等腰三角形性质导学案

广宇学校初三年级数学导学案课题：§等腰三角形的性质和判定课型：新授课主备人：王刚时间：8月15日复备：8月29日审核人：潘培新学习目标：1.清楚知道等腰三角形的性质和判定定理，并能给予证明；2.会运用等腰三角形的性质和判定定理进行有关的计算与简单的证明3.学会文字命题的证明方法，基本步骤和书写格式学习重点与难点：重点：等腰三角形的性质和判定定理的证明.难点：证明过程的书写格式.一.前置学习导引：什么叫等腰三角形？__________________________________；你能画出等腰三角形的顶角平分线吗？底边的高？底边的中线呢？等腰三角形有哪些性质？这些性质都是真命题吗？能否从基本事实出发，对它们进行证明呢？带着这些问题自学课本6-7页二.课前自测1.我们曾经学习了等腰三角形，知道：_____________等腰三角形,它是_______对称图形。

2.利用全等三角形的知识可以得到：等腰三角形的两个底角__________（简称：）3.作等腰三角形底边上的高，可以将等腰三角形分成两个全等三角形，则可以知道它底边上的高就是________ ,________；作等腰三角形底边上的中线，可以将等腰三角形分成两个全等三角形则可以知道它底边上的中线就是________ ,________；作等腰三角形顶角的角平分线，也可以将等腰三角形分成两个全等三角形，则可以知道它顶角的角平分线就是________ ,________；因此等腰三角形顶角的角平分线，________ ,________互相重合（简称：）4.同样，利用全等三角形的知识可以得到：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边________（简称：等角对等边）三.课堂交流学习1.等腰三角形有哪些性质？_______________________________________________2.如何判定一个三角形是等腰三角形？3.你能写出上面两个定理的符号语言吗？九.作业：P12页习题1.2 第3、4题。

第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。

2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。

4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。

（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。

（4）角平分线上的点到的距离相等。

（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。

（6）三角形三个角的平分线相交于点，并且这点到的距离相等。

龙文教育学科导学案教师:李老师学生:陈某日期: 0928星期:日时段：13--15 课题等腰三角形的判断学习目标与考点分析1、理解掌握等腰三角形的判定。

2、运用等腰三角形的判定进行证明和计算。

学习重点与难点重点：等腰三角形的判定定理。

难点：正确熟练的运用“等角对等边”来解决相关问题。

学习方法探究法、分析、对比、归纳总结学习内容与过程例如图5，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是 .练习 1、如图4，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，则∠BAC的度数是（）.(A) 105° (B) 110°(C) 115° (D) 120°图5 图42、如图2，△ABC 中，AB=AC ，D ，E ，F 分别在BC ，AC ，AB 上，若BD=CE ，CD=BF ，则∠EDF （ ）.(A) A ∠-︒2190 (B) A ∠-︒90 (C) A ∠-︒180 (D) A ∠-︒2180例 如图7，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于O 点，作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC=a ，AC=b ，AB=c ，则△GMO 的周长+△ENO 的周长+△FHO 的周长= .练习 1、如图8，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，且EF ∥BC ，若EF交AD 于M ，EF=12，则DM= .2、一个等腰三角形的周长是12，且三长边长都是整数，则三角形的腰长是 .3、如图1，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过Ｆ作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ）.(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 64、如图，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为 .图2图7 图8图1。

等腰三角形的性质学习目标：1、通过剪纸、折纸等活动，知道等腰三角形、腰、底、顶角，底角的概念。

2、理解等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。

学习重点：等腰三角形的性质的探索和应用。

学习难点：等腰三角形的性质的验证。

学习过程一、做一做，请同学们剪出两个全等的等腰三角形（提前准备剪刀与两张A4纸张）二、新授1、请同学们说出等腰三角形的概念。

三角形中，的三角形是等腰三角形。

2、小练习：1） 已知等腰三角形的腰等于6cm ，底等于8cm ，则此三角形的周长为 。

2）已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此三角形的周长为 。

3）等腰三角形的一边等于4cm ，另一边等于8cm ，则此三角形的周长为 。

3、折纸，请同学们将等腰三角形折叠，折叠后， 它的三条边与三个角等发生了什么变化。

（图13.3-14、猜想，等腰三角形有哪些性质？结论1：等腰三角形的 相等。

结论2：等腰三角形的 ， ， 相互重合。

5、小练习（将角度标在所剪的等腰三角形中来进行计算。

）1）等腰三角形中，顶角是40°，那么它的底角度数为 . 2）等腰三角形中，底角是40°，那么它的顶角度数为 . 3）等腰三角形中，一个角是36°，那么它的顶角度数为 .课后练习题1、如图，AB=AC BD=BC ，若∠BAC =40， 则∠ABD 的度数是（ ）A 、20B 、30C 、35D 、402、已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A 的立柱AD 垂直B C , 屋椽AB=AC 。

求顶架上∠B 、∠C 、∠1、∠2的度数.3、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 为BC 上两点，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE.练习步骤区域：证明题步骤区：。

第十三章轴对称13.3.2 等腰三角形的判定一、激励唤醒，情景导入（预计3分钟）（导）1、激励唤醒口号：各尽所能，互助前行；齐心协力，共创佳绩！2、解读本章知识树，体会本课的学习地位。

3、情境导入：旧知回顾二、目标定向，明确任务：（预计2分钟）（导）1、理解等腰三角形的判定定理；2、利用定理证明解决实际问题。

重点：利用定理证明解决实际问题。

难点：利用定理证明解决实际问题。

教法：小组合作探究学习法；学法：小组合作学习课前预习案1、自主预习：预习内容：课本第77、78页。

.预习要求：知道等腰三角形的判定定理方法指导：勾画出书中的相关定理，结合例题理解定理。

三、预习检测，反馈信息：2、预习检测：（预计5分钟）（展）如图：△ABC中，∠B=∠C，求证；AB=AC（3分）操作方法：①预习检测学生独立完成，指定学号上板展示。

②汇总学生错误信息，重点进行答疑解惑。

评价方式：证明过程3分，互助组交换判卷，组长统计，进行第一轮积分。

3、归纳：（预计用时5分钟）（点）等腰三角形判定定理：（简单叙述为：）∵∴思考：要证明△ABC是等腰三角形，你都有哪些方法？课上探究案四、自主合作，展示点拨：（预计10分钟）（探）1、探究内容：如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。

⑴ 试说明△OBC 是等腰三角形；⑵ 连接OA ，试判断直线OA 与线段BC 的关系？并说明理由。

操作方法：①学生独立思考3分钟，以小组为单位交流并展示。

②其他小组质疑、评价。

③板演解题步骤，规范数学语言。

评价方式：条理清楚，结果正确5分。

当堂训练案五、达标训练，巩固提高：（预计15分钟）（测）1、等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ）A ．17cmB ．22cmC ．17cm 或22cmD ．18cm2、等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°3、如图，已知∠1=∠2=∠3，∠B=∠C 则图中相等的线段有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对4、如图所示，∠CAB=∠DBA ，AC=BD,点O 是AD,BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系，并给出证明．CO E A B操作方法：选择题每题2分（抢答），证明题指定学号上板展示。

＄13.3.1等腰三角形〔二〕导学案＄13.3.1等腰三角形〔二〕导学案＄13.3.1等腰三角形〔二〕导学案＄13.3.1等腰三角形〔二〕导学案＄13.3.1等腰三角形〔二〕导学案五、课堂小测〔约5分钟〕：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．第4课时 “斜边、直角边〞DCAB1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个方法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL 〞判定线段相等如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．【类型二】 利用“HL 〞判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL 〞解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：此题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边〞1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边〞或“HL〞．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL〞，除此之外，还可以选用“SAS〞“ASA〞“AAS〞以及“SSS〞．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识．。

&skuId=71581181941&areaId=411300&cat_id=52040006&rn=30 39940159ea95cf571551ada99046e3&user_id=741444129&is_b=1等腰三角形的性质与判定导学案学习目标：1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

3、在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。

重点、难点：1、等腰三角形的性质及其证明。

2、应用性质解题。

［学习过程］一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。

1、用＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。

经过＿＿＿＿称为定理。

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿。

4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿。

此外，还有＿＿＿＿和＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。

5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、情景创设：以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列几个问题：1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

第六课时 13.3.1等腰三角形(1)【学习目标】1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质； 2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

【学习重点】等腰三角形性质的探索及应用【学习难点】等腰三角形性质的应用 一、学前准备1、下列图形不一定是轴对称图形的是（ ） A 、圆 B 、长方形 C 、线段D 、三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？答：3、有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫 ，另一边叫 ； 两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫 4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，标出各部分名称 5、用一张长方形的纸剪一个等腰三角形。

二、探索思考 （一）1、操作、实践： 将你剪得等腰三角形，照图折叠，找出其中重合的线段和角，填入右表：2、根据上表你能得出哪些结论？并将你的结论与同学交流。

3、请用学过的知识证明以上结论。

（二）归纳：等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的 。

（简写成“ ”） 符号语言：如图1∵ ∴（2）等腰三角形的 、 、 相互重合（简写成“ ”）符号语言①：如图2∵ ， ∴ 符号语言②：如图2∵ ， ∴ 符号语言③：如图2∵ ， ∴ 练习1、填空：（1）等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为 . （2）等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为三、典例分析例2：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各角的度数．例2：如图3，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，且AD=AE.，求证：BD=CE四、当堂反馈1、（1） 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为4cm,则它的周长是 ； （2） 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为8cm,则它的周长是 。

2、在△ABC 中，AB =AC ，（1）如果∠A ＝70°，则∠C ＝_______，∠B ＝_______ （2）如果∠A ＝90°，则∠B ＝_______，∠C ＝________ （3）如果有一个角等于120°，则其余两个角分别是 度 （4）如果有一个角等于55°，则其余两个角分别是 度3、如图（3）所示，△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC ，∠BAC =90°），AD 是底边BC 上的高， 标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？4、如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =26°，求∠B 和∠C 的度数．五、学习反思（请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。

13.3.1等腰三角形（一）＄等腰三角形（一）导学案乙：丙：丁：三、合作学习探索新知（约15分钟）1、小组合作分析问题2、小组合作答疑解惑3、师生合作解决问题（1）下列图形不一定是轴对称图形的是（）A、圆B、长方形C、线段D、三角形（2）怎样的三角形是轴对称图形？答：（3）有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫（4）如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称＄等腰三角形（一）导学案学习活动设计意图（5）探究：教材P75把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表重合的线段重合的角四、归纳总结巩固新知（约15分钟）1、知识点的归纳总结：性质1: 等腰三角形的两个相等（简写成“”）性质2 :等腰三角形、、、互相重合。

2、运用新知解决问题：（重点例习题的强化训练）（1）证明性质1、性质2：＄等腰三角形（一）导学案学习活动设计意图＄等腰三角形（一）导学案2、本节课我对自己最不满意的一件事是：作业独立完成（）求助后独立完成（）未及时完成（）未完成（）五、课堂小测（约5分钟）1、等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是2、等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是3、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证BD＝CE第一章检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝67°，则∠1的度数为(B )A ．23°B ．46°C ．67°D ．78°,第1题图) ,第2题图) ,第3题图)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.则下列结论错误的是(D )A ．AD ⊥BCB ．∠BAD ＝∠CADC ．DE ＝DFD ．BE ＝DE3．(福建中考)如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于(A )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°4．(达州二模)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，若BC ＝3，则AD 的长为(C )A . 3B ．2C ．2 3D ．4,第4题图) ,第5题图) ,第10题图)5．(雅安中考)如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是(A )A .332B ．3C ．2 3D ．4 6．已知三角形三内角之间有∠A ＝12∠B ＝13∠C ，它的最长边为10，则此三角形的面积为(D )A ．20B ．10 3C ．5 3D .25327．已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(B )A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条8．已知等边△ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G.当G 与D 重合时，AD 的长是(C )A ．3B ．4C ．8D ．99．下列说法：①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③有一个角和底边分别相等的两个等腰三角形全等；④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．其中正确的有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE.下列四个结论：①BD ＝CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE ＋∠DBC ＝45°；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)．其中结论正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题3分，共18分)11．(南通中考)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为22cm . 12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD ＝4，则点D 到AB 的距离为4.,第12题图) ,第13题图) ,第14题图)13．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，∠1＝∠2，BC ＝EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是AC ＝DF(答案不唯一)．(只需写出一个)14．如图，△ABC 的周长为22 cm ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D ，若△BCE 的周长为14 cm ，则AB ＝8 cm .15．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 5.,第15题图) ,第16题图)16．(葫芦岛中考)如图，∠MON ＝30°，点B 1在边OM 上，且OB 1＝2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3，…；按此规律进行下去，则△A n A n ＋1C n 的面积为(32)2n －2×33.(用含正整数n 的代数式表示)点拨：由题意△A 1A 2C 1是等边三角形，边长为233，△A 2A 3C 2是等边三角形，边长为32×233，△A 3A 4C 3是等边三角形，边长为32×32×233＝(32)2×233，△A 4A 5C 4是等边三角形，边长为32×32×32×233＝(32)3×233，…，△A n A n ＋1C n 的边长为(32)n －1×233，∴△A n A n ＋1C n 的面积为34×[(32)n－1×233]2＝(32)2n－2×33三、解答题(共72分)17．(6分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP ＝PC－PE，∴BD＝CE18．(7分)(成都期末)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB 和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.(1)求∠C的度数；(3分)(2)若CE＝1，求AB的长．(4分)解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°(2)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，CE＝1，∴AC＝3，∴AB＝2 319．(7分)(达州期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝ED，又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B20．(7分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(3分)(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.(4分)解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD(2)连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC ，∵AB ＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC21．(7分)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC ，∠ABC 的平分线BF 交DE 于△ABC 内一点P ，连接PC.(1)若∠ACP ＝24°，求∠ABP 的度数；(4分)(2)若∠ACP ＝m °，∠ABP ＝n °，请直接写出m ，n 满足的关系式：________________.(3分)解：(1)∵点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC ，∴PB ＝PC ，∴∠PBC ＝∠PCB.∵BP 平分∠ABC ，∴∠PBC ＝∠ABP ，∴∠PBC ＝∠PCB ＝∠ABP ，∵∠A ＝60°，∠ACP ＝24°，∴∠PBC ＋∠PCB ＋∠ABP ＝180°－60°－24°，∴3∠ABP ＝120°－24°，∴∠ABP ＝32° (2)m ＋3n ＝12022．(8分)如图，为了测出某塔CD 的高度，在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶D 的仰角为30°，在A ，C 之间选择一点B(A ，B ，C 三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D 的仰角为75°，且AB 间的距离为40 m .(1)求点B 到AD 的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解：(1)过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，∴∠AEB ＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝12AB ＝12×40＝20(m )(2)AE ＝AB 2－BE 2＝203，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE ＝20，∴AD＝AE ＋DE ＝203＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD ＝12AD ＝12(203＋20)＝(103＋10) m23．(8分)在△ABC 中，∠B ＝22.5°，边AB 的垂直平分线DP 交AB 于点P ，交BC 于点D ，且AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，DF 与AE 交于点G ，求证：EG ＝EC.解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS )，∴EG ＝EC24．(10分)如图，已知△ABC 是边长为6 cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1 cm /s ，点Q 运动的速度是2 cm /s ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t s ，解答下列问题：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何？请说明理由；(2)在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 是否能成为等边三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．解：(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△BPQ 为直角三角形．理由：∵AB ＝AC ＝BC ＝6 cm ，∴当点Q 到达点C 时，AP ＝3 cm ，∴点P 为AB 的中点．∴QP ⊥BA(等腰三角形三线合一的性质) (2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△BPQ 能成为等边三角形，则有BP ＝BQ ，∴6－t ＝2t ，解得t ＝2，又∠B ＝60°，∴当t ＝2时，△BPQ 是等边三角形25. (12分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC 都是等边三角形．(1)求证：DE＝BO；(3分)(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．①求OC的长及点E的坐标；(3分)②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3分)③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE 于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．(3分)(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°，∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，即∠ECD＝∠BCO，∴△DEC≌△OBC(SAS)，∴DE＝BO(2)①∵△ODC是等边三角形，∴∠OCB＝60°.∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°.设OC ＝x，则BC＝2x，∴x2＋62＝(2x)2，解得x＝23，∴OC＝23，BC＝4 3.∵△EBC是等边三角形，∴BE＝BC＝4 3.又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，∴E(43，6)②若点P在C点左侧，则CP＝CE＝43，OP＝43－23＝23，点P的坐标为(－23，0)；若点P在C点右侧，CP＝CE＝43，则OP＝23＋43＝63，点P的坐标为(63，0)，若CP＝EP，∵∠DCO＝60°，∠BCE＝60°，∴∠ECP＝60°，∴△ECP为等边三角形，∴CP＝EP＝CE＝43，则OP＝23＋43＝63，点P的坐标为(63，0)，综上，点P坐标为(－23，0)或(63，0)③不会变化，MH＋MG＝612.3 角的平分线的性质教学目标知识与技能1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神教学重点角平分线画法、性质和判定．教学难点角的平分线的性质的探究教学准备平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？复习旧知识，回忆角的平分线的定义让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

CAB第一章 图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定班级 姓名 学号 家长签字 完成时间45分钟 【学习目标】1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理.2.了解分析的思考方法.3.经历思考、猜想，并对操作活动的合理性进行证明过程，不断感受证明的必要性、感受合情推 理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径.【重点、难点】了解分析的思考方法；合理添加辅助线． 【新知预习】1.以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得等腰三角形的一些性质吗？不妨我们来回忆一下. 等腰三角形的性质：①等腰三角形的 角相等.（简称“ ”） ②等腰三角形的 、 、 互相重合.（简称“ ”） ③等腰三角形是 对称图形，它的对称轴是： .2.你能用刻度尺画一个等腰三角形，并用作垂线的方法画出它的顶角的平分线吗？若能，请画出并加以证明.【导学过程】活动一：证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC. 求证：∠B=∠C活动二：证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.思考：如何证明文字命题的正确性?活动三：如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题： .（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.例1.已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且AD∥BC . 求证：AB ＝AC2.拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD∥BC，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？【反馈练习】1.完成第7页《练习》第1、2、3题.2.等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．3.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．4.已知：如图，锐角△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC. 求证：△ABC 是等腰三角形．☆5.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．【作业布置】1.1习题 第2、3、4、题.AB C D E2011-2012学年度第二学期八年级数学校本作业（41）1.1 等腰三角形的性质和判定 编写：宋爱霞 审阅：张元国班级 姓名 学号 家长签字 完成时间40分钟 1.若等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.若等腰三角形有两边长为2和5，那么周长 为 .3.若等腰三角形有一个外角等于50°，那么另两个角为 .4.若等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为 . ★5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，那么这个等腰三角形的顶角为 . ★6.若等腰三角形的周长等于12cm ，那么腰长x 的取值范围是 .7.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC＝_ ____°． 8.如图在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 边上一点，且BD ＝BC ＝AD ．•则∠A 等于 （ ）A ．30° B．36° C．45° D．72°9.已知：如图，AB=AC ．（1）若CE=BD ，求证：GE=GD ；（2）若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明）．10.如图，在△ABC 中，点O 在AC 上，过点O 作MN ∥BC ，CE与MN 分别交于E 、F ，求证：OE=OF.11.已知△ABC 中，AB ＝AC ，过△ABC 的一个顶点的一条直线，把△ABC 分成两个小三角形，使得这两个小三角形也是等腰三角形.试画出所有符合条件的图形，并写出被分成的两个小等腰三角形中相等的线段及△ABC 各内角的度数．第9题图 第7题图 第8题图。

《等腰三角形的判定》导学案第一课时学习目标知识与技能通过动手操作探索并掌握判定一个三角形是等腰三角形的方法。

过程与方法理解并掌握“等角对等边”，体会与“等边对等角”的互逆关系，能够利用三角形的判定方法去解决问题。

情感、态度与价值观提高学生的动手能力，学会数学说理，发展初步的演绎推理能力，进一步体会等腰三角形的对称美。

预习学案1、等腰三角形的性质：（1）从边看：等腰三角形的相等．（2）从角看：等腰三角形的相等．简写成“”。

（3）从重要线段看：等腰三角形底边上的、与顶角的互相重合．简称“”。

2、如果一个三角形有相等，那么它就是等腰三角形。

3、如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“”。

一、情景激疑我们知道，由等腰三角形的性质可知等腰三角形的两个底角相等；反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？探究1：为了回答这个问题，请同学们拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：1、在半透明纸上画一条线段BC。

2、以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A3、用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。

问题1：AB与AC是否重合？问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？二、知识点归纳等腰三角形的判定方法：（1）如果一个三角形有相等，那么它就是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。

探究2：对于等腰三角形的两种判定方法，请同学们画图并说出已知、求证。

目的是让同学们进一步熟悉将文字转化为数学语言的方法。

三、典型例题例1: 在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°，判断△ABC是什么三角形，为什么？解：∵∠A+∠Ｂ+∠C=180°∠A=40°，∠B=70∴∠C=180°－∠A－∠Ｂ=180°－40°－70°=70°∴∠C=∠B∴△ABC为等腰三角形四、变式练习1、如图，AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ，试说明：OC=OD2、如图示，∠CAE 是ΔABC 的外角，∠EAD ＝∠DAC ，AD ∥BC 。

13.3.1 等腰三角形的性质授课人：中九校 李波 学习目标：1、知识目标：了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。

（重点）2、技能目标：运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题，进一步体会方程思想和转化思想，分类讨论思想。

（难点）3、情感目标：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

学习过程：（一）、自主学习：1、等腰三角形的定义： 腰： 底边： 顶角： 底角： （二）、合作探究：利用三角形纸片，探究完成下列填空：1、△ABC 是轴对称图形吗？若果是，对称轴是什么？△ABC2、相等的边：3、相等的角：4、归纳总结等腰三角形的性质：几何语言：性质1：在△ABC 中 ∵AB=AC∴ = 。

性质2：在△ABC 中1 、 ∵AB=AC ，∠BAD=∠CAD∴ BD = ， ⊥ 。

2 、 ∵AB=AC ，BD=CD∴∠BAD= = ， ⊥ . 3 、 ∵ AB=AC ，AD ⊥BC∴∠BAD= = ， BD= .（三）典例讲解：例1 已知：在△ABC 中AB=AC ，点DE 为AC 上一点，连接BD ，AD=BD=BC 。

（1）求△ABC 各个角的度数。

（2）若△ABC 的周长为26cm ，△BCD 的周长为16cm ，求AB,BC 的长。

例2 如图所示，在等腰△ABC 中AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上，连接BE ，CE 。

求证：BE=CE（四）、课堂小结：今天我们学习了那些知识点和那些数学思想？（五）、拓展提升：如图，线段AB 的一个端点A 在直线l 上，以AB 为一边画等腰△ABC ，并且使点C 在直线l 上，这样的等腰三角形能画多少个？并作出这样的点C 。

（六）、当堂检测：1、完成下列填空题：（1）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是_________（2）已知等腰三角形的两边长分别是2和4，则它的周长是_________（3）已知顶角为70°，其余两个角分别为（4）已知底角为70°，其余两个角分别为（5）已知一个角为80°,其余两个角分别为2、已知一个等腰三角形的两角分别为(2x－2)°，(3x－5)°，求这个等腰三角形各角的度数．3、已知:点D、E在△ABC中, AB=AC, AD=AE. 求证：BD=CE。