十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 Word版含答案解析版

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形答案部分 2019年1.解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==． 因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，1sin 2sin 2C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2.解析：由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-， 因为6b =，2a c =，π3B =，所以222π36(2)4cos 3c c c =+-，所以212c =，21sin sin 2ABC S ac B c B ===△3.解析（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+．由于ABC △为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒，由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．4.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r，所以AB AC = 5.解析 （1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 6.解析：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5C =， 在BCD △中，sin sin BD BC C BDC=∠，可得122BD =；135CBD C ∠=-o ，224372sin sin(135)(cos sin )225510CBD C C C ⎛⎫∠=-=+=⨯+=⎪⎝⎭o ， 所以()72cos cos 90sin ABD CBD CBD ∠=-∠=∠=o.7.解析：（I ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 因为2b c =+，所以()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =， 所以7b =.（II ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==.在ABC △中，B ∠是钝角，所以C ∠为锐角.所以11cos 14C ==. 所以()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=8.解析（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭.2010-2018年1．A 【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．2．C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 3．A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+，即2sin cos sin cos B C A C =，所以2sin sin B A =，即2b a =，选A ． 4．A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.5．C 【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2c c c b c a A bc +-+-===C ． 6．B 【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o． 当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．7．A 【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+得1sin 2sin 2sin 22A B C ++=， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8A B C =， 又111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===，因此322222211sin sin sin 864S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222311264a b c ≤≤，即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ．8．C 【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==9．C 【解析】∵tan15tan(6045)2=-=o o o∴60tan 6060tan151)BC =-=o o．10．D 【解析】225cos 10A -=，1cos 5A =，由余弦定理解得5b =． 11．A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=．12．C 【解析】由余弦定理可得AC =sin 10A =． 13．B 【解析】∵cos cos sin bC c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．14．B 【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=15．D 【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A==． 16．D 【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin 3A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin 3c BC C A ==，解得sin C =．17．A 【解析】因为120C ∠=o，c =，所以2222cos c a b ab C =+-，222122()2a ab ab =+--所以22,0,aba b ab a b a b a b-=-=>>+ 因为0,0a b >>，所以0aba b a b-=>+，所以a b >．故选A ．18．9【解析】因为120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，所以60ABD CBD ∠=∠=o，由三角形的面积公式可得111sin120sin 60sin 60222ac a c =+o o o ， 化简得ac a c =+，又0a >，0c >，所以111a c+=，则1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=+++=≥， 当且仅当2c a =时取等号，故4a c +的最小值为9． 19．7；3【解析】因为a =2b =，60A =o，所以由正弦定理得2sin sin 7b AB a⨯===．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2230c c --=，所以3c =．202222224241cos 22424AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=所以sin4ABC∠===，1sin2BDCS BD BC DBC∆=⨯⨯∠11sin()sin22BD BC ABC BD BC ABCπ=⨯⨯-∠=⨯⨯∠1222=⨯⨯=．C因为BD BC=，所以D BCD∠=∠，所以2ABC D BCD D∠=∠+∠=∠，cos cos24ABCBDC∠∠====．21．2【解析】单位圆内接正六边形是由6个边长为1的正三角形组成，所以61611sin602S=⨯⨯⨯⨯=o．22．2113【解析】∵4cos5A=，5cos13C=，所以3sin5A=，12sin13C=，所以()63sin sin sin cos cos sin65B AC A C A C=+=+=，由正弦定理得：sin sinb aB A=解得2113b=．23．1 【解析】由1sin2B=得6Bπ=或56π，因为6Cπ=，所以56Bπ≠，所以6Bπ=，于是23Aπ=．有正弦定理，得21sin32bπ=，所以1b=．24．7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=． 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =． 25．【解析】如图作PBC ∆，使75∠=∠=oB C ，2BC =，作出直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点（不与端点重合），且使75∠=oBAD ，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形，过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在PBC ∆中，可求得BP =QBC ∆中，可求得BQ =，所以AB 的取值范围为．26．1【解析】∵2223cos 24b c a A bc +-==， 而sin 22sin cos 243cos 21sin sin 64A A A a A C C c ⨯==⨯=⨯⨯=． 27．8 【解析】 因为0A π<<，所以sin A ==，又1sin 28ABC S bc A ∆===，24bc ∴=， 解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩，得6b =，4c =，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．28．ο30=∠BAC ，ο105=∠ABC ，在ABC ∆中，由ο180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以ο45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得οο30sin 45sin 600BC=， 即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为ο30=∠CBD ，2300=BC ， 所以230030tan CDBC CD ==ο，所以6100=CD m ．29．150【解析】在三角形ABC 中，AC =，在三角形MAC 中，sin 60sin 45MA AC=o o，解得MA =在三角形MNA sin 60==o ，故150MN =． 30．2【解析】由b B c C b 2cos cos =+得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，sin 2sin A B =，∴2a b =，故2ab=． 31．π32【解析】3sin 5sin A B =， π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．32【解析】∵sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==33．①②③【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒< ②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒< ③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<．34．4【解析】根据余弦定理可得2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得b =4． 35． 在ABC ∆中，根据sin sin sin AB AC BCC B A==，得sin sin 2sin sin ACAB C C C B=⋅==，同理2sin BC A =， 因此22sin 4sin AB BC C A +=+22sin 4sin()3C C π=+-4sin )C C C ϕ=+=+．36【解析】根据sin sin AB ACC B=得5sin sin 7AB C B AC ===11cos 14C ==， 所以sin sin[()]sin cos cos sin A B C B C B C π=-+=+111142-=． 37．4【解析】（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性．当A =B 或a =b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4． （方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+， 2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=tan tan sin cos sin sin cos sin sin()tan tan cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B A B C A B C A B +++=⋅=⋅21sin cos sin sin C C A B =⋅．由正弦定理，得：上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅．38．6π【解析】由sin cos 2B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 21B =， 因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,2,a b ==由正弦定理得22sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 39．【解析】(1)在ABC ∆中，∵1cos 7B =-，∴(,)2B ππ∈，∴243sin 1cos B B =-=． 由正弦定理得sin sin a b A B=⇒7sin 43A =，∴3sin A =． ∵(,)2B ππ∈，∴(0,)2A π∈，∴π3A ∠=．(2)在ABC ∆中，∵sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=31143()2727⨯-+⨯=3314． 如图所示，在ABC ∆中，∵sin hC BC=，∴sin h BC C =⋅=33337⨯=， ∴AC 边上的高为33．40．【解析】(1)在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==．(2)由题设及(1)知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=． 所以5BC =．41．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 42．【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =． 故2sin sin 3B C =．（2）由题设及（1）得121cos()cos cos sin sin 632B C B C B C +=-=-=-所以2π3B C +=，故π3A =． 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =．由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=．故ABC △的周长为3+43．【解析】（1）由已知得tan A =23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅． 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=，所以ABD ∆．44．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =． （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABCS ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．45．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin a B A b ==.所以，bsin A的值为13（Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 46．【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===． （Ⅱ）因为37c a a =<，所以60C A ∠<∠=o，由7a =，所以3737c =⨯=．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）．所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=47．【解析】(Ⅰ)由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．（Ⅱ）由abc ab b a ab c b a C 22222222--+=-+=)(cos22233311112222()2c c a b ab =--=-=+…．所以C cos 的最小值为12．48．【解析】（I ）证明：由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可知 原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==∵A 和B 为三角形内角 , ∴sin sin 0A B ≠则，两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B += 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-= 原式得证。

专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n ＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程2﹣5+6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n }中，a 1，公比q ．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n（Ⅱ）设b n ＝log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．32．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．10073．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．3214．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290B ．920C ．511D ．10115．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1B．2C．2-D．7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 11．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列． （1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 22．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .。

专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π错误!未找到引用源。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?。

专题7 立体几何（2）立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）．1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解析】（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝12A1D，由题设知A1B1//DC，∴B1C//A1D，∴ME//ND，∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E，故CH，∴点C 到平面C 1DE ． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ﹣ABP 的体积．【解析】（1）∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM ＝90°，∴AB ⊥AC ， 又AB ⊥DA ．且AD ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ADC ，∵AB ⊂面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）∵AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，∴AD ＝AM ＝∴BP ＝DQ ＝23DA ＝ 由（1）得DC ⊥AB ，又DC ⊥CA ，∴DC ⊥面ABC ，∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V ＝11DC 33S ∆ABP ⨯ ＝C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯＝12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝1． 3．（2017年）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAP ＝∠CDP ＝90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ， 又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， ∵PA ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）设PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取AD 中点O ，连结PO ， ∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，平面PAB ⊥平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，且AD ，PO ＝2a ， ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥AD ，∴V P ﹣ABCD ＝CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形＝1D 3⨯AB⨯A ⨯PO ＝132a a ⨯⨯＝313a ＝83， 解得a ＝2，∴PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PO ，∴PB ＝PC∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B＝11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯＝6+4．（2016年）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解析】（1）∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA＝PB，∴G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG ． 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PG ＝PE ＝ 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2． 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×DE ×S △PEF ＝13×2×12×2×2＝43．5．（2015年）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵BE ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥BE ， 则AC ⊥平面BED ， ∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ，GB ＝GD ＝2x，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG ＝12AC ＝AG ＝2x ，则BE x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V ＝11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x ＝2，即AB ＝2， ∵∠ABC ＝120°，∴AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC ＝4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝12，即AC ＝在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE ＝EC ＝ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2＝AC 2＝12， 即2AE 2＝12， ∴AE 2＝6，则AE ，∴从而得AE ＝EC ＝ED ，∴△EAC 的面积S ＝11C 22⨯EA⨯E =3， 在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE ，AF ＝1D 2A ＝1212⨯=，则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S ＝122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6．（2014年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1＝O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC＝1，∴OD∵AC ⊥AB 1，∴OA ＝12B 1C ＝12，由OH •AD ＝OD •OA ，可得AD ，∴OH ＝14，∵O 为B 1C 的中点，∴B 1到平面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7．7．（2013年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60° （1）证明：AB ⊥A 1C ； （2）若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【解析】（1）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，160∠BAA =，故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以1C O =OA =．又1C A =，则22211C C A =O +OA ，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==．8．（2012年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解析】（1）由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴DC 1⊥BC ．由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ，又DC ∩BC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得V 1＝1121132+⨯⨯⨯＝12，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝1， ∴（V ﹣V 1）：V 1＝1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．9．（2011年）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【解析】（1）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD D，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（1）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE即棱锥D﹣PBC10．（2010年）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．。

(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总（含答案）专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠ 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β2.（全国Ⅱ文11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B 5C 3D 253.（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．12．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-3．(2018北京)在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH4．（2017新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ．29 D ．795．（2017山东）已知3cos 4x =，则cos2x =A ．14-B ．14C ．18-D ．186．（2016年全国III 卷）若1tan 3θ=-，则cos2θ=A ．45-B ．15-C ．15D ．457．（2015重庆）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β= A ．17 B ．16 C ．57 D ．568．（2015福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-9．（2014新课标1）若0tan >α，则A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α 10．（2014新课标1）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=11．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为A ．19- B ．13 C ．1 D ．7212．(2013新课标2)已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=A ．16B ．13C ．12D ．2313．（2013浙江）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-14．（2012山东）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin A ．53 B ．54 C ．47 D ．4315．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A ．−34B ．34C ．−43D ．4316．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．4517．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则 cos()2βα+=A．3 B．3- C．9 D．9- 18．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12-B ．12C ．2D ．-2二、填空题19．（2017新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα- =__________．20．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α=13，则sin β=_________． 21．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．22．（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 23．（2015四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________． 24．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 25．（2014新课标2）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_______． 26．（2013新课标2）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_____. 27．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan2α的值是____________．28．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．三、解答题29．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．30．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 31．（2015广东）已知tan 2α=．（Ⅰ）求tan()4πα+的值；（Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．32．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值． 33．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ． （1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．34．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．35．（2013北京）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值．（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值． 36．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．2019年1.解析 由题意和题图可知，当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析 由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cosααα=.因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin 5α=.故选B. 3.解析 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan 4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10． 2010-2018年1．B 【解析】由题意知cos 0α>，因为22cos 22cos 13αα=-=，所以cos α=，sin α=|tan |α=，由题意知|||tan |12a b α-=-，所以||a b -=．故选B ．2．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 3．C 【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，利用三角函数可得yx yx <<，所以0x <，0y >．所以P 所在的圆弧是EF ，故选C ．4．A 【解析】由4sin cos 3αα-=，两边平方得161sin 29α-=，所以7sin 29α=-，选A ．5．D 【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ． 6．D 【解析】由1tan 3θ=-，得sin θ=，cos θ=或sin θ=，cos 10θ=-，所以224cos2cos sin 5θθθ=-=，故选D ．7．A 【解析】71312113121tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =⨯+-=++-+=-+=ab a a b a a b a b ．8．D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．9．C 【解析】tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ．10．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<， 所以2παβα-=-，所以22παβ-=．11．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b =，∴上式=72．12．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 13．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=，可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．14．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题, 1.(2019·全国1·文T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14则b=()cA.6B.5C.4D.3【答案】A。

专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．12【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a11＝4×（4a1），解得a1．则a109×1．故选：B．2．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n＝1，∴S n33﹣23﹣2a n，故选：D．3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为 15×2+（15×8）＝1830，故选：D．4．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3，∴q≠1，，整理可得，，解可得，q，则S4．故答案为：【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．5．【解答】解：∵a n+1＝2a n，∴，∵a1＝2，∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：66．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2＝0∴∴q3+3q2﹣4＝0∴（q﹣1）（q+2）2＝0∵q≠1∴q＝﹣2故答案为：﹣27．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S99a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，又由S9＝﹣a5，即S99a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1，a2，由a1+a2＝2，2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n [2+（﹣2）n+1]，则S n+1[2+（﹣2）n+2]，S n+2[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2[2+（﹣2）n+2][2+（﹣2）n+3]，[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n（1﹣3﹣n）．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d，故a n＝2+（n﹣2）n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n，①S n，②①﹣②得S n，解得S n2．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•（﹣1）＝2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1，q∴a n，S n又∵S n∴S n（II）∵a n∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）∴数列{b n}的通项公式为：b n14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．【解答】解：（1）由a n＝a1+（n﹣1）d及a3＝5，a10＝﹣9得a1+9d＝﹣9，a1+2d＝5解得d＝﹣2，a1＝9，数列{a n}的通项公式为a n＝11﹣2n（2）由（1）知S n ＝na 1d ＝10n ﹣n 2．因为S n ＝﹣（n ﹣5）2+25．所以n ＝5时，S n 取得最大值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则，可得9a 能取到的最小整数是0．故选：B ． 2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：， 故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C【解析】 根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，…．故.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由得，当2n ≥时，，整理得，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以，从而，所以，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C由数列各项除以2的余数， 可得{}n a 为，所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为，所以数列{}n a 的前2019项的和为，故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若，，则的值是（ ）A ．1 B．2C．2-D．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列6a ∴={}n b 是等差数列673b π∴=本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为nT，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【解析】 解：数列{}n a 满足，①当2n ≥时，，②①﹣②得：12n a n n=， 故：22n a n =，数列{}n b 满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：244n n λ+>+，因为在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式成立，若数列{}n a 满足，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】由，令0x =，1y =-，则0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则，即又()1f x -> ∴当0x >时，令21x x >，则21>0-x x，即()f x ∴在R 上单调递减又令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，，，，()f x 在R 上单调递减，，，本题正确选项：A9．在数列{}n a中，，则2019a的值为______．【答案】1【解析】因为所以，...,,各式相加，可得，，所以，20191a=，故答案为1.10．已知正项等比数列{}n a满足，若存在两项m a，n a，使得，则91m n+的最小值为__________．【答案】2【解析】正项等比数列{}n a满足，，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，2q =，存在两项m a ，n a 使得1a ，，整理，得8m n +=，∴，则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对，都有成立，72a π=，函数()f x =，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对，都有成立，可令1m =即有，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数，由，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴，∴可得数列{}n y 的前13项和为．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-， 所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列， 所以，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则，，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即，整理得，解得0d =或1d =，当0d =时，；当1d =时，，于是，故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得32q =，化简得631S S +＝＝，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以＝3故答案为：315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，，又，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得．故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足，则数列的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由，得，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是，所以12n n a n +=⋅，因为，所以的前n 项和2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为，证明：{}n a 存在等比子数列.【答案】（1）①12n n a -=；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，，当2n ≥时，，所以.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以不成立.因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列. 若从数列{}n a 中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比.设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足，即需满足，则需满足.取k q =，则2l k pq =+.此时，.故此时成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比，所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的通项公式；（3）令，数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =；（2）；（3）.【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （2）∵①∴②②－①得：，，故。