《简单的三角恒等变换》导学案1

精品导学案：简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。

既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a . 例2、 练习：求证tan 2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。

例2、证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。

练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。

（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+= 阅读内容： 函数y=asinx+bcosx 的变形与应用（辅助角公式）函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a +++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a ϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。

§3.1两角和与差的余弦1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。

向量的数量积a b ______⋅= ),,11y x （=),22y x （= 则 a b _____⋅=探究一：（1）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？（2）能不能不用计算器求0cos15的值 ？要用什么公式？探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。

②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。

2.向量法：由图可知：==→a OP 1( ) , ==→b 2OP ( )则=⋅_____= b ____→=θ=⋅ cos θ∴=另一方面：故 cos()αβ-= 对于任意的角βα,都成立。

探究三：．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：[]cos()cos ()αβαβ+=--= ______________________＝______________.例1：求值：0sin 75，0cos(15)-例2：求下列三角函数式的值． (1) cos79cos34sin 79sin 34+(2)cos(α－55°)cos(5°＋α)＋sin(α－55°)sin(5°＋α)变式训练：求值1. 0cos50cos 20sin50sin 20+= =2. 00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++= =例3：教材127页例2变式1：已知锐角α，β，且4cos5α=，16cos()65αβ+=-，求cos β的值．变式2：设1cos()29βα-=-，2sin()23αβ-=，其中(,),(0,)22ππαπβ∈∈，求cos 2αβ+1.教材P1271、2、3、42.不查表求值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ ︒+︒15sin 2315cos 212）（3.sin 2sin3cos2cos3, ()x x x x x =若则的值可是（A ）10π (B)6π (C)5π (D)4π4.在,cos cos sin sin B A B A ABC <∆中，若则ABC ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不确定5.设3(0,),sin ,)254ππααα∈=+=若1．公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(αβ)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：();2()(),()()222αββαααββααβαβαβ+=+-=+--=---等。

《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。

2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。

那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。

三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。

2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。

五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。

2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。

3．2 简单的三角恒等变换1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。

2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。

3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

（预习教材P139—P142）复习：Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α=二、新课导学※探索新知探究一：半角公式的推导请同学们阅看p139例1..思考1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

.思考2、半角公式中的符号如何确定？思考3、二倍角公式和半角公式有什么联系？.思考4、代数变换与三角变换有什么不同？变式训练1：求证sin tan 21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=探究二：积化和差、和差化积公式的推导.请同学们阅看p140例2。

.思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？.思考2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？.思考3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式．变式训练2：课本p142 2（2）、3（3）探究三：三角函数式的变换。

请同学们阅看p140例3。

.思考1、例3的过程中应用了哪些公式？.思考2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值．变式3：已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合※ 典型例题例1．已知135sin =α，且α在第二象限，求2tan α的值。

《简单的三角恒等变换》学案
一、学习目标：
1、理解并掌握和(差) 公式和倍角公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想和方法，发展学生的数学运算素养；
2、能熟练利用公式进行简单的恒等变形,初步体会三角恒等变换在数学中的应用，发展学生的逻辑推理素养. 二、学习过程
（一）回顾：大家已经学过的三角公式主要有哪些？
（二）典例讲解
（三）变式训练
（四）总结整理
通过这节课的学习你有什么收获和感悟？你能否从知识、方法、思想等层面分别概括总结一下？三、目标检测。

3・2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】会用己学公式进行三角函数式的化简、求值和证明；会推导半角公式，积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆)，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

［重点难点】学习云点:''以己冇公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断捉高从整体上把握变换过程的能力【学法指导】复习倍角公式S A J T IL先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意c*。

既然能用单角，玄示倍遍，那么能否用倍角表示单角呢？•回顾复习两角和与差的正眩、余弦和丘切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。

【知识链接】：1、回顾复习以下公式并填空：Cos( a + B )= Cos( a - P )=sin( a + B )= . sin( a ・ P )=tan( a + B )= tan( a ・ B )=・ sin2 a = tan2 a =cos2 a =2、阅看课本P139—141 例1、2、3。

三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格屮【学习过程】：探究一：半角公式的推导(例1)请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、2a与ci冇什么关系？「与a/2冇什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。

2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系?4、代数变换与三角变换冇什么不同？探究二：半角公式的推导(例2)请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、两角和与差的正弦、余弦公式两边冇什么特点？它们与例2在结构形式上冇什么联系?2、在例2证明过程屮，如果不用(1)的结果，如何证明(2) ?3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法?探究三：三角函数式的变换（例3）,请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。

1、知识目标：以已有的十一个公式为依据，以求三角函数的周期，最值，三角函数恒等式的证明为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。

2、能力目标：体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。

能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提)B ϕ+的周期，最值，单调区间： 2. 三角函数和差角公式： 3.三角函数二倍角公式： 4.辅助角公式： 二、问题设置： 问题1、求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最大值和最小值。

问题2、证明：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、知识探究：探究问题1：思考1：求解函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最值与求函数y sin()A x B ϖϕ=++的周期，最值有什么区别与联系吗？答：问题都是一样的；如果能把函数22tan tan 2y cos)tan 2tan αααααα=--转化为函数y sin()A x B ϖϕ=++，那么，函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期和最值就可以求解了。

思考2：如何将函数22tan tan 2y cos )tan 2tanαααααα=+--转化为y sin()A x B ϖϕ=++的形式呢？思考3：观察函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=+--与函数y sin()A x B ϖϕ=++形式的差别，有哪些？答：函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--中三角函数的种类多，角也是两种不同的角思考4：在问题3中所找到的差别，我们能否转化消除？如果能，怎样转化消除？答：正切化正弦，可以减少一种三角函数，tan 2α可以通过正切的二倍角公式转化为单角，这样就可以和其它三角函数的角一样了 思考5：当我们把函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=--中与y sin()A x B ϖϕ=++不同的地方全部转化消除了，是否意味着我们可以求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期，最大值和最小值？思考6：如何书写此问题的解答过程？请在下面写出来： 解答：反思总结：探究问题2：思考7：这是三角恒等式的证明问题，在学习同角三角函数关系的时候，我们已经接触过三角函数恒等式的证明问题，请问三角恒等式的证明有哪些方法？思考8：若用“从等式的左边推证得出等式的右边”的方法证明此恒等式，你认为其核心思想是什么？与思考1问题解决的核心思想有什么样的关系？思考9：结合思考1的解题思路，给出思考2的解答反思总结：四．知识巩固：1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin 2cos 2x x =（2）2y 2cos 12x=+（3）y sin 4x x =+2、求证：（1）2(sin 2cos2)1sin 4x x x -=- （2）12tan 2tan tan2θθθ-=-（3）1sin 2cos sin cos sin θθθθθ+=++ （4）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++（5）tan()tan()2tan 2424xx x ππ++-=（6）21cos 22sin 2x x ++= ）。

第三章 三角恒等变换第二节 简单的三角恒等变换（第1课时）一、学习目标1.了解半角的正弦、余弦、正切公式、积化和差与和差化积公式.2.利用三角公式进行三角恒等变换,化简三角函数式并利用三角函数的相关性质求值.3.利用三角函数的相关性质解决实际生活中的最值问题.【重点、难点】半角的正弦、余弦、正切公式的应用；利用三角函数的相关性质求值.二、学习过程 【复习引入】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：cos cos sin sin αβαβ=_________ sin cos cos sin αβαβ±=_________tan()______________αβ±= 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式： sin 2_________________α=cos 2_____________________________________________α=== tan 2________________α=【导入新课】函数y=asinx+bcosx=22b a +=（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有y=asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ）=22b a +sin （x+φ）. 因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 【典型例题】 例1、求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a．例2、已知21)4tan(=+απ. （1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值．例3、 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx-6π)-2cos 22x ω,x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.【变式拓展】 1、已知4sin 5θ=,2π＜θ＜π. （1） 求tan θ；（2） 求222sin 2sin cos 3sin cos θθθθθ++的值.2、已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x ∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.三、学习总结四、随堂检测1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12B.12或不存在 C ．2 D ．2或不存在2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－433．化简：sin α＋sin 2α1＋cos α＋cos 2α＝________．4．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．。

简单的三角恒等变换永寿县中学 徐红博【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。

既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin 2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

第1课时三角恒等变换1．了解半角公式（不要求记忆)的推导过程及其应用．2．能将函数y＝a sin x＋b cos x（ab≠0）化为y＝A sin（ωx＋φ)的形式．1．半角公式（不要求记忆)sin错误!＝______，cos错误!＝______，tan错误!＝______＝错误!＝错误!。

符号由错误!所在的象限决定．（1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sin αcos β＝错误![sin(α＋β)＋sin(α－β）]，cos αsin β＝错误![sin(α＋β)－sin（α－β)］，cos αcos β＝错误![cos(α＋β）＋cos(α－β)］，sin αsin β＝－错误!［cos(α＋β）－cos（α－β)］．(2）和差化积公式（不要求记忆和应用）sin x＋sin y＝2sin错误!cos错误!，sin x－sin y＝2cos错误!sin错误!，cos x＋cos y＝2cos错误!cos错误!,cos x－cos y＝－2sin错误!sin错误!。

【做一做1－1】若cos α＝错误!,且α∈(0，π),则cos错误!的值为( ）A。

错误!B．－错误!C．±错误!D．±错误!【做一做1－2】已知sin α＝错误!，cos α＝错误!错误!，则tan错误!等于（)A．2－错误!B．2＋错误!C。

错误!－2D．±(错误!－2)【做一做1－3】已知cos α＝错误!，α∈错误!,则sin错误!等于（）A．－错误! B.错误! C.错误!错误!D．－错误!2．常见的三角恒等变换（1)a sin x＋b cos x＝______sin(x＋φ）（ab≠0），其中tan φ＝错误!，φ所在象限由a和b的符号确定．仅仅讨论错误!＝±1，±错误!，±错误!的情况．（2）sin2x＝错误!，cos2x＝______，sin x cos x＝错误!________.【做一做2－1】3sin x－错误!cos x＝( ）A．sin错误!B．3sin错误!C。

《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2、能运用上述公式进行简单的三角恒等变换，包括化简、求值、证明等。

二、学习重难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。

（2）二倍角公式的应用。

（3）三角恒等变换的基本思路和方法。

2、难点（1）公式的灵活运用和变形使用。

（2）角的合理变换和整体代换思想的运用。

三、知识梳理1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）3、辅助角公式＼（a\sin\alpha ＋ b\cos\alpha ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(＼alpha ＋＼varphi)＼），其中\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）四、典型例题例 1 化简：＼（＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼）解：＼＼begin{align}＆＼sin 15^｛＼circ}＼cos 75^｛＼circ} ＋＼cos 15^｛＼circ}＼sin 75^｛＼circ}＼＼＝＆＼sin(15^｛＼circ} ＋ 75^｛＼circ}）＼＼＝＆＼sin 90^｛＼circ}＼＼＝＆1＼end{align}＼例 2 已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）为第二象限角，＼（＼cos\beta ＝＼frac{5}｛13}＼），＼（＼beta\）为第三象限角，求\（＼cos(＼alpha ＼beta)＼）的值。

《第五章三角函数》《5.5.2简单的三角恒等变换》教案【教材分析】它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。

作用体现在它的工具性上。

前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.【教学目标与核心素养】课程目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．数学学科素养1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.【教学重难点】重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入前面已经学习过二倍角公式，那么如何用cosα表示sin2α2，cos2α2和tan2α2？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本225-226页，思考并完成以下问题1.半角公式是什么？2.辅助角公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．半角公式2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tanθ＝ba )．四、典例分析、举一反三题型一化简求值问题例1设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a，则sinθ4等于( )A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2【答案】D【解析】∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2.又cos θ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.解题技巧：（利用半角公式化简求值）1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．跟踪训练一1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．【答案】sin α2＝255，cosα2＝－55，tanα2＝－2.【解析】∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α2＜3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255，cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tanα2＝sin α2cosα2＝－2.题型二三角恒等式的证明 例2求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin2α.【答案】证明略.【解析】证明： 法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos 2αcos α2sinα2－sin α2cosα2＝cos 2αcos2α2－sin 2α2sinα2cosα2＝cos 2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos 2αsinα2cosα2cos α＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边， ∴原式成立． 法二：用正切公式．左边＝cos 2αtanα21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边， ∴原式成立．解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法) (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练二 1.求证：2sin x cos x （sin x ＋cos x －1）（sin x －cos x ＋1）＝1＋cos xsin x.【答案】证明略. 【解析】 证明： 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin2x 2＝cosx 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos xsin x ＝右边．所以原等式成立.题型三三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例3已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －sin x cos x ＋14.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．【答案】 (1)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，函数f (x )的最大值为22.(2)函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8，k ∈Z . 【解析】 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －12sin2x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －12sin2x ＋14＝14cos 2x －34sin 2x －12sin2x ＋14＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8－12sin2x ＋14＝12(cos2x －sin2x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，函数f (x )的最大值为22.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，得k π－58π≤x ≤k π－π8，k ∈Z .函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π8，k π－π8，k ∈Z . 解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤） 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤↓↓利用辅助角公式化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋k 的形式，研究其性质跟踪训练三1．已知函数f (x )＝23cos 2x ＋sin2x －3＋1(x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，求f (x )的值域．【答案】(1)最小正周期为T ＝π.(2)函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (3)值域为[0，3]..【解析】f (x )＝sin2x ＋3(2cos 2x －1)＋1＝sin2x ＋3cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－5π6≤2x ≤2k π＋π6(k ∈Z )， ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴f (x )∈[0，3]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本228页习题5.5. 【教学反思】本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心，求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性.《5.5.2 简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】知识目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．核心素养1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.【重点与难点】重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本225-226页，填写。

《3．2 简单的三角恒等变换》导学案（一）【学习目标】1、 能够推导半角公式，并能利用各种三角公式进行简单的证明与计算；2、 能利用各种三角公式进行简单的证明与计算。

【学习重难点】重点：利用各种三角公式进行简单的证明与计算；难点：利用各种三角公式进行简单的证明与计算；体会三角变换的特点。

【学习过程】一、 知识回顾1. 三角函数的和(差)公式:()sin αβ±= ()cos αβ±=()tan αβ±=2. 三角函数的倍角公式:sin 2α= cos2α=tan2α=3. 学法指导：⑴三角式恒等变换的解题思路：三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.⑵常见的三角变形技巧有① 切弦互化； ② “1”的变用； ③ 统一角度，统一函数， 统一形式等等．二、 知识点一 半角公式的推导及理解例1.试以cos α表示2sin2α，2cos 2α，2tan 2α。

半角公式sin 1cos sin .2221cos sin .2αααααααα-====+称为半角公式，符号由所在象限决定 变式练习3,sin cos ta 3co n s 52222παααπαα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=-已知，，求、和的值三、知识点二 积化和差、和差化积的公式．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．问题1 这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？问题2 （1）式中()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，证明（1）你想从哪边着手？问题3 由（１）式得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=；设,αβθαβϕ+=-=，那么α= ，β=【基础达标】21sin 2cos 42παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭1.求证：sin 50(1).︒︒2.化简,0sin cos tan 23co 2522s πααααα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭=，求、和3.已知，的值【课堂小结】【当堂检测】 1..54sin ,20=<<απα已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；的值求)45tan()2(πα-．2.求证：（1）2(sin 2cos 2)1sin 4ααα-=- （2）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2ααααα+-=++3.已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-= （1）求证：sin cos 5cos sin αβαβ= （2）tan 5tan αβ=4.求函数()sin(4)cos(4)36f x x x ππ=++-的最小正周期和递减区间。