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抛物线焦点弦抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线l （准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
设抛物线y=aX 2(a>0).焦点（0，a 41），准线方程：Y=—a41直线AB ：Y=kX+a41,交抛物线于点A （x 1,y1），B （x 2,y 2）性质1：（弦长公式）21y y AB +=+a21对于直线与曲线相交求交点间的距离可以利用弦长公式：AB=21k +21x x -由 ⎩⎨⎧+=+=bkx y b kx y 2211 ⇒ k x x y y =--2121⇒ )(2121x x k y y -=-∴ 221221)()(y y x x AB-+-= =2212221)()(x x k x x -+-2121x x k -+=性质2：若A B ∥X 轴，则AB=a 1∵AB ∥X 轴 ∴A （x 1,a 41），B （x 2,a41）由a 41=ax 2⇒X=±a21∴AB=x 2-x 1=a 21+a 21=a1性质3：21x x ∙=-241a ,21y y ∙=2161a由⎪⎩⎪⎨⎧+==akx y ax y 412⇒ ax 2-kx-a 41=0 ⇒21x x ∙=-241a而21y y ∙=2221ax ax ∙=()2212x x a ∙=42161aa ∙=2161a推广:若直线L 过定点（0，S ）与抛物线2ax y=(a>0)交于A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）满足：21x x ∙=-as 21y y ∙=2s设直线L 方程为s kx y +=由⎩⎨⎧=+=2ax y s kx y ⇒02=--s kx ax ∴asx x -=∙21又 222221221)()(s as a x x a y y =-==∙性质4：AO 交准线于点C ，则直线CB 平行于抛物线对称轴。
抛物线焦点弦长公式二级结论
抛物线焦点弦长公式是：<a>AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}</a>
一、抛物线焦点弦长定义
1、抛物线焦点弦（AB）是抛物线的一部分，它由焦点之间的两个点构成，它们分别为上抛物线上的焦点F1和下抛物线上的焦点F2；
2、抛物线焦点弦的长度表示两个焦点连线的长度，即两点F1，F2之间的直线距离；
二、抛物线焦点弦长公式
抛物线焦点弦长公式是：AB=2*a*sqrt{c^2-(b^2)/4a^2}，其中a为抛物线顶点到水平轴的距离，b为抛物线顶点到垂线的距离，c为抛物线焦点到垂线的距离。
三、抛物线焦点弦长使用
1、由抛物线焦点弦长公式可知，我们可以利用这个公式求出若干特定抛物线的焦点弦的长度；
2、抛物线焦点弦的长度也可用于解决日常生活中的物理问题，比如可以确定抛物线上任意两点之间的距离等；
四、抛物线焦点弦长结论
抛物线焦点弦长公式可以使用来求解抛物线的焦点弦的长度，而且该长度也可以用于解决实际中的一些物理问题。
经过抛物线焦点的弦长公式1. 抛物线标准方程及焦点坐标回顾。
- 对于抛物线y^2=2px(p>0)，其焦点坐标为((p)/(2),0)。
- 对于抛物线y^2=-2px(p>0)，其焦点坐标为(-(p)/(2),0)。
- 对于抛物线x^2=2py(p>0)，其焦点坐标为(0,(p)/(2))。
- 对于抛物线x^2=-2py(p>0)，其焦点坐标为(0,-(p)/(2))。
2. 经过抛物线y^2=2px(p>0)焦点的弦长公式推导。
- 设过焦点((p)/(2),0)的直线方程为y = k(x-(p)/(2))（当直线斜率存在时），设直线与抛物线的交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程代入抛物线方程y^2=2px得：[k(x - (p)/(2))]^2=2px。
- 展开得k^2(x^2-px+frac{p^2}{4}) = 2px，即k^2x^2-(k^2p +2p)x+frac{k^2p^2}{4}=0。
- 由韦达定理得x_1 + x_2=frac{k^2p + 2p}{k^2}=p+(2p)/(k^2)。
- 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
对于y^2=2px(p>0)，准线方程为x = -(p)/(2)。
- 弦长| AB|=x_1+(p)/(2)+x_2+(p)/(2)=x_1 + x_2 + p。
- 把x_1 + x_2=p+(2p)/(k^2)代入得| AB| = 2p+(2p)/(k^2)。
- 当直线斜率不存在时，过焦点((p)/(2),0)的直线方程为x=(p)/(2)，代入y^2=2px得y=± p，此时弦长| AB| = 2p，也满足| AB| = 2p+(2p)/(k^2)（当k→∞时）。
- 若设直线的倾斜角为θ（θ≠(π)/(2)），k = tanθ，则弦长| AB|=(2p)/(sin^2)θ。
关于抛物线焦点弦的弦长公式欧阳家百（2021.03.07）在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2(πθ≠将其代入抛物线方程整理得：)84(422222=++-kp k xkx p p ，且θtan =k设A,B 两点的坐标为),(),,(2211y x y x 则：kk xx pp 22212+=+，4221pxx =当2πθ=时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。
现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2,0(p ，故AB 的方程为kx py =-2，将其代入抛物线的方程整理得：,0222=--pxpkx 从而p x x x x pk 22121,2-==+，弦长为：)(cos )(2212224211||θpAB x x x x k=-+=+p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而pxy22-=与（1）的结果一样，py x 22-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。
现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为px y22=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
