于点D，连结BD，则△ABD 的周长为（）A．13B．17C．18D．2511．某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是米，高分别为米，米，米，米，则能经过该工厂厂门的车辆数是（）（参照数据：≈，≈，≈）A．1B．2C．3D．412．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，按此规律持续下去，则5S的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x，则x2＝．14．假如点A的坐标为（﹣4，0），点15．已知一个等腰三角形的一边长为B的坐标为（4，一边长为0，3），则AB＝．6，则这个三角形底边上的高的长为．16．《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高一丈．依木于垣，上于垣齐．引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意即：一道墙髙一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向退后，则木棒上端会跟着往下滑，当木棒下端向退后了四尺时，木棒上端恰巧落到地上，则木棒长尺（1丈＝10尺）．17．如图，分别以直角△ABC 的三边为直径作半圆，若两直角边分别为6，8，则暗影部分的面积是．18．已知三角形三边长分别为、、借助结构图形并利用勾股定理进行研究，得出此三角形面积为数式表示）．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB ＝4沿射线BC方向以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t 秒，则当为直角三角形．（a＞0，b＞0），请（用含a、b的代cm，动点P从点B出发t＝秒时，△ABP20．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，，按此规律进行下去，则A2020的坐标是．三．解答题（共8小题，满分60分）21．某中学八（1）班小明在综合实践课上剪了一个四边形ABCD，如图，连结AC，经丈量AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，∠B＝90°．求证：△ACD是直角三角形．22．如下图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．23．如图，学校有一块空地ABCD，准备种草皮绿化已知∠ADC＝90°，AD＝4米，CD ＝3米，AB＝13米，BC＝12米，求这块地的面积．24．某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时辰恰巧行驶到路对面车速检测仪A处的正前面30m的C处，过了2s，小汽车抵达 B 处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的題离为50m，这辆小汽车超速了吗？要求它的边长为无理25．利用如图4×4方格，每个小正方形的边长都为1．（1）恳求出图1中暗影正方形的面积与边长；（2）请在图2中画出一个与图1中暗影部分面积不相等的正方形，数，并求出它的边长；（3）把分别表示图1与图2中的正方形的边长的实数在数轴上表示出来．26．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB＝13m，梯子底端离墙角的距离BO＝5m．（1）求这个梯子顶端（2）假如梯子的顶端A距地面有多高；A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD＝4m吗？为何？27．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长；（2）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，求AM的长．28．（1）我国有名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分红四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，考证了一个特别要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c知足关系式a2+b2＝2c．称为勾股定理．证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝∴＝c2∴．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能考证这个结论，请你帮助小明达成考证的过程，（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你增添适合的协助线证明结论222 a+b＝c．参照答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A 、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B 、∵22＝2，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C 、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数；2 2 2，∴这组数不是勾股数． D 、∵5+11 ≠12 应选：C ． 2．【解答】解：A 、由题意：∠C＝ ×180°＝75°，△ABC 是锐角三角形，本选项切合题意．B 、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC 是直角三角形，本选项不切合题意．C 、∵a＝1，b ＝2，c ＝，∴a 2+b 2＝c 2，∴∠C＝90°，∴△ABC 是直角三角形，本选项不切合题意．D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，∴b 2＝a 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形，本选项不切合题意．应选：A ．3．【解答】解：如下图：Rt△CDE 中，DE ＝12，CE ＝13， ∴CD＝＝5，∴暗影部分的面积＝5×5＝25cm 2；应选：B ．4．【解答】解：由题意可得，AB ＝3，BC ＝2，AB⊥BC， ∴AC＝＝＝，∴AD＝．∴点D表示数为﹣2．应选：C．5．【解答】解：∵∠C＝90，DA＝15，S△DAB＝DA?BC＝90，BC＝12在Rt△BCD中，CD2+BC2＝BD2，即CD2+122＝152，解得：CD＝9（负值舍去）．应选：B．6．【解答】解：察看图形可知PA＝4，由勾股定理得：PB＝＝，PC＝＝5，PD＝＝2，PE＝＝，故此中长度是有理数的有2条．应选：B．7．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE═∠BAC ，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，BD＝BC＝6，∵AB＝10，∴AD＝＝8，∵∠ABE＝∠BAE，AE＝BE，设DE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，BE2＝DE2+BD2，∴（8﹣x）2＝x2+62，解得：x＝，即DE＝cm，应选：C．8．【解答】解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，因此：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4km．因此，EB的长是4km．应选：A．9．【解答】解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，∴直角三角形斜边长＝13，∴大正方形的边长是13，∴大正方形的面积是13×13＝169．应选：C．10．【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝12，AB＝5，∴AC＝＝13，依据题意可得EF是AC的垂直均分线，D是AC的中点，AD＝AC＝，BD＝AC＝，∴△ABD的周长为6.5+6.5+5＝18．应选：C．11．【解答】解：∵车宽2米，∴卡车可否经过，只需比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝≈（米），CH＝CD+DH＝＝，∴两辆卡车都能经过此门，应选：B．12．【解答】解：在图中标上字母E，如下图．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，S2+S2＝S1．察看，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，，∴S n＝（）n﹣1．当n＝5时，S5＝（）5﹣14＝（），应选：A．二．填空题（共8小题）13．【解答】解：∵直角三角形的直角边长分别为8，15，∴由勾股定理得，x2＝82+152＝64+225＝289，故答案为：289．14．【解答】解：由两点间的距离公式可得AB＝＝5．故答案为：5．15．【解答】解：①若等腰三角形的腰长为4，底边为6，如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，AD⊥BC，则AD为BC边上的中线，即D为BC中点，∴BD＝DC＝3，在直角△ABD中AD＝＝．②若等腰三角形的腰长为6，底边为4，如图2，AB＝AC＝6，AD⊥BC，BC＝4，同理可得AD＝＝4．∴AD的长为或4．故答案为：或4．16．【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端尺，B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝故答案为：．17．【解答】解：S阴＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB＝+＝24故答案为：24．18．【解答】解：如下图，AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△ABE﹣S△ADC﹣S△BFC＝20ab﹣﹣＝．故答案为：．19．【解答】解：∵∠ C＝90°，AB＝4cm，∠B＝30°，AC＝2cm，BC＝6cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝6cm，cm，∴t＝6÷2＝3s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣6）cm，AC＝2在Rt△ACP中，）2+（2t﹣6）2，AP2＝（2在Rt△BAP 中，AB 2+AP 2＝BP 2，） 22 2 2 ∴（4 +[（2 ）+（2t ﹣6）]＝（2t ）， 解得t ＝4s ．综上，当t ＝3s 或4s 时，△ABP 为直角三角形．故答案为： 3或4．20．【解答】解：∵∠AOx＝30°，∠AOA ＝60°， 1 1 2 ∴∠A 2Ox ＝90°，∴A 2在y 轴上，Rt△A 1A2O 中，OA1＝2，OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，∴A 2的纵坐标为： 4＝ +1，∴A 2（0，4），Rt△A 1A2A3中，∠A 2A1A3＝60°，∴∠A 1A3A2＝30°，A1A3＝2A1A2＝4，∵∠BA 1O ＝∠A 1Ox ＝30°，A1B∥x 轴，A1B⊥A 2O ，∵∠A 1A2B ＝30°，A1B ＝A1A2＝，A1B ＝3，∴A 3B ＝4﹣ ＝3 ，OB ＝4﹣3＝1， ∴A 3的横坐标为：﹣3 ＝﹣ ，∴A 3（﹣3，1），Rt△A 2BA 3中，A 2A 3＝2A 2B ＝6，Rt△A 2A 3A 4中，A 2A 4＝2A 2A 3＝12，OA4＝12﹣4＝8，∴A 4的纵坐标为：﹣[ ﹣1]，A4（0，﹣8），由此发现：点A1，A2，A3，A4，，An ，每四次一循环，2020÷4＝505，∴点A2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[﹣1]＝1﹣31010． 则A 2020的坐标是（0，1﹣31010）；故答案为：（0，1﹣31010）．三．解答题（共8小题）21．【解答】证明：∵∠B ＝90°，AB ＝12，BC ＝9，AC 2＝AB 2+BC 2＝144+81＝225，AC ＝15，2 22，又∵AC+CD ＝225+64＝289，AD＝289 AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形．22．【解答】解：设 AD ＝xCD⊥AB，∴∠D＝90°，CD 2＝BC 2﹣BD 2＝AC 2﹣AD 2，82﹣（5+x ）2＝52﹣x 2，x ＝，AD ＝．23．【解答】解：连结 AC ．由勾股定理可知： AC ＝ ＝＝5，2 2 2 2 ＝ 13 2 2，又∵AC+BC ＝5 +12 ＝AB∴△ABC 是直角三角形，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝×5×12﹣×3×4＝24（米2）．24．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC＝＝＝40（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×（km/h）＝72（km/h）；72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．25．【解答】解（1）面积为4×4﹣4××1×3＝10，边长为；（2）如下图，正方形的边长为均可．（答案不独一，合理即可．）（3）表示或或的点如下图．（答案不独一，画出表示的点亦可）26．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO＝，＝，12m，∴梯子顶端距地面12m高；2）滑动不等于4m，∵AC＝4m，∴OC＝AO﹣AC＝8m，∴OD＝，＝，BD＝OD﹣OB＝，∴滑动不等于4m．27．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝20cm，∵∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝BP＝x，∴PB＝20﹣x，∴（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；2）当CM＝BC＝15时，△MBC为等腰三角形，∴AM＝AC﹣CM＝10；当BM＝BC＝15，时，△MBC为等腰三角形，过B作BH⊥AC于H，∴BH＝＝＝12，∴CH＝＝9，AM＝AC﹣2CH＝7；当BM＝CM时，△MBC为等腰三角形，连结BM，设AM＝x，则BM＝CM＝25﹣x，∴（25﹣x）2＝122+（25﹣x﹣9）2，解得：x＝，AM＝，综上所述，若△MBC为等腰三角形，AM的长为10，7，．28．【解答】（1）证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2，4×ab+（b﹣a）2＝c2．2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，2 22∴a+b＝c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：4×ab+（b﹣a）2，4×ab+（b﹣a）2，a2+b2＝c2；（（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，即a2+b2＝c2；3）解：如图3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF 于F，交BC的延伸线于D，则四边形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，∴∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×ab+ c2+（b﹣a）（a+b），a2+b2＝c2．。

人教新版八年级下册第17章《勾股定理》单元综合练习卷（含答案）一．选择题1．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形2．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A．1组B．2组C．3组D．4组3．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm4．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m5．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对6．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．1697．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．49．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5二．填空题10．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．11．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为cm2．12．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．13．在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为．14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．15．小玲要求△ABC最长边上的高，测得AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，则最长边上的高为cm．16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为．17．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为．18．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为．19．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积等于．三．解答题20．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC 的面积．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．22．水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？23．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？24．如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？25．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．26．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．27．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？28．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？29．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求图中半圆的面积．30．如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．31．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？32．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝38°，求∠DCB的度数；（2）若AB＝5，CD＝3，求BC的长．33．如图，长方形ABCD，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．（1）求AE的长；（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？34．如图在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．求：（1）AC的长度；（2）△ABC的面积．35．在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB＝求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？36．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？37．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竿长多少米？38．老师准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿露出水面的部分刚好0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水而刚好相齐，请你帮老师计算河水的深度是多少米？39．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9；（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．40．有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，航行100米到达B点时，测得∠MBN＝45°，你能算出A点与湖中小岛M的距离吗？参考答案一．选择题1．解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选：D．2．解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．故选：A．3．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．4．解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m∴AB＝＝＝4m，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故选：C．5．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝3+4+，故选：C．6．解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和＝13+（13﹣1）＝25．故选：C．7．解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．故选：D．8．解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB＝＝13，又∵AC＝12，BC＝5，AM＝AC，BN＝BC，∴AM＝12，BN＝5，∴MN＝AM+BN﹣AB＝12+5﹣13＝4．故选：D．9．解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．二．填空题（共10小题）10．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故a＝24﹣13＝11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．11．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，解得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．故答案为：18．12．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；在Rt△ACD中，CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．13．解：∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92+122＝152，∴△ABC是直角三角形，∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108．故答案为：108．14．解：由题意可得：AB＝＝10（m），则AC+BC﹣AB＝14﹣10＝4（m），故他们仅仅少走了：4×2＝8（步）．故答案为：8．15．解：∵AB2+AC2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴三角形是直角三角形．根据面积法求解：S＝AB•AC＝BC•AD（AD为斜边BC上的高），△ABC即AD＝＝＝4.8（cm）．故答案为：4.8．16．解：如图：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，①当AB＝AP＝5时，PC＝BC＝3；②当AB＝PB＝5时，PC＝BC+PC＝8，或PC＝PB﹣BC＝2；故答案为：3或8或2．17．解：所示题意如下图：OA＝40×20＝800m，OB＝40×15＝600m．在直角△OAB中，AB＝＝1000米．故答案为：1000米．18．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2．当只有a＝b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．19．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝100，∴196﹣2ab＝100，即ab＝48，则Rt△ABC的面积为ab＝24（cm2）．故答案为：24cm2．三．解答题（共21小题）20．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，在Rt△ACD中，，∴S△ABC＝，因此△ABC的面积为84．答：△ABC的面积是84．21．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB2＝AC2+BC2，解得AB＝25．答：AB的长是25；（2）AC•BC＝×20×15＝150．答：△ABC的面积是150；（3）∵CD是边AB上的高，∴AC•BC＝AB•CD，解得：CD＝12．答：CD的长是12．22．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．23．解：（1）在Rt△AOB中，AB＝25米，OB＝7米，OA＝＝＝24（米）．答：梯子的顶端距地面24米；（2）在Rt△AOB中，A′O＝24﹣4＝20米，OB′＝＝＝15（米），BB′＝15﹣7＝8米．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．24．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．（6分）所以，E应建在距A点15km处．25．解：∵AD∥BE∴∠ABE＝∠DAB＝60°∵∠CBE＝30°∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠CBF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，在Rt△ABC中，∴＝＝200，∴A、C两点之间的距离为200km．26．解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴x2+52＝（x+1）2解得x＝12∴AB＝12∴旗杆的高12m．27．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．28．解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，四边形ABCD＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用36×200＝7200（元）．29．解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，∴AO＝＝5cm．则在直角△AFO中，由勾股定理得到：FO＝＝13cm，∴图中半圆的面积＝π×（）2＝π×＝（cm2）．答：图中半圆的面积是cm2．30．解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，又∵AC＞0，∴AC＝5，又∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝169，又∵AB2＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．31．解：如图，由题意知AB＝3，CD＝14﹣1＝13，BD＝24．过A作AE⊥CD于E．则CE＝13﹣3＝10，AE＝24，∴在Rt△AEC中，AC2＝CE2+AE2＝102+242．∴AC＝26，26÷5＝5.2（s）．32．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝38°，∴∠B＝（180°﹣38°）＝71°，又∵CD⊥AB于D，∴在Rt△CBD中，∠DCB＝90°﹣∠B＝19°，（2）在Rt△CDA中，∵AC＝AB＝5，CD＝3，∴AD＝＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，在Rt△CBD中，BC＝＝．33．解：（1）在长方形ABCD中，∠D＝90°，CD＝AB＝9，在Rt△ADE中，DE＝9﹣6＝3，AD＝4，∴AE＝＝5．（2）若△PAE为等腰三角形，则有三种可能．当EP＝EA时，AP＝6，∴t＝BP＝3，当AP＝AE时，则9﹣t＝5，∴t＝4，当PE＝PA时，则（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，∴t＝，综上所述，符合要求的t值为3或4或．34．解：（1）∵AD是BC的中线，BC＝10，∴BD＝CD＝5，∵52+122＝132，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝13；（2）CB×AD＝10×12＝60．35．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，BC＝3，DB＝，根据勾股定理得：CD＝＝，在Rt△ACD中，AC＝4，CD＝，根据勾股定理得：AD＝＝；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB＝BD+AD＝+＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形．36．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°；根据勾股定理，得BC＝＝＝12，∴BD＝12+2＝14（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面14米．37．解：设竿长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得x2＝（x﹣1）2+32，解得x＝5．答：竿长5米．38．解：设河水的深度为h米．由勾股定理得：h2+1.52＝（h+0.5）2h2+2.25＝h2+h+0.25h＝2答：河水的深度为2米．39．解：（1）∵AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，∴AC＝＝＝15；（2）∵122+92＝152，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴四边形ABCD的面积为：×8×15+12×9＝60+54＝114．40．解：作MC⊥AN于点C，设AM＝x米，∵∠MAN＝30°，∴MC＝m，∵∠MBN＝45°，∴BC＝MC＝m在Rt△AMC中，AM2＝AC2+MC2，即：x2＝（+100）2+（）2，解得：x＝100+100米，答：A点与湖中小岛M的距离为100+100米．人教版数学科八年级下册第十七章勾股定理（含答案）一、选择题1.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于()A．86B．64C．54D．482.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为()A．13B．17C．18D．253.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6 cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距()A．100 cmB．50 cmC．140 cmD．80 cm4.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60 m，AC＝20 m，则A，B两点间的距离是()A．200 mB．20mC．40mD．50 m5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．若线段AD长为正整数，则点D共有()A．5个B．4个C．3个D．2个6.如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数为()(1)(2)(3)(4)B．2C．3D．47.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为()A．10 mB．15 mC．18 mD．20 m8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是()A．5 mB．12 mC．13 mD．18 m9.张大爷离家出门散步，他先向正东走了30 m，接着又向正南走了40 m，此时他离家的距离为()A．30 mB．40 mC．50 mD．70 m10.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则AB的长为()A．4B．D．511.如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为()A．1B．2C．3D．4.812.在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，则△ABC的面积为()A．60B．80C．100D．120二、填空题13.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是________米．14.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若AB＝4，BC＝3，则CD的长为________．15.如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝13，∠A＝90°，计算四边形ABCD 的面积__________．16.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3,3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．17.如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为________．18.如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为____________ m.19.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为________．20.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝________.22.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.23.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成________个直角三角形．24.如下图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为________．三、解答题25.如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：(1)△ABC的面积；(2)边AC的长；(3)点B到AC边的距离．26.细心观察图形，认真分析各式，然后回答问题：(1)推算出OA10的长和S10的值．(2)用含n(n为正整数)的式子表示上述规律．(3)求S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．27.如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s 的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．28.东明县是鲁西南的化工基地，有东明石化集团，洪业化工集团，玉皇化工集团等企业，化学工业越来越成为东明县经济的命脉，化工厂里我们会经常看到如图储存罐，根据需要，在圆柱形罐的外围要安装小梯子，如果油罐的底面半径为6米，高24米，梯子绕罐体半圆到达罐顶，则梯子至少要多长？29.在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，试求BC的长．30.如图，把一块等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)，放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE＝∠BED＝90°，测得AD＝5 cm，BE＝7 cm，求该三角形零件的面积．31.阅读下列解题过程已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4①∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)②∴c2＝a2＋b2③∴△ABC是直角三角形回答下列问题：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号________．(2)错误原因为________．(3)本题正确结论是什么，并说明理由．32.如图所示，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)请计算两圆孔中心A和B的距离．答案解析1.【答案】C【解析】如图1，S1＝AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，∵BC2＝AB2－AC2，∴S2－S1＝S3，如图2，S4＝S5＋S6，∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.故选C.2.【答案】C【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，∴AB＝＝13，根据题意可得EF是AB的垂直平分线，∴D是AB的中点，∴AD＝AB＝6.5，CD＝AB＝6.5，∴△ACD的周长为13＋5＝18，故选C.3.【答案】A【解析】两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80 cm,60 cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得＝100，∴其距离为100 cm.故选A.4.【答案】C【解析】∵CB＝60 m，AC＝20 m，AC⊥AB，∴AB＝＝40(m)．故选C.5.【答案】C【解析】过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点(不含端点B、C)．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4,3,4，∴点D的个数共有3个，故选C.6.【答案】D【解析】(1)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.(2)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.(3)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.(4)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.综上，可得面积关系满足S1＋S2＝S3图形有4个．故选D.7.【答案】C【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5 m，AB＝12 m，∴AC＝＝＝13 m，∴这棵树原来的高度＝BC＋AC＝5＋13＝18 m.即这棵大树在折断前的高度为18 m.故选C.8.【答案】D【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.故选D.9.【答案】C【解析】根据题意，得AB＝30 m，BC＝40 m，他离家的距离为AC＝＝50 m，故选C.10.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，由勾股定理，得AB＝＝＝；故选C.11.【答案】D【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝10，又∵S△ABC＝AC·AB＝BC·AD，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8.故选D.12.【答案】B【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，∴BD＝BC＝8，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝15，∴S△ABC＝×15×16＝120，故选：D.13.【答案】2.6【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是AB＋2个正方形的宽，∴长为2＋0.2×2＝2.4米；宽为1米．于是最短路径为＝2.6米．14.【答案】【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴CD＝AD，∴AB＝BD＋AD＝BD＋CD，设CD＝x，则BD＝4－x，在Rt△BCD中，CD2＝BC2＋BD2，即x2＝32＋(4－x)2，解得x＝.15.【答案】36【解析】在△ABD中，∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝5，S△ABD＝AB·AD＝×4×3＝6，在△BCD中，∵BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BD2＋BC2＝CD2，∴△CBD是直角三角形，∴S△CBD＝BC·BD＝×12×5＝30.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝6＋30＝36.16.【答案】【解析】∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC＝＝＝，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM＝OC＝，∴点M对应的数为.17.【答案】2【解析】∵BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，∴∠B＝∠ACD＝∠ADE＝90°，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，根据勾股定理，得AC＝＝，在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝，根据勾股定理，得AD＝＝，在Rt△ADE中，DE＝1，AD＝，根据勾股定理，得AE＝＝2.18.【答案】500【解析】如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE＝∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC＝∠DEA＝90°，又∵AB＝DE＝400 m，∴△ABC≌△DEA，∴EA＝BC＝300 m，在Rt△ABC中，AC＝＝500 m，∴CE＝AC－AE＝200 m，从B到E有两种走法：①BA＋AE＝700 m；②BC＋CE＝500 m，∴最近的路程是500 m.19.【答案】49【解析】设直角三角形中较长的直角边的长为a，由题意得a2＋52＝169解得a＝12，则中间小正方形面积(阴影部分)为(12－5)2＝49.20.【答案】x2＝102＋(x－4)2【解析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为x2＝102＋(x－4)2，故答案为x2＝102＋(x－4)2.21.【答案】4【解析】由勾股定理，得BC＝＝4.22.【答案】12【解析】∵△ABC直角三角形，∴BC2＋AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1＋S2＝12.23.【答案】3【解析】由勾股定理得AD2＝BD2＝12＋32＝10，AC2＝12＋22＝5，AB2＝22＋42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2＋BD2＝AB2，AC2＋AB2＝BC2，AC2＋AB2＝CD2，∴能够组成3个直角三角形．24.【答案】8π【解析】在Rt△ABC中，AB＝＝＝8，所以S半圆＝×42＝8π.25.【答案】解(1)S△ABC＝3×3－(×3×1＋×2×1＋×2×3)＝；(2)AC＝＝；(3)设点B到AC边的距离为h，则S△ABC＝×AC×h＝，解得h＝.【解析】(1)利用三角形所在的正方形面积减三个小直角三角形的面积即可求出；(2)利用勾股定理即可求出AC的长；(3)求出AC，则点B到AC边的距离即为AC边上的高，利用面积定值即可求出．26.【答案】解(1)∵OA122＝(OA102)2＋1＝2，OA32＝12＋()2＝3，OA42＝12＋()2＝4，…，∴OA102＝10，∴OA10＝；∵S1＝，S2＝，S3＝，…，∴S10＝；(2)由(1)可知，OAn＝，Sn＝；(3)S12＋S122＋S32＋…＋S102＝＋＋＋...＋＝×(1＋2＋3＋ (10)＝×＝.【解析】(1)根据规律写出OA102，再根据算术平方根的定义解答；(2)根据题中给出的得数即可得出结论；(3)根据分析写出算式，然后利用求和公式列式计算即可得解．27.【答案】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，解得x＝6；②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BM＝BN，即30－x＝×2x，解得x＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．【解析】(1)设时间为x，表示出AM＝x、BN＝2x、BM＝30－x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；(2)分①∠BNM＝90°时，即可知∠BMN＝30°，依据BN＝BM列方程求解可得；②∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°，依据BM＝BN列方程求解可得．28.【答案】解如图，根据题意，BC＝24 m，AB＝·2π·6≈18 m，在Rt△ABC中，AC＝＝＝30 m，答：梯子至少要30 m.【解析】29.【答案】解如图（1），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理，得BD＝＝9，在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理，得DC＝＝16，BC的长为BD＋DC＝9＋16＝25.如图（2），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理，得BD＝＝9，在Rt△ACD中AC＝20，AD＝12，由勾股定理，得DC＝＝16，BC＝CD－BD＝7.综上所述，BC的长为25或7.【解析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．30.【答案】解∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC＝BE＝7 cm，∴AC＝＝＝(cm)，∴BC＝2，∴该零件的面积为××＝37(cm2)．【解析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC＝BE＝7 cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可．31.【答案】解(1)③；(2)除式可能为零；(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，∴a2－b2＝0或c2＝a2＋b2，当a2－b2＝0时，a＝b；当c2＝a2＋b2时，∠C＝90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解析】(1)(2)等式两边都除以a2－b2，而a2－b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．32.【答案】解∵由图可知，AC＝120－60＝60，BC＝140－60＝80，∴AB＝＝＝100.答：两圆孔中心A和B的距离是100 mm.【解析】先根据图例得出AC及BC的长，再由勾股定理即可得出结论．人教版数学八年级下册第17章勾股定理单元试题人教版数学八年级下第17章勾股定理单元考试题总分：150分，时间：120分钟；姓名：；成绩：；一、选择题（4分×12＝48分）1、ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能判定2、如果直角三角形两条边是1和2，则以第三边为边长的正方形的面积是（）A.一定是5B.可能是3C.不可能是3D.不可能是53、直角三角形三边长为a、b、c，则以下列线段为边长的三角形是直角三角形的是（）A. a+2,b+2,c+2B.3a,4b,5cC.a+3,b+4,c+5D.2a,2b,2c4、如图所示的各直角三角形中，其中边长x为5的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5、下图中，不能用来证明勾股定理的是（）6、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5cm处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12cm 处，旗杆折断之前的高度是（）A. 18cmB. 17cmC. 13cmD. 12cm7、如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）A.10B. 50C.70D. 1008、如图，数轴上点A、B，分别对应1 ，2，过点B作圆，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交PQ于点C ，以原点为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A. B. C. D.9、若△ABC 三边分别是 a，b，c，且满足(b－c)(a2 +b2 )＝bc2－c3 ，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10、如图，已知楼梯长 5 米，高 3 米，现计划在楼梯的表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（）米．A.5B. 7C. 8D.911、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则下列结论：①△ABE的面积为6cm2，②BF的长为5cm，③EF，④四边形CDEF的面积是13.5cm2.其中正确的个数有（）A. 4B. 3C.2D. 112、在正方形网格中，网格线的交点称为格点，如图是 3×3 的正方形网格，已知 A，B 是两格点，C是不同于点A和B的格点，下列说法正确的是（）.A．ΔABC是直角三角形，这样的点C有4个B．ΔABC是等腰三角形，这样的点C有4个C．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有6个D．ΔABC是等腰直角三角形，这样的点C有2个二、填空题（4分×6＝24分）13、若三角形的三边长分别为5，12，13，则它的最长边上的高为.14、小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，已知CD AC＝．15、如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为2，3，4，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ；16、如图，将一根24cm 长的筷子，置于底面直径为15cm，高为8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是．17、如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．经过小时能赶上。

人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A ．3，5，6B ．2，3，4C ．1，2D ．3，42．下列命题中是假命题的是()A ．△ABC 中，若∠B ＝∠C －∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．△ABC 中，若a 2＝(b ＋c)(b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形D ．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图：图形A 的面积是()A ．225B ．144C ．81D ．无法确定4．图1中，每个小正方形的边长为1，ABC 的三边a ，b ，c 的大小关系是：A ．a<c<bB ．a<b <cC ．c<a<bD ．c<b<a5．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是()A ．12米B ．13米C ．14米D ．15米6．如图：在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（）A．75B．100C．120D．125 7．三角形的三边长满足关系：(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是()A．365B．1225C．94D．3349．如图，将一个含有45 角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为2cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 角，则三角板最长的长是（）A．2cm B．4cm C．D．10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（）A cm B．4cm C D．3cm11．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒B．16秒C．20秒D．30秒．12．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是()A．3B．154C．5D．152评卷人得分二、填空题13．一个直角三角形的两边为6,8,第三边为__.14．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________.15．如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米.16．如图，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_____．17．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．评卷人得分三、解答题18．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是_____________19．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？20．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？22．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．23．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.(1)A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？24．如图l ，在AABC 中，∠ACB=90°，点P 为ΔABC 内一点.(1)连接PB ，PC ，将ABCP 沿射线CA 方向平移，得到ΔDAE ，点B ，C ，P 的对应点分别为点D 、A 、E ，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP ⊥CE ，BP=3，AB=6，求CE 的长(2)如图3，以点A 为旋转中心，将ΔABP 顺时针旋转60°得到△AMN ，连接PA 、PB 、PC ，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.参考答案1．C【解析】3+56≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；A、2222+34≠，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、2221+=2，能构成直角三角形，故符合题意；C、222D 、2223+4≠，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选C ．2．C【解析】【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．【详解】解：A 、∠B+∠A=∠C ，所以∠C=90°，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．B 、若a 2=（b+c ）（b-c ），所以a 2+c 2=b 2，所以△ABC 是直角三角形，故本选项不符合题意．C 、若∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．D 、若a ：b ：c=5：4：3，则△ABC 是直角三角形，故本选不项符合题意．故选C ．【点睛】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．3．C【解析】试题解析：由勾股定理可得：图形A 的面积22514481.=-=故选C.4．C【解析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC 、BC 分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC 、BC ，然后比较三边的大小即可．解答：解：∵AC=，=∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b ．故选C ．5．A【解析】【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面和建筑物的高度构成了一个直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出建筑物的高度.【详解】如图所示，=12米，故选A．6．B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．7．B【解析】【分析】根据题意，对(a+b)2=c2+2ab进行化简、整理，可得a2+b2=c2；接下来，由勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.【详解】解：∵(a+b)2=c2+2ab，∴a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形.故选B.【点睛】本题是判断三角形形状的题目，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理；8．A【解析】试题解析：设点C到AB的距离为h，在Rt△ABC中，∠C=90°，则有AC2+BC2=AB2，∵AC=9，BC=12，∴，∵S△ABC =12AC•BC=12AB•h，∴h=12936 155⨯=．故选A．9．D 【解析】【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【详解】过点C作CD⊥AD，∴CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×2=4，又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=4，∴BC2=AB2+AC2=42+42=32，∴BC=，故选D.【点睛】本题考查等腰直角三角形和含30度角的直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30度角的直角三角形.10．A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222+++=，x=x(65)(5)10（负值已舍），故选A11．B【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒．故选B．【点睛】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．12．C【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=15，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，所以S2=x+4y=5，故答案为5．点睛：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，用x，y 表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=15求解是解决问题的关键．13．或10【解析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】当8是斜边时，第三边长==当6和8是直角边时，第三边长10.故第三边的长为或10故答案为或10【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．14．24【解析】本题主要考查了三角形.设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2∴三角形的三边是6，8，10∴三角形的面积=12×6×8=2415．7【解析】，所以地毯的长度为4+3=7米．故答案为7．考点：勾股定理的应用．16．30【解析】【分析】根据勾股定理可得：AB=13，根据图形可得：阴影部分的面积=以BC为直径的半圆的面积+以AC为直径的半圆的面积+△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，由此进行计算即可.Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴=13，∴S阴影=222 1121511135122222222πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=30，故答案为30.17．15.【解析】【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=12×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：，故答案为15．18．50【解析】【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF.同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=12(6+4)×16−3×4−6×3=50.19．木杆断裂处离地面6米.【解析】【分析】设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，求出x的值即可．【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，由题意得x2+82=（16-x）2，解得x=6米．答：木杆断裂处离地面6米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.【解析】【分析】（1）由已知条件得出b 2-c 2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c ）（b+c+2a ）=0，得出b-c=0，因此b=c ，即可得出结论；（2）作△ABC 底边BC 上的高AD ．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=12BC=3，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)△ABC 是等腰三角形，理由如下：∵a ，b ，c 为△ABC 的三条边的长，b 2+2ab=c 2+2ac ，∴b 2﹣c 2+2ab ﹣2ac=0，因式分解得：(b ﹣c)(b+c+2a)=0，∴b ﹣c=0，∴b=c ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)如图，作△ABC 底边BC 上的高AD.∵AB=AC=5，AD ⊥BC ，∴BD=DC=12BC=3，∴，∴△ABC 的面积=12BC•AD=12×6×4=12.【点睛】本题考查因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出b=c 是解决问题的关键．21．收购站E 应建在离A 点10km 处.【解析】【分析】根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE=CE ，再根据△DAE ≌△EBC ，得出AE=BC=10km ；【详解】∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等.∴DE=CE ，∵DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x,则BE=AB−AE=(25−x)，∵DA=15km，CB=10km，∴x2+152=(25−x)2+102，解得：x=10，∴AE=10km，∴收购站E应建在离A点10km处.【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于证明DE=CE.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EC，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2．【详解】（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，AE=BD，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2，∴AD2+DB2=DE2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．23．过点A作AC⊥BF于C，则AC=150千米，150〈200，故A市会受到台风的影响，以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2∵AC⊥BF，∴C1C2=2C1C．在Rt△ACC1中，有C1C=2002−1502=507，∴C1C2=1007km，∴A城受台风干扰的时间为：1007107=10（小时）．【解析】(1)会．理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BF于D，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝300千米．∴A=12A=12×300=150(千米)．又∵AD＝150千米＜200千米，∴A市会受台风影响．(2)设C点刚好受台风影响，E点刚好不受台风影响，则AC＝AE＝200千米．在Rt△ADC中，由勾股定理得A=B2−A2=2002−1502=507(千米)，∴C=2A=1007千米．∴A=10(小时)．24．（1）①补图见解析；②33；（2）37【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=CD2−DE2=36−9=27=33；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得BC=AB2−AC2=62−32=33∴在Rt△BCN中，CN=BC2+BN2=27+36=63=37“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.。

2020-2021学年人教版数学八年级下册第十七章-勾股定理综合练习一、选择题1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A. 5B. 6C. 7D. 82.已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为()A. 9B. 12C. 15D. 183.下列已知三角形的三边长，其中为直角三角形的是()A. 2，4，6B. 4，6，8C. 6，8，10D. 10，12，144.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是()A. 5米B. 6米C. 7米D. 8米5.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M为()A. 2B. √5−1C. √10−1D. √56.如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π7.如图，P为第一象限的角平分线上一点，且OP=2，则点P的坐标是()A. (−√2,√2)B. (√2,√2)C. (2,√2)D. (√2,2)8.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90∘，AC=BC=3，则B′C的长为()A. 3√3B. 6C. 3√2D. √219.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处.若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°10.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=13，b=14，c=15；②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25；⑤a=2，b=2，c=4．A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，字母B所代表的正方形的面积是()A. 12cm2B. 15cm2C. 144cm2D. 306cm212.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，BD平分∠ABC，E是BD上一点，且BE=2，M，N分别是BC，BD上的动点，则EM+ MN+NC的最小值是A.√29B. 5√3−2C. √21D. 3√3+2二、填空题13.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为_______．14.如图所示，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为米．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=．16.如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6.则∠ACD=______度．17.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．18.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，则AC=________尺．三、计算题19.已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两边a，b满足√a+2b−7+(3a−2b+5)2=0，求第三边长c的值．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12，BC=5，求BD的长．21.为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．(1)求出空地ABCD的面积．(2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？22.如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90∘，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？23.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】C 10.【答案】A 11.【答案】C 12.【答案】A 13.【答案】13或√11914.【答案】715.【答案】216.【答案】4517.【答案】518.【答案】419.【答案】解：∵√a +2b −7+(3a −2b +5)2=0，∴√a +2b −7=0，(3a −2b +5)2=0， ∴{a +2b −7=03a −2b +5=0，解得，{a =12b =134，∵a ，b ，c 为直角三角形的三边长， ∴c =√a 2+b 2=√(12)2+(134)2=√1734．20.【答案】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，BC =5， ∴AB =√122+52=13，∵12AB ⋅CD =12AC ⋅BC ∴CD =12×513=6013，∴BD =√52−(6013)2=2513．21.【答案】解：(1)连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52， 在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122， 而122+52=132， 即BC 2+BD 2=CD 2， ∴∠DBC =90°，则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =12⋅AD ⋅AB +12DB ⋅BC =12×4×3+12×12×5=36； (2)所以需费用36×200=7200(元)．22.【答案】解：(1)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2.5，BC =0.7，根据勾股定理得AC =√AB 2−BC 2=2.4(米)， 答：此时梯子的顶端A 距地面的高度是2.4米；(2)∵在Rt △A ′B ′C 中，A ′C =AC −AA ′=2.4−0.9=1.5(米)，A ′B ′=2.5(米)， ∴B ′C =√A ′B ′2−A ′C 2=2(米)， ∴B ′B =B ′C −BC =2−0.7=1.3(米)， ∴梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了1.3米．23.【答案】解：(1)∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，(2)海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240(km)，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵ED=√EC2−CD2=70(km)，∴EF=140km，∵台风的速度为20千米/小时，∴140÷20=7(小时)．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元测试训练卷一、选择题（共10小题,每小题4分,共40分）1.如图,△ABC的∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A．a2＋b2＝c2B.若△ABC是直角三角形,则a2＋b2＝c2C.若∠A＝90°,则a2＋b2＝c2D．若∠C＝90°,则a2＋b2＝c22.下列各组长度的线段能构成直角三角形的是()A．30,40,50 B．7,12,13C．5,9,12 D．3,4,63.下列命题中,其逆命题成立的是()A．对顶角相等B．等边三角形是等腰三角形C．如果a＞0,b＞0,那么ab＞0D．如果三角形的三边长a,b,c(其中a＜c,b＜c)满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形4.如图,AB＝BC＝CD＝DE＝1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE＝( )A．1 B． 2C． 3 D．25.若△ABC的三边长a,b,c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0,则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形6.如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AC＝9,BC＝4,则正方形ABDE的面积为()A．18 B．36C．65 D．727. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a＋b)(a－b)＝c2,则()A．∠A为直角B．∠C为直角C．∠B为直角D．△ABC不是直角三角形8.如图,一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发,轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M,N两点相距100海里,则∠NOF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形10. 如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A．CD,EF,GH B．AB,EF,GHC．AB,CD,EF D．GH,AB,CD二．填空题（共6小题,每小题4分,共24分）11. 命题“如果a2＝b2,那么|a|＝|b|”的逆命题是__ __．12. 已知正方形的面积为8,则其对角线的长为________．13. 如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC＝5,OM＝4,则点C到射线OA的距离为________．14. 在Rt△ABC中,∠C＝90°,若AB－AC＝2,BC＝8,则AB的长是__ __．15．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝2BC,分别以点A和B为圆心,以大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE＝3,则BE的长为________．16．如图,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆,其中两个半圆形的面积S1＝258π,S2＝2π,则S3＝________.三．解答题（共6小题, 56分）17．(6分) 如图,马路一边有一根5.4 m长的电线杆被一辆货车从离地面1.5 m处撞断裂,倒下的电线杆顶部C1是否会落在离它的底部3.8 m远的快车道上？请说明理由．18．(8分) 如图,已知在△ABC中,∠A＝90°,D是BC中点,且DE⊥BC于D,交AB于E.求证：BE2－EA2＝AC2.19．(8分) 如图,在四边形ABCD中,AB＝AD＝2,BC＝3,CD＝1,∠A＝90°,求∠ADC的度数．20．(10分) 一根直立的旗杆长8 m,一阵大风吹过,旗杆从C点处折断,顶部B着地,离杆脚A 4 m,如图,工人在修复的过程中,发现在折断点C的下面1.25 m的D处,有一明显刮痕．如果旗杆从D处折断,则杆脚周围多大范围内有被砸中的危险？21．(12分) 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,点D是BC上一点,AD＝BD. 若AB＝8,BD＝5,求CD的长.22．(12分) 在△ABC中,若AB＝20,AC＝15,BC边上的高为12,求△ABC的周长.参考答案1-5DADDD 6-10CACBB11. 如果|a|＝|b|,那么a 2＝b 212.413．314. 1715．516．98π 17. 解：不会,理由如下：∵AB ＝1.5 m,AC ＝5.4 m,∴BC 1＝BC ＝AC －AB ＝3.9 m,∴在Rt △ABC 1中,AC 1＝BC 12－AB 2 ＝ 3.92－1.52 ＝3.6(m)＜3.8(m),∴倒下的电线杆顶部C 1不会落在离它的底部3.8 m 远的快车道上18．解：连接CE,∵ED 垂直平分BC,∴EB ＝EC,又∵∠A ＝90°,∴EA 2＋AC 2＝EC 2,∴BE 2－EA 2＝AC 219．解：连接BD.在Rt △BAD 中,因为AB ＝AD ＝2,所以∠ADB ＝45°,BD 2＝AD 2＋AB 2＝22＋22＝8.在△BCD 中,因为BD 2＋CD 2＝8＋1＝9＝BC 2,所以△BCD 是直角三角形,且∠BDC ＝90°.所以∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝45°＋90°＝135°.20．解：在Rt △ABC 中,AB ＝4 m,设BC ＝x m,则AC ＝(8－x)m.由勾股定理得BC 2＝AC 2＋AB 2,即x 2＝(8－x)2＋42,解得x ＝5.故BC ＝5 m,AC ＝3 m.如果旗杆从D 处折断,设顶部的着地点为E,则DE ＝BC ＋CD ＝5＋1.25＝6.25(m),AD ＝AC －CD ＝3－1.25＝1.75(m)．在Rt △ADE 中,由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝ 6.252－1.752＝6(m)．∴杆脚周围6 m 范围内有被砸中的危险．21．解：设CD ＝x,在Rt △ABC 中,有AC 2＋(CD ＋BD)2＝AB 2,整理,得AC 2＝AB 2－(CD ＋BD)2＝64－(x ＋5)2.①在Rt △ADC 中,有AC 2＋CD 2＝AD 2,整理,得AC 2＝AD 2－CD 2＝25－x 2.②由①②两式,得64－(x ＋5)2＝25－x 2,解得x ＝1.4,即CD 的长是1.4.22．解：设BC 边上的高为AD,则△ABD,△ACD 是直角三角形,由勾股定理得BD 2＝AB 2－AD 2＝202－122＝256,CD 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝81,所以BD ＝16,CD ＝9.①若∠ACB 是锐角,如图①,则BC ＝BD ＋CD ＝16＋9＝25.所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝20＋15＋25＝60.②若∠ACB 是钝角,如图②,则BC ＝BD －CD ＝16－9＝7.所以△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝20＋15＋7＝42.综上所述,△ABC 的周长为60或42.。

人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（2）一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．（3分）若直角三角形的两直角边长分别为12、5，则这个直角三角形的斜边长是（）A．13B．C．169D．2．（3分）我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合3．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断4．（3分）下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（）A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．等腰三角形的两个底角相等C．若ab＝1，则a与b互为倒数D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b26．（3分）下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝1，b＝，c＝C．a＝2，b＝3，c＝4D．a＝7，b＝24，c＝257．（3分）已知二条线段的长分别为cm，cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1cm B．cm C．5cm D．1cm与cm 8．（3分）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米B．15米C．16米D．17米二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是．10．（3分）以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直角三角形的有．11．（3分）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是．12．（3分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是．13．（3分）已知Rt△ABC的其中两边的长为3与4，则这个三角形的周长是．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且BC＝BD．若BC ＝2AC＝2，则AD的长为．15．（3分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为．三、解答题（本题共计7小题，共计75分，）16．（10分）在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判断△ABE的形状，并说明理由．（2）求△ABC的周长．17．（10分）利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．18．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3455121381517（2）若a+b﹣c＝m，则猜想＝（用含m的代数式表示，不必证明）．19．（11分）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．20．（10分）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C 的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？21．（12分）如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．22．（12分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．（3分）若直角三角形的两直角边长分别为12、5，则这个直角三角形的斜边长是（）A．13B．C．169D．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为12、5，∴直角三角形的斜边长为＝13，故选：A．2．（3分）我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合【考点】勾股定理；数学常识．【分析】由于是用一副反应勾股定理的数形关系图来揭示直角三角形的三边之间的关系，所以它体现的数学思想方法是数形结合思想．【解答】解：由题意可得，它体现的数学思想方法是数形结合思想．故选：D．3．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断【考点】勾股定理的应用．【分析】由勾股定理求出BC＝4＞3.9，即可得出结论．【解答】解：如图所示：AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，由勾股定理得：BC＝＝4＞3.9，∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，故选：B．4．（3分）下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题与定理．【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【解答】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；故选：C．5．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（）A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．等腰三角形的两个底角相等C．若ab＝1，则a与b互为倒数D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b2【考点】命题与定理．【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为若两个数都是正数，则这两个数的差为正数，不成立，符合题意；B、逆命题为两个角相等的三角形是等腰三角形，成立，不符合题意；C、逆命题为若a与b互为倒数，则ab＝1，成立，不符合题意；D、逆命题为若a2＝b2，那么|a|＝|b|，成立，不符合题意．故选A．6．（3分）下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝1，b＝，c＝C．a＝2，b＝3，c＝4D．a＝7，b＝24，c＝25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故本选项错误；B、∵12+（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故本选项正确；D、∵72+242＝252，∴能组成直角三角形，故本选项错误．故选：C．7．（3分）已知二条线段的长分别为cm，cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1cm B．cm C．5cm D．1cm与cm 【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．【解答】解：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．当第三边是斜边时，第三边＝＝（cm），当第三边是直角边时，第三边＝＝1（cm）．故选：D．8．（3分）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米B．15米C．16米D．17米【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．【解答】解：如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AB＝15．∴攀岩墙的高15米．故选：B．二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是12或7+．【考点】勾股定理．【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【解答】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝，此时周长＝3+4+＝7+；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5，此时周长＝3+4+5＝12；综上所述，第三边的长为12或7+．故答案为：12或7+．10．（3分）以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直角三角形的有①②④．【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2＝c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．【解答】解：①32+42＝52，②52+122＝132，③32+52≠72，④92+402＝412，⑤102+122≠132；所以①②④组数为边长的能构成直角三角形，故答案为：①②④．11．（3分）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是a2+b2＝c2．【考点】勾股定理的证明．【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．【解答】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．12．（3分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是36．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠ADB＝90°，根据三角形的面积公式求出△BCD和△ABD的面积即可．【解答】解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得：BD＝＝5，∵AB＝13，AD＝12，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，+S△ABD＝×3×4+×5×12＝36．∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD故答案为：36．13．（3分）已知Rt△ABC的其中两边的长为3与4，则这个三角形的周长是12或7+．【考点】勾股定理的应用．【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝＝，此时这个三角形的周长＝3+4+＝7+．故答案为：12或7+．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且BC＝BD．若BC ＝2AC＝2，则AD的长为﹣2．【考点】勾股定理．【分析】先根据勾股定理计算AB的长，由线段的差可得结论．【解答】解：∵BC＝2AC＝2，∴AC＝1，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝，∵BC＝BD＝2，∴AD＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为2．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积．同理正方形B 和D的面积和等于大正方形的面积，所以四个正方形的面积和就等于两个大正方形的面积由此即可得出结论．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，设最大正方形的边长为x，可得：四个小正方形的面积＝2×x×x＝8．解得：x＝2，故答案为：2．三、解答题（本题共计7小题，共计75分，）16．（10分）在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判断△ABE的形状，并说明理由．（2）求△ABC的周长．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，利用勾股定理得出AB的长，则可求出答案．【解答】解：（1）△ABE是直角三角形，理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，∴BE2+CE2＝BC2＝16900，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，∴△ABE是直角三角形．（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，由（1）可知△ABE是直角三角形，∴BE2+AE2＝AB2，∴1202+（x﹣50）2＝x2，解得x＝169．∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．17．（10分）利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．【考点】勾股定理的证明．【分析】直接利用正方形面积以及三角形面积公式进而得出等式即可．【解答】证明：∵四边形HEFM的面积为：c2，四边形HEFM的面积还可以表示为：4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2；∵四边形ABCD的面积为：（a+b）2，四边形ABCD的面积还可以表示为：4×ab+c2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．18．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3455121381517（2）若a+b﹣c＝m，则猜想＝（用含m的代数式表示，不必证明）．【考点】勾股数．【分析】（1）分别求出每个直角三角形的面积和周长，计算面积与周长的比即可；（2）根据求得的a+b﹣c与的值，总结其规律，写出即可；用m、c的式子表示出a、b，分别表示出其周长及面积，用面积除以周长即可完成证明．【解答】（1）解：∵S＝×3×4＝6，L＝3+4+5＝12，∴＝＝，∴同理可得其他两空分别为2，；（2）＝；证明：∵a+b﹣c＝m，∴a+b＝m+c，∴a2+2ab+b2＝m2+2mc+c2，又∵a2+b2＝c2，∴2ab＝m2+2mc，∴s＝＝m（m+2c），∴＝＝＝．19．（11分）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，那么∠EBA＝∠E，由等角对等边得出AE＝AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，∴∠EBA＝∠E，∴AE＝AB，又∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．20．（10分）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C 的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC ＝AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB＝A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1＝CB1﹣CB，即可求得BB2的长度．【解答】解；在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米，则由勾股定理得：AC＝＝24（米）；∵AC＝AA1+CA1∴CA1＝24米﹣4米＝20米，∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：CB1＝＝15米，∴BB1＝CB1﹣CB＝15米﹣7米＝8米；答：梯足将向外移8米．21．（12分）如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算．【解答】解：根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：m，所以蔬菜大棚的斜面面积为：10×20＝200m2．答：阳光透过的最大面积为200平方米．22．（12分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．【考点】勾股定理．【分析】（1）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）先作出以a、2a为直角边的三角形的斜边，再根据勾股定理和网格结构作出2a、a的长度，然后顺次连接即可；再根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3【解答】解：（1）S△ABC＝9﹣1﹣﹣3＝9﹣5.5＝3.5；故答案为：3.5；（2）△ABC如图所示，S△ABC＝2a•4a﹣×2a•a﹣×2a•2a﹣×4a•a ＝8a2﹣a2﹣2a2﹣2a2＝3a2．。

人教版八年级下册第17章《勾股定理》综合测试卷满分：100分姓名：___________班级：___________座号：___________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分）1．下列各组数，属于勾股数的是（）A．4，5，6B．5，10，13C．3，4，5D．8，39，402．三角形三边的长a，b，c满足a2﹣b2＝c2，则此三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不是3．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（）A．B．C．5D．4．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接BE，若∠ABE＝∠BAE═∠BAC，则DE的长为（）A．cm B．cm C．cm D．1cm5．如图．以直角三角形ABC三边为直径的半圆面积分别是S1，S2，S3，直角三角形ABC 面积是S，则它们之间的关系为（）A．S＝S1+S2+S3B．S1＝S2+S3C．S＝S1+S2D．S＝S16．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣27．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A．45m B．40m C．50m D．56m8．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（）A．B．C．D．9．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米．A．0.5B．1C．1.5D．210．如图所示，在7×4的网格中，A、B、C是三个格点，则∠ABC＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°二．填空题（共6小题，满分18分）11．如图，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD＝．12．如图所示，一棵36m高的树被风刮断了，树顶落在离树根24m处，则折断处的高度AB 是m．13．已知△ABC中，AB＝10，BC＝21，CA＝17，则△ABC的面积等于．14．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝2∠C，AD＝2，BD＝1，则CD的长为．15．如图所示是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如果大正方形的面积是34，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值是．16．Rt△ABC的三边从大到小依次排列为m，n，11，且m，n均为正整数，则Rt△ABC的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．在数轴上作出对应的点．18．如图所示，方格纸上每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D都是格点，在以其中三点为顶点的三角形中有没有直角三角形？说明你的理由．19．如图是一块不规则的土地，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB＝13米，BC＝12米，若全部用来种植太阳花，且每平方米的种植费用为150元，则种植太阳花的总费用为多少？20．小明家住在18层的高楼上．一天，他和妈妈去买竹竿，如果电梯的长宽高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么能放入电梯内的竹竿的最大长度约是多少米？（精确到0.1米）21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A（﹣2，3）；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B，C分别在x轴和y轴上，且OB＝5，OC＝6，请直接写出B，C两点的坐标；（3）在（2）的前提下，若BC＝OB，则以O点为坐标原点，x轴的位置不变，建立新的平面直角坐标系，求此时点C在平面直角坐标系中的坐标．23．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程中，出现错误的两步是；（2）本题的正确结论是．答案与试题解析一．选择题1．【分析】根据勾股数的概念判断即可．【解答】解：A、因为42+52≠62，所以它们不是勾股数，故本选项错误．B、因为102+52≠132，所以它们不是勾股数，故本选项错误．C、因为42+32＝52，所以它们是勾股数，故本选项正确．D、因为82+392≠402，所以它们不是勾股数，故本选项错误．故选：C．2．【分析】原式可化为c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．【解答】解：原式可化为c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是直角三角形．故选：C．3．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，∴CB＝＝，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×＝×4×CD，解得，CD＝，故选：D．4．【分析】根据条件得出AE＝BE，再使用勾股定理计算．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE═∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，BD＝BC＝6，∵AB＝10，∴AD＝＝8，∵∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，设DE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△BDE中，BE2＝DE2+BD2，∴（8﹣x）2＝x2+62，解得：x＝，即DE＝cm，故选：C．5．【分析】根据半圆的面积计算公式即可计算S与直径的关系，根据直角三角形中勾股定理的应用可以计算直角△ABC中三边关系，根据这两个关系式即可解题．【解答】解：在S1半圆中，S1＝π，在S2半圆中，S2＝π，在S3半圆中，S3＝π，∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴S2+S3＝S1，故选：B．6．【分析】根据图形特点，求出斜边的长，即得OA的长，可求出x的值．【解答】解：由图中可知直角三角形的两直角边为：1，1，那么斜边长为：＝，那么0到A的距离为，在原点的左边，则x＝﹣．故选：B．7．【分析】东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【解答】解：∵在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝32m，OB＝24m，∴AB＝＝40m．故选：B．8．【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题．【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意．B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．C、利用A中结论，本选项不符合题意．D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，故选：B．9．【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC＝2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE＝1.5米，所以AE＝0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．10．【分析】取格点H，连接AH、BH，则H、B、C共线．只要证明△AHB是等腰直角三角形即可解决问题；【解答】解：取格点H，连接AH、BH，则H、B、C共线．∵AH＝BH＝，AB＝，∴AH2+BH2＝AB2，∴△ABH是直角三角形，∴∠HAB＝∠HBA＝45°，∴∠ABC＝135°，故选：C．二．填空题11．【分析】直接利用勾股定理得出DB的长，进而求出DC的长．【解答】解：∵AD＝3，AB＝4，∠A＝90°，∴DB＝＝5，∵BC＝12，∠DBC＝90°，∴CD＝＝13．故答案为：13．12．【分析】根据题意构造直角三角形，设AB＝x米，则AC＝（36﹣x）米，BC＝24米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由勾股定理得：x2+242＝（36﹣x）2，解得：x＝10；即折断处的高度AB是10m；故答案为：10．13．【分析】过点A作AD⊥BC，利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC．设BD＝x，则CD＝21﹣x，在Rt△ABD中，AD2＝102﹣x2，在Rt△ADC中，AD2＝172﹣（21﹣x）2，∴102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，100﹣x2＝289﹣441+42x﹣x2，解得x＝6，∴CD＝15，在Rt△ACD中，AD＝＝8，∴△ABC的面积＝×BC•AD＝×21×8＝84．故答案为：84．14．【分析】在DC上截DM＝DB，则AB＝AM，∠B＝∠AMB＝2∠C＝2∠CAM，因此AM ＝CM，从而CD＝DM+MC＝AB+BD，再利用勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：在DC上截DM＝DB，∵AD⊥BC，DM＝BD，∴AD是BM的垂直平分线，∴AB＝AM（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），∴∠B＝∠AMB（等边对等角），∵∠B＝2∠C，∠AMB＝∠C+∠MAC，∴∠MAC＝∠C，∴AM＝CM，∴CM＝AB，∴CD＝DM+MC＝BD+AB，∵在△ABD中，AD＝2，BD＝1，∴AB＝＝＝，∴CD＝1+．故答案为1+．15．【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式（a+b）2利用完全平方公式展开后，代入计算即可求出其值．【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝34，四个直角三角形的面积之和是：ab×4＝34﹣4＝30，即2ab＝30，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝34+30＝64．故答案是：64．16．【分析】根据勾股定理列方程，从而求得m，n的值，从而不难求得其周长．【解答】解：∵Rt△ABC的三边从大到小依次排列为m，n，11，∴根据勾股定理得：m2＝n2+121，即m2﹣n2＝121，（m+n）（m﹣n）＝121＝121×1，∵m，n均为正整数，∴m+n＝121，m﹣n＝1，∴m＝61，n＝60，∴周长＝11+61+60＝132．故答案为：132．三．解答题17．【分析】过数轴上表示2的点C作数轴的垂线，然后以C为圆心，1个单位为半径画弧，交垂线于A点，连接OA，在Rt△OAC中，由OC＝2，AC＝1，利用勾股定理得到OA 为，故以O为圆心，OA长为半径画弧，与数轴交于点B，得到B为所求作的点．【解答】解：数轴上点B表示对应的点（如图所示）：18．【分析】存在．△BDC是直角三角形．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：存在．△BDC是直角三角形．理由：∵BD＝CD＝＝，BC＝＝，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴△BDC是直角三角形．19．【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC 的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．【解答】解：连接AC．由勾股定理可知AC＝＝5，又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）150×24＝3600元．答：种植太阳花的总费用为3600元．20．【分析】首先利用勾股定理求得线段A1C1的长，然后利用勾股定理求得A1C的长即可．【解答】解：在Rt△A1D1C1中，A1D1＝1.5m，D1C1＝1.5m，由勾股定理得，A1C1＝＝，在Rt△A1C1C中，A1C＝≈3.1m能放入电梯内的竹竿的最大长度约3.1米．21．【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC＝AB•CD＝BC•AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．【解答】解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1000（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝480（米）．由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．【分析】（1）在x轴上取一点M，使OM＝2，在y轴上取一点N，使ON＝3，作AM∥y 轴，AN∥x轴，AM、AN交于A，即可得到结论；（2）由题意即可得出结果；（3）作CD⊥OB于D，设OD＝x，则BD＝5﹣x，在Rt△OCD和Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程得出OD＝，BD＝，由勾股定理求出CD，即可得出答案．【解答】解：（1）在x轴上取一点M，使OM＝2，在y轴上取一点N，使ON＝3，如图2所示：作AM∥y轴，AN∥x轴，AM、AN交于点A，则点A即为所求；（2）∵点B，C分别在x轴和y轴上，且OB＝5，OC＝6，∴B，C两点的坐标分别为B（5，0），C（0，6）；（3）以O点为坐标原点，x轴的位置不变，建立新的平面直角坐标系，如图3所示：作CD⊥OB于D，设OD＝x，则BD＝5﹣x，在Rt△OCD和Rt△BCD中，BC＝OB＝5，OC＝6，由勾股定理得：CD2＝OC2﹣OD2，CD2＝BC2﹣BD2，∴OC2﹣OD2＝BC2﹣BD2，即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，解得：x＝，∴OD＝，BD＝，∴CD＝＝，∴点C在平面直角坐标系中的坐标为（，）．23．【分析】将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．∴（1）上述推理过程中，出现错误的两步是③④；（2）本题的正确结论是△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③④，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．。

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、有下列条件：①A B C∠+∠=∠；②::3:4:5A B C∠∠∠=；③C A B∠=∠-∠；④::3:4:5a b c=，其中能确定ABC∆是直角三角形的是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④2、如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（）A．23aB．32aC．53aD．35a3、如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74、在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．55、如图，在数轴上，点O对应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间6）的直角三角形．A．1，3 B．5，5 C．2，3 D．1，97、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点B C'=，则AM的长为（）A的对应点为点A'，3A．1.8 B．2 C．2.3 D8、如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁欲从点A爬到点B处吃食物，需要爬行的最短路程（π取3）是（）A．10cm B．12cm C．14cm D．9、现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）A．3米B．5米C．7米D．9米10、如图，在三角形ABC，222+=，AB ACAB AC BC且，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是=AB上一点，连接EF，EC，BF FE=，点G在AC上，连接BG，2∠=∠，AE=ECG GBCAG=CF的长为（）A．B．C．D．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x为____．2、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．3、在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)，点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为_______．4、如图，在△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝，PQ M、N分别在边AB、BC上，∠=_______．（1）PBQ（2）当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2=_______．5、如图，△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°．下列说法正确的是：__________．（填序号）①CD＝BE；②DC⊥BE；③连结DE，则有DE2＋BC2＝2BD2＋EC2；④FA平分∠DFE三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．2、如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝2，E为AC边上一点（不与A，C重合），连结BE，作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，连结EG．分别记∠AEB，∠AGB，∠CEG为∠1，∠2，∠3．（1）AB的长为（直接给出答案）．（2）当∠1＝∠2时，①求证：BE平分∠ABC．②求EGC的周长．（3）当∠1＝∠3时，AE的长为（直接给出答案）．3、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．4、在△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）如图1，求证：DB=DE；（2）如图2，作△DBE的高EF，连结AE．若∠DEA=∠FEA，求证：∠AEB=45°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点B 作BG ⊥AE 于点G ，BG 交AC 于点H ，若CE =2，求AG 的长．5、如图，在长方形ABCD 中，点E 在边AB 上，把长方形ABCD 沿着直线DE 折叠，点A 落在边BC 上的点F 处，若AE ＝5，BF ＝3．求：（1）AB 的长；（2）△CDF 的面积．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】由题意根据所给的数据和三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：①由题意知，180A B C C ︒∠+∠=-∠=∠，解得90C ∠=︒，则ABC ∆是直角三角形；②518075345C ∠=⨯︒=︒++，则ABC ∆不是直角三角形； ③由题意知，180C B A A ︒∠+∠=-∠=∠，解得90A ∠=︒，则ABC ∆是直角三角形；④由题意知，22225a b c +==，则ABC ∆是直角三角形；故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法．注意掌握如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；如果一个三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．2、A【分析】由题意得出图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为53a ，进而得出答案．【详解】解：∵BC =4a ，∴图①中，BE =a ，图②中，BE =43a ，53a =，∴图③中纸盒底部剩余部分CF 的长为4a -2×53a =23a ；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．3、B【分析】在Rt ABC ∆中利用勾股定理求出AC 长，利用折叠性质：得到ADE ADC ∆∆≌，求出对应相等的边，设DE ＝x ，在Rt BDE ∆中利用勾股定理，列出关于x 的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，ADE ADC≌，∴∆∆∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．4、D【分析】根据题意画出点,A B的位置，然后根据勾股定理计算即可．【详解】解：,A B的位置如图所示：过点B作x轴的平行线BC，过点A作y轴的平行线AC，AC和BC交于点C，∴1(2)3AC=-=，BC，514∴5AB=，故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键．5、C【分析】因为△OAB是一个直角三角形，且有OC=OB，所以可求得OB的长度即得C点所表示的数，可判断其大小．【详解】解：∵AB⊥OA∴在直角三角形OAB中有OA2+AB2=OB2∴.OB＜5又∵OC=OB∴点C所表示的数介于4和5之间故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，无理数的估算，重点就是由垂直而组成的直角三角形的性质，从而解得答案．6、A【分析】根据勾股定理可直接进行排除选项．【详解】解：由勾股定理可得：A=BCD故选A．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7、B【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵折叠，∴MB=MB′，∴AB2+AM2= MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，故选：B．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．8、A【分析】先画出圆柱展开图形，最短路程是AB的长，AC是底面圆周长的一半，则AC rπ=，BC是高8cm，根据勾股定理计算．【详解】解：如图所示，236AC r cm π==⨯=，由勾股定理得：10AB cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了圆柱的平面展开－最短路径问题，将圆柱展开为矩形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．9、A【分析】根据题意结合图形可得：3OE =m ，1239OB =-=m ，15312OD =-=m ，15AB CD ==m ，在两个直角三角形ABO 和COD 中，分别运用勾股定理求出AO ，CO ，即可得出移动的距离．【详解】解：如图所示：3OE =m ，1239OB =-=m ，15312OD =-=m ，15AB CD ==m ，在Rt ABO 中，12AO ==m ，在Rt COD 中，9CO m ，3AC AO CO =-=m ，故选：A ．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，找出相应的线段运用勾股定理是解题关键．10、D【分析】延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∠ACB =∠ABC =45°，由BF =FE ，得到∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠，然后证明CB =FC =FE ，得到∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC 则1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠即可证明==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，推出CF =；设22ECG GBC y ==∠∠，证明△ABG ≌△ACK ，得到==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，即可推出∠ECK =∠K ，得到EK =EC ，则EK AE AK AE AG =+=+=【详解】解：延长EA 到K ，是的AK =AG ，连接CK ，∵在三角形ABC ，222AB AC BC +=，AB AC =且，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∵BF =FE ，∴∠FBE =∠FEB ，设∠BFE =x ，则()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠∠，∵H 是BC 上中点，F 是射线AH 上一点，∴AH ⊥BC ，∴AH 是线段BC 的垂直平分线，∠FAC =45°，∴CB =FC =FE ，∴∠FBC =∠FCA ，∠AFB =∠AFC ∴1902FCA x ∠=︒-，()11=180=9022EBF BFE x ︒-︒-∠ ∴1180452AFB AFC FAC FCA x ∠=∠=︒-∠-∠=︒+， ∴1==452AFE AFB BFE x -︒-∠∠∠，∴==90EFC AFE AFC +︒∠∠∠，∴222EF CF CE +=，∴2CF =， 设22ECG GBC y ==∠∠，∵AG =AK ，AB =AC ，∠KAC =∠GAB =90°，∴△ABG ≌△ACK （SAS ），==45K AGB ACB GBC y =+︒+∠∠∠∠，==45ACK ABG ABC GBC y -=︒-∠∠∠∠，∴==45ECK ACE ACK a +︒+∠∠∠，∴∠ECK =∠K ，∴EK =EC ，∵EK AE AK AE AG=+=+=∴EF EK==∴9CF=，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二、填空题1、1##【分析】根据勾股定理求得BC的长，进而求得CA BC-=即可求得A点表示的数=CA OC OA【详解】解：如图，∵OB＝OC＝1，∴BC∴AC＝BC OA1，∴点A，．【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．2、1或5 2【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，③反证法证明90PB C'∠=︒的情形不成立．【详解】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB5，由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x ＝52，∴PB ＝52．②如图2中，当∠CPB ′＝90°，设PB ＝y ．过点A 作AT ⊥B ′P 交B ′P 的延长线于点T ，则四边形ACPT 是矩形，∴PT ＝AC ＝3，AT ＝CP ＝4﹣y ，在Rt △ATB ′中，AB ′2＝AT 2+B ′T 2，∴52＝（4﹣y ）2+（y +3）2，解得y ＝1或0（0舍弃），∴PB ＝1，③若90PB C '∠=︒，如图点C 与C ′是关于直线AP 的对称点，连接,AC BC ''由题意可得ABP AB P '∠=∠90ABC CAB ∠+∠=︒若90PB C '∠=︒，90AB C AB P ''∠+∠=︒∴AB C CAB '∠=∠根据对称性可得AB C ABC ''∠=∠CAB ABC '∴∠=∠AC BC '∴∥C B BC '∴⊥3AC AC '==,4BC =根据平行线之间的距离相等，若AC BC '∥，则A 到BC '的距离等于4而34AC '=<AC ∴不平行BC '∴假设不成立90PB C '∴∠≠︒综上所述，PB 的值为：1或52．【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．3、 (－2，4)或(3，4)或(－3，4)【分析】先根据题意得到OD =OA =5，CD =4，然后分当1=5OD OP =时和当3=5OD DP =时进行讨论求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，A 、B 、C 的坐标分别为(5，0)，(5，4)，(－5，4)， ∴OD =OA =5，CD =4，如图所示，当1=5OD OP =时，过点1P 作1PE x ⊥轴于E ， ∴1=4PE CD =，∴3OE =， ∴1P 的坐标为（-3，4），同理可求出2P 的坐标为（3，4）；如图所示，当3=5OD DP =时，设CD 于y 轴交于F ，则CF =5，OF =4，33CP ==，∴32P F =，∴3P 的坐标为（-2，4），综上所述，点P 的坐标为(－2，4)或(3，4)或(－3，4)，故答案为：(－2，4)或(3，4)或(－3，4)．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．4、45°【分析】作点P 关于AB 的对称点P '，点Q 关于BC 的对称点Q '，连接P Q ''交AB 于M ，交BC 于N ，此时四边形PQNM的周长最小，过点P 作PH BQ ⊥于H ，由勾股定理求出BH =PH BH =45PBQ ∠=︒，再求出150P BQ ∠''=︒，过点Q '作Q K P B '⊥'于K ，在Rt BKQ ∆'中，30KBQ ∠'=︒，BQ BQ '==则KQ '=BK =，在Rt △P Q K ''中，由勾股定理得222P Q ''=+【详解】解：（1）如图，作点P 关于AB 的对称点P '，点Q 关于BC 的对称点Q '，连接P Q ''交AB 于M ，交BC 于N ，此时四边形PQNM 的周长最小，过点P 作PH BQ ⊥于H ，22222PH PB BH PQ HQ ∴=-=-，22222)BH BH ∴-=-， 解得：BH =2422PH ∴=-=，PH ∴=PH BH ∴==45PBQ ∴∠=︒，（2）ABP ABP ∠=∠'，CBQ CBQ ∠=∠'，2()2150P BQ ABC PBQ PBQ ABC PBQ ∴∠''=∠-∠+∠=∠-∠=︒，过点Q '作Q K P B '⊥'于K ，在Rt BKQ ∆'中，18015030KBQ ∠'=︒-︒=︒，BQ BQ '==12KQ BQ ∴'='=，BK在Rt △P Q K ''中，2KP BP BK '='+=KQ '=222(222P Q ∴''=+=+22()22MP MN NQ P Q ∴++=''=+【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含30角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题．5、①②④【分析】①由条件可证明△ADC ≌△ABE ，可得到CD =BE ；②设BE和AC交于点R，可知∠AEB=∠ACD，结合对顶角和三角形内角和定理，可得到∠EFC=90︒；③由勾股定理可得DE2+BC2=BD2+CE2；④分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，由①全等可证得AS=AG，根据角平分线的判定可得到FA平分∠ DFE．【详解】解：①∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，AD=AB，AC=AE，∴ADC ABE△△（SAS），≌∴CD=BE，故①符合题意；②设BE交AC于点R，如图，由（1）可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠FRC，∴∠AER+∠ARE=∠FCR+∠FRC，∴∠EFC=∠EAR=90︒，即DC⊥BE，故②符合题意；③∵DC⊥BE，∴DF2+EF2=DE2，BF2+CF2=BC2，∴DF2+EF2+BF2+CF2=DE2+BC2，且DF2+BF2=BD2，CF2+EF2=CE2，∴DE2+BC2=BD2+CE2，故③不符合题意．④证明：如图2，分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，由（1）可知∠ADS=∠ABG，且AD=AB，∠ASD=∠AGB，∴ADS≌ABG（AAS），∴AS=AG，且AS⊥DC，AG⊥BE，∴FA平分∠DFE，故④符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，能利用图形性质找到边与边之间的关系是本题的关键．三、解答题1、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定222222AB AC BC再顺次连接3110,2313,1417,,,A B C 即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可.【详解】解：（1）如图，ABC 即为所求作的三角形， 其中：2222223110,2313,1417,AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABC S 故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.2、（1）（2）①见解析；②4；（3【分析】（1）根据题意证明ABC 是等腰直角三角形，然后由等腰三角形三线合一性质和等腰直角三角形的性质得到2BD CD AD ===，最后根据勾股定理即可求出AB 的长；（2）①首先由AG ⊥BE ，得到290GBE ∠+∠=︒，然后由∠BAC ＝90°，得到190ABE ∠+∠=︒，进而由∠1＝∠2可得出ABE GBE ∠=∠，即可证明出BE 平分∠ABC ；②首先由ASA 证明ABF GBF ≌，得到BG AB ==BE 所在直线是线段AG 的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出AE GE =，再由ABC 是等腰直角三角形，得到AC AB ==出EGC 的周长；（3）作AC CH ⊥交AG 的延长线于H 点，首先根据AAS 证明ABE CAH △≌△，得到AE CH =，1H ∠=∠，然后根据ASA 证明EGC HCG △≌△，进而得到EC CH =，即可得出12AE CE AC === 【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴ABC 是等腰直角三角形，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝2，∴2BD CD AD ===，∴在Rt ABD △中，AB ==（2）①∵AG ⊥BE ，垂足为F ，∴90BFG ∠=︒，∴290GBE ∠+∠=︒，∵∠BAC ＝90°，∴190ABE ∠+∠=︒，∵∠1＝∠2，∴ABE GBE ∠=∠，∴BE 平分∠ABC ．②∵在ABF 和GBF 中，90ABF GBF BF BFAFB BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ABF GBF ASA △≌△，∴BG AB ==AF GF =，∴BE 所在直线是线段AG 的垂直平分线，∵ABC 是等腰直角三角形，∴AC AB ==∵4=+=BC BD CD ，∴4GC BC BG =-=- ∴EGC的周长＝44GE EC GC AE EC GC AC GC ++=++=+=-；（3）如图所示，作AC CH ⊥交AG 的延长线于H 点，∵90BAE ∠=︒，AG BE ⊥，∴90ABF BAF ∠+∠=︒，90FAE BAF ∠+∠=︒，∴ABF FAE ∠=∠，∴在ABE △和CAH 中，ABE CAH AB ACBAE ACH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAH ASA △≌△，∴AE CH =，1H ∠=∠，∵∠1＝∠3时，∵90ACH ∠=︒，45ACB ∠=︒，∴45HCB ACB ∠=∠=︒，∴在ECG 和HCG △中，345H ECG HCG CG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ECG HCG AAS △≌△，∴EC CH =，又∵AE CH =，∴12AE CE AC ===【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ，HL (直角三角形)．3、（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；（3【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；（310，符合题意．【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．4、（1）见详解；（2）见详解；（3【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）根据三角形的内角和解答即可；（3）过点C作CR⊥AE于R，过点R作RT⊥CE于T，先证明△ABG≌△CAR，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵DE∥AC，∴∠ACB=∠E，∴∠B=∠E，∴DB=DE；（2）令∠DEA=α，则∠FEA=α，∠FED=2α，∵EF是△DBE的高，∴EF⊥DB，∴∠DFE=90°，∴∠D=90°-∠DEF=90°-2α，∵∠B+∠DEB+∠D=180°，∴2∠DEB+90°-2α=180°，∴∠DEB=45°+α，∴∠AEB=∠DEB-∠DEA=45°+α-α=45°，（3）如图3，过点C作CR⊥AE于R，过点R作RT⊥CE于T，则∠CRE=∠CTR=∠ETR=90°，∵∠AEB=45°，∴∠RCE=∠ERT=45°=∠CRT，CE＝2，∴RC=22∵DE∥AC，∴∠CAR=∠DEA，∵BG⊥AE，∴∠BGE=90°，∴∠GBE=90°-∠AEB=45°，即∠GBE=∠AEB，∴∠ABG=∠ABC-∠GBE=∠DEB-∠AEB=∠DEA=∠CAR，又∵AB =AC ，∠AGB =∠CRA =90°，∴△ABG ≌△CAR （AAS ），∴AG = RC ．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中等题型．5、（1）9；（2）54【分析】（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，然后再直角△BEF 中利用勾股定理求出BE 的长即可得到答案；（2）由四边形ABCD 是长方形，得到AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，则BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，由222DF CF CD =+，得到()22239x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由折叠的性质可知，EF =AE =5，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠B =90°，∴4BE =，∴AB =AE +BE =9；（2）∵四边形ABCD 是长方形，∴AD =BC ，CD =AB =9，∠C =90°，由折叠的性质可得AD =DF ，∴BC =AD =DF ，设CF =x ，则BC =DF =x +3，∵222DF CF CD=+，∴()22239x x+=+，解得12x=，∴CF=12，∴1542CDFS CF CD=⋅=△【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。