【金版优课】高中数学人教B版选修2-1练习：1-1-2 量词a Word版含解析

高中数学人教b 版高二选修1-1学业测评：1-1-2_量词_word 版含解析学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( )A ．奇函数的图象关于原点对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，cos x <2B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0C ．∀x >0,3x >3D ．∃x ∈Q ，方程2x －2＝0有解【解析】 A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2∉Q ，所以D 是假命题．故选A.【答案】 A3．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中为假命题的是()A．p1，p4B．p2，p4 C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________. 【解析】 由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】 ①②④7．已知命题：“∃x 0∈[1,2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______________．【解析】 当x ∈[1,2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，所以3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.【答案】 [－8，＋∞)8．下列命题：①存在x <0，使|x |>x ；②对于一切x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b n ＝3n ，对于任意n ∈N *，都有a n ≠b n ；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N *，都有A ∩B ＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．【解析】 命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于∀n ∈N *，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题．【答案】 ①②③三、解答题9．判断下列全称命题或存在性命题的真假．(1)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(2)有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0；(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．【解】 (1)∀x ∈R ，总有x 2≥0，因而x 2＋1≥1，所以全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使得x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在性命题“有一个实数x ，使得x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )min ≥0即可．①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增， f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73. 又因为a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2. 又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．东、豫北十所名校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )A ．a ≥0B ．a <0C ．b ≤0D ．b >1【解析】 函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足∃x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.【答案】 B2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x ，使sin x ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，但为假命题，D 为全称命题且为假命题．【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )min ＝m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )min ≤m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围. 【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．。

1.1.2量词学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．梳理(1)概念短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有全称量词的命题，叫做____________．(2)表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．(3)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．知识点二存在量词、存在性命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)梳理(1)概念短语“____________”“______________”在逻辑中通常叫做________量词，并用符号“______”表示．含有存在量词的命题，叫做______________．(2)表示存在性命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”．(3)存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．类型一全称命题与存在性命题的判断命题角度1全称命题与存在性命题的不同表述例1设p (x )：2x 是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：(1)全称命题：∀x ∈N ，p (x )；(2)存在性命题：∃x 0∈N ，p (x 0)．反思与感悟全称命题或存在性命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解．跟踪训练1“有些整数是自然数”这一命题为________命题．(填“全称”或“存在性”) 命题角度2全称命题与存在性命题的识别例2判断下列命题是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.反思与感悟判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得0n a 与1之差的绝对值小于0.01.类型二全称命题与存在性命题的真假判断例3判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x0∈R，x20－3x0＋2＝0.反思与感悟要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练3判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x0∈R，2x20＋x0＋1<0；(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤ 2.类型三利用全称命题和存在性命题求参数的值或取值范围例4已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围．(1)命题p(x)：x＋1>x；(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；(3)命题p(x)：sin x>cos x.反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．跟踪训练4若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围．1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数2．命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2，0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是()A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>14．存在性命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是__________命题．(填“真”或“假”)5．若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．提醒：完成作业第一章1.1.2答案精析问题导学知识点一思考(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P 是命题Q 中的一部分．(2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等． 梳理(1)所有的任意一个全称∀全称命题(2)∀x ∈M ，p (x )知识点二思考(1)语句P 无法判断真假，不是命题；语句Q 在语句P 的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P 是命题Q 中的一部分．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理(1)存在一个至少有一个存在∃存在性命题(2)∃x 0∈M ，p (x 0)题型探究例1解(1)全称命题：①对所有的自然数x ，2x 是偶数；②对一切的自然数x ，2x 是偶数；③对每一个自然数x ，2x 是偶数；④任选一个自然数x ，2x 是偶数；⑤凡自然数x ，都有2x 是偶数．(2)存在性命题：①存在一个自然数x 0，使得2x 0是偶数；②至少有一个自然数x 0，使得2x 0是偶数；③对有些自然数x 0，使得2x 0是偶数；④对某个自然数x 0，使得2x 0是偶数；⑤有一个自然数x 0，使得2x 0是偶数．跟踪训练1存在性例2解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．跟踪训练2解(1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是存在性命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1. (3)是存在性命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n 0∈N ＋，0000|1|0.01.1n n n a a n <+－，其中＝例3解(1)真命题．(2)真命题，如函数f (x )＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x 2＋x ＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有x ＝2或x ＝1时，等式x 2－3x ＋2＝0才成立．(6)真命题，x 0＝2或x 0＝1，都能使等式x 20－3x 0＋2＝0成立．跟踪训练3解(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y ＝x 是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78≥78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0. 故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．例4解(1)∵x ＋1>x ，∴1>0(此式恒成立)，∴x ∈R .(2)∵x 2－5x ＋6>0，∴(x －2)(x －3)>0，∴x >3或x <2.(3)∵sin x >cos x ，∴2k π＋π4<x <2k π＋5π4(k ∈Z )． 跟踪训练4解由方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，可知a 2－4<0，即a 2<4，即－2<a <2，由方程x 2＋2ax ＋2＝0无实根，可知a 2－2<0，即a 2<2，即－2<a <2，由方程x 2－ax ＋4＝0无实根，可知a 2－16<0，即a 2<16，即－4<a <4，∴当a 2<2，即－2<a <2时，三个方程均无实根．∴当a ≤－2或a ≥2时，三个方程中至少有一个方程有实根．故a 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．当堂训练1．D2.A3.B4.假5.[2，6]。

1.1.2量词双基达标(限时20分钟)1．下列命题中，不是全称命题的是()．A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是存在性命题．答案 D2．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()．A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．答案 B3．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．答案 B4．命题p：∃x0∈R，x02＋2x0＋4<0的否定綈p：________．解析存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋4≥05．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a≤0.(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．综合提高（限时25分钟）7．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1<0B．∀x∈R，|x|>xC．∀x，y∈Z，2x－5y≠12D．∃x0∈R，sin2x0＋sin x0＋1＝0解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案 A8．若存在x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )． A ．a <1B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1 解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 02＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.答案 A9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”．答案 有的向量与零向量不共线10．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0a 2－1<1⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案 (－2，－1)∪(1，2)11．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，求实数a 的取值范围． 解 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线x ∈R ，f (x )≥0∴Δ＝a 2－4≤0得－2≤a ≤212．(创新拓展)若∀x ∈R ，函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。

第一章 1.1 1.1.2一、选择题1．下列全称命题为真命题的是( )A ．任何偶数都不是素数B ．所有的平行向量，都是相等向量C ．所有向量方向都确定D ．一切实数均有相反数[答案] D[解析] A 偶数2是素数，故错误；B 平行向量的方向可以相反，模长不一定相等，故错误；C 零向量方向不能确定，故错误．2．下列存在性命题为假命题的是( )A ．存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列B ．存在这样的函数，在其定义域内，既是偶函数又是单调增函数C ．四棱柱中有的是平行六面体D ．空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行[答案] B[解析] A 是真命题，如：数列1,1,1,1，…；B 是假命题，因为偶函数在对称区间内的单调性恰好相反；C 是真命题，因为平行六面体是四棱柱；D 是真命题，存在这样的直线，它们是异面直线．3．下列命题正确的是( )A ．对所有的正实数t ，t 为正且t <tB ．存在实数x ，使得x 2－3x －4＝0C ．不存在实数x ，使得x <4，且x 2＋5x －24＝0D ．存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4[答案] B[解析] 当0<t <1时，t >t ，故A 错误；存在x ＝－8满足条件x <4和x 2＋5x －24＝0，故C 错误；不存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4，因为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2>4，|x ＋1|≤1无解，故D 错误． 4．在下列存在性命题中假命题的个数是( )①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] A[解析] ①实数分无限不循环小数、无限循环小数及有限小数，故正确；②正确；③有一个角为直角的菱形为正方形，故正确．故选A.5．下列全称命题中假命题的个数为( )①2x ＋1是整数(x ∈R ) ②∀x ∈R ，x >3 ③∀x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①x ＝14，2x ＋1＝32，故错误；②假命题；③2x 2一定为偶数，故2x 2＋1一定为奇数，故选C.6．下列命题是全称命题且是假命题的是( )A ．奇函数的图象关于原点对称B ．有些平行四边形是正方形C ．∀x ∈R,2x ＋1是奇数D ．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数[答案] C[解析] A 是全称命题，且是真命题；B 是存在性命题；C 是全称命题，且为假命题；D 是存在性命题．故选C.二、填空题7．(2015·山东理，12)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． [答案] 1[解析] 若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥f (x )max ，其中f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]． ∵函数f (x )＝tan x ，x ∈[0，π4]的最大值为1，∴m ≥1， 即m 的最小值为1，所以答案应填1.8．下列命题：①偶数都可以被2整除；②正四棱锥的侧棱长相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的命题的序号)．[答案] ①② ③④[解析] ①②既是全称命题又是真命题，③④⑤是存在性命题③④为真命题，⑤为假命题．三、解答题9．判断下列命题是否为全称或存在性命题，并判断真假．(1)有一个实数α，使tan α无意义；(2)任何一条直线都有斜率；(3)所有圆的圆心到其切线的距离等于半径；(4)凡圆内接四边形，其对角互补．[解析] (1)存在性命题，α＝π2时，tan π2不存在．所以存在性命题“有一个实数α，使tan α无意义”是真命题；(2)全称命题，平行于y 轴的直线，倾斜角为π2，而tan π2无意义，所以这些直线斜率不存在．所以全称命题“任何一条直线都有斜率”是假命题；(3)全称命题，任何一个圆的圆心到其切线的距离等于半径．所以全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离等于半径”是真命题；(4)全称命题，圆内接四边形对角互补．所以全称命题“凡圆内接四边形，其对角互补”是真命题.一、选择题1．对命题“一次函数f (x )＝ax ＋b 是单调函数”改写错误的是( )A ．所有的一次函数f (x )＝ax ＋b 都是单调函数B ．任意一个一次函数f (x )＝ax ＋b 都是单调函数C ．任意一次函数f (x )＝ax ＋b ，f (x )是单调函数D ．有的一次函数f (x )不是单调函数[答案] D[解析] 由全称命题的表示形式可知选项D 错误．2．下列命题中的假命题．．．是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0[答案] C[解析] 对于选项A ，当x ＝1时，lg x ＝0，为真命题；对于选项B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，为真命题；对于选项C ，当x <0时，x 3<0，为假命题；对于选项D ，由指数函数性质知，∀x ∈R,2x >0为真命题，故选C.3．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x p 2：∃x ∈(0,1)，log 12 x >log 13 x p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 [答案] D[解析] 在(0，＋∞)上，(13)x <(12)x 恒成立，故p 1错误，又(12)x 在(0，＋∞)上小于1.而log 12x 的值域为R ，故p 3错误，故选D.4．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 对于①，m ＝1, 则⎩⎪⎨⎪⎧l 2≤l ，l ≥1， 解之可得l ＝1，故S ＝{1}，①正确；对于② ，m ＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧ l 2≤l ，14≤l ，解之可得14≤l ≤1，故②正确； 对于③，l ＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥m ，12≥m 2， 解之可得－22≤m ≤0，故③正确，故正确命题的个数是3. 二、填空题 5．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是增函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m 的取值范围是________．[答案] 0≤m ≤1[解析] ①是真命题则m ≥0，②是真命题则m >1，若①真②假，则0≤m ≤1；若②真①假，则m 不存在，综上，0≤m ≤1.6．下列命题中，是真命题的为________．①5能整除15；②不存在实数x ，使得x 2－x ＋2<0；③对任意实数x ，均有x －1<x ；④方程x 2＋3x ＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式x 2＋x ＋1|x |<0的解集为空集． [答案] ①②③⑤[解析] 对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x 2－x ＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因任意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x 2＋3x ＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，因分子恒为正，分母大于0，故商不可能小于0，即解集为空集．三、解答题7．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0成立，求实数a 的取值范围．[解析] 当a ≤0时，显然存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0；当a >0时，必须Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )，∀x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] ∵(x －a )⊙(x ＋a )<1， ∴(x －a )[1－(x ＋a )]<1， ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0，∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立． ∴Δ<0，即1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，∴实数a 的取值范围是(－12，32)．。

恒成立和存在性问题中的参数问题教学目标 1理解含有全称量词恒成立和存在量词存在性命题的等价转化2掌握处理这种问题的常用解题策略 3通过这部分的学习增强学生学习数学的能力，提升学生复习备考的信心学情分析含有量词 恒成立和存在性的命题 的求参数取值范围问题，学生很多时候是语句没有理解，没有准确等价转化造成没有解题思路重点与难点重点:恒成立和存在性问题中的求参数取值范围问题的等价转化;难点:转化后的处理方向教学过程：类型一 含单变量型∀x D ∈，)(x f a >恒成立⇔ ∀x D ∈，)(x f a <恒成立⇔,()x D a f x ∀∈>⇔无解 ,()x D a f x ∀∈<⇔无解x D ∃∈，)(x f a >有解⇔ x D ∃∈，)(x f a <有解⇔例1若不等式24x x a ++-≤的解集非空，求实数a 的取值范围例2已知函数()()2120,()2f x x x a a g x x =++->=+，若()()f x g x ≥ 恒成立，求实数a 的取值范围类型二 含双变量型1112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈=⇔使得2 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈=⇔使得3 1212,,()()x x D f x g x ∀∈≤⇔使得1212,,()()x x D f x g x ∃∈≤⇔使得4 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈≥⇔使得112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈≤⇔使得例3已知函数,)(2x x f =函数),0(222)(>+-=a a x a x g ，若存在12,[0,1]x x ∈ ，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 （ ） 14.,23A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2.,13B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 43.,32C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1.,23D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦例4已知函数22()23,()log ,f x x x g x x m =-+=+对任意的[]12,1,4x x ∈ 有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围 例5已知()21()ln 1,(),2xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭若对[][]120,3,1,2,x x ∀∈∃∈ 使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围 1.,4A ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 1.,4B ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 1.,2C ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 1.,2D ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦小结：类型一 含单变量型∀x D ∈，)(x f a >恒成立⇔max )(x f a > ；∀x D ∈，)(x f a <恒成立⇔min )(x f a <,()x D a f x ∀∈>⇔无解min ()a f x ≤；,()x D a f x ∀∈<⇔无解max ()a f x ≥x D ∃∈，)(x f a >有解⇔ min )(x f a >；x D ∃∈，)(x f a <有解⇔max )(x f a >类型二 含双变量型1112212,,()()x D x D f x g x ∃∈∈=⇔使得 则只需两函数值域交集不空即可2 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈=⇔使得)(x f 值域⊆)(x g 值域3 1212,,()()x x D f x g x ∀∈≤⇔使得max min ()()f x g x ≤1212,,()()x x D f x g x ∃∈≤⇔使得min max ()()f x g x ≤4 112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈≥⇔使得min min ()()f x g x ≥112212,,()()x D x D f x g x ∀∈∃∈≤⇔使得max max ()()f x g x ≤本节课涉及的常用解题策略：本节课的问题都是转化为函数最值问题。

3讲堂成效落实1.以下命题：①今日有人告假；②中国全部的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权利；④每一此中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说，也能搞发明创建⑥任何一个数除0 都等于 0.此中是全称命题的有()A．1 个B．2个C．3 个D．许多于 4 个分析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案： D2．以下全称命题中真命题的个数为()①末位是 0 的整数，能够被 2 整除；②角均分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四周体中双侧面的夹角相等．A ．1B．2C．3D．0分析：①②③均为全称命题且均为真命题，应选 C.答案： C3．[2014 ·温州高二检测 ]以下命题不是“存在 x0∈R，x20>3”的表述方法的是 ()A ．有一个 x0∈R，使得 x20>3 建立B．对有些 x0∈R，使得 x02>3 建立C．任选一个 x∈R，使得 x2>3 建立D．起码有一个 x0∈R，使得 x20>3 建立分析： C 答案已经是全称命题了．答案： C4．命题 “有些负数知足不等式 (1＋x)(1－9x 2)>0 ”用 “? ”写成特称命题为 __________________．分析： “有些 ”即存在．答案： ? x 0∈R ，x 0<0，(1＋x 0)(1－9x 20)>05．判断以下命题是全称命题仍是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数，使等式 x 2＋ x ＋8＝0 建立；(2)每个二次函数的图象都与 x 轴订交；1(3)若对全部的正实数，不等式m ≤x ＋ x 都建立，则 m ≤2；(4)假如对随意的正整数 n ，数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝an 2＋bn(a ， b 为常数 )，那么数列 { a n } 为等差数列．解： (1)特称命题．∵ x2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0，∴命题为假命题．(2)全称命题，假命题．如存在 y ＝x 2＋x ＋1 与 x 轴不订交．(3)全称命题．∵ x 是正实数，1 1时“＝”建立 )．∴ x ＋≥·＝2(当且仅当 x ＝1 x2x x即 x ＋1的最小值是 2，而 m ≤x ＋1，进而 m ≤2.xx因此这个全称命题是真命题．(4)全称命题．∵ S n ＝an 2＋bn ，∴ a 1＝a ＋b.当 n≥2 时， a n＝S n－S n－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b －a，又n＝1 时，a1＝a＋b 也知足上式，因此 a n＝2an＋b－a(n∈N* )．进而数列 { a n} 是等差数列，即这个全称命题也是真命题．。