面面平行的判定

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。

（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。

（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。

（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。

证明面面平行的方法
一、面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交，直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

二、如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。

三、根据两个平面平行的定义，证明两个平面没有公共点。

1面面平行
指的是两个平面平行。

如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。

2平面
是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。

是由显示生活中的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别,既具有无限延展性，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。

面面平行的判定基础知识：1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：a βb βa ∩b = P β∥αa ∥αb ∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

典型例题：例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．变式题：1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．2、下列命题错误的是A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交B 、平行于同一个平面的两个平面平行C 、平行于同一直线的两条直线平行D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交解析：D例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ． 在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。

面面平行的判定教案一、教学目标1. 让学生掌握面面平行的判定定理及其推论。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 面面平行的判定定理2. 面面平行的性质定理3. 面面平行的判定定理的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：面面平行的判定定理及其推论。

2. 教学难点：面面平行的判定定理在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解面面平行的判定定理及其推论。

2. 运用案例分析法，分析实际问题中的面面平行判定。

3. 利用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的动手操作能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考面面平行的判定方法。

2. 讲解面面平行的判定定理：结合图形，讲解定理的内涵和外延。

3. 讲解面面平行的性质定理：引导学生理解定理的含义，并学会运用。

4. 应用练习：布置具有代表性的练习题，巩固所学知识。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

6. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学活动1. 课堂讨论：邀请学生分享他们在生活中遇到的面面平行问题，以及他们是如何解决的。

2. 小组合作：将学生分成小组，每组解决一个面面平行问题，并展示他们的解题过程。

3. 游戏环节：设计一个面面平行的小游戏，让学生在游戏中加深对知识的理解。

七、课程评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂讨论、小组合作和游戏环节的参与情况。

2. 作业完成情况：评估学生课后作业的完成质量。

3. 知识测试：通过笔试或口试，测试学生对面面平行知识的掌握程度。

八、教学资源1. 教材：选用权威、易懂的教材，为学生提供系统的知识体系。

2. 教具：准备相关的几何模型和道具，帮助学生直观地理解面面平行。

3. 网络资源：利用网络资源，为学生提供更多的学习资料和实践案例。

九、教学反思在课程结束后，教师应反思教学效果，思考如何改进教学方法，以提高学生的学习兴趣和效果。

温馨小提示：本文主要介绍的是关于面面平行定理和判定定理的文章，文章是由本店铺通过查阅资料，经过精心整理撰写而成。

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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。

具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。

面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。

面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。

首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。

根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。

但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。

因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。

同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。

这样，面面平行定理得证。

二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。

这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。

判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。

线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。

面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。

②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。

面面平行判定定理教案教学目标：1. 理解面面平行的概念及其判定定理。

2. 学会运用判定定理判断空间中两个平面是否平行。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学内容：一、面面平行的定义1. 引导学生回顾平面的定义，理解平面是由无数条直线组成的二维图形。

2. 引入面面平行的概念，即两个平面在空间中没有公共点，且它们的法向量相同或相反。

二、面面平行的判定定理1. 讲解判定定理一：若两个平面的法向量相同，则这两个平面平行。

2. 讲解判定定理二：若两个平面的法向量相反，则这两个平面平行。

3. 讲解判定定理三：若两个平面相交于一条直线，且这条直线的方向向量与其中一个平面的法向量相同，则这两个平面平行。

三、判定定理的应用1. 引导学生运用判定定理判断空间中两个平面是否平行。

2. 给出实例，让学生学会如何找到法向量和方向向量进行判断。

四、练习与巩固1. 布置一些判断面面平行的题目，让学生独立完成。

2. 引导学生总结判断面面平行的方法和技巧。

五、课堂小结1. 回顾本节课所学的内容，让学生掌握面面平行的定义和判定定理。

2. 强调面面平行在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。

教学评价：通过课堂讲解、练习和巩固，评价学生对面面平行定义和判定定理的理解程度，以及运用判定定理判断空间中两个平面是否平行的能力。

六、面面平行的性质定理1. 引入性质定理：若两个平面平行，则它们之间的距离相等。

2. 解释性质定理的证明过程，引导学生理解并掌握。

七、性质定理的应用1. 讲解如何利用性质定理计算两个平行平面之间的距离。

2. 提供实际问题，让学生学会将性质定理应用于实际问题中。

八、面面平行的判定与性质的综合应用1. 引导学生理解面面平行的判定定理与性质定理之间的关系。

2. 通过实例，讲解如何综合运用判定定理和性质定理解决复杂问题。

九、课堂练习与讨论1. 布置一些有关面面平行的判定与性质的应用题目，让学生独立完成。

2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。

在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判断方法一、两条直线平行的判断方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判断理或许有关图形的性质进行证明。

如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，假如同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。

②三角形、梯形中位线定理。

③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。

④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不合适）。

（3）（线面平行的性质）假如一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面订交，那么这条直线和交线平行。

（4）假如两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线相互平行（平行的传达性）。

（5）（面面平行的性质）假如两个平行平面分别和第三个平面订交，则它们的交线平行。

（6）（线面垂直的性质之一）假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（7）用向量证明。

二、一条直线和一个平面平行的判断（1）假如向来线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，假如和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行( 线面平行的判断定理 ) 。

（3）假如两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。

（4）向量法。

三、两个平面平行的判断（1）假如两个平面没有公共点，那么这两个平面相互平行（定义）（2）假如一个平面内的两条订交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。

（3）假如一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面内的两条订交直线，那么这两个平面平行。

（4）假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。

（5）假如两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判断方法一、两条直线垂直的判断（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可依据平面几何的有关定理和方法判断。

证明面面平行的常用方法有哪些证明面面平行的常用方法有哪些面面平行要证明的方法是的呢?面面平行该怎么证明呢?下面就是店铺给大家整理的证明面面平行的方法内容，希望大家喜欢。

证明面面平行的方法利用向量方法判断空间位置关系,其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理,将可建立一种简单的程序化的解题模式.定理1设MA→、MB→不共线,PQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),则①P∈平面MAB PQ平面MAB;②P平面MAB PQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线,DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面22，(最白痴的一个)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面23，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的这些方法前面都要通过方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。

学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到图和题就会知道用定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。

还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。

还是好好听课吧~~判定：平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。

性质：平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。