一元二次方程整数根问题的十二种思维

一元二次方程的整数根问题一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。

方程形式：通常形式使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

变小形式解题方法：公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字二者乘法解法因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法求解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边水解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解这两个一元一次方程，它们的求解就是原方程的求解.十字相乘法公式公式法（可解全部一元二次方程）求根公式去求出方程的木配方法（可以求解全部一元二次方程）开方法（可以求解部分一元二次方程）均值代换法（可以求解部分一元二次方程）设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。

再求出x1, x2。

简单解法1．看看与否能够用因式分解法求解（因式分解的数学分析中，先考量加公因式法，再考虑平方公式法，最后考量十字相加法）2．看是否可以直接开方解3．采用公式法解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）如果要参加竞赛，可按如下顺序：a.因式分解；b.韦达定理；c.判别式； d.公式法；e.配方法；f.开平方；g.求根公式；h.表示法。

一元二次方程的整数根阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。

这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 q p ,为质数且是方程0132=+-m x x 的根，那么qpp q +的值是（ ）A ．22121B ．22123C ．22125D ．22127（黄冈市竞赛试题）解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（）A ．2组B ．3组C ．4组D ．无穷多组解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2，即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A 级1．已知方程019992=+-a x x 有两个质数根，则._______=a (江苏省竞赛题)2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则._________=m(四川省竞赛题)3．若关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 和0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，则整数m 的值为__________4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则)(k p pk k p k +的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则b aa b +等于（ ）A ．2213B ．2158C ．492402D ．383656．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对 7．方程019972=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p的值是（ ）A ．1B ．1-C ．21-D ．21（北京市竞赛试题）8．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（ ）（太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）11．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.（上海市竞赛试题）12．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(41591122=++++-q p x p x 的两个根，求q p ,的值.（全国初中数学联赛试题）B 级1．已知96=+q p ，并且二次方程02=++q px x 的根都是整数，则其最大根是___________.2．若关于x 的二次方程062=++a ax x 只有整数根，则_________=a . （美国数学邀请赛试题）3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a . （全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为____________（《学习报》公开赛试题）7．若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值为（ ）A ．59B ．95C ．52001-D ．92001-8．若方程0232=+++m x x 有一个正跟1x ，和一个负根2x ，由以21,x x 为根的二次方程为（ ）A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=----m x m xD ．02412=++--m x m x9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）10．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）11．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）12．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b （1）求a 的值；（2）求k 的值及它对的y x ,的值.专题05 一元二次方程的整数根例1 当k =4时，x =1；当k =8时，x =-2；当k ≠4且k ≠8时，148x k =-，284x k=-，可得k =6或k =4,6,8或12． 例2 C例3 C 提示：方程变形为关于x 的二次方程()222290x yx y ++-=，2=71160y ∆-+≥且是完全平方数，得,162=y ∴4±=y ,∴⎩⎨⎧=-=4111y x ,⎩⎨⎧=-=4322y x ,⎩⎨⎧-==4133y x ,⎩⎨⎧-==4344y x . 例4 ①若0=r ，则21=x 不是整数；②0≠r ，设方程的两根为)(,2121x x x x <，则r r x x 221+-=+，r r x x 121-=，于是,3212)(22121=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-r r r r x x x x 有7)12)(12(21=--x x ，解得⎩⎨⎧==4121x x 或⎩⎨⎧=-=0321x x 则31-=r 或1=r . 例5由0)()50(2-22=-+-y y x y x 得0)992500(4)(4)50(422≥-=---=∆y y y y ,即0)992500(≥-y ,25≤y 时,方程有实数解y y x 99250050-±-=.由于)992500(y -必须是完全平方数,而完全平方数的末位数字可能为0,1,4,5,6,9,故仅可取25,此时30=x 或, 20=x ,故所求的四位数为2025或3025.例6解法一:因a 的次数较低,故将方程整理为关a 于的一次方程,得)6(2)2(2+=+x a x ,显然02≠+x ,于是2)2()6(2++=x x a ,∵a 是正整数,1≥a ,即1)2()6(22=++x x ,化简得0822≤-+x x ,解得)2(24-≠≤≤-x x .当2,1,0,1,3,4---=x 时,.1,914,3,10,6,1=a ∵a 是正整数,故a 的值为1,3,6,10.解法二:()[])18(4)3(41242+=---=∆a a a a 为完全平方数,故)18(4+a 为奇数的平方.令2)12()18(+=+m a ,m 是正整数,则22mm a +=,于是,原方程可化为0)3)(2(4)1(4)1(22=+-+-+++m m x m m x m m ,即[][]0)3(2)1(2)-m 2=++++m x m mx （,解得m x 421+-=,1422+--=m x ,∴4m 或41）（+m 得4,2,1=m 或3,1=m ,故a 的值位1,3,6,10.A 级1. 3 9942. 13. 14. 1 9845. D6. B7. C8.D9.①当0=k 时，则1=x ，即0=k 为所求；②0≠k 时,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+k x x k x x 11112121,得3)1)(1(21=--x x ,由此可得1,71=-=k k 或.10. 0=n 提示:方程①()2342221++=-n n x x ,方程②根为n n -+1,22,注意讨论. 11.4,10,2--=a12.由韦达定理，得9112+=+p q p ①，16)(415++=q p pq ②，0>+q p ，0>pq ，为q p ,正整数.由②得216)(6016++=q p pq ,即4811516)154)(154(22=+=+-q p ,故⎩⎨⎧=-=-13,37,1,48115437,13,481,1154q p ,得13,7,124,4=p ，7,13,4,124=q ，代入①，即只有7,13==q p 满足条件.B 级1. 982. 49,32,27,25,24,-25,8,-3,-1,0.3. 5 提示:当6=k 时,解得2=x .当9=k 时,解得3-=x .当96≠≠k k 且时,解得kx k x -=-=96,9921.当9,3,16±±±=-k 时,1x 是整数，这时3,15,3,5,7-=k ；当6,3,2,19±±±±=-k 时，2x 是整数，这时3,15,7,11,8,10=k .综上所述, 15,9,7,6,3=k 时,原方程的解为整数. 4.611 提示:将原方程整理为关于a的二次方程(),01722=++-xa a x 03282≥-=∆x ,)7(232822--±-=x x x a ,讨论枚举.5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=. 6. -2,或-67. A 提示:a 与a1时方程09200152=++x x 的两个不相等的实数根. 8. C9. 解得4211---=k x ，2412---=k x ，故1241+-=-x k ，1422+-=-x k )1,1(21-≠-≠x x ，消去k 得，02312=++x x x x ，即()2321-=+x x ，求得310,3,6=k .10.设两连续正偶数为2,+k k ,则有)2(22392+=-+k k x x ,即0)22(23922=++-+k k x x ,x 为有理数,则[]2)1(6565++=∆k 为完全平方数,令)0(2≥=∆p p ,[]156********)1(622⨯=⨯-=+-k p 也即[][]15655115)1(6)1(6⨯=⨯=--++k p k p ,于是得⎩⎨⎧=+-=++5)1(6113)1(6k p k p ,或⎩⎨⎧=+-=++1)1(6565)1(6k p k p 解得8=k 或46=k ,相应的方程的解为2=x 或941-=x 与17-=x 或9130=x .总之,当2=x 或 17-=x 时, 22392-+x x 恰为两个整数8或10,或者46或48的乘积.11. 令2224n p q =-=∆(n 为非负数),即24))(p n q n q =+-（.∵n q n q +≤-≤1且n q n q +-与奇偶性相同,则⎩⎨⎧=+=-222p n q n q ①, ⎩⎨⎧=+=-24p n q n q ②, ⎩⎨⎧=+=-p n q p n q 4③, ⎩⎨⎧=+=-p n q pn q 22④, ⎩⎨⎧=+=-42n q p n q ⑤；消去n 分别得：12+=p q ，222+=p q ，25p q =，p q 2=，222pq +=，对于第1、3种情形，5,2==q p 对于第2、5种情形，4,2==q p （不合题意，舍去）；对于第四种情形，p 为合数（舍去）.又当5,2==q p 时，方程为2,21,0252212===+-x x x x . 12. (1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x ,∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ；当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。

一元二次方程的整数根问题（初三）
奚雯燕
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2016(000)011
【摘要】已知方程有整数根，求其中的参数值的问题，是初中数学竞赛和中考中常见的题型．本文举例如下，供参考．
【总页数】2页(P32-32,34)
【作者】奚雯燕
【作者单位】江苏省苏州市立达中学校,215000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.一元二次方程整数根问题解题探析
2.一元二次方程整数根问题的解法
3.一元二次方程整数根问题的解法技巧
4.“一元二次方程实数根的分布”问题之探究
5.一元二次方程中有关整数根的问题
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一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

初三数学一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例1.（黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴22164(445)0m m m =---≥V 得54m ≥-综上所述，－45≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0 ∴ m=1例2．（四川竞赛题）已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m =－(x 1+x 2)为负整数.∴244m m =+-V 一定是完全平方数设2244m m k +-=（k 为正整数）∴22(2)8m k +-=即：(2)(2)8m k m k +++-=∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩ 解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

二. 利用求根公式例3．（全国联赛题）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-V 由求根公式得222642(6)2(68)k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=--=-++ 两式相减，得1224211x x -=++ 即 12(3)2x x +=-由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==-分别代入，易得k=310，6，3。

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。

解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。

2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。

2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于的一元二次方程.x ()0222=++-x m mx （1）证明:不论为何值,方程总有实数根;m （2）为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?m 分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明: ()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵≥0()22-m ∴△≥0∴不论为何值,方程总有实数根;m （2）解:()0222=++-x m mx()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴ mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++=∵为整数,为正整数m 21,x x ∴或1=m 2=m 由题意可知:,∴ 12≠m2≠m ∴.1=m点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx ∴或01=-x 02=-mx ∴. mx x 2,121==（2）若把题目改为“已知关于的方程.”结果又将如何? x ()0222=++-x m mx 例2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 05242=+--m x x （1） 求实数的取值范围;m （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数的值.m 分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即,建立关于参数的不等式0>∆m 求解;（2）这里对参数的要求比较苛刻,有三点:①的值是整数;②保证方程的两m m 个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的的值进行检验.m 解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:; 21>m （2）由题意可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得: 2521<<m ∵为整数m ∴或.1=m 2=m 当时,,解之得:,符合题意;1=m 0342=+-x x 3,121==x x当时,,解之得:,不符合题意,舍去. 2=m 0142=+-x x 32,3221-=+=x x 综上所述,整数的值为1.m 例3. 已知关于的一元二次方程.x ()01222=+++-k k x k x （1）求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）如果方程的两个实数根为,且与都为整数,求所有可能的值. 21,x x k 21x x k 分析:（1）只需证明无论取何值,都有即可;k 0>∆（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为,共21,x x 有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明: ()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）解:()01222=+++-k k x k x 21122112±+=±+=k k x ∴或 k k x k k x =-+=+=++=2112,12112211,21+==k x k x 当时, k x k x =+=21,1k k k x x 11121+=+=∵与都为整数 k 21x x ∴或;1-=k 1=k 当时, 1,21+==k x k x 111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵与都为整数 k 21x x ∴或.0=k 2-=k综上所述,或或或.1-=k 1=k 0=k 2-=k 例4. 关于的一元二次方程.x ()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;（2）为何整数时,此方程的两个根都为正整数? m 解:（1）由题意可知:,.01≠-m 1≠m ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴; 111,1121=--=-+=m m x m m x （2）∵为整数,为正整数m 21,x x 121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴或11=-m 21=-m ∴或.2=m 3=m。

一元二次方程认识一元二次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。

一般形式ax +2bx +c =0(a = 0)解满足方程的未知数的值就是方程的解常见题型：①通常需要判断“a”是否为零。

——a=0，b≠0，一次方程；a≠0，二次方程②已知方程的解是……，求方程中的其它参数——代入法……一元二次方程的求解①直接开平方法一般形式：x =2m (m ≥0)(x +n )=2m (m ≥0)例题： (x −2)=21x =11,x =23②因式分解法将一元二次方程进行因式分解，使其变成两个含有未知数的因式相乘的形式。

或解得，a (x −x )(x −1x )=20(x −x )(x −1x )=20x =x 或x =1x 2例题：x +25x +6=0(x +2)(x +3)=0x =1−2,x =2−3③配方法将一元二次方程的一般形式化为完全平方公式，再直接用开平方法求解。

步骤把常数项移到方程右边，把二次项系数化为1将方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方用直接开平方法解出原方程的解④求根公式法一元二次方程的根根的判别式： Δ=b −24acΔ>0，方程有两个不相等的实数根Δ=0，方程有两个相等的实数根Δ<0，方程没有实数根根与系数的关系（韦达定理）x +1x =2−ab x ⋅x =12ac常见推论：…………x +12x =22(x +1x )−222x x 12(x −1x )=22(x +1x )−224x x 12x −13x =23……±x 11=x 21……正向题型：方程有没有根？怎么求整数根？逆向题型：根据方程根的情况，求其他参数（某字母的值或取值范围）讨论下根的正负性？证明下根与其他参数的关系？……一元二次方程的应用数字问题常见题型：①已知连续两个奇数/偶数/整数的积是多少，求这两个数。

②已知给出某两位数个位数、十位数的条件，求满足条件的两位数。