七年级下期末数学试卷(解析版)(2)

2023-2024学年陕西师大附中七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分）1．（3分）9的平方根是（）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．2．（3分）下列交通标志图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，PF 是∠EPC 的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD 的大小为（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．100°4．（3分）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（）A ．3×10﹣7B ．0.3×10﹣4C ．3×10﹣4D ．3×1075．（3分）下列说法中，正确的是（）A ．成语“心想事成”描述的事件为必然事件B ．某彩票的中奖概率是3%，那么如果买100张彩票一定会有3张中奖C ．小明做3次掷图钉的试验，发现有2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是D ．小乐做了3次掷均匀硬币的试验，结果有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是6．（3分）下列各式运算正确的是（）A ．（﹣2x +y ）（﹣2x ﹣y ）＝4x 2﹣y 2B ．（12m 4﹣3m ）÷3m ＝4m 3C ．（m +2）2＝m 2+4D ．﹣3（x ﹣y ）＝﹣3x +y7．（3分）某天小明去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了2分钟，其离家的路程y （单位：m）与出行的时间x（单位：min）变化的关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（）A．仍会迟到3分钟到校B．刚好按时到校C．可以提前8分钟到校D．可以提前2分钟到校8．（3分）如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（）（假设绳子是直的）A．9米B．8米C．7米D．6米9．（3分）如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则∠B+∠D＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝84°，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线相交于点O，点M、N分别在AB、AC上，点A沿MN折叠后与点O重合，则∠ONC是（）A．12°B．14°C．16°D．18°二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分）11．（3分）比较大小：2﹣230．（选填＞，＝，＜）12．（3分）声音在空气中传播的速度y（m/s）与气温x（℃）之间的关系式为．当x＝30℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为m．13．（3分）一个不透明的口袋里有除编号外四个完全相同的小球，分别写有数字3、4、5、6，口袋外有两个小球，分别写有数字3、6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是．14．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件：①∠A＝∠C﹣∠B；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③a＝32，b＝42，c＝52；其中可以判定△ABC是直角三角形的有个．15．（3分）如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD 与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为．16．（3分）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为.三、解答题（共8题，合计52分）17．（8分）计算：（1）；（2）（2a3b）2•（﹣2ab）+（﹣2a3b）3÷（2a2）．18．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2，b＝﹣1．19．（5分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S ＝S△ABE（不写画法，保留作图痕迹）．△ADE20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点M，且ED＝AC，过点E作EF ∥BC分别交AB，AC于点F，N．求证：AB＝EF．21．（6分）一个盒子中装有33个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球的2倍多5个，从盒子中任取一个球是白球的概率是，求从盒子中任取一个球是黑色的概率．22．（5分）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题：碗的数量x（个）12345…高度y（cm）4 5.2 6.47.68.8…（1）写出整齐叠放在桌面上碗的高度y（cm）与碗的数量x（个）之间的关系式；（2）若这摞碗的高度为19.6cm，求这摞碗的数量．23．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与P A 相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝9，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．24．（10分）【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：；∠AOE＝．【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．（1）∠MFQ＝；（2）求证：PQ＝MN．【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝（请用含有a、b的代数式表示）．2023-2024学年陕西师大附中七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分）1．【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．【解答】解：9的平方根是±＝±3．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2．【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．【分析】根据概率的意义，模拟实验，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．【解答】解：A、成语“心想事成”描述的事件为随机事件，故A不符合题意；B、某彩票的中奖概率是3%，那么如果买100张彩票不一定会有3张中奖，故B不符合题意；C、小明做3次掷图钉的试验，发现有2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，是错误的，故C不符合题意；D、小乐做了3次掷均匀硬币的试验，结果有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了概率的意义，模拟实验，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．6．【分析】利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，多项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）＝4x2﹣y2，故A符合题意；B、（12m4﹣3m）÷3m＝4m3﹣1，故B不符合题意；C、（m+2）2＝m2+4m+4，故C不符合题意；D、﹣3（x﹣y）＝﹣3x+3y，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．【分析】先求出小涵骑单车的速度，再求出若小涵开始时直接骑单车，则前400m所用的时间，接着求出前400m可以节约的时间，进行比较即可得出答案．【解答】解：由图象可知，小涵骑单车的速度为（2400﹣400）÷（16﹣6）＝2000÷10＝200（m/min），若小涵开始时直接骑单车，则前400m所用的时间为400÷200＝2（m/min），则可以节约6﹣2＝4（min），∵先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了2分钟，∴若小涵开始时直接骑单车，则他可以提前2分钟到校．故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．8．【分析】由勾股定理求出AB＝15m，再由勾股定理求出AD＝6m，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17m，AC＝8m，∴AB＝＝15（m），∵此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（m），在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝＝6（m），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（m），即船向岸边移动了9m，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出AB和AD的长是解题的关键．9．【分析】证明△ABC≌△DAE（SAS），得∠B＝∠DAE，再由三角形的外角性质得∠DAE+∠ADC＝45°，即可得出结论．【解答】解：如图，在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠DAE，∵∠DCE＝∠DAE+∠ADC＝45°，∴∠B+∠ADC＝45°，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．10．【分析】连接OA、OC，由AB＝BC，BO是∠ABC的平分线，得∠OBA＝∠OBC＝∠ABC＝42°，BO垂直平分AC，则OA＝OC，由OD垂直平分BC，得OB＝OC，则∠OCB＝∠OBC＝42°，可求得∠ACB＝∠CAB＝48°，则∠OAC＝∠OCA＝6°，所以∠AON＝∠OAC＝6°，则∠ONC＝12°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OA、OC，∵AB＝BC，∠ABC＝84°，BO是∠ABC的平分线，∴∠OBA＝∠OBC＝∠ABC＝×84°＝42°，直线BO垂直平分AC，∴OA＝OC，∵OD垂直平分BC，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝42°，∵∠ACB＝∠CAB＝×（180°﹣84°）＝48°，∴∠OAC＝∠OCA＝48°﹣42°＝6°，由折叠得ON＝AN，∴∠AON＝∠OAC＝6°，∴∠ONC＝∠AON+∠OAC＝6°+6°＝12°，故选：A．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分）11．【分析】先分别计算2﹣2和30的值，再进行比较大小，即可得出答案．【解答】解：∵2﹣2＝，30＝1，∴2﹣2＜30，故答案为：＜．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义，零指数幂的意义是解决问题的关键．12．【分析】根据题意，可以求得当x＝22℃时，对应速度y的值，然后根据路程＝速度×时间，即可得到当x＝22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离．【解答】解：当x＝30时，y＝×30+331＝349，则当x＝30℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为：349×5＝1745（m），故答案为：1745．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．13．【分析】由一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字3、4、5、6，可得共有4种等可能的结果，又由这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的：6，3，6，共1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字3、4、5、6，∴共有4种等可能的结果，∵这张卡片与口袋外的两张卡片上的数作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的：6，3，6，共1种情况，∴能构成三角形的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】由勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个条件进行判断即可．【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°；③a＝32＝9，b＝42＝16，c＝52＝25，∴92+162＝81+256＝337≠252，即a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形；综上所述，可以判定△ABC是直角三角形的有2个，故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．【分析】连接CF，由△AEF与△CEF等高，CE＝2AE，可得到S△CEF＝6．又因为△ABD与△ACD同＝S△ACD＝S△ABC＝18，从而S△CFD＝18﹣3﹣6＝9，又△BFD与△CFD同底等底等高，故可得S△ABD＝9，即得答案．高，则S△BFD【解答】解：连接CF，如图所示．∵△AEF与△CEF等高，CE＝2AE，＝2S△AEF＝2×3＝6，∴S△CEF＝36，BD＝CD，又∵S△ABC＝S△ACD＝S△ABC＝18，∴S△ABD＝18﹣3﹣6＝9，∴S△CFD又∵△BFD与△CFD同底等高，＝S△CFD＝9，故S△BFD即阴影部分面积为9，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形面积的计算，涉及三角形中线的性质，当两个三角形等高时，面积比即为底之乡比、同底等高时，面积即相等等知识点，作出正确的辅助线是解此题的关键．16．【分析】如图，作辅助线构建等边三角形BP1P2，证明B，P，O三点共线时，2P1P2+PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，由三角形的面积可得OB的长，可得结论．【解答】解：如图，连接BP，BP1，BP2，∵P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，∵∠ABC＝30°，∴∠P1BP2＝60°，∴△BP1P2是等边三角形，∴BP＝P1P2，∴2P1P2+PP3＝2BP+2OP，∴当B，P，O三点共线时，2P1P2+PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，∵AC＝4，△ABC的面积为5，∴•AC•OB＝5，∴OB＝，∴2P1P2+PP3的最小值是5．故答案为：5．【点评】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，线段和的最小值等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8题，合计52分）17．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【解答】解：（1）＝1﹣3+4＝2；（2）（2a3b）2•（﹣2ab）+（﹣2a3b）3÷（2a2）＝4a6b2•（﹣2ab）+（﹣8a9b3）÷（2a2）＝﹣8a7b3﹣4a7b3＝﹣12a7b3．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：原式＝（a2﹣4ab+4b2﹣4a2+b2﹣5b2）÷（﹣a）＝（﹣3a2﹣4ab）÷（﹣a）＝6a+8b，当a＝2，b＝﹣1时，原式＝4×2+8×（﹣1）＝0．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．19．【分析】因为AB＝AD，且S△ADE＝S△ABE，所以只要保证对应的高相等就可以，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要做∠BAD的角平分线AE即可．【解答】解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，则直线AE即为所求．【点评】本题考查了角平分线的性质、运用作图工具的能力，运用三角形：等底等高性质等基础知识解决问题的能力．20．【分析】垂直得到∠EDF＝∠C＝90°，平行得到∠EFD＝∠B，利用AAS证明△ABC≌△EFD即可证明结论．【解答】证明：∵DE⊥AB，∴∠EDF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠EDF＝∠C＝90°，∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠B，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB＝EF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等．21．【分析】先根据概率公式求出白球的个数为1，进一步求得红、黑两种球的个数和为32，再根据红球个数是黑球个数的2倍多5个，可得黑球个数为（32﹣5）÷（2+1）＝9（个），根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．【解答】解：（1）33×＝1（个），33﹣1＝32（个），（32﹣5）÷（2+1）＝9（个），＝，答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝．22．【分析】（1）根据整齐叠放在桌面上碗的高度＝一个碗的高度+（5.2﹣4）×（碗的总数﹣1），从而可得y ＝2.8+1.2x ，然后把x ＝10代入函数关系式中，进行计算即可解答；（2）把y ＝19.6代入函数关系式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）由题意得：y ＝4+（5.2﹣4）（x ﹣1）＝4+1.2（x ﹣1）＝1.2x +2.8，∴整齐叠放在桌面上碗的高度y （cm ）与碗的数量x （个）之间的关系式：y ＝2.8+1.2x ；（2）当y ＝19.6时，1.2x +2.8＝19.6，解得：x ＝4，∴这摞碗的数量为14个．【点评】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．23．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠PDA ＝∠A ，根据线段垂直平分线的性质可得ED ＝EB ，∠EDB ＝∠B ，进一步可得∠PDE ＝90°，即可得证；（2）连接PE ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理，得PE 2，在Rt △PDE 中，根据勾股定理，得PE 2，列方程求解即可．【解答】解：（1）DE ⊥PD ，理由如下：∵PD ＝PA ，∴∠PDA ＝∠A ，∵EF 垂直平分BD ，∴ED ＝EB ，∴∠EDB＝∠B，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝90°，∴DE⊥PD；（2）连接PE，如图所示：∵AC＝9，BC＝12，PA＝3，∴CP＝AC﹣PA＝6，PD＝PA＝3，设DE＝BE＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝62+（12﹣x）2，在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝32+x2，∴62+（12﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴DE＝．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些性质是解题的关键．24．【分析】【问题背景】根据SAS证明△ABD≌△BCE，利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．【推广探究】（1）如图2，三角形内角和定理可知，∠MFQ+∠QMF+∠MQF＝180°，∠AOE+∠EAO+∠AEO＝180°，因为∠MFQ＝∠AOE，所以∠MFQ＝∠AOE＝60°；（2）结合图1可知，∠ABE＝∠DAC，由平行的性质可知∠APQ＝∠ABE，∠NMC＝∠DAC，则∠APQ ＝∠NMC，由AB＝AC及AM＝BP可知AP＝CM，易证△APQ≌△CMN（AAS），由此可得结论．【深入探究】由AM＝BP，CQ＝BN，可得AP+AN+CQ+CN，由PQ＝MN，可得PF＝a+c﹣b，所以C1﹣C2＝a+PF﹣b﹣c＝a+a+c﹣b﹣b﹣c＝2a﹣2b．【解答】【问题背景】解：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）．∴∠BAD＝∠CBE，∴∠AOE＝∠OBA+∠BAD＝∠OBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．故答案为：AD＝BE；60°；【推广探究】（1）解：∵PQ∥BE，MN∥AD，∴∠QMF＝∠EAO，∠MQF＝∠AEO，在△MQF中，∠MFQ+∠QMF+∠MQF＝180°，在△AEO中，∠AOE+∠EAO+∠AEO＝180°，∴∠MFQ＝∠AOE，∵∠AOE＝60°，∴∠MFQ＝60°，故答案为：60．（2）证明：∵∠APQ+∠PAQ+∠PQA＝180°，∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°，且∠PAQ＝∠MFQ＝60°，∴∠APQ＝∠FMQ，∵AM＝BP，∴AP＝CM，在△PAQ和△MCN中：，∴△PAQ≌△MCN（ASA），∴PQ＝MN．【深入探究】解：∵AM＝BP，CQ＝BN，∴AP+AM＝CQ+CN，∴C1﹣C2＝a+PF﹣b﹣c，∵PQ＝MN，∴PF＝a+c﹣b，∴C1﹣C2＝a+a+c﹣b﹣b﹣c＝2a﹣2b．故答案为：2a﹣2b．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型。

20232024学年全国初中七年级下数学人教版期末试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）。

A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）。

A. 2B. 0.5C. √3D. 3/43. 下列等式中，正确的是（）。

A. 2^3 = 8B. 3^2 = 9C. 4^0 = 1D. 5^(1) = 54. 若一个正方形的边长是a，则它的面积是（）。

A. 2aB. 4aC. a^2D. a^35. 下列各数中，是正数的是（）。

A. 3B. 0C. 1/2D. 5/46. 若一个数的平方是9，则这个数是（）。

A. 3B. 3C. 3和3D. 07. 下列各数中，是分数的是（）。

A. 2B. 3/4C. 5D. 68. 若一个数的绝对值是5，则这个数是（）。

A. 5B. 5C. 5和5D. 09. 下列各数中，是整数的是（）。

A. 1/2B. 3/4C. 5D. 610. 若一个数的立方是8，则这个数是（）。

A. 2B. 2C. 2和2D. 0二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是2，则这个数是__________。

12. 下列各数中，是无理数的是__________。

13. 下列等式中，正确的是__________。

14. 若一个正方形的边长是a，则它的面积是__________。

15. 下列各数中，是负数的是__________。

16. 若一个数的平方是16，则这个数是__________。

17. 下列各数中，是正整数的是__________。

18. 若一个数的绝对值是7，则这个数是__________。

19. 下列各数中，是偶数的是__________。

20. 若一个数的立方是27，则这个数是__________。

三、解答题（每题10分，共50分）21. 已知一个正方形的边长是a，求它的面积。

22. 已知一个数的平方是9，求这个数。

江苏省七年级下学期数学期末试题卷本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共29小题，满分130分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考试号、学校、姓名、班级，用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题纸相对应的位置上，并认真核对；2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题纸指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；3．考生答题必须答在答题纸上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案写在相应的位置上．1．下列运算正确的是A．a·a2＝a2 B．(ab)3＝ab3C．（a2)3＝a6D．a10÷a2＝a52．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00 000 094m，用科学记数法表示这个数是A．9.4×10－7m B．9.4×107m C．9.4×10－8m D．9.4×108m3．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形4．不等式组221xx≤⎧⎨+>⎩的最小整数解为A．－1 B．0 C．1 D．25．如图，直线l、n分别截∠A的两边，且l∥n．根据图中标示的角，判断下列各角的度数关系，正确的是A．∠2＋∠5 >180°B．∠2＋∠3< 180°C．∠1＋∠6> 180°D．∠3＋∠4<180°6．数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A．a－c>b－c B．a＋c<b＋cC．ac>bc D．a cb b <7．下列命题中是真命题的是A．质数都是奇数B．如果a＝b，那么a＝bC．如果a>b，那么(a＋b)（a－b）>0 D．若x<y，则x－202X<y－202X8．关于x，y的方程组225y x mx m+=⎧⎨+=⎩的解满足x＋y＝6，则m的值为A．－1 B．2 C．1 D．49．(3x＋2)(－x4＋3x5)＋(3x＋2)(－2x4＋x5)＋(x＋1)(3x4－4x5)与下列哪一个式子相同A．(3x4－4x5) (2x＋1) B．－(3x4－4x5)(2x＋3)C．(3x4－4x5) (2x＋3) D．－(3x4－4x5)(2x＋1)10．小新原有50元，表格中记录了他今天所支出各项费用，其中饼干支出的金额被涂黑，若每包饼干的售价为3元，则小明可能剩下的金额数是A．7元B．8元C．9元D．10元二、填空题本大题共8小题．每小题3分，共24分把答案直接填在答题卡相对应的位置上．11．命题“内错角相等”是▲命题（填“真”、“假”）．12．（▲）(2a－3b)＝12a2b－18ab2．13．已知2x＝3y＋7，则32x y-＝▲．14．如果（x＋3）（x＋a）＝x2－2x－15，则a＝▲．15．如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1＝120°，∠2＝80°，则∠3的度数是▲．16．已知关于x的方程x－(2x－a)＝2的解是负数，则a的取值范围是▲．17．计算：498×502－5002＝▲．18．已知不等式组1xx n<⎧⎨>⎩有解，则n的取值范围是▲．三、解答题本大题共11小题，共76分．把解答过程写在答题纸相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．19．（本题满分9分，每小题3分）将下列各式分解因式：(1)4m2－36mn＋81n2；(2)x2－3x－10；(3)18a2－50．20．（本题满分8分，每小题4分）(1)计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]·x2y；(2)先化简，再求值：(x＋2)2＋(2x＋1)（2x－1）－4x(x＋1)，其中x＝12．21．（本题满分8分，每小题4分）解下列方程组：(1)524235x yx y-=⎧⎨-=-⎩(2)42325560a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩22．（本题满分8分，每小题4分）解不等式（组）(1)334642x x--<-，并把解在数轴上表示出来； (2)()32412123x xxx⎧-->-⎪⎨+>-⎪⎩．23．（本题满分5分）如图，EF//AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．填空：解：∵EF//AD(已知)，∴∠2＝▲（▲），∵∠1＝∠2( ▲)，∴∠1＝∠3( ▲)，∴AB∥▲( ▲)．∴∠BAC＋▲＝180°( ▲)．∵∠BAC＝70°( ▲)，∴∠AGD＝▲°．24．（本题满分5分）某厂家为支援灾区人民，捐赠帐篷16800顶，该厂家备有2辆大货车、8辆小货车运送，每次每辆大货车所运帐篷数比小货车所运帐篷数的2倍少30顶，已知大、小货车每天均运送一次，2天恰好运完，求大、小货车每辆每次各运送帐篷多少顶？25．（本题满分5分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B'点，AE是折痕．(1)试判断B'E与DC的位置关系；(2)如果∠C＝130°，求∠AEB的度数．26．（本题满分6分）已知关于x、y的方程组316215x aybx y-=⎧⎨+=⎩的解是76xy=⎧⎨=⎩(1)求(a＋10b)2－（a－10b)2的值；(2)若△ABC中，∠A、∠B的对边长即为6a、7b的值，且这个三角形的周长大于12且小于18，求∠C对边AB的长度范围．27．（本题满分7分）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．(1)图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD ＝∠ADC；(2)图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究(1)中结论是否仍成立？为什么？28．（本题满分7分）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．(1)若小明妈妈准备用120元去商场购物，你建议小明妈妈去▲商场花费少（直接写“甲”或“乙”）；(2)根据两家商场的优惠活动方案，问顾客到哪家商场购物花费少？请说明理由．29．（本题满分8分）如图，在△ABC中，BC＝6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E先出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以72cm/s的速度运动，分别连结AF，CE．设点F运动时间为t(s)，其中t>0．(1)当t为何值时，∠BAF<∠BAC；(2)当t为何值时，AE＝CF；(3)当t为何值时，S△ABF＋S△ACE<S△ABC．教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。

2023-2024学年安徽省合肥市高新区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列实数﹣1，0，，中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．﹣D．2．（4分）化简﹣a2•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a103．（4分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（）A．x﹣6＜y﹣6B．2x＜2y C．﹣2x＞﹣2y D．2x+1＞2y+14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，把△ABC沿直线BC的方向平移到△DEF 的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是（）A．BE＝3B．∠F＝35°C．DF＝5D．AB∥DE5．（4分）如果把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，则分式的值（）A．扩大到原来的2倍B．不变C．缩小到原来的D．缩小到原来的6．（4分）若（3x+2）（x+p）＝mx2+nx﹣2，则下列结论正确的是（）A．m＝6B．n＝1C．p＝﹣2D．mnp＝37．（4分）下列说法正确的是（）A．8的立方根为±2B．立方根等于它本身的只有1C．的平方根是±5D．平方根等于立方根的数只有08．（4分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＞1D．m≤19．（4分）如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．（4分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大的值，如Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{，}＝﹣2的解为（）A．0B．﹣2C．0或﹣2D．无解二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）分解因式：a3+2a2b+ab2＝．12．（5分）不等式5x+2＞3（x﹣1）的解集为．13．（5分）若，则分式＝．14．（5分）（1）如图一，AB∥CD，∠B＝135°，∠D＝140°，则∠DEB＝．（2）如图二，AB∥CD，∠F＝60°，∠ABF＝∠ABE．，∠CDF＝∠CDE，DQ，BQ分别平分∠GDE 和∠HBE，则∠DQB＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：|﹣2|﹣+2﹣2﹣（）0．16．（8分）先化简，再从0、﹣1、2、﹣2中选一个合适的数代入求值．17．（8分）如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B′．（1）画出平移后的△A'B'C'；（2）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的数量和位置关系是，线段AC扫过的图形面积为．18．（8分）观察以下等式：第1个等式：×（1+）＝2﹣，第2个等式：×（1+）＝2﹣，第3个等式：×（1+）＝2﹣，第4个等式：×（1+）＝2﹣．第5个等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先单独施工10天，乙队再加入，两队还需同时施工20天，才能完成这项工程．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为5500元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？20．（10分）已知实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，的整数部分为b．（1）求a，b的值；（2）若的小数部分为c，求25a﹣（b+c）2的立方根．21．（12分）今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表：型号进价（元/个）售价（元/个）A型1012B型1520若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元．（1）问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？（2）“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？22．（12分）阅读材料：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用．示例：用配方法求代数式a2+6a+8的最小值，解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2﹣1≥﹣1，∴a2+6a+8的最小值为﹣1．（1）若代数式x2﹣8x+k是完全平方式，则常数k的值为；（2）用配方法求代数式4x2+4x+3的最小值；（3）若实数a，b满足a2﹣7a﹣b+13＝0，求a+b的最小值．七、（本大题满分14分）23．（14分）如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F．∠1＝∠2，点Q是线段BD上一点（不与端点B重合），EM、EN分别平分∠BEQ和∠QEF交BD于点M、N．（1）请说明：DG∥CB；（2）当点Q在BD上移动时，请写出∠BQE和∠BNE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）若∠1＝α，则当点Q移动到使得∠BEN＝∠BME时，请直接写出∠BEN＝（用含α的代数式表示）2023-2024学年安徽省合肥市高新区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：∵＜﹣1＜0＜，∴最大的数是：．故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．2．【分析】根据同底数幂的乘法计算即可．【解答】解：﹣a2•a5＝﹣a7，故选：B．【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．3．【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，原变形错误，不符合题意；B、∵x＞y，∴2x＞2y，原变形错误，不符合题意；C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，原变形错误，不符合题意D、∵x＞y，∴2x＞2y，∴2x+1＞2y+1，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．4．【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：∵把△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，∴CF＝BE＝3，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣75°＝35°，AB∥DE，∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．5．【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：分式中x、y都扩大到原来的2倍得＝2，分式的值扩大了2倍．故选：A．【点评】本题考查了分式基本性质，分时分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．6．【分析】直接利用多项式乘以多项式化简得出答案．【解答】解：∵（3x+2）（x+p）＝mx2+nx﹣2，∴3x2+（3p+2）x+2p＝mx2+nx﹣2，故m＝3，3p+2＝n，2p＝﹣2，解得：p＝﹣1，n＝﹣1，故mnp＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．7．【分析】根据平方根和立方根的性质分别判断．【解答】：A、8的立方根为2，故错误，不合题意；B、立方根等于它本身的只有0，﹣1和1，故错误，不合题意；C、，平方根是，故错误，不合题意；D、平方根等于立方根的数只有0，故正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了平方根的定义．8．【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组的解集的确定方法：大大取大可得到2≥m+1，即可得答案．【解答】解：由x+9＜5x+1得：x＞2，∵不等式组的解集是x＞2，∴2≥m+1，∴m≤1，故选：D．【点评】本题主要考查了不等式组的解法，关键是能根据不等式的解集和已知条件得出关于m的不等式．9．【分析】过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM∥CD，则可求∠CGH＝30°，∠ENG＝90°，可得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求∠EFG的度数．【解答】解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：∵AB∥CD，EF⊥AB，∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，∴∠CGH＝30°，∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，∴∠NFG＝180°﹣∠ENG﹣∠CGF＝40°，∴∠EFG＝180°﹣∠NFG＝140°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，解答的关键是作出正确的辅助线．10．【分析】根据新定义列出分式方程解答即可．【解答】解：根据新定义，，∴，去分母得：3＝x﹣3﹣2（x﹣2），去括号得：3＝x﹣3﹣2x+4，解得：x＝﹣2．经检验，x＝﹣2是原分式方程的解．代入新定义，，，﹣，不符合新定义，若，则有：，解得：x＝0，经检验符合题意．故选：A．【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．【分析】先提取公因式a，再运用完全平方公式分解．【解答】解：a3+2a2b+ab2＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2．故答案为：a（a+b）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．【分析】先对不等式去括号，进行移项，合并同类项，再系数化1即可求得不等式的解集．【解答】解：5x+2＞3（x﹣1），去括号，得5x+2＞3x﹣3，移项，得5x﹣3x＞﹣3﹣2，合并同类项，得2x＞﹣5，系数化为1，得x＞﹣，故答案为：x＞﹣．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．【分析】先把已知条件中的分式通分，把y﹣x用xy表示出来，然后把所求分式写成含有y﹣x和xy的形式，再把y﹣x换成xy，进行约分即可．【解答】解：∵，∴，，y﹣x＝2xy，∴＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．14．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等解答即可；（2）根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．【解答】解：（1）如图，过E点作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠FEB＝180°﹣∠B＝180°﹣135°＝45°，∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣140°＝40°，∴∠DEB＝∠DEF+∠FEB＝45°+40°＝85°，故答案为：85°；（2）如图，过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥FT∥QK∥AB，∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，∵，∴，∴，∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，∴，∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，∴，∴，∴，∴，∵∠DFB＝60°，∴∠DQB＝180°﹣＝180°﹣×60°＝135°故答案为：135°．【点评】本题考查了平行线的性质，涉及到的知识点有角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画出辅助线是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：|﹣2|﹣+2﹣2﹣（）0＝2﹣+﹣1＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝[﹣]•＝[﹣]•＝（﹣）•＝•＝，由分式有意义的条件可知a不能取±2，0，当a＝﹣1时，原式＝1．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）利用平移变换的性质判断即可；利用分割法求出四边形面积即可．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；（2）AA'与CC′的关系是：AA′＝CC′，AA′∥CC′．故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′；线段AC扫过的图形的面积为2×10﹣2××1×4﹣2××1×6＝10．故答案为：10．【点评】本题考查作图﹣平移变换，平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，∴等式成立．故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需1.5x天，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙队单独完成这项工程所需时间，再将其代入1.5x中，即可求出甲队单独完成这项工程所需时间；（2）利用总施工费用＝两队每天所需施工费用之和×两队合作完成工程所需时间，即可求出结论．【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程需1.5x天，根据题意得：+＝1，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×40＝60．答：甲队单独完成这项工程需60天，乙队单独完成这项工程需40天；（2）根据题意得：（3500+5500）×＝216000（元）．答：所需的施工费用是216000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．【分析】（1）根据平方根的性质列方程求得a的值，利用无理数的估算求得b的值即可；（2）结合（1）中所求可得c的值，然后代入25a﹣（b+c）2中计算后求得它的立方根即可．【解答】解：（1）∵实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，∴2x+1+1﹣7x＝0，解得：x＝，∴2x+1＝，那么a＝（）2＝，∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴b＝4；（2）∵4＜＜5，∴c＝﹣4，∵a＝，b＝4，∴25a﹣（b+c）2＝25×﹣（4+﹣4）2＝81﹣17＝64，∴它的立方根为4．【点评】本题考查平方根和立方根的定义及性质，无理数的估算，结合已知条件分别求得a，b，c的值是解题的关键．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21．【分析】（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，根据用2200元购进的A、B两种型号的文具全部售出后可盈利600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设这两种型号的文具每件降m元，利用这批文具售完后的总盈利＝600﹣剩余文具的数量×每件降低的价格，结合使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，依题意得：，解得：．答：该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个．（2）设这两种型号的文具每件降m元，依题意得：600﹣（100+80）×20%m≥546，解得：m≤1.5．答：这两种型号的文具每件最多降1.5元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．【分析】（1）根据完全平方式得出k＝42，求出即可；（2）先将原式变形，再利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得答案；（3）先将已知等式变形，得出b＝a2﹣7a+13，再将a+b变形为a+a2﹣7a+13，利用配方法即可得答案．【解答】解：（1）∵x2﹣8x+k是完全平方式，∴k＝42＝16，故答案为：16；（2）4x2+4x+3＝4x2+4x+1+2＝（2x+1）2+2，∵（2x+1）2≥0，∴（2x+1）2+2≥2，∴4x2+4x+3的最小值是2；（3）∵a2﹣7a﹣b+13＝0，∴b＝a2﹣7a+13，∴a+b＝a+a2﹣7a+13＝a2﹣6a+13＝（a﹣3）2+4，∵（a﹣3）2≥0，∴（a﹣3）2+4≥4，∴．a+b的最小值为4．【点评】本题考查了因式分解，完全平方式、偶次方的非负性及配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．七、（本大题满分14分）23．【分析】（1）欲证明DG∥CB，只要证明∠1＝∠BDC即可．（2）利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可．（3）首先证明∠BEM＝∠MEQ＝∠NEQ＝∠NEF，再利用平行线的性质解决问题即可．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2＝∠CBD，∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠CBD，∴DG∥BC；（2）解：∴BD∥EF，∴∠QNE＝∠NEF，∵∠NEF＝∠NEQ，∴∠QNE＝∠NEQ，∵∠BEQ＝∠QNE+∠QEN，∴∠BQE＝2∠BNE．故答案为∠BQE＝2∠BNE．（3）∵∠EMB＝∠BEN，∠EBM＝∠EBN，∴∠BEM＝∠BNE，∵∠NEQ＝∠BNE，∠NEQ＝∠NEF，∠BEM＝∠MEQ，∴∠BEM＝∠MEQ＝∠NEQ＝∠NEF，∵BD∥EF，∴4∠BEM+∠EBM＝180°，∵∠1＝∠EBM＝α∴4∠BEM＝180°﹣α，∴∠BEM＝，∴∠BEN＝3∠BEM＝135°﹣．故答案为：135°﹣．【点评】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。

2023-2024学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列图中，∠1、∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．4．（2分）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（）A．（4，﹣a2）B．（a+1，﹣4）C．（a2+1，﹣4）D．（a2，﹣4）5．（2分）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜8C．0＜a＜16D．a＜166．（2分）如图，直线a⊥b，在平面直角坐标系中，x轴∥a，y轴∥b，已知点A（﹣1，4）、点B（2，﹣1），那么坐标原点是点（）A．O1B．O2C．O3D．O4二、填空题（本大题共12小题，每空3分，满分36分）7．（3分）49的平方根是．8．（3分）比较大小：﹣π﹣3.14（选填“＞”、“＝”、“＜”）．9．（3分）计算：＝．10．（3分）近似数﹣0.040有个有效数字．11．（3分）把表示成幂的形式是．12．（3分）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2：1，那么△ABC是三角形．13．（3分）如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝34°，则∠A的度数是．14．（3分）在梯形ABCD中，AD∥BC，联结AC、BD，已知梯形ABCD的面积为16，△BDC的面积为12，那么△ADC的面积．15．（3分）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y 为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于．16．（3分）平面直角坐标系中有点P、Q（2，﹣3）、M（﹣1，2）．如果PQ∥x轴，PM∥y轴，那么点P 关于原点O对称的点的坐标是．17．（3分）如图，E、B、C三点在一条直线上，AD∥BC，AD＝BC，点F是AE的中点，如果BD＝EC，那么∠BFD＝度．18．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP 与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是厘米/秒．三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题7分，满分26分）19．（6分）计算：．20．（6分）利用幂的运算性质计算：．21．（7分）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，∠B＝30°，试求∠CDH的度数．22．（7分）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，说明△ABC≌△EFD．请填写说理过程或理由．解：因为AC∥DE（已知），所以∠ACB＝∠EDF（）．因为BD＝FC（已知），所以﹣BD＝﹣FC（），即BC＝FD．在△ABC与△EFD中，，所以△ABC≌△EFD（）．四、解答题（本大题共3题，第23题6分，第24题10分，第25题10分，满分26分）23．（6分）如图，直角坐标平面上有边长为1的正方形网格，已知点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（﹣2，4）．（1）平移线段AB得到线段CD，此时点A与点C重合，点B与点D重合，直接写出点D的坐标是；（2）顺次连接点A、B、D、C，那么四边形ABDC的面积是；（3）再次平移线段CD，使得其两个端点都落在坐标轴上，此时点C与点P重合，那么点P与坐标原点O的距离＝．24．（10分）如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点D在AB上，点M（1）联结DM，延长DM与AC相交于点F，请根据要求画出图形，并说明AE＝CF．（2）再联结BF，已知BF＝12，求CM的长．25．（10分）在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，将△ADE沿DE翻折后，点A落在BC边上的点P，当△BDP和△CEP都为等腰三角形时，我们把线段DE称为△ABC的完美翻折线，P为完美点．（1）如图1，在等边三角形ABC中，边BC的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线DE的长为4，那么等边三角形ABC的周长＝．（2）如图2，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点，当∠B、∠C恰为等腰三角形的顶角时，求此时∠A的度数．（3）如图3，已知DE为△ABC的完美翻折线，P为完美点，当∠B、∠EPC恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边AB、AC的距离是否相等？并说明你的判断理由．2023-2024学年上海市长宁区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每题2分，满分12分）1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．【解答】解：是无限不循环小数，它是无理数；＝4，﹣＝﹣3是整数，是分数，它们不是无理数；故选：A．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】根据算术平方根的定义依次计算即可求解．【解答】解：A、无意义，故错误，不符合题意；B、﹣＝﹣5，故错误，不符合题意；C、＝9，故错误，不符合题意；D、＝3，故正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．3．【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可．【解答】解：由一个公共端点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角即为对顶角，则A，B，C中的图形不符合此定义；D中的图形符合此定义；故选：D．【点评】本题考查对顶角的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．4．【分析】A．先判断a2的大小，从而判断﹣a2的大小，最后根据点的坐标判断其所在位置即可；B．先根据a的大小，从而判断a+1的大小，最后根据点的坐标判断其所在位置即可；C．先判断a2的大小，从而判断a2+1大小，后根据点的坐标判断其所在位置即可；D．先判断a2的大小，然后根据点的坐标判断其所在位置即可．【解答】解：A．∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴（4，﹣a2）在第四象限或x轴的正半轴上，故此选项不符合题意；B．∵a为实数，∴a+1＞0或a+1≤0，∴（a+1，﹣4）可能在第四象限，也可能在第三象限，也可能在y轴的负半轴上，故此选项不符合题意；C．∵a2≥0，∴a2+1＞0，∴（a2+1，﹣4）一定在第四象限．故此选项符合题意；D．a2≥0，∴（a2，﹣4）在第四象限或y轴的负半轴上，故此选项不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握各个象限和坐标轴上点的坐标特征．5．【分析】根据已知易得：腰长为，然后根据三角形的三边关系可得，从而进行计算即可解答．【解答】解：∵等腰三角形的周长为16，其底边长为a，∴腰长为，由题意得：，解得：0＜a＜8，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解一元一次不等式组，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．【分析】根据题意和点A和点B的坐标，可以画出相应的坐标系，然后即可得哪个点为原点．【解答】解：由题意可得，平面直角坐标系如图所示，故坐标原点是点O2，故选：B．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．二、填空题（本大题共12小题，每空3分，满分36分）7．【分析】根据平方根的定义解答．【解答】解：49的平方根是±7．故答案为：±7．【点评】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．8．【分析】先比较π和3.14的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”即可比较﹣π＜﹣3.14的大小．【解答】解：因为π是无理数所以π＞3.14，故﹣π＜﹣3.14．故填空答案：＜．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．9．【分析】根据分数指数幂的定义和运算性质计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质是解题的关键．10．【分析】根据有效数字的定义即一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，即可得出答案．【解答】解：近似数﹣0.040有4，0两个有效数字．故答案为：2．【点评】此题考查近似数和有效数字，注意有效数字即从左边不是0的数字起所有的数字．中间的0和末尾的0都是有效数字．11．【分析】根据分数指数幂的定义即可求出答案．【解答】解：＝．故答案为：．【点评】本题考查分数指数幂的公式，＝．12．【分析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断．【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+x＝180°，∴x＝45°，∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【点评】本题考查了三角形内角和定理，运用方程思想是解本题的关键．13．【分析】先根据垂直的定义得到∠AEF＝90°，进而求出∠AEC＝56°，再由两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠AEC＝56°．【解答】解：∵AE⊥BF，∴∠AEF＝90°，∵∠CEF＝34°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝56°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠AEC＝56°，故答案为：56°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．14．【分析】根据题意求出△BDA的面积，再根据三角形的面积公式求出△ADC的面积．【解答】解：∵梯形ABCD的面积为16，△BDC的面积为12，∴△BDA的面积为：16﹣12＝4，∵AD∥BC，∴△ADC的面积＝△BDA的面积＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是梯形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．15．【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，根据三角形的三边关系求出等腰三角形的三边，即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三边长为x，5，7的三角形，与另一个三边长为3，y，5的三角形全等，∴x＝3，y＝7，当以x为腰时，∴三角形的三边为3，3，7，∵3+3＜7，∴不能够组成三角形，当以y为腰时，∴三角形的三边为7，7，3，∵3+7＞7，∴能组成三角形，∴三角形的周长＝3+7+7＝17，故答案为：17．【点评】此题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟记性质准确找出对应边得到x、y的值是解题的关键．16．【分析】根据关于原点对称的点的坐标：横纵坐标互为相反数解答即可．【解答】解：由题意得：Q（2，﹣3）、M（﹣1，2），PQ∥x轴，PM∥y轴，∴P（﹣1，﹣3），∴点P关于原点O对称的点的坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的坐标：横纵坐标互为相反数是解题关键．17．【分析】延长BF、DA交于点G，可证明△AFG≌△EFB，得AG＝EB，GF＝BF，而AD＝BC，可推导出GD＝EC，因为BD＝EC，所以GD＝BD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明DF⊥BG，则∠BFD＝90°，于是得到问题的答案．【解答】解：延长BF、DA交于点G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠EBF，∵点F是AE的中点，∴AF＝EF，在△AFG和△EFB中，，∴AG＝EB，GF＝BF，∵AD＝BC，∴AG+AD＝EB+BC，∴GD＝EC，∵BD＝EC，∴GD＝BD，∴DF⊥BG，∴∠BFD＝90°，故答案为：90．【点评】此题重点考查平行线的性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．18．【分析】根据△AEP与△BPQ全等，得到AE＝PB，可计算出运动时间，再根据BQ＝AP，即可计算出点Q的运动速度．【解答】解：设运动时间为t s，Q的运动速度x cm/s，由题意得AP＝2t cm，QC＝xt cm，∴BQ＝（16﹣xt）cm，PB＝（12﹣2t）cm，∵△AEP与△BPQ全等，∴BQ＝AP，AE＝PB或BP＝AP，AE＝BQ，当BQ＝AP，AE＝PB时，∵AE＝8cm，∴12﹣2t＝8cm，∴t＝2，∴AP＝2t＝4cm，∴16﹣xt＝4，∴x＝6；当BP＝AP，AE＝BQ时，，解方程组得t＝3，x＝，故点Q的运动速度是6cm/s或cm/s．故答案为：6或．【点评】本题考查矩形的性质和全等三角形的性质，根据三角形全等对应的边相等建立等式是解本题的关键．三、简答题（本大题共4题，第19、20题每题6分，第21、22题每题7分，满分26分）19．【分析】根据立方根、平方根以及零次幂、负整数指数幂的意义计算．【解答】解：原式＝+2﹣1+＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算及立方根、平方根以及零次幂、负整数指数幂的运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．20．【分析】直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝22＝4．【点评】本题考查分数指数幂、实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．21．【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°，∴∠FMA＝∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠FMA＝30°，∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．22．【分析】根据平行线的性质及线段的和差求出∠ACB＝∠EDF，BC＝FD，利用SAS证明△ABC≌△EFD 即可．【解答】解：因为AC∥DE（已知），所以∠ACB＝∠EDF（两直线平行，内错角相等），因为BD＝FC（已知），所以BF﹣BD＝BF﹣FC（等式性质），即BC＝FD．在△ABC与△EFD中，，所以△ABC≌△EFD（SAS）．故答案为：两直线平行，内错角相等；BF；BF；等式性质；SAS．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．四、解答题（本大题共3题，第23题6分，第24题10分，第25题10分，满分26分）23．【分析】（1）根据点A和点C的坐标得出平移的方向和距离，再结合点B的坐标即可解决问题．（2）画出示意图，结合所画图形即可解决问题．（3）根据题意，画出示意图，结合图形平移的性质即可解决问题．【解答】解：（1）因为点A坐标为（3，4），点C坐标为（﹣2，4），且平移后点A与点C重合，所以3﹣（﹣2）＝5，4﹣4＝0，又因为点B的坐标为（4，1），所以4﹣5＝﹣1，1﹣0＝1，则点D的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．（2）如图所示，连接AD，则，同理可得，，∴．故答案为：15．（3）如图所示，当点C在x轴上，点D在y轴上时，点P的坐标为（﹣1，0），所以点P与坐标原点的距离为1．当点C在y轴上，点D在x轴上时，点P′的坐标为（0，3），所以点P′与坐标原点的距离为3．故答案为：1或3．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及三角形的面积，熟知图形平移的性质及三角形的面积公式是解题的关键．24．【分析】（1）由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，得AC＝CB，AE＝ED，则∠CAB＝∠EDA＝45°，所以AC∥DE，则∠FCM＝∠DEM，而∠FMC＝∠DME，CM＝EM，即可证明△FCM≌△DEM，得CF＝ED，则AE＝CF；（2）由∠CAB＝∠EAD＝45°，得∠EAC＝90°，则∠EAC＝∠FCB，即可证明△EAC≌△FCB，得CE＝BF＝12，则CM＝CE＝6．【解答】解：（1）联结DM，延长DM与AC相交于点F，∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC＝CB，AE＝ED，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠EDA＝∠EAD＝45°，∴∠CAB＝∠EDA，∴AC∥DE，∴∠FCM＝∠DEM，∵点M为CE的中点，∴CM＝EM，在△FCM和△DEM中，，∴△FCM≌△DEM（AAS），∴CF＝ED，∴AE＝CF．（2）联结BF，∵∠CAB＝∠EAD＝45°，∴∠EAC＝2×45°＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（SAS），∴CE＝BF＝12，∴CM＝EM＝CE＝×12＝6，∴CM的长为6．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCM≌△DEM是解题的关键．25．【分析】（1）根据翻折的性质可得△ADE≌△PDE，根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，则△BDP和△PEC是等边三角形，最后证明△ADE是等边三角形即可求解；（2）连接AP，设∠DAP＝α，∠EAP＝β，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得∠BPD＝∠BDP＝2α，∠CPE＝∠PEC＝2β，最后根据∠BPD+∠DPE+∠CPE＝180°即可求解；（3）连接AP，过P作PH⊥AB于点H，PN⊥AC于点N，设∠DAP＝α，∠EAP＝β，根据∠BPD+∠DPE+∠CPE＝180°可得α＝β，则AP为∠BAC的平分线，PH＝PN，即可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵P为△ABC的完美点，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDP和△PEC是等边三角形，∴BD＝DP，PE＝CE，又∵AD＝DP，AE＝PE，∴，，∴AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∵DE＝4，∴AD＝AE＝4，∴AB＝AC＝BC＝8，∴等边三角形ABC的周长＝8+8+8＝24，故答案为：24；（2）连接AP，如图2，设∠DAP＝α，∠EAP＝β，∵DE为△ABC的完美翻折线，∴△ADE≌△PDE，∴AD＝DP，AE＝PE，∴∠DPA＝∠DAP＝α，∠EPA＝∠EAP＝β，∴∠BDP＝2α，∠PEC＝2β，∵△BDP和△PEC是等腰三角形，且∠B，∠C都为顶角，∴BD＝BP，CP＝CE，∴∠BPD＝∠BDP＝2α，∠CPE＝∠PEC＝2β，∵∠BPD+∠DPE+∠CPE＝180°，∴3α+3β＝180°，∴α+β＝60°，即∠BAC＝60°；（3）点P到边AB、AC的距离相等；理由如下：连接AP，过P作PH⊥AB于点H，PN⊥AC于点N，如图3，∵DE为△ABC的完美翻折线，∴△ADE≌△PDE，△BDP和△PEC是等腰三角形，设∠DAP＝α，∠EAP＝β，∴∠DPA＝∠DAP＝α，∠EPA＝∠EAP＝β，∴∠BDP＝2α，∠PEC＝2β，∵∠B，∠EPC为顶角，∴BD＝BP，PE＝PC，∴∠BPD＝∠BDP＝2α，∠PEC＝∠PCE＝2β，∴∠EPC＝180°﹣4β，∵∠BPD+∠DPE+∠EPC＝180°，∴2α+α+β+180°﹣4β＝180°，∴α＝β，AP为∠BAC的平分线，∴PH＝PN，．【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解。

2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑1．（3分）下列坐标中，在第四象限内的点的坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）2．（3分）下列调查适合做全面调查的是（）A．检测某城市的空气质量B．企业招聘，对应聘人员进行面试C．了解一批灯泡的平均使用寿命D．调查某池塘中现有鱼的数量3．（3分）已知数据，3.14159265，，，，其中无理数的个数是（）A．4B．3C．2D．14．（3分）若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x2＞y2B．5x＞5y C．5﹣x＜5﹣y D．x﹣5＞y﹣55．（3分）解关于x、y的二元一次方程组，将①代入②．消去y后所得到的方程是（）A．3x﹣4x﹣6＝8B．3x+4x﹣6＝8C．3x+4x+6＝8D．3x﹣4x+6＝86．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1＝45°，∠2＝114°，则∠3+∠4的大小是（）A．90°B．101°C．111°D．159°7．（3分）已知点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，﹣3），点M（a，b）也经过这样的平移后对应点是N（m，n），则m+n﹣a﹣b的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣38．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+3n＝（）A．0B．1C．2D．49．（3分）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从（0，2）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（）A．（1，3）B．（2，0）C．（5，3）D．（6，2）10．（3分）已知正方形ABCD，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G′，若∠NMA'＝24°，则∠FHG的度数为（）A．66°B．48°C．36°D．24°二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）＝；＝；＝．12．（3分）4月23日为世界读书日，为了解某校2000名学生的阅读时间，从中随机抽取100名学生进行调查，则本次抽样调查的样本容量是．13．（3分）已知点O（0，0）、B（2，1），点A在x轴上，且S三角形OAB＝4，则A点的坐标为．14．（3分）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为．15．（3分）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①若方程组的解也是x+y＝2a﹣3的解，则a＝3；②若方程组与有相同的解，则b＝﹣4；③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；④x，y都为自然数的解有2对．以上说法中正确的有．16．（3分）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝．三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．（8分）（1）计算：；（2）解方程组．18．（8分）求满足不等式组的所有整数解．19．（8分）某校组织七年级学生参加英语听写大赛，并随机抽取部分学生的成绩作为样本进行分析，绘制成如图不完整的统计图表．七年级抽取部分学生成绩的频数分布表成绩x/分频数A50≤x＜601B60≤x＜70bC70≤x＜8012D80≤x＜90aE90≤x≤10017请根据所给信息，解答下列问题：（1）样本容量为，b＝，m＝；（2）扇形统计图中D组所对应的圆心角的度数为；（3）已知该年级有800名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？20．（8分）如图，AD和BC相交于点O，∠A＝∠AOB，∠COD＝∠CDO．（1）求证：∠B＝∠C；（2）若∠1＝∠2，∠2＝110°，求∠B的度数．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1），将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′．（1）画出三角形A'B'C'，写出A'，B′两点的坐标分别为：A′、B'；（2）三角形ABC的面积为；（3）仅用无刻度直尺在线段A′B′上画点P，使得∠A′PO＝∠A（保留画图痕迹）．22．（10分）已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．搭配一个A种造型的成本是260元，搭配一个B种造型的成本是300元．（1）用180盆甲种花卉，220盆乙种花卉可以搭配A、B两种造型各多少个？（2）某园林公司准备用现有的225盆甲种花卉和155盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共30个．请问符合题意的搭配方案有几种？（3）若一个A种造型的售价是325元，一个B种造型的售价是360元，为提高A种造型的销量，决定每售出一个A种造型，返还顾客m元，B种造型售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则m的值为．23．（10分）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．（1）如图（1），若∠CFH＝120°，∠H＝120°，求∠BEH的度数；（2）如图（2），∠BEH的角平分线的反向延长线交∠CFH的角平分线于点N，猜想∠N与∠H的数量关系，并说明理由；（3）如图（3），若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，直接写出∠Q﹣∠P的值（用含n的式子表示）.24．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（5，a），B（b，1），F（5，1），其中a、b满足关系式．（1）求点A、B的坐标；（2）如图（1），将三角形ABF先向上平移2个单位长度，再向左平移k个单位长度至三角形CDG，线段CD交y轴于点E（0，4），求k的值；≥4，求n的取值（3）如图（2），在（2）的条件下，点P（m，n）是直线CG上一动点，且S三角形P AB范围．2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑1．【分析】根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征（+，﹣），即可解答．【解答】解：A、（2，3）在第一象限，故A不符合题意；B、（2，﹣3）在第四象限，故B符合题意；C、（﹣2，3）在第二象限，故C不符合题意；D、（﹣2，﹣3）在第三象限，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．2．【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．【解答】解：A、检测某城市的空气质量，适合做抽样调查，不符合题意；B、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合做全面调查，符合题意；C、了解一批灯泡的平均使用寿命，适合做抽样调查，不符合题意；D、调查某池塘中现有鱼的数量，适合做抽样调查，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．【解答】解：，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，故选：C．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．4．【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：A、∵当x＞y＞0时，则x2＞y2，成立；当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，则x2＜y2，∴若x＞y，x2＞y2不一定成立，故本选项符合题意；B、∵x＞y，不等式的两边乘5，不等号的方向不变，∴5x＞5y恒成立，故本选项不符合题意；C、∵x＞y，不等式的两边同乘﹣1，不等号的方向改变，然后两边加5，∴5﹣x＜5﹣y恒成立，故本选项不符合题意；D、∵x＞y，不等式的两边减5，不等号的方向不变，∴x﹣5＞y﹣5恒成立，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，关键应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．5．【分析】依据代入消元法，即可得出结论．【解答】解：将①代入②，消去y后所得到的方程是3x﹣2（2x﹣3）＝8，去括号，得3x﹣4x+6＝8．故选：D．【点评】本题考查解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．6．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，然后根据∠1＝45°，∠2＝114°，即可得到∠3和∠4的度数，从而可以求得∠3+∠4的度数．【解答】解：由平行线的性质可得，∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∵∠1＝45°，∠2＝114°，∴∠3＝45°，∠4＝66°，∴∠3+∠4＝45°+66°＝111°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．【分析】根据点A及点A平移后的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，再根据点N由同样的平移方式由点M平移得到即可解决问题．【解答】解：因为点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，﹣3），所以5﹣2＝3，﹣3﹣4＝﹣7．因为点M（a，b）也经过这样的平移后对应点是N（m，n），所以m﹣a＝3，n﹣b＝﹣7，所以m+n﹣a﹣b＝（m﹣a）+（n﹣b）＝3+（﹣7）＝﹣4．故选：B．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．8．【分析】根据方程组组的解为，得m+n＝2，m﹣n＝4，由此得m＝3，n＝﹣1，进而可得m+3n的值．【解答】解：∵方程组的解为，m，n满足二元一次方程组可看成关于（m+n）和（m﹣n）的二元一次方程组，∴m+n＝2，m﹣n＝4解得：m＝3．n＝﹣1，∴m+3n＝3+3×（﹣1）＝0，故选：A．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧，理解二元一次方程组的解是解决问题的关键．9．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2024除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：根据题意得：P0（0，2），P1（2，0），P2（5，3），P3（6，2），P4（4，0），P5（1，3），P6（0，2），P7（2，0），…，∴点P n的坐标6次一循环．经过6次反弹后动点回到出发点（0，2），∵2024÷6＝337…2，∴当点P第2024次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹，点P的坐标为（5，3）．故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．10．【分析】根据折叠的性质可得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN，然后根据垂直定义可得∠GPM＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：∠DGH＝66°，再根据正方形的性质可得AD∥BC，从而利用平行线的性质可得∠DGH＝∠FHG＝66°，即可解答．【解答】解：由折叠得：∠NMA'＝∠AMN＝24°，GH⊥MN，∴∠GPM＝90°，∴∠DGH＝90°﹣∠AMN＝66°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DGH＝∠FHG＝66°，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据立方根、平方根以及算术平方根的定义进行解题即可．【解答】解：＝6，＝±0.9，＝﹣2．故答案为：6，±0.9，﹣2．【点评】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．12．【分析】根据样本容量的定义解答即可．【解答】解：为了解某校2000名学生的阅读时间，从中随机抽取100名学生进行调查，则本次抽样调查的样本容量是100．故答案为：100．【点评】此题主要考查了样本容量，样本容量只是个数字，没有单位．13．【分析】设A（x，0），根据三角形面积公式求出x的值．【解答】解：设A（x，0），＝4，∵S三角形OAB∴1|x|＝4，∴x＝±8，∴A（8，0），A（﹣8，0），故答案为：A（8，0）或A（﹣8，0）．【点评】本题主要考查了三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积、坐标与图形性质的综合应用，其中设出A点的坐标，用三角形面积公式是解题关键．14．【分析】设一共有x名学生，根据每人分3本，则多10本，可得图书共有（3x+10）本，再由每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书，得出不等式组即可．【解答】解：设一共有x名学生，则图书共有（3x+10）本，由题意得，．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键．15．【分析】求出方程组的解．①将方程组的解代入x+y＝2a﹣3求出a的值即可；②将原方程组的解代入方程组求出b的值即可；③计算x+y的值即可；④根据“x，y都为自然数”，列不等式组并求出a的取值范围，再分别求出自然数的解即可．【解答】解：解方程组，得．①∵是x+y＝2a﹣3的解，∴+＝2a﹣3，整理得3＝2a﹣3，解得a＝3，∴①正确，符合题意；②将代入，得，解得，∴②正确，符合题意；③+＝3≠0，∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，∴③正确，符合题意；④当x，y都为自然数时，得，解得﹣2≤a≤7．当a＝﹣2时，得；当a＝﹣1时，得，不符合题意，舍去；当a＝0时，得，不符合题意，舍去；当a＝1时，得；当a＝2时，得，不符合题意，舍去；当a＝3时，得，不符合题意，舍去；当a＝4时，得；当a＝5时，得，不符合题意，舍去；当a＝6时，得，不符合题意，舍去；当a＝7时，得．综上，x，y都为自然数的解有4对，分别是，，，．∴④不正确，不符合题意．综上，①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握它们的解法是解题的关键．16．【分析】由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD＝180°，结合∠BCD＝∠BDC及角平分线可得∠EDC＝90°，由∠F＝15°，可得∠FGD＝15°，进而可得∠FBD+∠EDB＝15°，进而可得∠ABD+∠ADB＝30°，再利用三角形内角和可得结论．【解答】解：如图，设BF，DE交于点G，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DE平分∠ADB，∠BCD＝∠BDC，∴∠BDE＝∠ADB，∴∠EDB+∠BDC＝（∠ADC+∠BCD）＝90°，即∠EDC＝90°，∴∠FGD＝90°﹣∠F＝15°，∴∠FGD＝∠EDB+∠FBD＝15°，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∴∠ABD＝2∠FBD，∠ADB＝2∠EDB，∴∠ABD+∠ADB＝2（∠FBD+∠EDB）＝30°，∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝150°．故答案为：150°．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理及三角形的外角，熟练掌握相关性质是解题的关键．三、解答题（共8大题，共72分）下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算和去绝对值，然后合并即可；（2）先利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y，从而得到方程组的解．【解答】解：（1）＝3+1+＝3+；（2），①×3+②×2得：19x＝57，解得x＝3，把x＝3代入①得3×3+4y＝7，解得y＝﹣，∴原方程组的解为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．18．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．【解答】解：，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞﹣3，所以不等式组的解集是﹣3＜x≤1，即不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的方法求出不等式组的解集是解此题的关键．19．【分析】（1）由E组人数以及百分比求出样本容量，再根据B组的百分比求出B组人数，根据百分比的定义求出m的值；（2）用360°乘以D组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．【解答】解：（1）样本容量＝17÷34%＝50．b＝50×10%＝5（人），＝24%，∴m＝24．故答案为：50，5，24；（2）D组人数＝50﹣1﹣5﹣12﹣17＝15（人）360°×＝108°．故答案为：108°；（3）800×＝512（人），答：估计该年级成绩合格的约有512人．【点评】本题考查扇形统计图、总体，个体，样本，样本容量，频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．20．【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，从而可得∠A＝∠AOB＝∠COD＝∠CDO，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；（2）根据已知易得：∠1＝110°，从而利用平角定义可得∠AOB＝70°，进而可得∠A＝∠AOB＝70°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠AOB，∠COD＝∠CDO，∠AOB＝∠COD，∴∠A＝∠AOB＝∠COD＝∠CDO，∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，∠COD+∠CDO+∠C＝180°，∴∠B＝∠C；（2）∵∠1＝∠2，∠2＝110°，∴∠1＝110°，∴∠AOB＝180°﹣∠1＝70°，∵∠A＝∠AOB，∴∠A＝∠AOB＝70°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝40°，∴∠B的度数为40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．21．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）求格点T，连接OT交A′B′于点P，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（3，0），B′（0，﹣4）．故答案为：（3，0），（0，﹣4）；（2）△ABC的面积＝5×5﹣×5×2﹣×3×2﹣×5×3＝9.5．故答案为：9.5；（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．22．【分析】（1）设可以搭配x个A种造型，y个B种造型，根据搭配的A、B两种造型共用了180盆甲种花卉、220盆乙种花卉，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以搭配n个A种造型，则搭建（30﹣n）个B种造型，根据可利用的甲种花卉不超过225盆、乙种花卉不超过155盆，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，再结合n为正整数，即可得出符合题意的搭配方案有3种；（3）由（2）中所有方案获利相同，可得出每个A种造型的销售利润和每个B种造型的销售利润相同，进而可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设可以搭配x个A种造型，y个B种造型，根据题意得：，答：可以搭配10个A种造型，20个B种造型；（2）设可以搭配n个A种造型，则搭建（30﹣n）个B种造型，根据题意得：，解得：23≤n≤25，又∵n为正整数，∴n可以为23，24，25，∴符合题意的搭配方案有3种；（3）∵要使（2）中所有方案获利相同，∴每个A种造型的销售利润和每个B种造型的销售利润相同，∴325﹣260﹣m＝360﹣300，解得：m＝5，∴m的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．【分析】（1）过点H作HG∥AB，根据平行线的性质即可求解；（2）过点N作NQ∥AB，过点H作MP∥DC，则AB∥CD∥NQ∥PH，可设∠3＝∠4＝α，∠6＝∠7＝β，由AB∥CD∥NQ∥PH得到∠5＝∠3＝α，∠8＝∠BEH＝2α，∠QNF＝∠6＝β，∠PHF＝180°﹣∠CFH，故∠ENF＝β﹣α，∠EHF＝180﹣2（β﹣α），因此得到∠EHF＝180°﹣2∠ENF，即∠H＝180°﹣2∠N；（3）设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，则AB∥CD∥PK∥HL∥QR，则∠KPQ＝∠RQP，∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，因此∠PQF﹣∠EPQ＝（n﹣1）（β﹣α），而由AB∥HL∥CD，得∠EHL+∠LHF＝120°，因此∠BEH+∠HFD＝120°，代入得nα+180°﹣nβ＝120°，化简得，则．【解答】解：（1）如图，过点H作HG∥|AB，∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠1+∠CFH＝180°，∵∠CFH＝120°，∴∠1＝60°，∵∠FHE＝120°，∴∠2＝60°，∵HG∥AB，∴∠BEH＝∠2＝60°；（2）如图，过点N作NQ∥AB，过点H作MP∥DC，∵EH平分∠BEH，FN平分∠CFH，∴设∠3＝∠4＝α，∠6＝∠7＝β，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ∥PH，∴∠5＝∠3＝α，∠8＝∠BEH＝2α，∠QNF＝∠6＝β，∠PHF＝180°﹣∠CFH，∴∠ENF＝∠QNF﹣∠5＝β﹣α，∠EHF＝∠8+∠PHF＝2α+180°﹣2β＝180﹣2（β﹣α），∴∠EHF＝180°﹣2∠ENF，即∠H＝180°﹣2∠N；（3）如图，过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR，∵∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ，∵PK∥QR，∴∠KPQ＝∠RQP，∵AB∥PK，∴∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α，∵QR∥CD，∴∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β，∵∠PQF＝∠RQP+∠RQF，∠EPQ＝∠EPK+∠QPK，∴∠PQF﹣∠EPQ＝∠RQF﹣∠EPK＝（n﹣1）（β﹣α），∵AB∥HL∥CD，∴∠EHL＝∠BEH，∠LHF＝∠HFD，∵∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝120°，∴∠BEH+∠HFD＝120°，即nα+180°﹣nβ＝120°，∴，即．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点，正确添加辅助线进行角度的和差计算是解题的关键．24．【分析】（1）利用非负数的性质列式计算求得a＝3，b＝3，据此即可求解；（2）根据平移的性质得到C（5﹣k，5），D（3﹣k，3），由点E（0，4）得，据此求解即可；＝6，分三种情况讨论即可解答．（3）作AM⊥CG，BN⊥CG，先求得S梯形ABNM【解答】解：（1）∵，∴a﹣3＝0，a﹣2b+3＝0，解得a＝3，b＝3，∴A（5，3），B（3，1）；（2）由题意得C（5﹣k，5），D（3﹣k，3），∵线段CD交y轴于点E（0，4）且，∴，解得k＝4；（3）∵k＝4，∴C（1，5），G（1，3），如图，作AM⊥CG，BN⊥CG，垂足分别为M、N，∵A（5，3），B（3，1），∴M（1，3），N（1，1），∴AM＝4，BN＝2，MN＝2，∴，当点P（1，n）在线段MN上时，1＜n＜3，∴PM＝3﹣n，PN＝n﹣1，＝S梯形ABNM﹣S△P AM﹣S△PBN≥4，由题意得S△P AB∴，解得n≥3（不合题意，舍去）；当点P（1，n）在点M上方时，n≥3，如图，∴PM＝n﹣3，PN＝n﹣1，＝S△P AM+S梯形ABNM﹣S△PBN≥4，由题意得S△P AB∴，解得n≥3；当点P（1，n）在点直线AB的下方时，如图，∴PM＝3﹣n，PN＝1﹣n，＝S△P AM﹣S梯形ABNM﹣S△PBN≥4，由题意得S△P AB∴，解得n≤﹣5；综上，n的取值范围为n≥3或n≤﹣5．【点评】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查非负数性质、平面直角坐标系、三角形的面积、解一元一次方程、分类讨论等知识点，解题的关键是画出对应图形，分类讨论，用面积法解题。

数学七年级下册 期末试卷综合测试卷（word 含答案）一、选择题1．如图，1∠的同位角是（ ）A ．2∠B ．3∠C ．4∠D ．5∠2．下列各组图形可以通过平移互相得到的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．()5,4B ．()3,4-C ．()2,3-D ．()4,5--4．下列说法中，错误的个数为（ ）．①两条不相交的直线叫做平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内不平行的两条线段一定相交；④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一副直角三角板如图放置，其中∠F ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝45°，∠B ＝60°，AB //DC ，则∠CAE 的度数为（ ）A ．25°B ．20°C ．15°D ．10° 6．下列计算正确的是（ ）A 2(3)3-=-B 366=±C 393=D ．382-7．如图，AB ∥CD ，将一块三角板（∠E ＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EFH ＝25°，求∠HGD 的度数（ ）A ．25°B ．30°C ．55°D ．60°8．如图，()11,0A ，()21,1A ，()31,1A -，()41,1A --，()52,1A -…按此规律，点2022A 的坐标为（ ）A ．()505,505B ．()506,505-C ．()506,506D ．()506,506-二、填空题9．425⨯=______．10．已知点()12P m -,与点()1,2Q 关于y 轴对称，那么m =________. 11．如图，△ABC 中∠BAC ＝60°，将△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在AB 上的点C ′处，连接C ′D 与C ′C ，∠ACB 的角平分线交AD 于点E ；如果BC ′＝DC ′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD 垂直平分C ′C ；③∠B ＝3∠BCC ′；④DC ∥EC ；其中正确的是：________；(只填写序号)12．如图，∠ABC 与∠DEF 的边BC 与DE 相交于点G ，且BA //DE ，BC //EF ，如果∠B =54°，那么∠E =__________．13．如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在点A 1、D 1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B ＋∠C ＝___°．14．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．15．已知点P 的坐标(3-a ，3a -1)，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是_______________．16．如图，已知A 1（1，2），A 2（2，2），A 3（3，0），A 4（4，﹣2），A 5（5，﹣2），A 6（6，0），…，按这样的规律，则点A 2021的坐标为 ____________．三、解答题17．计算（每小题4分）（1323(3)29（）--（2）2335（3）20203|2|8(1)---． （44﹣2 | + ( -1 )201718．已知a +b ＝5，ab ＝2，求下列各式的值． （1）a 2+b 2； （2）（a ﹣b ）2． 19．填空并完成以下过程：已知：点P 在直线CD 上，∠BAP +∠APD ＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E ＝∠F ．解：∵∠BAP ＋∠APD＝180°，（_______）∴AB∥_______，（___________）∴∠BAP＝________，（__________）又∵∠1＝∠2，（已知）∠3＝________－∠1，∠4＝_______－∠2，∴∠3＝________，（等式的性质）∴AE∥PF，（____________）∴∠E＝∠F．（___________）20．已知：如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′，（1）画出△A′B′C′，写出A′、B′、C′的坐标；（2）点P在y轴上，且S△BCP=4S△ABC，直接写出点P的坐标．21．23|49|7a b aa-+-+＝0，求实数a、b b的整数部分和小数部分．二十二、解答题22．已知在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．（1）计算图①中正方形ABCD的面积与边长．（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数轴，在数轴上表示实数8和8-．二十三、解答题23．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP时，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）①如图1，∠DPC＝度．②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”．（2）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速2°/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，以下两个结论：①CPDBPN∠∠为定值；②∠BPN+∠CPD为定值，请选择你认为对的结论加以证明．25．解读基础：（1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由；（2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出A ∠、B 、C ∠、D ∠之间的关系，并说明理由：应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题（3）①如图3，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，请直接写出A ∠和D ∠的关系 ；②如图4，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．（4）如图5，BAC ∠与BDC ∠的角平分线相交于点F ，GDC ∠与CAF ∠的角平分线相交于点E ，已知26B ∠=︒，54C ∠=︒，求F ∠和E ∠的度数．26．如图，△ABC 和△ADE 有公共顶点A ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC =45°，∠DAE =30°． （1）若DE //AB ，则∠EAC ＝ ；（2）如图1，过AC 上一点O 作OG ⊥AC ，分别交A B 、A D 、AE 于点G 、H 、F ． ①若AO ＝2，S △AGH ＝4，S △AHF ＝1，求线段OF 的长；②如图2，∠AFO 的平分线和∠AOF 的平分线交于点M ，∠FHD 的平分线和∠OGB 的平分线交于点N ，∠N +∠M 的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．【参考答案】一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据同位角的定义即可求出答案． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即3∠是1∠的同位角． 故选：B ． 【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是：熟练理解同位角的定义．2．C 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，进而得出答案． 【详解】解：观察图形可知选项C 中的图案通过平移后可以得到． 故选：C ． 【点睛】本题考查了图形的平移，正确掌握平移的性质是解题关键．解析：C 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，进而得出答案． 【详解】解：观察图形可知选项C 中的图案通过平移后可以得到． 故选：C ． 【点睛】本题考查了图形的平移，正确掌握平移的性质是解题关键． 3．C 【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可． 【详解】由图可知，小手盖住的点在第四象限， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴(2，－3)符合．其余都不符合 故选：C ． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．4．D 【分析】根据平行线的定义，平行线公理，同一平面内，直线的位置关系，逐一判断各个小题，即可得到答案． 【详解】①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故本小题错误， ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误， ③在同一平面内不平行的两条直线一定相交；故本小题错误，④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线不一定相交，故本小题错误． 综上所述：错误的个数为4个． 故选D ． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，平行线公理，掌握平行线的定义，平行线公理是解题的关键． 5．C 【分析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出CAE ∠的度数． 【详解】解：90F ∠=︒，45D ∠=︒， 45DEF ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， 30BAC ∴∠=︒，//AB DC ，45BAE DEF ∴∠=∠=︒，453015CAE BAE BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质． 6．D 【分析】分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A 3，故本选项不合题意；B 6=，故本选项不合题意；C 3≠，故本选项不合题意；D 、2=，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键． 7．C 【分析】先根据三角形外角可求∠EHB =∠EFH +∠E =55°，根据平行线性质可得∠HGD =∠EHB =55°即可． 【详解】解：∵∠EHB 为△EFH 的外角，∠EFH ＝25°，∠E ＝30°， ∴∠EHB =∠EFH +∠E =25°+30°=55°， ∵AB ∥CD ，∴∠HGD =∠EHB =55°． 故选C ． 【点睛】本题考查三角形外角性质，平行线性质，掌握三角形外角性质，平行线性质是解题关键．8．C 【分析】经观察分析所有点，除A1外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4=循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点A2022在第一象限；第一象解析：C 【分析】经观察分析所有点，除A 1外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标÷4=循环次数+余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点A 2022在第一象限；第一象限的点A 2（1，1），A 6（2，2），A 10（3，3）…观察易得到点的坐标=24n +． 【详解】 解：由题可知第一象限的点：A 2，A 6，A 10…角标除以4余数为2； 第二象限的点：A 3，A 7，A 11…角标除以4余数为3； 第三象限的点：A 4，A 8，A 12…角标除以4余数为0； 第四象限的点：A 5，A 9，A 13…角标除以4余数为1； 由上规律可知：2022÷4=505…2 ∴点A 2022在第一象限．观察图形，可知：点A 2的坐标为（1，1），点A 6的坐标为（2，2），点A 10的坐标为（3，3），…，∴第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标=24n +（n 为角标）∴点A 4n-2的坐标为（24n +，24n +）（n 为正整数）， ∴点A 2022的坐标为（506，506）． 故选C ． 【点睛】本题考查了点的坐标正方形为单位格点变化规律，反应出点的坐标变化从特殊到一般再到特殊规律计算方法，同时也体现出第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的坐标=24n +（n 为角标）求解．二、填空题 9．10 【分析】先计算乘法，然后计算算术平方根，即可得到答案． 【详解】 解：；故答案为：10． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．解析：10 【分析】先计算乘法，然后计算算术平方根，即可得到答案． 【详解】10=； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．10．0； 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，依此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据对称的性质，得， 解得． 故答案为：0． 【点睛】考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解析：0；【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于y 轴的对称点的坐标是(,)x y -，依此列出关于m 的方程求解即可．【详解】解：根据对称的性质，得11m -=-，解得0m =．故答案为：0．【点睛】考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．11．①②④【分析】根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可【详解】解：如图，∵△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在AB 上的点C′处，∴∠1=∠2，A=AC ，DC解析：①②④【分析】根据折叠的全等性质,垂直平分线的性质,平行线的判定定理,外角的性质等判断即可【详解】解：如图，∵△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在AB 上的点C ′处，∴∠1=∠2，A C '=AC ，DC =D C '，∴AD 垂直平分C ′C ；∴①，②都正确；∵B C '＝D C '， DC =D C '，∴B C '＝D C '= DC ，∴∠3=∠B ，∠4=∠5，∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B ＝2∠BC C '；∴③错误；根据折叠的性质，得∠ACD =∠A C 'D =∠B +∠3=2∠3，∵∠ACB 的角平分线交AD 于点E ，∴2（∠6+∠5）=2∠B ，653,∴∠+∠=∠∴3,DCE ∴∠=∠∴D C '∥EC∴④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各种基本性质是解题的关键.12．126°【分析】根据两直线平行同位角相等得到，，结合邻补角的和180°解题即可．【详解】BA//DE ，BC//EF ，，∠B=54°，，故答案为：126°．【点睛】本题考查解析：126°【分析】根据两直线平行同位角相等得到CGE B ∠=∠，DGC E ∠=∠，结合邻补角的和180°解题即可．【详解】BA //DE ，BC //EF ，CGE B ∴∠=∠，DGC E ∠=∠∠B =54°，54CGE B ∴∠=∠=︒180CGE DGC ∠+∠=︒18054126DGC ∴∠=︒-︒=︒126E ∴∠=︒，故答案为：126°．【点睛】本题考查平行线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13．115【分析】先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN+∠DNM 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN+∠DNM= =115°．∵∠A+∠解析：115【分析】先根据∠1+∠2=130°得出∠AMN +∠DNM 的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵∠1+∠2=130°，∴∠AMN +∠DNM =3601302︒-︒ =115°． ∵∠A +∠D +（∠AMN +∠DNM ）=360°，∠A +∠D +（∠B +∠C ）=360°，∴∠B +∠C =∠AMN +∠DNM =115°．故答案为：115．【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．14．-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+解析：-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x +1）5＝x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1，∵（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，∴a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1，把a 0＝1，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝10，a 4＝5，a 5＝1代入﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5中， 可得：﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的值. 15．(2,2)或(4,-4)．【分析】点P 到x 轴的距离表示为，点P 到y 轴的距离表示为，根据题意得到=，然后去绝对值求出x 的值，再写出点P 的坐标．【详解】解：∵点P 到两坐标轴的距离相等∴=∴解析：(2,2)或(4,-4)．【分析】点P 到x 轴的距离表示为31a -，点P 到y 轴的距离表示为3a -，根据题意得到31a -=3a -，然后去绝对值求出x 的值，再写出点P 的坐标．【详解】解：∵点P 到两坐标轴的距离相等 ∴31a -=3a -∴3a-1=3-a 或3a-1=-(3-a)解得a=1或a=-1当a=1时，3-a=2，3a-1=2；当a=-1时，3-a=4，3a-1=-4∴点P 的坐标为(2,2)或(4,-4)．故答案为(2,2)或(4,-4)．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征求出线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面；①到x 轴的距离与纵坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．16．（2021，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【详解解析：（2021，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【详解】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵A6（6，0），∴OA6＝6，∵2021÷6＝336…5，∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．故答案为：（2021，﹣2）．【点睛】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是根据图形的特点发现规律进行求解．三、解答题17．（1）0；（2）；（3）1；（4）3.【分析】（1）先算根号和平方，再根据实数的加减运算计算即可得出答案；（2）先去绝对值，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；（3）先算绝对值、立方根解析：（1）0；（23）1；（4）3.【分析】（1）先算根号和平方，再根据实数的加减运算计算即可得出答案；（2）先去绝对值，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；（3）先算绝对值、立方根和乘方，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；（4）先算根号、绝对值和乘方，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案.【详解】解：（1）原式=-3+4-3=-2（2）原式=（3）原式=2+(-2)+1=1（4）原式=2+2-1=3【点睛】本题考查的是实数的运算，难度不大，需要熟练掌握实数的加减运算法则.18．（1）21；（2）17【分析】（1）根据完全平方公式变形，得到a2+b2＝（a+b ）2﹣2ab ，即可求解； （1）根据完全平方公式变形，得到（a ﹣b ）2＝a2+b2-2ab ，即可求解．【详解】解析：（1）21；（2）17【分析】（1）根据完全平方公式变形，得到a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，即可求解；（1）根据完全平方公式变形，得到（a ﹣b ）2＝a 2+b 2-2ab ，即可求解．【详解】解：（1）∵a +b ＝5，ab ＝2，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝52﹣2×2＝21；（2））∵a +b ＝5，ab ＝2，∴（a ﹣b ）2＝a 2+b 2-2ab =21-2×2=17．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握()2222a b a ab b +=±+ 及其变形公式是解题的关键．19．已知；CD ；同旁内角互补两直线平行；∠APC ；两直线平行内错角相等；已知；∠BAP ；∠APC ；∠4；内错角相等两直线平行；两直线平行内错角相等．【分析】根据平行线的性质和判定即可解决问题；【详解析：已知；CD ；同旁内角互补两直线平行；∠APC ；两直线平行内错角相等；已知；∠BAP ；∠APC ；∠4；内错角相等两直线平行；两直线平行内错角相等．【分析】根据平行线的性质和判定即可解决问题；【详解】解：∵∠BAP +∠APD ＝180°（已知），∴AB ∥CD ．（同旁内角互补两直线平行），∴∠BAP ＝∠APC ．（两直线平行内错角相等），又∵∠1＝∠2，（已知），∠3＝∠BAP －∠1，∠4＝∠APC －∠2，∴∠3＝∠4（等式的性质），∴AE∥PF．（内错角相等两直线平行），∴∠E＝∠F．（两直线平行内错角相等）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法和性质是解题的关键．20．（1）作图见解析，A′（1，5），B′（0，2），C′（4，2）；（2）P（0，10）或（0，-12）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可解决问题；（2）设P（0，m解析：（1）作图见解析，A′（1，5），B′（0，2），C′（4，2）；（2）P（0，10）或（0，-12）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可解决问题；（2）设P（0，m），构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（1，5），B′（0，2），C′（4，2）；（2）设P（0，m），由题意：12×4×|m+2|=4×12×4×3，解得m=10或-12，∴P（0，10）或（0，-12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．21．4，【分析】根据分母不等于0，以及非负数的性质列式求出a、b的值，再根据根据被开方数估算无理数的大小即可得解．【详解】解：根据题意得，3a-b=0，a2-49=0且a+7＞0，解得a=7，解析：44【分析】根据分母不等于0，以及非负数的性质列式求出a、b的值，再根据根据被开方数估算无理数的大小即可得解．【详解】解：根据题意得，3a-b=0，a2-49=0且a+7＞0，解得a=7，b=21，∵16＜21＜25，∴44．【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．二十二、解答题22．（1）正方形的面积为10，正方形的边长为；（2）见解析【分析】（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；（2）根据（1）的方法画解析：（1）正方形ABCD的面积为10，正方形ABCD2）见解析【分析】（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形ABCD的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结论．【详解】×3×1=10解：（1）正方形ABCD的面积为4×4－4×12则正方形ABCD；×2×2=8，所以该正方形即为所求，如图建立（2）如下图所示，正方形的面积为4×4－4×12数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点∴8∴弧与数轴的左边交点为8888【点睛】此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键．二十三、解答题23．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由见解析【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠解析：（1）80°；（2）∠AKC＝12∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝23∠APC，理由见解析【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，进而得到∠AKC＝12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝23∠APC．【详解】（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝12∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，∴∠AKC＝12∠APC；（3）∠AKC＝23∠APC理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23（∠BAP﹣∠DCP）＝23∠APC，∴∠AKC＝23∠APC．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．24．（1）①90；②t为或或或或或或；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和解析：（1）①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正确，②错误，证明见解析．【分析】（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．【详解】解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，故答案为90；②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，∵PC ∥BD ，∠DBP ＝90°，∴∠CPN ＝∠DBP ＝90°，∵∠CPA ＝60°，∴∠APN ＝30°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为3秒；如图1﹣2，当PC ∥BD 时，∵//,PC BD ∠PBD ＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为21秒，如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为9秒，如图1﹣4，当PA∥BD时，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为27秒，如图1﹣5，当AC∥DP时，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为6秒，AC DP时，如图1﹣6，当////AC DP，∴∠=∠=︒，90DPA PACDPN DPA∠+∠=︒-︒+︒=︒，1803090240∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为24秒，如图1﹣7，当AC∥BD时，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴点A在MN上，∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，∵转速为10°/秒，∴旋转时间为18秒，AC BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．当//综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；（2）如图，当PD在MN上方时，①正确，理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝30°﹣2t ，∠APN ＝3t ．∴∠CPD ＝180°﹣∠DPM ﹣∠CPA ﹣∠APN ＝90°﹣t ，21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒- ∴1.2CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．当PD 在MN 下方时，如图，①正确，理由如下：设运动时间为t 秒，则∠BPM ＝2t ，∴∠BPN ＝180°﹣2t ，∠DPM ＝230,t -︒ ∠APN ＝3t ．∴∠CPD ＝360CPA APN DPB BPN ︒-∠-∠-∠-∠()360603301802t t =︒-︒--︒-︒-=90t ︒-21802,BPN CPD t ∴∠=∠=︒-∴1.2CPD BPN ∠=∠ ②∠BPN +∠CPD ＝180°﹣2t +90°﹣t ＝270°﹣3t ，可以看出∠BPN +∠CPD 随着时间在变化，不为定值，结论错误．综上：①正确，②错误．【点睛】本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．25．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； .【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结解析：（1）D A B C ∠=∠+∠+∠，理由详见解析；（2）A D B C ∠+∠=∠+∠，理由详见解析：（3）①1902D A ∠=︒+∠；②360°；（4）124E ∠=︒； =14F ∠︒.【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论；（3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论；②连结BE ，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论；（4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论．【详解】（1）D A B C ∠=∠+∠+∠．理由如下：如图1，BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，BDC B BAD C CAD B BAC C ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠，D A B C ∴∠=∠+∠+∠； （2）A D B C ∠+∠=∠+∠．理由如下：在ADE ∆中，180AED A D ∠=︒-∠-∠，在BCE ∆中，180BEC B C ∠=︒-∠-∠，AED BEC ∠=∠，A D B C ∴∠+∠=∠+∠；（3）①180A ABC ACB ∠=︒-∠-∠，180D DBC DCB ∠=︒-∠-∠，BD 、CD 分别平分ABC∠和ACB ∠，∴1122ABC ACB DBC DCB ∠+∠=∠+∠，1111180()180(180)902222D ABC ACB A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠． 故答案为：1902D A ∠=︒+∠．②连结BE ．∵C D CBE DEB ∠+∠=∠+∠，360A B C D E F A ABE F BEF ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒． 故答案为：360︒；（4）由（1）知，BDC B C BAC ∠=∠+∠+∠，26B ∠=︒，54C ∠=︒，80BDC BAC ∴∠=︒+∠，402CDF CAE ∴∠=︒+∠，4BAC CAE ∠=∠，2BDC CDF ∠=∠，1902GDE CDF ∴∠=︒-∠，26180AGD B GDB CDF ∠=∠+∠=︒+︒-∠，3GAE CAE ∠=∠，3336064(2)644012422E GAE AGD GDE CAE CDF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠=︒+⨯︒=︒；180180(206)2262264014∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=-︒+∠-∠=-︒+︒=︒F AGF GAF CDF CAE CDF CAE．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键．26．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行线的性质求解即可．（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．②利用角平分线的定解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行线的性质求解即可．（2）①利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论．②利用角平分线的定义求出∠M，∠N（用∠FAO表示），可得结论．【详解】解：（1）如图，∵AB∥ED∴∠E=∠EAB=90°（两直线平行，内错角相等），∵∠BAC=45°，∴∠CAE=90°-45°=45°．故答案为：45°．（2）①如图1中，∵OG⊥AC，∴∠AOG=90°，∵∠OAG=45°，∴∠OAG=∠OGA=45°，∴AO=OG=2，∵S△AHG=12•GH•AO=4，S△AHF=12•FH•AO=1，∴GH=4，FH=1，∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1．②结论：∠N+∠M=142.5°，度数不变．理由：如图2中，∵MF，MO分别平分∠AFO，∠AOF，∴∠M=180°-12（∠AFO+∠AOF）=180°-12（180°-∠FAO）=90°+12∠FAO，∵NH，NG分别平分∠DHG，∠BGH，∴∠N=180°-12（∠DHG+∠BGH）=180°-12（∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG）=180°-12（180°+∠HAG）=90°-12∠HAG=90°-12（30°+∠FAO+45°）=52.5°-12∠FAO，∴∠M+∠N=142.5°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，最后一个问题的解题关键是用∠FAO表示出∠M，∠N．。

2023-2024学年北京市朝阳区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

1．（3分）9的算术平方根为（）A．3B．±3C．﹣3D．812．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣，3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（）A．﹣1.5B．C．D．π4．（3分）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．在线段AC，AB，BC，CD中，长度最短的是（）A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．线段CD5．（3分）若m＞n，则下列结论正确的是（）A．m+4＞n+4B．m﹣5＜n﹣5C．﹣m＞﹣n D．6．（3分）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（）A．45°B．40°C．25°D．20°7．（3分）经调查，七年级某班学生上学所用的交通工具中，自行车占30%，公交车占25%，私家车占35%，其他占10%．如果用扇形图描述以上数据，下列说法正确的是（）A．“自行车”对应扇形的圆心角为30°B．“公交车”对应扇形的圆心角为90°C．“私家车”对应扇形的圆心角为35°D．“其他”对应扇形的圆心角为18°8．（3分）已知2x+y＝12，x≥y≥0，M＝3x+2y，给出下面3个结论：①当x＝y时，M＝20；②M的最小值是18；③M的最大值是24．上述结论中，所有正确结论的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共24分，每题3分）9．（3分）的相反数是．10．（3分）比较大小：4（填“＞”或“＜”）．11．（3分）“a与2的差大于﹣1“用不等式表示为．12．（3分）不等式5x﹣3≤3x+1的正整数解是．13．（3分）有如下调查：①调查某批次汽车的抗撞击能力；②了解某班学生的视力情况；③选出某班长跑最快的学生参加全校比赛以上调查，适宜抽样调查的是（填写序号）．14．（3分）图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有人．15．（3分）如图，第一象限内有两个点A（x﹣3，y），B（x，y﹣2），将线段AB平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为.（写出一个即可）16．（3分）某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．（1）在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负场；（写出一种情况即可）（2）在这次足球联赛中，若甲、乙两队都得33分，甲队所有比赛都没有踢平，甲、乙两队负场数不同，则乙队最多胜场．三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程组：．19．（5分）解不等式组：．20．（5分）完成下面的证明．已知：如图，AD∥BC，∠D+∠F＝180°．求证：DC∥EF．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠D+＝（）．∵∠D+∠F＝180°（已知），∴∠C＝（同角的补角相等）．∴DC∥EF（）．21．（5分）如图，在三角形ABO中，点A，B的坐标分别为（2，4），（4，1），将三角形ABO向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形A1B1O1，点A，B，O的对应点分别为A1，B1，O1．（1）画出三角形A1B1O1，并写出点A1，B1，O1的坐标；（2）直接写出三角形A1B1O1的面积．22．（5分）某电商销售长征系列画册和红色经典故事两种图书，它们的进价和售价如表：种类长征系列画册红色经典故事进价（元/套）300a售价（元/套）b100该电商销售6套长征系列画册和5套红色经典故事，盈利800元；销售10套长征系列画册和15套红色经典故事，盈利1600元．（利润＝售价﹣进价）（1）求表中a，b的值；（2）该电商计划购进长征系列画册和红色经典故事两种图书共300套，据市场销售分析，购进红色经典故事的套数不低于长征系列画册套数的2倍．若电商把300套图书全部售出，则购进长征系列画册多少套能使利润最大？（直接写出即可）23．（5分）为了解某校七年级学生的气象知识竞赛成绩（百分制，单位：分），从中随机抽取了60名学生的成绩，该校甲、乙两个数学课外活动小组对数据进行了整理、描述，部分信息如下：a．甲小组将数据分为4组，频数分布表与频数分布直方图如下：表1分组频数60≤x＜70970≤x＜801080≤x＜90m90≤x≤10015b．乙小组将数据分为5组，频数分布表与频数分布直方图如下：表2分组频数60≤x＜68868≤x＜76676≤x＜841084≤x＜922492≤x≤100n（1）写出表1中m的值，表2中n的值；（2）补全图1；（3）如果学校准备根据样本的数据分布情况，对七年级竞赛成绩前20%的学生进行表彰，那么哪个数学课外活动小组对数据的整理、描述更合理，为什么？24．（5分）对于正实数x四舍五入到个位后得到的整数记为[x]，即当n为非负整数时，若，则[x]＝n，如：[1.414]＝1，[2.6]＝3．（1）[π]＝；（2）若[x+3]＝2，求x的取值范围；（3）若，求[x]的值．25．（6分）直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，FG⊥BF，交直线BC于点G．（1）如图1，求证：EC∥FG；（2）如图2，点M在线段BC上，点N在线段FG上，且∠BEM＝∠MEN，连接EG．写出一个∠MEG 的度数，使得∠NEG＝∠NGE成立，并证明．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（x，y），若点Q的坐标为（x+2y，y+2x），则称Q是点P 的非常变换点．例如：点（2，1）的非常变换点为（4，5）．（1）已知点P（x，x﹣1）的非常变换点为Q，当x＝0时，点Q的坐标为，当x＝1时，点Q的坐标为；（2）在正方形ABCD中，点A（2，4），B（﹣4，4），C（﹣4，﹣2），D（2，﹣2），已知点M（x，x+a），N（x+1，x+a+1）．①若点M的非常变换点为C，求a的值；②若线段MN上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形ABCD的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值．2023-2024学年北京市朝阳区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区七年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中，属于一元一次方程的是()A. B. C. D.2.解二元一次方程组时，由①-②可得()A. B. C. D.3.2024年4月26日“吉林省第六届STEM教育发展大会”在长春召开是科学技术、工程、数学四门学科英文首字母的缩写.这四个英文字母中，可以看成是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.三角形结构在生活中有着广泛的应用，如图所示，利用三角形支架固定手机，其蕴含的数学道理是A.两点之间，线段最短B.三角形的稳定性C.三角形的内角和等于D.三角形的任意两边之和大于第三边5.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是()A.正方形和正八边形B.正五边形和正六边形C.正方形和正五边形D.正三角形和正八边形6.某商品标价为x元，若打八折后再降价12元，售价为108元，则可列方程为()A. B.C. D.7.若，则下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.8.如图，在直角三角形ABC中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点E落在AB上，延长DE交BC于点给出下面四个结论：①≌；②；③；④若，，连结BD，则的面积是上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.已知三角形两边长分别为1和4，则第三边长可以是______写出一个即可10.等边三角形绕着它的中心旋转一定角度后能与自身重合，则这个旋转角度的大小至少为______11.若中，，则此三角形是______三角形．12.甲、乙两人检修一条长180米的管道，甲每小时检修15米，乙每小时检修10米，若甲先检修2小时后，再由甲、乙两人合作完成整条管道检修，则甲共检修管道______小时.13.将长方形直尺与正五边形纸板按照如图位置摆放.若，则的大小为______.14.如图，在中，点D是BC边的中点，AE：：若的面积为10，则的面积为______.三、解答题：本题共10小题，共78分。

2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列运算正确的是（）A ．x 4•x 3＝x 12B ．（x 3）2＝x 9C ．x 2+x 3＝x 5D ．x 2÷x ＝x 2．（3分）视力表中的字母“E ”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E ”是关于某条直线成轴对称的是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）现有两根长度分别3cm 和7cm 的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A ．4cmB ．7cmC ．10cmD ．13cm 4．（3分）长方形的长为6x 2y ，宽为3xy ，则它的面积为（）A ．9x 3y 2B ．18x 3y 2C ．18x 2yD ．6xy 25．（3分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，要使得△ABC ≌△DEF ，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（）A ．BF ＝CEB ．AC ∥DF C ．∠B ＝∠ED ．AB ＝DE6．（3分）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A ．面朝上的点数是3B ．面朝上的点数是奇数C ．面朝上的点数小于2D ．面朝上的点数小于37．（3分）下列整式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．（x +a ）（x ﹣a ）B ．（x +a ）（a ﹣x ）C ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）D ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ）8．（3分）在一次运动会的100米比赛中，小明以8米/秒速度奔跑，设小明离终点的距离为y （米），则y 与奔跑时间t （秒）之间的关系式是（）A ．y ＝8t B．C ．y ＝100﹣8t D ．y ＝8t ﹣1009．（3分）如图，要判断一张纸带的两边a ，b 是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：方案Ⅰ：沿图中虚线折叠并展开，测量发现∠1＝∠2．方案Ⅱ：先沿AB 折叠，展开后再沿CD 折叠，测得AO ＝BO ，CO ＝DO 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（）A ．Ⅰ可行，Ⅱ不可行B ．Ⅰ不可行，Ⅱ可行C ．Ⅰ、Ⅱ都不可行D ．Ⅰ，Ⅱ都可行10．（3分）如图，在△ABC 中，∠A ＝56°，∠C ＝46°，D 是线段AC 上一个动点，连接BD ，把△BCD 沿BD 折叠，点C 落在同一平面内的点C ′处，当C ′D 平行于边AB 时，∠CBD 的大小为（）A ．118°B ．46°C ．32°D ．16°二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）红细胞的直径约为0.0000077m ，0.0000077用科学记数法表示为．12．（3分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有个绿球．13．（3分）如图，在三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，点M 是边AB 上的一个动点，连接CM ，则线段CM 长度的最小值是．14．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，若AD＝BD，DE＝DC，FC＝30，AF＝20．则△ABE的面积是．15．（3分）小明和家人一起驾车从家出发去图书馆，在馆内看书2h后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以50km/h的平均速度返回家中．如图是他们离家的距离y（km）与离开家的时间x（h）的关系图象，当小明和家人离开家h，他们离家的距离为30km．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．（2）．17．（8分）化简求值：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x+5，其中．18．（8分）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，求∠ACB的度数．19．（8分）如图所示有8张卡片，分别写有1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张．（1）P（抽到数字9）＝；（2）P（抽到两位数）＝；（3）P（抽到的数大于5）＝；（4）P（抽到偶数）＝．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，连接BE，CD相交于点F．（1）求证：BE＝CD；（2）若BE＝7.5cm，DF＝2.4cm，求CF的长．21．（8分）如图1，A，C是平面内的两个定点，∠BAC＝20°，点P为射线AB上一动点，过点P作PC 的垂线交直线AC于点D．设∠APC的度数为x，∠PDC的度数为y．小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图1，当x＝40时，利用尺规，过点P作PC的垂线交直线AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图2中，按照表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格（直接将结果填在表中空格中）；x406080100y（3）在平面直角坐标系xOy中，①描出表中各组数值所对应的点（x，y）；②通过研究①中点构成的部分图象（如图3），当y＝50时，x的值为．22．（12分）（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为（m+a）（n+b）＝；（2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝；②已知a+b+c＝15，a2+b2+c2＝77，利用①中所得到的等式，求代数式ab+bc+ac的值．（3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当a+b＝5.9，ab＝4.5时，代数式a3+b3的值．23．（13分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，作射线AP，点C关于直线AP的对称点为D，连接AD，直线DC，DB，分别交AP于点E，F，连接CF．（1）如图1，射线AP在△ABC的外部，当α＝40°时，求∠BDC的度数；（2）如图2，射线AP的一部分落在△ABC内部，当α＝60°时，①直接写出∠BDC的度数；②求证：AF＝BF+CF．（3）当α＝60°时，若△DBC是等腰三角形，直接写出∠CAD的度数．2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同类项、同底数幂除法运算法则运算即可．【解答】解：A、x4•x3＝x7，原计算错误不符合题意；B、（x3）2＝x6，原计算错误不符合题意；C、不是同类项，不能合并，不符合题意；D、x2÷x＝x，运算正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握相关运算法则是关键．2．【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A，B，C选项中，两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，而D选项中，两个字母“E”能沿着直线翻折互相重合，所以选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称的图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3．【分析】由三角形三边关系可得第三边a的范围为4＜a＜10，逐一判断即可．【解答】解：设此三角形第三条边长为a，由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知，第三条边的范围应为4＜a＜10，故A、C、D选项皆不在上述范围内，故选：B．【点评】本题考查了三角形的构成条件，角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟记此条件是解题的关键．4．【分析】根据长方形的面积公式列出算式，根据单项式乘单项式的运算法则计算，得到答案．【解答】解：∵长方形的长为6x2y，宽为3xy，∴长方形的面积＝6x2y•3xy＝18x3y2，故选：B．【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．5．【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合题意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合题意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．6．【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案．【解答】解：A．面朝上的点数是3的概率为；B．面朝上的点数是奇数的概率为＝；C．面朝上的点数小于2的概率为；D．面朝上的点数小于3的概率为；∴概率最大的是面朝上的点数是奇数，故选：B．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式．7．【分析】根据平方差公式“（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2”进行逐一判断：A、答案具备平方差的条件；B、答案进行整理可得（x+a）（x﹣a），具备平方差公式的条件；C、答案整理得到﹣（a+b）2，不具备平方差公式的条件；D、答案进行整理得到﹣（x+b）（x﹣b），具备平方差公式的条件．【解答】解：A、答案（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2，能用平方差公式；B、答案（x+a）（﹣a+x）＝（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2，能用平方差公式；C、答案（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）2，不能用平方差公式；D、答案（﹣x﹣b）（x﹣b）＝﹣（x+b）（x﹣b）＝﹣（x2﹣b2）＝b2﹣x2，能用平方差公式．故选：C．【点评】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的形式：两数和乘两数差等于这两数的平方差是关键．8．【分析】用100减轻跑步的距离即得到离终点的距离．【解答】解：由题意得：y＝100﹣8t．故选：C．【点评】本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键．9．【分析】根据“内错角相等，两直线平行”可对方案Ⅰ进行判断；对于方案Ⅱ，先证△OAC和△OBD 全等，从而得∠OAC＝∠OBD，进而根据平行线的判定可对方案Ⅱ进行判断．【解答】解：对于方案Ⅰ，∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴方案Ⅰ可行；对于方案Ⅱ，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，即：a∥b，∴方案Ⅱ可行，综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．故选：D．【点评】此题主要考查了图形的折叠变换，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定，难点是正确理解图形的折叠变换．10．【分析】由题意知，分当C′D∥AB时，当C′D∥BC时两种情况，根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可．【解答】解：当C′D∥AB时，如图1，∴∠C′DA＝∠A＝56°，∴∠C′DC＝180°﹣∠C′DA＝124°，由折叠的性质可得，；∴∠CBD＝180°﹣118°﹣46°＝16°，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6，故答案为：7.7×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．【分析】直接由概率公式即可得出结论．【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．13．【分析】根据垂线最短和三角形的面积公式解答即可．【解答】解：当CM⊥AB时，CM最短，∵，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴4×3＝5CM，∴CM＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是垂线段最短和三角形的面积，熟知从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短是解题的关键．14．【分析】由AD⊥BC于D，得∠BDE＝∠ADC＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，则∠DBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，即可证明AF⊥BE，因为FC＝30，AF＝20，所以BE＝AC＝FC+AF＝50，即可求得△ABE的面积是5．【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴∠DBE＝∠DAC，BE＝AC，∴∠DBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AF⊥BE，∵FC＝30，AF＝20，∴BE＝AC＝FC+AF＝30+20＝50，＝BE•AF＝×50×20＝500，∴S△ABE∴△ABE的面积是500，故答案为：500．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的面积公式等知识，证明△BDE≌△ADC是解题的关键．15．【分析】分去姑妈家途中和返回途中两种情况解答即可．【解答】解：驾车去姑妈家的速度是：（50﹣20）÷（3﹣2.5）＝60（km/h），2.5+（30﹣20）÷60＝（h），7+（50﹣30）÷50＝（h），∴当小明和家人离开家或小时时，他们离家的距离为30km．故答案为：或．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时需要的相关信息．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式、去括号，再合并同类项；（2）利用多项式除以单项式法则计算即可．【解答】解：（1）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5；（2）＝3x2y÷（﹣xy）﹣xy2÷（﹣xy）+xy÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解决本题的关键．17．【分析】先算去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：原式＝x2+2xy﹣（x2+2x+1）+2x+5＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x+5＝2xy+4，把代入，得原式＝2xy﹣1＝2×（﹣）×3+4＝2．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力，题目比较好，难度适中．18．【分析】先利用平行线的性质可得∠ADC＝∠EBC＝80°，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝75°，∴∠ACB的度数为75°．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．19．【分析】根据概率公式解答即可．【解答】解：（1）P（抽到数字9）＝；（2）P（抽到两位数）＝0；（3）P（抽到的数大于5）＝；（4）P（抽到偶数）＝．故答案为：（1）；（2）0；（3）；（4）．【点评】本题考查了概率公式，熟悉概率公式是解题的关键．20．【分析】（1）利用线段中点的定义得到AD ＝AE ，再证明△ABE ≌△ACD 得到BE ＝CD ；（2）由（1）的结论得到CD ＝BE ＝7.5cm ，然后计算CD ﹣DF 即可．【解答】（1）证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中，，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ；（2）解：∵CD ＝BE ＝7.5cm ，∴CF ＝CD ﹣DF ＝7.5﹣2.4＝5.1（cm ）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21．【分析】（1）依题意补全的图形即可；（2）当x ＝40时，即∠APC ＝40°，从图1看∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠BAC ＝20°，则∠PCD ＝∠PAD +∠APC ＝60°，则∠PDC ＝90°﹣60°＝30°＝y ，同理可得：x ＝60时，y ＝10，x ＝80时，y ＝10，x ＝100时，y ＝30，即可求解；（3）①描点连线绘出函数图象如图2；②从图上看，当y ＝50时，x ＝20或120．【解答】解：（1）依题意补全的图形如图1：（2）当x ＝40°时，即∠APC ＝40°，从图1看∠APD ＝90°，∠PAD ＝∠BAC ＝20°，∴∠PCD＝∠PAD+∠APC＝60°，则∠PDC＝90°﹣60°＝30°＝y，同理可得：x＝60时，y＝10，x＝80时，y＝10，x＝100时，y＝30，补全表格；x406080100y30101030（3）①描点连线绘出函数图象如下（图3）：②从图上看，当y＝50时，x＝20或120，故答案为：20或120．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，解答本题的关键是根据给定的表格，确定未知点的坐标，画出函数图象，利用函数图象和函数关系，解相关数据的值．22．【分析】（1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式；（2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式；②由等式利用代入法即可求解；（3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解．【解答】解：（1）大长方形的长为（m+a），宽为（n+b），面积为（m+a）（n+b），也可表示为四个长方形的面积mn，mb，na，ab的和，∴（m+a）（n+b）＝mn+mb+na+ab，故答案为：mn+mb+na+ab；（2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），故答案为：a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）；②∵a+b+c＝15，a2+b2+c2＝77，∴152＝77+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝74；（3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，整体上大正方形的体积为（a+b）3．组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a3+3a2b+3ab2+b3，∴得到的等式为（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；∵a+b＝5.9，ab＝4.5，∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝205.379﹣79.65＝125.729．【点评】本题考查了多项式乘多项式，立方和公式，完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析．23．【分析】（1）要求角度，无外乎三角形内角和、外角的性质、等腰三角形两底角相等、角的和差这些方向，题干中有等腰三角形，有对称，所以会有AB＝AC＝AD，已知α＝40°，设∠CAE＝∠DAE＝β，利用三角形内角和和等腰三角形两底角相等将∠ADB和∠ADC表示出来，再利用角的和差求解即可；（2）①与第（1）思路和步骤基本一致；②要求线段的数量关系问题，无非利用全等，特别是这种线段和差问题，就是我们作“截长补短”的辅助线，证全等即可，将AF绕点A逆时针旋转60°得到AG，则△AFG是等边三角形，先证△ABF≌△ACG（SAS）得到BF＝CG，∠ABF＝∠ACG，再证F、C、G三点共线即可得证；（3）因为等腰三角形会有两边相等，而我们小学就知道圆的半径相等，七下又学过线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以等腰三角形的存在性问题通常用“两圆一线”的辅助线进行定点D 的位置，B和C是定点，如图分别以B和C为圆心，BC长为半径画圆，作BC的垂直平分线，因为对称和△ABC是等边三角形，所以AD＝AB＝AC，因此，以A为圆心，AB长为半径画圆，与⊙B，⊙C，和BC垂直平分线的交点就是我们所求的点D，再分别根据每个点求∠CAD的度数即可．【解答】解：（1）∵对称，∴∠CAE＝∠DAE，AC＝AD，∵AB＝AC，∠BAC＝α＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，AB＝AC＝AD，设∠CAE＝∠DAE＝β，则∠BAD＝40°+2β，∴∠ADB＝∠ABD＝＝70°﹣β，∠ADC＝∠ACD＝＝90°﹣β，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°﹣β﹣（70°﹣β）＝20°；（2）①∵对称，∴∠CAE＝∠DAE，AC＝AD，∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝AD，设∠CAE＝∠DAE＝β，则∠BAD＝2β﹣60°，∴∠ADB＝∠ABD＝＝120°﹣β，∠ADC＝∠ACD＝＝90°﹣β，∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝120°﹣β﹣（90°﹣β）＝30°；②如图，将AF绕点A逆时针旋转60°得到AG，连接CG，∵∠FAG＝60°，AF＝AG，∴△AFG是等边三角形，∴AF＝FG＝AG，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠CAG＝60°﹣∠CAF，∵AB＝AC，AF＝AG，∴△ABF≌△ACG（SAS），∴BF＝CG，∠ABF＝∠ACG，由①知∠BDC＝30°，∵AF是折痕，∴∠DEF＝90°，∴∠DFE＝60°＝∠CFE，∴∠BFC＝120°，∵∠BAC＝60°，∴∠ABF+∠ACF＝180°，∴∠ACF+∠ACG＝180°，即F、C、G三点共线，∴FG＝CF+CG＝CF+BF，∴AF＝BF+CF．（3）①如图，当AP与AB重合时，BD＝BC，此时∠CAD＝2∠BAC＝120°；②如图，△ACD是等边三角形时，CD＝CA＝CB，此时∠CAD＝∠CAB＝60°；③如图，当点D落在BC垂直平分线上，且在BC下方时，DB＝DC，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAD＝∠CAB＝30°；此时∠CAD＝180°﹣30°＝150°．综上，∠CAD的度数120°或60°或30°或150°．【点评】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关倒角的方法和分类讨论思想是解题的关键。