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沪教版初一数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习整数指数幂及其运算【学习目标】1. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义．2．掌握科学记数法．【要点梳理】要点一、零指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于1，即()010a a =≠. 要点诠释：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为整数）当m n =时，得到()010a a =≠.要点二、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()m m m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()n m mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0n aa -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点三、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10n a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10n a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<，用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、负整数次幂的运算1、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷． 【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三： 【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭． 【答案】 解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++=2、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型二、科学记数法3、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个正数从在边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．4、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm 3，一个体积是480m 3的房间内的空气质量是多少？（保留3个有效数字）【答案与解析】解： ∵ 36383480m 48010cm 4.8010cm =⨯=⨯，∴ 83850.001239 4.810 1.23910 4.810 5.947210(g)-⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯25.947210(kg)=⨯≈25.9510(kg)⨯．【总结升华】当数据太大或太小时，可逐步计算，力求使计算准确无误．举一反三：【变式】计算：（1）73(310)(210)-⨯⨯⨯；（2）423(210)(510)--⨯⨯⨯；（3）62(610)(310)-⨯÷⨯；（4）2332(210)(410)---⨯÷⨯．【答案】解：（1）原式734(32)(1010)610--=⨯⨯⨯=⨯；（2）原式838311(410)(510)(45)(1010)2010-----=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯10210-=⨯； （3）原式6(2)8(63)10210--=÷⨯=⨯； （4）原式66121018101012810 1.281016---⎛⎫=⨯÷⨯=⨯=⨯ ⎪⎝⎭．。
基本幂运算知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a +=（m n 、为正整数）。
（1）此性质可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n p a a a a +++=，（m n p 、、、都为正整数）。
（2）此性质可逆用，即m n m n a a a +=（m n 、为正整数）。
知识点2：幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =（m n 、为正整数）。
此性质可逆用，即()()mn m n n m a a a ==。
知识点3：积的乘方法则积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =（n 为正整数）。
（1）三个或三个以上因式的乘方也具有这一性质，如()n n n n abc a b c =（n 为正整数）。
（2）此性质可逆用，即()n n n a b ab =（n 为正整数）。
知识点4：同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、为正整数，且m n >）。
此性质可逆用，即m n m n a a a -=÷（0a ≠，m n 、为正整数，且m n >）。
第十一讲幂运算知识点5：零指数幂与负指数幂法则（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1，即01a =（0a ≠）。
（2）任何不等于零的数的负n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1n na a -=（0a ≠，n 为正整数）。
【前铺1】 a a a a a a = 。
【前铺2】 ()()a a a a a a = 。
【前铺3】 32(3)= 。
【前铺4】 55211⨯= 。
【前铺5】 10333÷= 。
【例题1】 （1）下列各式计算过程正确的是（ ）A.22x x x +=B.2x x x ÷=C.22(1)1x x +=+D.22()xy xy =（2）下列各式中计算结果等于62x 的是（ ）A.33x x +B.32(2)xC.322x xD.72x x ÷（3）计算：021(3)()22--+-÷-的结果是（ ） A.1 B.1- C.3 D.118【例题2】 计算：1）53(5)5-÷ 2）302101010⨯÷ 3）03111()()339÷-⨯ 4）33224-⨯÷ 5）62201(7)7()749-÷⨯⨯ 6）24210.50.25()8⨯÷【例题3】 【基础、提高】计算：33111(1)(10921)982⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 。
课题：幂的乘方教学目标：通过自主学习，理解法则的意义和适用条件，能熟练运用法则进行计算，并能解决一些简单的实际问题。
通过类比学习，运用“从特殊到一般”的方法发现并归纳幂的乘方的法则，经历“观察—猜想—验证—概括”的过程，培养观察、发现、归纳能力以及语言表达能力。
体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生自主学习的能力。
教学重点：幂的乘方的推导及应用教学难点：区别幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的不同。
幂的运算性质的灵活应用教学过程设计意图一、提出问题1、填空()()()22582523(1) 1010 (2) 33(3) 4a a x y y x ⨯⨯⨯-⨯-要求：（1）学生填空（2）交流答案，教师点评，共同回顾同底数幂的法则 2、思考：要求：（1）学生口答（2）利用乘方意义，引导写成幂的乘方的形式 （3）初步感知幂的乘方和同底数幂之间的联系通过填空环节回顾同底数幂乘法的法则，为新知的学习作铺垫，由（1）的变式，让学生体会特殊的同底数幂乘法可写成更简单的形式，自然引入幂的乘方，提高学生探究的兴趣。
二、探索新知1、探究：尝试将下列各式写成幂的形式()6210= =()42a = =()3m a = =要求：（1）小组讨论，尝试探索；（2）学生交流推导过程。
（3）教师补充，完善探究思路2、规律总结要求：学生在探究的基础上，交流转化规律 3、出示课题：幂的乘方()nm mn a a =（m, n 是正整数）三、新知应用引导学生经历知识的生成过程，明确每一步运算的依据，进一步体会由具体到抽象、特殊到一般的思想方法1、例题1、 计算()()()()()()()()33222331 7 2 3 2 4 -n a y⎡⎤-⎣⎦要求：（1）学生独自完成，（3）、（4）两题学生板演（2）教师个别指导，部分面批 （3）交流答案，引导学生点评2、例2计算下列各式：()()()()()()()()()()()()()3422322323232421 2 3 4 x x y y y x y x y x x x ⋅⎡⎤-⋅-⋅-⎣⎦⎡⎤+⋅+⎣⎦-⋅-+要求： （1）学生独自完成，四名同学板演（2）教师个别指导，部分面批 （3）交流答案，引导学生点评对幂的乘方进行简单运用，帮助学生进一步体会幂的乘方运算，同时感受运用法则中的注意点。
幂的运算
【知识方法归纳】
注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数”
知识点1 同底数幂的意义及同底数幂的乘法法则（重点）
同底数幂是指底数相同的幂。
如如32与52或32)(b a 与52)(b a 等
同底数幂的乘法法则：m n mn a a a ⋅=，即，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【典型例题】
1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（ ）
A ．22015
B ．22007
C ．－2
D ．－22008
2．当a<0，n 为正整数时，（－a ）5·（－a ）2n 的值为（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．非负数
3．计算：（a －b ）2m －
1·（b －a ）2m ·（a －b ）2m+1，其中m 为正整数．
知识点2 逆用同底数幂的法则
逆用法则为：n m n m a a a
•=+（m 、n 都是正整数）
【典型例题】 1．（1）已知x m =3，x n =5，求x m+n ． （2）一变：已知x m =3，x n =5，求x 2m+n ；
（3）二变：已知x m =3，x m+n =15，求n x ．
知识点3 幂的乘方的意义及运算法则（重点）
幂的乘方指几个相同的幂相乘。
幂的乘方的法则：()m n mn a a = (m 、n 是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘
【典型例题】
1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）
A ．0
B ．2a 10
C ．-2a 10
D ．2a 7
2．下列各式成立的是（ ）
A ．（a 3）x =（a x ）3
B ．（a n ）3=a n+3
C ．（a+b ）3=a 2+b 2
D ．（-a ）m =-a m
3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．已知2x 3x 5++的值为7，那么2
3x 9x 2+-的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
6.计算：
（1）233342)(a a a a a +⋅+⋅ （2）2
2442)()(2a a a ⋅+⋅
知识点4 积的乘方意义及运算法则
积的乘方指底数是乘积的形式的乘方。
积的乘方运算法则：()n n n ab a b = (n 是正整数) 即：积的乘方，等于各因式乘方的积。
警示：三个或者三个以上因数的积得乘方，也具备这一性质。
【典型例题】 1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。
2．( )5=(8×8×8×8×8)(a·a·a·a·a)
3．如果a≠b ，且(a p )3·b p+q =a 9b 5 成立，则p=______________，q=__________________。
4．若()()
b a b a b a m n n m 5321221=-++，则m+n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．-3
5．()23220032232312⎪⎭⎫ ⎝⎛-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 的结果等于（ ） A ．y x 10103 B ．y x 10103- C ．y x 10109 D ．y x 10109-
6．如果单项式y x b a 243--与y
x b a +331是同类项，那么这两个单项式的积是（ ） A ．y x 46 B ．y x 23- C ．y x 2338
- D ．y x 4
6-
7．已知（x －y ）·（x －y ）3·（x －y ）m =（x －y ）12，求（4m 2+2m+1）－2（2m 2－m －5）的值．
备选例题
例1、 已知453)5(31+=++n n x
x x ，求x 的值．
例2、 已知2x ＋5y －3＝0，求y x 324•的值．
例3、 已知472510225•=••n m ，求m 、n ．
例4、 已知y x y x x a a a
a +==+求,25,5的值． 若n m n n m x x x ++==求,2,162的值．
例5、 已知,710,510,310===c b a 试把105写成底数是10的幂的形式．
例6、 比较下列一组数的大小．61413192781，，
例8．已知7239
21=-+n n ，求n 的值．
巩固练习
1．计算：－m 2·m 3的结果是（ ）
A ．－m 6
B ．m 5
C ．m 6
D ．－m 5
2．计算：a·a 2=___________-____．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A ．x 2+x 2=x 4
B ．x 2÷x=x 2
C ．x 3－x 2=x
D ．x·x 2=x 3
4．下列计算正确的是（ ）
A ．a 3+a 4=a 7
B ．a 3·a 4=a 7
C ．（a 3）4=a 7
D ．a 6÷a 3=a 2
5、计算23
()ab 的结果是（ ）
A ．5ab
B ．6ab
C ．35a b
D ．36a b 6、下列计算正确的是
A ．a 2＋a 2＝a 4
B ．a 5·a 2＝a 7
C ．()325a a =
D ．2a 2－a 2＝2
7、新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为
A ．31091⨯； B.210910⨯； C.3101.9⨯； D.4101.9⨯
8、计算：01
22-+= ．
9、下列运算中，计算结果正确的是 （ ）
A.x·x 3＝2x 3；
B.x 3÷x ＝x 2；
C.（x 3）2＝x 5；
D.x 3+x 3＝2x 6
10．计算：2332)()(a a -+-＝ ． 11．若52
=m
，62=n ，则n m 22+＝ ．
12、若3a+2b=24，则43a －5 +21b 的值是 13、已知：，012=-+a a 求1999223++a a 的值
14、已知230x x +-=求343x x --的值．
15、若3521221))(b a b a b a n n n m =-++（，则求m ＋n 的值．。
