(郭)练习直线方程

直线的方程题型一：倾斜角、斜率问题典例1、直线3310x y ++=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．30D ．60答案： A解析： 求出直线斜率，可得倾斜角．【详解】 直线3310x y ++=的斜率为33k =-，所以倾斜角为150°． 故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题时可先求得直线斜率，由斜率与倾斜角关系得倾斜角． 典例2、如果过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，那么m 的值是（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4答案： A解析： 根据直线的斜率公式，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，过过P （-2，m ）,Q （m ，4）两点的直线的斜率为1，根据直线的斜率公式，可得41(2)m m -=--，解得1m =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.典例3、直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2） 答案： D解析： 由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．典例4、直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=，（θ∈R ），则直线l 倾角α的取值范围是_______。

答案： 3[0][)44πππ⋃，，解析： 依题意可得，直线l 的方向向量为(1,cos )θ-，则tan cos [1,1]αθ=-∈-，所以3[0,][,)44ππαπ∈⋃典例5、已知线段AB 的端点()()2,1,1,4A B -，直线l 过原点且与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是__________________答案： （-∞，-4+∞）解析： 求出直线,OA OB 的斜率，观察线段AB 是否过y 轴，即可得。

一、选择题。

1、直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：当x ＝1时，y ＝1，即所求直线过点(1,1)，在直线x －2y ＋1＝0中，令y ＝0，得x ＝－1，则(－1,0)关于直线x ＝1对称的点(3,0)在所求直线上，故所求方程为x ＋2y －3＝0.答案：D2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0 解析：由于直线P A 的倾斜角为45°，且|P A |＝|PB |，故直线PB 的倾斜角为135°，又当x ＝2时，y ＝3，即P (2,3)， ∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.答案：A3、直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A4、已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ＝2CB，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53[解析：设点C (x ，y )，由于AC ＝2CB ，所以(x －7，y －1)＝2(1－x,4－y )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2－2x y －1＝8－2y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，又点C 在直线y ＝12ax 上，所以有3＝32a ，a ＝2.答案：A5、若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为 ( ) A ．5 B ．－5 C ．4 D ．－4解析：过点(5，b )且与两直线平行的直线的方程为3x －4y ＋4b －15＝0.由题意知，18<4b －154<54，∴318<b <5，又b 是整数，∴b ＝4.答案：C6、经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0 解析：设直线的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则有1a ＋4b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4ab ≥5＋4＝9，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝3，b ＝6时取“＝”．∴直线方程为2x ＋y －6＝0.答案：B7、关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )A ．所有的直线都有倾斜角和斜率B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 解析：所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．答案：B8、直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角是( )A ．－π7 B.π7 C.5π7D.6π7解析：由题意得：直线方程为y ＝－tan π7·x ，∴k ＝－tan π7＝tan 67π，∵0≤α＜π，∴α＝67π.答案：D9、直线2x cos α－y －3＝0(α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3)的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[]1，3.设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[]1，3，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.选B.10、过点(1,3)作直线l ，若l 经过点(a,0)和(0，b )，且a 、b ∈N ＋，则可作出这样的直线l 的条数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．多于3解析：由题意可知l ：x a ＋y b ＝1，∴1a ＋3b ＝1∴b ＝3a a －1＝3(a －1)a －1＋3a －1＝3＋3a －1(a ≥2，且a ∈N ＋)∴a －1为3的正约数，当a －1＝1时，b ＝6，当a －1＝3时，b ＝4，所以这样的直线有2条，故选B. 11、已知直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ） A. -1或2 B. -1或-2 C. 1或2 D. 1或-2 解析：1l ⊥2l ⇔()()210221-=-=⇔=+++a a a a a 或，故选B 。

直线方程经典例题及解析直线是我们在几何学中经常遇到的基本概念之一，研究直线方程是数学中的一个重要分支。

本文将介绍几个经典的直线方程例题，并逐步解析它们的求解过程。

例题1：求过两点的直线方程已知直线上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，请求出通过这两个点的直线方程。

解析：我们知道，直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是与y 轴交点的纵截距。

首先我们需要计算斜率k，根据斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)然后，我们可以使用其中一个点（例如A点），将点坐标带入方程：y1 = kx1 + b可以得到b的值：b = y1 - kx1因此，通过这两个点的直线方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + (y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1)这就是通过两个已知点求直线方程的方法。

例题2：求与两直线的交点已知直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，求两直线的交点坐标。

解析：假设L1和L2的交点坐标为(x, y)。

那么根据直线方程，我们可以得到：k1x + b1 = k2x + b2整理后可得：(k1 - k2)x = b2 - b1从而得到交点横坐标x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)将x的值带入任意一条直线方程中，可以求出交点纵坐标y的值。

综上所述，我们可以通过以上步骤求得直线L1和L2的交点坐标。

例题3：已知截距和斜率求直线方程已知直线L的斜率为k，与y轴的截距为b，请求直线L的方程。

解析：根据直线方程y = kx + b，我们已知直线L的截距和斜率。

根据已知信息，我们可以直接写出直线L的方程：y = kx + b就是这么简单！我们只需将已知的斜率k和截距b带入直线方程即可求得直线L的方程。

例题4：已知直线与坐标轴的交点已知直线L与x轴和y轴的交点分别为A(2,0)和B(0,3)，求直线L的方程。

第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=; ④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程★热点考点题型探析★考点1 直线的倾斜角和斜率题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过),12,(),2,(--m m B m A 的直线的倾斜角为α，且o o 13545<<α，试求实数m 的取值范围。

直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。

等于0B。

等于π/2C。

等于πD。

不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。

k1＜k2＜k3B。

k3＜k1＜k2C。

k3＜k2＜k1D。

k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。

2B。

－2C。

4D。

14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。

π/3B。

2π/3C。

π/4D。

3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。

x＋y－5＝0B。

2x－y－1＝0C。

2y－x－4＝0D。

2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。

19x－9y＝0，19y＝0B。

9x＋19y＝0C。

19x－3y＝0D。

3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。

3B。

－3C。

1D。

－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。

a/(a＋1)B。

－a/(a＋1)C。

(a＋1)/aD。

－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。

(－6，8)B。

(6，－8)C。

(－6，－8)D。

(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。

3.2 直线的方程一、选择题1、过(x i, y l)和(X2, y2)两点的直线方程是y —y2 x—X iA、y2 -y i X2 -x iy - y i x - X2B、—y2 - y i x i - x2C、(X2 —X i)(x—X i) -(y2 - y i)(y - y i) =0D、(丫2 -y i)(x - X i) -(X2 -X i)(y - yj =02、原点在直线l上的射影为点P(- 2,i),则直线I的方程是A、x+ 2y=0B、2x + y+ 3=0C、x—2y + 4=0D、2x —y+ 5=03、直线I过点A(2,2),且与直线x —y —4=0和x轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有A、1条B、2条C、3条D、4条4、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是( )A、(—a, —b)B、(a,—b)C、(b,a)D、(—b, —a)5、已知I平行于直线3x+4y —5=0,且I和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线I的方程是()A、3x+4y —12、2 =0B、3x+4y+i22 =0C、3x+4y —24=0D、3x+4y + 24=06、若直线I经过点(i,i),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线I的条数为( )A、1B、2C、3D、47、已知菱形的三个顶点为( a,b)、(—b,a)、( 0, 0),那么这个菱形的第四个顶点为( )A、(a—b,a+ b)B、(a+ b, a —b)C、(2a,0)D、(0,2a)8、下列命题中不正确的是()A、二直线的斜率存在时，它们垂直的充要条件是其斜率之积为- 1B、如果方程Ax + By + C=0表示的直线是y轴，那么系数A、B、C满足心 O,B=C=O2 2C、ax+ by + c=0和2ax + 2by + c+仁0表示两条平行直线的充要条件是 a + b工°且c工1D、(x —y+ 5) + k(4x —5y —1)=0表示经过直线x —y + 5=0与4x —5y —仁0的交点的所有直线。

欢迎阅读直线的方程练习题（一）选择题1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )A. x =3B. y =－5C.2y =xD. x =4y －12.直线l 过(a,b )、(b,a )两点，其中a 与b 不相等，则直线l ( )A.与x 轴垂直B.与y 轴垂直C.过一、二、三象限D.的倾斜角为43π 3.若ac ＞0且bc ＜0，直线0=++c by ax 不通过( )A.4()A ()B ()C (D 5()A 678 ）9线l 的方程是（ ）（二）填空题：10.若点A (x 0，y 0)在直线0=++c by ax 上，则 ,若点A 不在直线0=++c by ax 上，则 .11.经过点(2，1)且倾斜角的余弦值是135的直线方程是 . 12.已知P (3，m )在过M (2，－1)和N (－3,4)的直线上，则m 的值是 13.已知直线l 的方程为14)()32(22-=-+-+m y m m x m m①当m=________时，直线l 的倾斜角为045；②当m=________时，直线l 在x 轴的截距为1；③当m=________时，直线l 在y 轴的截距为23- ； ④当m=________时，直线l 与x 轴平行；⑤当m=________时，直线l 与y 轴平行.14．过点(1,2)P 且在两坐标轴上的截距和为0的直线方程为 ．15．过点(1,5)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有 条．16．直线l 过点(2,3)A -，且在两坐标轴上的截距之和为2，则直线l 的方程为 ．171819.20.21．(22232425l C.15°≤α＜195° D.15°≤α＜180°2.直线l 1、l 2都过点M ，l 1的倾角为α1，l 2的倾角为α2，下面四个论断中①若sin α1＝sin α2，则l 1与l 2重合；②若cos α1＝cos α2，则l 1与l 2重合；③若cos α1＞cos α2，则l 1的斜率大于l 2的斜率；④若tan α1＞tanα2，则l 1的倾角大于l 2的倾角.正确的个数有( )A.1B.2C.3D.43.直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则k cos α的取值范围是 .4.直线l 的斜率为cot83°，直线l 的倾斜角是 .5.直线的倾斜角为α，且sin α=53，则此直线的斜率是 . 6.已知直线斜率的绝对值为3，求此直线的倾斜角 .7.在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1：y =－x ; l 2：x+y =1; l 3：x －y =1; l 4：x +2y =4.8.直线的倾斜角α满足cos α＝5a （｜a ｜＜5＝,求该直线的斜率. 9.已知直线l 的斜率为k ，求直线l 倾斜角α的正弦.参考答案：1.C2.A3.(0，1)4.7°5.±436.α＝3π或α＝32π.7.略8.a a 225-9. 2211k k k ++-By 1＋C ＜0.10.若光线从点A (－3，5）射到x 轴上被x 轴反射后反射到点B (3，9)，求此光线所经过的路程的长.11.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程.12.已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.参考答案：1.B 2.D 3.C 4.C5.ax 0＋by 0＋c ＝0；ax 0＋by 0＋c ≠06.12x －5y －19=07.－2 8.(5，350) 6017ｍ2 9.证明略10.258 11.y =±43x －3 12.3x +4y ±24=0.1.下列结论正确的是( )A.直线Ax+By+C =0有横截距B.直线Ax+By+C =0有纵截距C.直线Ax+By+C =0既有横截距又有纵截距D.以上都不正确2.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty t t x 8623（t 为参数），则直线l 的点斜式方程是( )A.y =4x +24B.y =4x +6C.y －6=4(x +3)D.y +6=4(x －3)两点的直线的方程是( )2+m －1)y +6－2m =0，根据下列条件分别确定实数的值.6.2x －5y －20=0或2x +5y +20=0 A.l 的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l 的倾斜角为钝角且不过第一象限C.l 的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l 的倾斜角为钝角且不过第三象限4.过(3，0)点与x 轴垂直的直线方程为 ，纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为 .5.过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为 ,若点(a ,12)在此直线上，则a = .6.一根铁棒在30℃时长10.508m ，在60℃时长10.514m ，已知长度l (m)和温度t （℃）的关系可以用直线方程来表示，则这根铁棒在90℃时的长度为 ，当铁棒长为10.511m 时的温度是 .7.△ABC 的三个顶点为A (0，4)、B (－2,6)、C (8，2)，求此三角形各边上中线所在直线的方程.8.求经过A (－2,3)、B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.9.直线l 过点P (4，3)且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线l 的方程.参考答案：1.D 2.B 3.B 4.x =3;y =－25.515737--=--x y ℃. 7.x +3y －14=0,x +2y －10=0,y =48.点斜式方程为y －3=－32 (x +2) 斜截式方程为y =－32x +35 截距式方程为3525y x +=1. 9.2x+y －11=0.。

1．求满足下列条件的直线方程．（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．2．求下列直线方程．（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．3．已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．（1）求直线的一般式方程．（2）求直线在x轴、y轴上的截距．（3）试画出直线l．4．求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．5．求满足下列条件的直线方程，并画出图形．（1）过原点，斜率为－2．（2）过点（0，3），（2，1）．（3）过点（－2，1），平行于x轴．（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．6.过(3，0)点与x轴垂直的直线方程为，7.求经过A(－2,3)、B(4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.8.过P1（－2，0）、P2(1，3)的直线的两点式方程是 ,化成斜截式方程是 .9.过A(－1,－1)、B(0，0)的直线的两点式方程是 ,化成斜截式方程是 .10.过点C(－6,0)、D(0,－6)的直线的两点式方程是 ,斜截式方程是 .11.直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．11.（2004年春季北京）直线x－3y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是__________12．已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．3．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－2④当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．13. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．（1）直线l在x轴上的截距为－3．（2）直线l的斜率为1．14.在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是－2的直线的方程是( )A. 1B. 1C. 1D.122222222xy xyxyxy+=+=+=+=----15．过点P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A ．x +y -5=0或x -y +1=0B ．x -y +1=0C ．3x -2y =0或x +y -5=0D ．x -y +1=0或3x -2y =016.纵截距为－2且与y 轴垂直的直线方程为 .17.直线l 过点P (4，3)且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线l 的方程.18.一直线过点A （－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是19．过点A(2,1),且在x,y 轴上截距相等的直线方程是20．求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．21．求过点5,2A ,且在x 轴y 轴上截距相等的直线方程______22．过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）A ．2x+y-12=0B ．2x+y-12=0 或2x-5y=0C ．x-2y-1=0D ．x+2y-9=0或2x-5y=023. 直线在轴上截距是它在轴上截距的3倍，则等于24．若直线(m+2)x+(m 2-2m-3)y=2m 在x 轴上的截距是3，则m 的值是（ ）A ．52B ．6C ．-52D ．-625．过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有 ( ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)426. 过点P （1，1）作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为10，则直线l 有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条27．过点A （1，2）作直线 使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，满足条件的直线 的条数是（）A ．1B ．2C ．3D ．428.直线ax+by=1 (ab ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A ．21ab B ． 21|ab| C ．ab 21 D ．12||ab29.直线L 过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4,求直线L 的方程.30.已知直线l 在y 轴上的截距为－3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程.31. 已知直线l 与直线3x +4y －7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 求直线l 的方程.32.过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距是A.－23B.－32C.52 D .2 33.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程.34．∆ABC 的顶点(1,3),(2,1),(3,1)A B C --，试求BC 边中线所在直线方程。

（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即tankα=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)οο90,∈α时，0≥k；当()οο180,90∈α时，0<k；当ο90=α时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk≠--=所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线1λ与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线2λ互相垂直，求实数a的值。

2、直线baxy+=与abxy+=在同一坐标系下可能的图是（）3、直线3)2(+-=xky必过定点，该定点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）4、如果直线0=++cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0>abc B．0>ac C．0<ab D．cba,,同号5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是（）A．43≥k或4-≤k B．43≥k或41-≤k C．434≤≤-k D．443≤≤k（3）两点间距离公式：设1122(,),A x yB x y，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB=（4）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=概念考查（1） 求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。

（2） 求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。

直线的⼀般式⽅程（附答案）直线的⼀般式⽅程[学习⽬标] 1.掌握直线的⼀般式⽅程.2.了解关于x 、y 的⼆元⼀次⽅程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表⽰直线，且直线⽅程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进⾏直线⽅程不同形式的转化.知识点直线的⼀般式⽅程1.在平⾯直⾓坐标系中，对于任何⼀条直线，都有⼀个表⽰这条直线的关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程；任何关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程都表⽰⼀条直线.⽅程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线⽅程的⼀般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B. 3.直线⼀般式⽅程的结构特征(1)⽅程是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程.(2)⽅程中等号的左侧⾃左向右⼀般按x ，y ，常数的先后顺序排列.(3)x 的系数⼀般不为分数和负数.(4)虽然直线⽅程的⼀般式有三个参数，但只需两个独⽴的条件即可求得直线的⽅程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，⽅程Ax ＋By ＋C ＝0表⽰什么？(2)任何⼀条直线的⼀般式⽅程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当C ＝0时，⽅程对任意的x ，y 都成⽴，故⽅程表⽰整个坐标平⾯；当C ≠0时，⽅程⽆解，⽅程不表⽰任何图象.故⽅程Ax ＋By ＋C ＝0，不⼀定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当⼀般式⽅程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为⼀般式.题型⼀直线的⼀般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第⼀象限的是( ) A.3x ＋4y ＋7＝0 B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.－5 C.95D.－3 3 答案 (1)B (2)D解析 (1)将⼀般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项. ⼜y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第⼀象限，所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 ⼀条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三⾓形的⾯积为1，求此直线⽅程.解设所求直线⽅程为x a ＋y b＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1.①⼜∵直线与坐标轴围成的三⾓形⾯积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得 a －b ＝1，ab ＝2，或?a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得 a ＝2，b ＝1，或a ＝－1，b ＝－2.第⼆个⽅程组⽆解. 故所求直线⽅程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型⼆直线⽅程的应⽤例2 已知直线l 的⽅程为3x ＋4y －12＝0，求满⾜下列条件的直线l ′的⽅程：(1)过点(－1,3)，且与l 平⾏；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解⽅法⼀ l 的⽅程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平⾏，∴l ′的斜率为－34. ⼜∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知⽅程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，⼜l ′过点(－1,3)，由点斜式可得⽅程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.⽅法⼆ (1)由l ′与l 平⾏，可设l ′的⽅程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代⼊上式得m ＝－9.∴所求直线的⽅程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的⽅程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代⼊上式得n ＝13.∴所求直线的⽅程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平⾏；(2)垂直.解当a ＝0或1时，两直线既不平⾏，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a. (1)当两直线平⾏时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平⾏.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·(－1＋a )2＝－1，解得a ＝13. 所以当a ＝13时，两直线垂直. 题型三由含参⼀般式⽅程求参数的值或取值范围例3 (1)若⽅程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表⽰⼀条直线，则实数m 满⾜______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜⾓为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析若⽅程不能表⽰直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解⽅程组m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，⽅程表⽰⼀条直线. (2)解①因为已知直线的倾斜⾓为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1，所以m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－(m 2－m )，解得m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得 m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2. 跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第⼀象限；(2)为使直线l 不经过第⼆象限，求a 的取值范围.(1)证明直线⽅程变形为y －35＝ax －15，它表⽰经过点A 15，35，斜率为a 的直线.∵点A 15，35在第⼀象限，∴直线l 必过第⼀象限.(2)解如图所⽰，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3. ∵直线不过第⼆象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).⼀般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的⽅程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析由直线⽅程的⼀般式，可转化为斜截式，利⽤斜率为1，建⽴⽅程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43. 当m ＝－1时，②式不成⽴，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成⽴，符合题意. 故m ＝43.1.若⽅程Ax ＋By ＋C ＝0表⽰直线，则A 、B 应满⾜的条件为( )A.A ≠0B.B ≠0C.A ·B ≠0D.A 2＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第⼀、⼆、三象限B.第⼀、⼆、四象限C.第⼀、三、四象限D.第⼆、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平⾏的直线⽅程是( )A.x －2y －1＝0B.x －2y ＋1＝C.2x ＋y －2＝0D.x ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平⾏，则a ＝________.⼀、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜⾓的⼤⼩是( )A.45°B.135°C.1D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜⾓为45°，则m 的值为( )A.－2B.2C.－3D.33.直线l 的⽅程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和⼆、四象限，则( )A.C ＝0，B >0B.A >0，B >0，C ＝0C.AB <0，C ＝0D.AB >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3B.3C.13D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三⾓形，则a 的取值范围是( )A.a ≠±1B.a ≠1，a ≠2C.a ≠－1D.a ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同⼀坐标系中的图形⼤致是( )⼆、填空题8.已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜⾓⼤于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线⽅程为________________.三、解答题12.设直线l的⽅程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的⽅程；(2)若l不经过第⼆象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平⾏，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析⽅程Ax ＋By ＋C ＝0表⽰直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b>0，直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第⼀、三、四象限.3.答案 A解析由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线⽅程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.4.答案 B解析由两直线垂直，得12×－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案－3或1解析两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平⾏，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案⼀、选择题1.答案 B解析直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜⾓为135°，故选B.2.答案 D解析由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得：m ＝3.3.答案 D解析通过直线的斜率和截距进⾏判断.4.答案 D解析由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线⽅程为ax ＋3ay＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平⾏就能构成三⾓形.所以a ≠±1.7.答案 C解析将l 1与l 2的⽅程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.⼆、填空题8.答案 35解析由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 9.答案 2解析线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞) 解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜⾓为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可，解得－1或者a <－1或者a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞). 11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析由条件知2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，⽅程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. 所以a ＝0，⽅程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的⽅程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以－(a ＋1)＞0，a －2≤0或－(a ＋1)＝0，a －2≤0，所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解⽅法⼀ (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平⾏.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直. ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. ⽅法⼆ (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a＝±1代⼊⽅程，均满⾜题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。