河北省承德市平泉县四海中学九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 导学案(无答案)
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(人教版)九年级数学上册课件：22.1.2 二次函数y=ax2的
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 二、教材【探究】分层分析
1.请在例 1 的直角坐标系中画出函数 y＝－x2，y＝－12x2， y＝－2x2 的图象.
画出二次函数 y＝—2x2 的图象：
［分析］ 列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－ 2x2
…
…
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
新知梳理
► 知识点一 二次函数y=ax2 的图象 二次函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 知识点二 二次函数y=a2x 图象的性质
函数 a 的取值
y＝ax2
a>0
a<0
图象形状
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
列表：根据二次函数的解析式用表格的形式列出点的坐标； 描点：把表格中的对应点描到直角坐标系内； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
理解四点：（1）抛物线是轴对称图形，列表时先找到顶点， 然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；（2）列好表后，观 察表中对应点的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系； （3）二次函数的自变量的取值范围是一切实数，所以函数的 图象是向两端无限延伸的；（4）连线时两点之间不是用线段 连接，而是用光滑的曲线连接.
（4）当x＞0时，曲线自左向右 （填“下降”或“上升” 下降
），即y值随x值的增大减而小 （填“增大”或“减小”）； （5）图象在x轴的 （填“上方”或“下方”）； 下方 （6）顶点是抛物线的最 （填“高”或“低”）点，y有 高
22-1-2二次函数y=ax2的图象和性质课件人教版九年级数学上册
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
开口大小
|a|越大，抛物线开口越小
对称性 关于y轴对称，对称轴是y轴即直线x＝0
顶点 最值
最低点 顶点坐标是原点（0，0） 最高点
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧y随x增大而减小 在对称轴左侧y随x增大而增大 在对称轴右侧y随x增大而增大 在对称轴右侧y随x增大而减小
3x
的交点叫做抛物 线的顶点。
顶点坐标是________. 顶点是图象的最__低__点.
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点;
2. 图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上； 顶点是抛物线的最低点, 当a<0时，开口向下， 顶点是抛物线的最高点,．
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
y
二次项系数互为相反数，开口相反， 大小相同，它们关于x轴对称.
y=ax2
O
x
y=-ax2
观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(2,4)
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.
第二十二章 二次函数
22.1.2二次函数 y=ax2的图象和性质
二次函数的定义：
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自 变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
最新人教部编版九年级数学上册《22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质》精品PPT优质课件
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 面积 （2）画出它的图象；注意自变量的范围
周长 4
2
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
R·九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节 课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
O 的 开口越小．
开口都向下； 对称轴都是y轴；
-9
y=-x2
y=-2x2
y 1 x2 2
小结
1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴， 顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口向 上，顶点是抛物线的最低点;
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点 坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称 图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
推进新课
知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法
初中数学九年级上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象》PPT课件
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9
-4 -1
0
-1
-4
-9 …
你能根据表格中的数据作出猜 想吗？
描点,连线
y 1
0
-4 -3 -2 -1
1
-1
-2
-3
-4
2 3 4x
y=-x2
二次函数y= -x2 的图象是抛物线 二次函数y= -x2 的图象与y= x2 的图象关于 x轴对称，顶点都为原点，但原点是二次函数y= -x2的最高点，却是 y= x2 的最低点.
做抛物线.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点, 顶点是抛物线 的最低点或最 高点.
在同一直角坐标系中，画出y=
1 2
x2 的图象.
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
y 1 x2 2
... 8 4.5
2 0.5 0 0.5
2 4.5
8 ...
y y 1 x2 2
D. y 4 x 2 5
E F
解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作
DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，
设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，
则 ∴C(F3=m3)m2 ， (4m)2 x2
m 1x 5
y
(1 5
x
4 5
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？ 2.二次函数y=ax2的图象有什么性质？ 3.抛物线y=ax2 与y=-ax2有怎样的关系？
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学习目标：
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
3、激情投入，阳光展示，高效学习，享受学习的乐趣。
教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
一、温故知新
某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
利润=__________________,在本题中总利润=_________________可列方程为
二、自主学习：
（一）、提出问题
1、一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
2、①画函数图象的一般步骤. ________________ ________________ ________________
（二）、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
归结：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
（三）、做一做
在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2、、y=2x2与y=-2x2的图象，将所画的四
个函数的图象作比较，你又能发现什么?
函数y ＝x 2、y=-x 2、y=2x 2、y=-2x 2是函数y=ax 2的特例，由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝
2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，可猜想：
函数y=ax 2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
⑴ 当a>0时，抛物线y=ax 2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；
在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
即当X<0
时，函数值y 随着x 的增大而______，当X>O 时，函数值y 随X 的增大而______；当
X ＝______时，函数值y=ax 2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
⑵当a<O 时，抛物线y=ax 2开口 ，在对称轴的左边，曲线自左向右______；
在对称轴的右边，曲线自左向右______，顶点抛物线上位置最______的点。
图象的这些
特点，反映了当a<O 时，函数y=ax 2的性质；当x<0时，函数值y 随x 的增大而______；
与x>O 时，函数值y 随x 的增大而______，当x=0时，函数值y ＝ax 2取得最______值，
最______值是y ＝______。
⑶ |a |越大，抛物线的开口越_____.
三、合作探究
例1、:①填空函数x)2的图象是____，顶点坐标是____，对称轴是____，开口方
向是____.
②函数y=x 2、y=12
x 2和y=-2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线.
例2 、已知函数y=(m+2)x 24m m +-是关于x 的二次函数.
①求满足条件的m 的值；
②m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增
大？
③m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
四、学以致用
1、.当m=_____时,抛物线y=(m-1)x2m m 开口向下，对称轴为_____，当x<0时，y随x 的增大而_____；当x>0时，y随x的增大而____
2、.二次函数2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是_____
3、二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
4、已知函数y=ax2经过点(1，2) .
①求a的值；
②当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况.
五．自主作业
1．函数2
=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x y-
6x
＝___________时，有最_________值是_________．
2. 二次函数()2
=的图象开口向下，则m___________．
3x
y-
m
m有最高点，则m＝___________
3. 二次函数y＝mx22-
4、如图,已知函数y=-2x+3与y=x²交于A,B两点,且与x轴y轴分别交于D,C两点o为坐标原点连接OA,OB
（1）求点AB的坐标（2）求S△AOB
5、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4m．ED离水面的高FC=1.5m，求涵洞ED宽是多少？是否会超过1m
（提示：设涵洞所成抛物线为y=ax2（a＜0））
6、如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．。