221向量加法运算及其几何意义

向量加法的性质
结合律
向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)， 表明向量的加法不依赖于其组合的顺序。
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a，表明向量加法 的结果与元素的组合顺序无关。
分配律
向量加法不满足分配律，即a×(b+c)不等于 a×b+a×c。
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本加法规则之一，它 表示将两个向量首尾相接，并连接它们的起点和终点，所形 成的平行四边形的对角线向量即为这两个向量的和。
详细描述
根据平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，即不 论向量的顺序如何，也不论如何分组，向量加法的结果都相 同。
向量加法的三角形法则
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法满足分配性 ，即向量加法可以分配到括号内的各个向量 上。
详细描述
分配律是向量加法的另一个重要运算律。根 据分配律，对于任意两个向量$vec{a}$和任
意标量$k$，有$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。这意味着标量可以与括
总结词
向量加法的三角形法则是向量的另一种加法规则，它表示将一个向量的起点平 移到另一个向量的终点，所形成的向量即为这两个向量的和。
详细描述
三角形法则在几何中常用于表示力的合成或速度的合成等物理现象。通过三角 形法则，可以直观地理解向量加法的几何意义，并用于解决实际问题。
向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法可以看作是向量场中点的运动变化。在向量场中，任意两点之间 的连线可以表示为向量，而这个向量的加法运算则反映了这两点之间的相对运动关系。

（2） （1）
a
a
b b
o a
A
（3）
o
B A
b
a b
a b
（4）
B
a
a
b
B
B
o
a b
b
A
o
a bA
例2.已知平行四边形ABCD , AB a , AD b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC a b;
由向量的减法可得，
向量的加法满足 交换律和结合律.
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量加法运算及其几何意义
课堂练习：
（1）根据图示填空：
E D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____
AE AB BC CD DE _____
+a = a 结合律 a +0= 0 数学思想方法方面： (a + b ) + c= 1、具体与抽象的数学思维方法， 2、类比的思想方法 ) a +( b+ c
作业： 课本91页习题2.2A组2、3、4.(1)(2)(3)
2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一、相反向量 定义：与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量，记作： a
a b的作图方法:
b a
B
b
O
a b
a

向量加法的应用
向量加法在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法常用于表示力的合成与分解。通过向量加法，可以计算出多 个力的合力或分力。
速度和加速度的叠加
在运动学中，向量加法用于表示速度和加速度的叠加。例如，在平抛运动中，物 体的速度和加速度可以通过向量加法进行计算。
向量加法在解析几何中的应用
02
向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量加法的基本法则之一，它 表示两个向量相加时，可以将其视为沿平行四边形的对角线 进行矢量合成。
详细描述
根据平行四边形法则，设$vec{A}$和$vec{B}$为两个向量， 将它们首尾相接，然后作一个平行四边形，其对角线向量即 为$vec{A} + vec{B}$。
向量加法的性质
01 02
性质1
向量加法满足结合律，即$(overrightarrow{A} + overrightarrow{B}) + overrightarrow{C} = overrightarrow{A} + (overrightarrow{B} + overrightarrow{C})$。
中$overrightarrow{0}$表示零向量。
向量加法的坐标表示
• 坐标表示：在直角坐标系中，向量$\overrightarrow{A}$和 $\overrightarrow{B}$可以用坐标表示为$\overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$和$\overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$，则它们的 和$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$的坐标为 $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
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向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则

a
c a b
ab
b
bc
c
abc
结 合 律 : ( a b ) c a (b c )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 12
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
向量加法的运算律 交换律：
14
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
练一练
１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN



(3) AB BD CA DC ________ 0


２.根据图示填空
E
g
e
(1) a b ( 2)c d
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 5
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
两种特例(两向量平行)
a b a
b
首
尾 首
尾
尾
首 尾
A
B
a b AC
C
B
首
a b AC
C
A
方向相同
2013-1-10
2013-1-10
3
A
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B
17
§2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课堂练习 <<教材>> P.84 书面作业 <<教材>> P.91 习题2.2 A组1.2.3 练习1.2.3.4
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@

则可得与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N,与铅垂线成 60°
角的绳子的拉力是 150 N.
反思解决与向量有关的实际应用题,应按照如下步骤解题:
弄清实际问题→数学问题→正确画出图形→用向量表示实际量
→向量运算→回扣实际问题→作出解答
【变式训练3】 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行
仍然是一个向量.
(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量 a,b,在平面内任取一
点 A,作 =a, =b,则向量 叫做向量a 与 b 的和,记作 a+b.这种
求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.
(3)平行四边形法则:已知两个不共线向量 a,b(如图乙所示),作
=a, =b,则 A,B,D 三点不共线,以,
驶,船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度和船的实际
速度.
解:如图, 表示水流速度,
表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,
表示船实际航行的速度,
∠AOC=30°,| | = 5 km/h.
∵四边形 OACB 为矩形,
||
||
∴|| = tan30°= 5 3(km/h), | | = sin30°= 10(km/h),
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个
向量的起点重合.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则
作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加
法中,利用三角形法则更为简便.
(4)当两个向量共线时,利用三角形法则,即两个向量首尾相接,以
第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就是
(a+b)+c=a+(b+c)

向量加法的向量场意义
总结词
向量加法的向量场意义是指向量加法运算在物理或工程领域中的实际应用，通过向量场来描述物体运动或力的作 用。
详细描述
在物理或工程领域中，向量场是由一系列向量构成的场，用来描述物体运动或力的作用。向量加法的向量场意义 在于，当物体在力场中运动时，其位移或速度的变化可以通过向量的加法运算来描述。例如，物体在力的作用下 产生的位移可以看作是初始位置的向量与力的向量的和。
详细描述
在物理中，当存在多个力作用在一个物体上时，需要使用向量加法来计算这些力的合力。同样地，当 需要将一个力分解为多个分力时，也可以通过向量加法来实现。通过力的合成与分解，可以更深入地 理解力的作用效果和物体运动状态的变化。
速度与加速度的合成
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的物理量，它们的合成也是向量加法在物理 中的重要应用。
解析
根据向量加法的定义， $vec{a} + vec{b} = (1+3, 2+1) = (4, 3)$。
题目2
已知$vec{a} = (-2, -3)$， $vec{b} = (4, 6)$ ，求 $vec{a} + vec{b}$。
解析
根据向量加法的定义， $vec{a} + vec{b} = (2+4, -3+6) = (2, 3)$。
进阶练习题
题目3
解析
题目4பைடு நூலகம்
解析
已知 $vec{a} = (x, y)$ ， $vec{b} = (2, 3)$ ，且 $vec{a} + vec{b} = (4, 5)$，求$x$和$y$的值。
根据向量加法的定义和已
已知$vec{a} = (1, -2)$，

第二章
2.2
2.2.1
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建模应用引路
第二章
2.2
2.2.1
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命题方向
向量加法的实际应用
[例3]
如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根
绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30° ，60° ，求 当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
第二章
2.2
2.2.1
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规律总结：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下 步骤解题： 弄清实际问题 → → → 数学问题 向量运算 → → 正确画出图形 回扣实际问题
用向量表示实际量
→ 作出解答
第二章
2.2
2.2.1
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在小船过河时，小船沿垂直河岸方向行驶，速度为v1＝ 2 3 km/h，河水流动的速度v2＝2.0km/h，试求小船过河实际 行驶速度的大小和方向．
2.2
2.2.1
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4．设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量 中， → (1)找出与FE共线的向量； → (2)找出与FE相等的向量； → → (3)向量OA与BC相等吗？
第二章
2.2
2.2.1
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[解析]
→ → → (1)OA，BC (2)BC
第二章
2.2
2.2.1
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→ → → 在平行四边形ABCO中， AC ＝ AB ＋ AO ＝a＋a＋b＝2a＋ → → → → b.AD＝2AO＝2a＋2b.而FE＝AO＝a＋b， → → → 由三角形法则得：AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b. → → → → → → → → → → (2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0.

方法与技巧：
5化简下列各式：
1.PB OP OB
2.( AB MB) BO OM
6.对于任一四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是（D）
A. BA AD DC
B. BD DA AC
C. AB BD DC
D. DC BA AD
例1、如图,已知向量a, b, 求作向量a b.
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
学习目标:
1、向量的加法运算，及其几何意义
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量
C
1、位移
AB + BC = AC
A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
r r r r a+ b = b+ a r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )
uuu r r r AC = a + b
当向量a , b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
a b
r r
r
r
u r a o· r r a+ b
A
r b
B
r r r r | a+ b|< | a| + | b|
r r r r 一般地，有 | a + b | < | a | + | b |
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a