最新人教版八年级下册数学暑期补习班辅导专用教程

八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

2024年人教版数学八年级下册教案全册最新版一、教学内容详细内容如下：1. 一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系。

2. 不等式的性质、一元一次不等式组的解法。

3. 函数的概念、正比例函数、一次函数、二次函数的图像与性质。

4. 三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形。

5. 四边形的性质、平行四边形、矩形、菱形、正方形。

6. 相似三角形的判定与性质、位似图形。

7. 锐角三角函数的定义、图像与性质、解直角三角形。

8. 数据的收集、整理、描述与分析。

二、教学目标1. 理解并掌握一元二次方程、不等式、函数、三角形、四边形、相似、锐角三角函数等基本概念和性质。

2. 学会运用方程、不等式、函数等数学工具解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维、空间想象和数据分析能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：一元二次方程的解法、函数图像的分析、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的应用。

2. 教学重点：不等式组的解法、一次函数与二次函数的性质、三角形和四边形的性质、数据的整理与分析。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际问题，引导学生发现数学知识。

2. 例题讲解：详细讲解典型例题，分析解题思路和方法。

3. 随堂练习：设计针对性练习，巩固所学知识。

4. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的合作意识。

六、板书设计1. 2024年人教版数学八年级下册教案2. 知识点：用不同颜色粉笔标注重点和难点，条理清晰。

七、作业设计1. 作业题目：（1）解一元二次方程：x^2 5x + 6 = 0。

（2）解不等式组：2x 3 > 1，3x + 4 < 10。

（3）分析一次函数y = 2x + 3的图像。

（4）证明：等腰三角形的底角相等。

（5）计算锐角三角函数值：sin30°、cos45°、tan60°。

变式 1、如图，化简： ( p 1)2 ( p 2) 2 = 2、化简求值： 2a a2 4a 4 ,其中 a 3 .
.
0 1 P2
当堂检测
1、如图，化简： a 2 b 2 (a b)2
a
0b
2 用心，才能铸就成功！加油，我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母的期望！
2018 年暑假数学补习班专用教材
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公式： a b ab (
第三讲 二次根式的乘除 )
例 1：计算：（ 1） 6 27 ( 3 3)
变式：计算： （ 1） 3 24 2 6
4
3
(2) 5 27 3 125
（2） 3( 2 2 3)
2、在实数范围内分解因式： 2 x2 4
一、选择题（每题 5 分，共 35 分）
小试牛刀
1、使代数式
x 有意义的 x 的取值范围是（
）
2x 1
A. x 0
1 B. x
2
C. x 0 且 x 1 2
D.一切实数
2、实数 a,b 在数轴上的位置如图所示，且 |a|>|b|, 则化简 a2 | a b | 的结果为（
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公式： a b ab (
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例 1：计算：（ 1） 6 27 ( 3 3)
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而且还特别注重拓展思维的训练，突破难题，考取高分。

4、《探究应用新思维》《探究应用新思维》是数学方的经典教辅书，题目典型又灵活，非常锻炼思维能力。

由数学教育学硕士，国家级骨干教师，数学奥林匹克高级教练黄东坡编写，他对于近十几年来数学考试命题的变化和趋势了如指掌，这些也全部体现在了他的编写之中。

5、《五年中考三年模拟》五三系列这个不用介绍大家也知道，从初中一直考研，它都一直伴随这我们。

而且也是各阶段教辅的不二选择，足以说明其效果。

《五年中考三年模拟》是多名一线老师和考生的智慧结晶，全书分为《全练》+《全解》，深入解析知识点，实例运用检测，每门课程有一本五三就够了。

超前学习的学霸初一、二就可以买中考版来练手了。

6、《典中点》荣德基所编写的各类教辅早已经成为了老师，家长和学生的最爱。

《典中点》系列包含了中学所有学科，以精当的讲解配合多样的练习，选题经典，出题角度灵活多变。

而且还包含了期中、期末的专向训练试卷，与教材和学校教学同步。

7、《中学教材全解》《教材全解》系列教辅在学生中基本是人手一本，全书对于整本教材的每一个内容都进行了详细的讲解。

第一讲 二次根式的概念及有意义的条件一、二次根式的概念(0a ≥)的式子叫做二次根式。

a 被称为被开方数（式），例1：判断下列式子哪些是二次根式。

1 2 3 4 5 6变式训练：1、下列各式中是二次根式的是 。

1 ○2- 3 4 5 62m 、n 应满足的条件是 。

二、二次根式有意义的条件 笔记：例2：当x 为何值时，下列各式有意义？（1 (2) (3)变式训练：3x 的取值范围是 。

4P(a ,b )所在象限为 。

5、已知实数x 、y 满足等式：5y =,求222x xy y -+的值。

当堂检测1x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12x ≠C. 0x ≥且12x ≠ D.一切实数2m 的值为 。

3、下列各式中不一定是二次根式的是（ ）A. B.C.D.4、y =中自变量x 的取值范围为 。

5x 的值为 。

第二讲2具有双重非负性2=a例1：（10=,求x 、y 的值。

（22x+3y -1的值。

变式：已知实数x 、y |235|0x y --=,的值。

例2：（1）计算：22(-- (2)若22x =-,求x 。

（3）在实数范围内分解因式：44x - 22x -+变式：在实数范围内分解因式：4425x -例3：在ABC ∆中，a,b,c 2||c a b --变式12、化简求值：2a 其中a =当堂检测12、在实数范围内分解因式：224x -小试牛刀一、选择题（每题5分，共35分） 1、使代数式21x -有意义的x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12x ≠C. 0x ≥且12x ≠ D.一切实数 2、实数a,b 的结果为（ ） A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a -b3、若实数a,b 满足|1|0a +=,A.0 B.1 C.-1 D. 1±4、使式子x 的取值范围是【 】A ．x≥－1B ．－1≤x≤2C ．x≤2D ．－1＜x ＜25、已知实数x ，y 满足x 4-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】 A ．20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对6、下列各式正确的是（ ）baA. （－2）2＝2B.（－2）2＝－4 C. （－2）2＝2 D. （－x ）2＝－x7、如果a 是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（ ）A 、aB 、a -2C 、2a -D 、21a二、填空题（每题5分，共30分）8x 的取值范围是 ．9|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y=10、当x=﹣4的值是 ．1111m +有意义，则m 的取值范围是第三讲 二次根式的乘除= )例1：计算：（1）(- (2)变式：计算：（1 （2）- (3) (-（a>b>0）例2：将a变式：把(1x -根号外面的因式移到根号内为 。

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。

一、已学知识回顾与复习●三角形的中位线：1、定义： 叫三角形的中位线。

∵ = = （已知） ∴DE 是△ABC 的中位线（三角形中位线的定义） 或∵DE 是△ABC 的中位线（已知）∴ = = （中位线的定义）2、相关定理：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

∵AD=BD,AE=CD(已知) ∴ （三角形中位线定理） （2）中位线定理的逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

（用于判定，证中点）∵ 点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC DE ＝12BC ∴（3）中位线定理的逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

（用于判定，证中点或一半）∵ AD=BD DE ∥BC （已知） ∴ ■典型考题例1、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点．G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点。

求PQ ：BE 的值.练习：1、如图，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、A D 的中点，且AB=6,CD=10， 则EF 的长为 。

2、 如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、 AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= .3、如图，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，∠EBC=300, 求证：AD=BE .4、如图9，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD . 求证：CD=2EC .5、如图10，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：(1)DE ∥AB ; (2)()12DE AB AC =+.BCA DE●矩形1、定义： 叫矩形。

凡是定义都既是“性质”又是“判定” ∵ □ABCD 中，∠A=90°∴□ABCD 是矩形。

目录第一讲三角形 (2)1.1与三角形有关的线段 (2)1.2与三角形有关的角 (8)第二讲全等三角形的性质与判定 (22)2.1全等三角形的性质 (22)2.2全等三角形的判定 (23)2.3全等模型 (27)第三讲全等三角形常见的辅助线（一） (39)3.1角平分线 (39)3.2截长补短 (46)第四讲全等三角形常见的辅助线（二） (56)4.1倍长中线 (56)4.2全等其他辅助线 (58)第五讲轴对称 (71)5.1轴对称图形 (71)5.2垂直平分线 (74)5.3作轴对称图形 (76)5.4轴对称的坐标表示 (83)第六讲等腰三角形 (95)6.1等腰三角形的性质 (95)6.2等腰三角形的判定 (99)6.3等边三角形 (100)第七讲几何综合（一） (113)7.1倍长模型 (113)7.2截长补短 (119)7.3其他构造全等的方法 (123)第八讲几何综合（二） (132)8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 (132)8.2翻折问题 (139)8.3垂直平分线 (141)8.4三角形问题 (143)1入门检测:1.如图所示,已知△ABC ,试说明∠A+∠B+∠C=180°.【答案】 略2.已知直线AB 和CD 相交于O 点,射线OE ⊥AB 于O ,射线OF ⊥CD 于O ,且∠BOF =25°,求∠AOC 与∠EOD 的度数.【答案】∠AOC=115°,∠DOE=155°(或∠AOC=65°,∠DOE=25°) 3.如图所示,已知AB ∥CD ,试说明∠B+∠D+∠E =360°.【答案】略4.如图所示,已知AB,CD,EF 相交于O 点,AB ⊥CD,OG 平分∠AOE ,∠FOD =28°,求∠AOG 的度数.【答案】 59°5.如图所示,A,O,B 在一条直线上,OE 平分∠COB,OD ⊥OE 于O ,试说明OD 平分∠AOC .【答案】 略B AECBADFE O G CBADE 1C A324D第一讲三角形1.1与三角形有关的线段三角形的三边关系【例1】（1）下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8, 9【答案】D【练习1.1】现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A.10cm的木棒B.20cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒【答案】B23（2）已知三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm ，则此三角形的第三边的长x 的取值范围是__________．【答案】3 cm<x<13 cm.【练习1.2】三角形的三边分别为3，1－2A ，8，则A 的取值范围是（ ） A ．－6＜A ＜－3 B ．－5＜A ＜－2 C ．2＜A ＜5 D ．A ＜－5或A ＞－2【答案】B ．（3）若a b c 、、表示ABC ∆的三边长,化简a b c b c a c a b--+--+--.【答案】a+b+c【练习 1.3】已知a b c 、、为ABC ∆的三边长,b c 、满足2(2)30b c -+-=,且a 为方程42x -=的解,求ABC ∆的周长,并判断ABC ∆的形状.【答案】ABC ∆的周长为7,且ABC ∆是等腰三角形.【例2】（1）如图，P 是△ABC 内一点，请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．【答案】延长BP 交AC 于D【练习2.1】如图所示,已知P 是△ABC 内一点,试说明1()2PA PB PC AB BC AC ++>++PCBA4【答案】略【练习2.2】如图，D ，E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．【答案】三角形的三线【例3】（1）如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【练习2.1】在△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm ,△ABD 的周长为30cm , 求5AD 的长.【答案】AD =13cm（2）如图，BM 是△ABC 的中线，若AB =5 cm ，BC =13cm ，那么△BCM 的周长与△ABM 的周长差是多少?【答案】8cm【练习3.2】如图，BD 是△ABC 的中线，若AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =6cm 则△ABD 与△BCD 的周长之差为__________.【答案】2 cm .（3）如图，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AC ，已知AF =6，BC =10,BG =5. (1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.【答案】(1) 30. (2) 12； (3)略【练习3.3】如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，试说明∠DAC 与∠EBC 的关系．6【答案】略（4）如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC ∆三边上的高AD BE 、、,CF 并指出三条高线在各自三角形的什么位置？【答案】图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 当ABC ∆是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内；当ABC ∆是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内；当ABC ∆是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内【练习3.4】画△ABC 中AB 边上的高，下列画法中正确的是（ ）A B C D 【答案】C（5）如图,在ABC ∆中,2,3AC cm BC cm ==,ABC ∆的高AD 与BE 的比是多少?【答案】:2:3AD BE =AABCBC(2)(1)(3)BCADE7【练习3.5】如图，AD 、CE 是△ABC 的两条高，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，CE ＝8cm ，则 AD 的长（ ）．A .3 cmB .4 cmC .5 cmD . 6 cm【答案】B（6）如图,AD 是ABC 的角平分线,DE ∥AC,DE 交AB 于E,DF ∥AB,DF 交AC 于F ,图中∠1与∠2有什么关系?为什么?【答案】相等【练习3.6】如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 作直线DF ∥BA ，交△ABC 的外角平分线AF 于点F ，DF 与AC 交于点E ． 求证：DE=EF ．【答案】略ABCD E12CFEB3481.2与三角形有关的角三角形内角和定理【例4】(1)在△ABC 中，若∠A ＝80°，∠C ＝20°，则∠B ＝__________°；【答案】80°【练习4.1】若∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝__________°；【答案】50°(2)已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶5，则∠B ＝__________°，∠C ＝__________°.【答案】∠B ＝54°，∠C ＝90°.【练习4.2】如果三角形三个外角度数之比为5:4:3，那么这个三角形一定是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形【答案】A(3)已知在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B －∠C ＝40°，则∠B ＝__________，∠C ＝__________.【答案】∠B ＝90°，∠C ＝50°【练习4.3】在ABC ∆中，（1）C B A ∠=∠︒=∠,80，则=∠B _____________；（2）︒=∠-∠︒=∠-∠20,35A B C A ，则=∠B _____________； （3）︒=∠90C ，︒=∠30A ，则=∠B _____________. 【答案】（1）︒50 （2）︒85 （3）︒60(4)如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C＝60°，求∠DAC 及∠BOA ．【答案】 ∠DAC ＝30°；∠BOA ＝120°．【练习4.4】如图，已知BD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠40A ，则=∠D ______.【答案】40°三角形的外角【例5】(1)填空：(1)如图(1)，P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE ＝142°，∠C ＝72°，则∠A ＝__________°，∠ABC ＝__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【答案】 (1)120 (2)70 38 (3)60【练习5.1】一个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.【答案】这个三角形的三个内角为︒36，︒72，︒72.(2)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.【答案】270°.【练习5.2】如图，已知︒=∠27A ，︒=∠96CBE ，︒=∠30C . 求ADE ∠的大小.【答案】︒=︒-︒=∠-∠=∠272754A DEC D .(3)如图，O 是△ABC 外一点，OB ，OC 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF ．若∠A ＝n °，试用含n 的代数式表示∠BOC ．【答案】.2190o on【练习5.3】如图，已知线段AD ，BC 相交于点Q ，DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，∠M ＝33°，求∠C 的度数．【答案】39°．1.3多边形及其内角和多边形定义【例6】(1)三角形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)四边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(3)五边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(4)n 边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． 【答案】一个三角形有3个顶点，3个角，6个外角，从一个顶点能画出0条对角线，共有0条对角线；一个四边形有4个顶点，4个角，8个外角，从一个顶点能画出1条对角线，共有2条对角线；一个五边形有5个顶点，5个角，10个外角，从一个顶点能画出2条对角线，共有5条对角线；一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n(n －3)2条对角线；【练习 6.1】(1)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．【答案】六边形．(2) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线【答案】10个顶点，10个内角，20个外角，从一个顶点能画出7条对角线，共有35条对角线；多边形内角和与外角和【例7】（1）四边形的四个内角的度数的比是1：2：4：3，则最小的内角为_______度．【答案】36°【练习7.1】一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，该内角多少度？【答案】130°（2）已知一个多边形的每个内角都等于168°，求它的边数．【答案】30【练习7.2】一个多边形的内角和等于其外角和，这个多边形是________边形；【答案】四（3）证明：多边形外角和为360°【答案】略【练习7.3】一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】15（4）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°【答案】360°【练习7.4】(1)已知：如图A，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．(2)已知：如图B，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______．图A 图B【答案】(1)360°；(2)360°（5）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【答案】360°【练习7.5】如图，在图A中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°．请说明你猜想的理由．图A 图B如果把图A称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图B 称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°【答案】360；720；1080；2(n－2)×180．课后作业:1. 如图，已知在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=42°，∠C=84°，试求∠AEC，∠DAE．【答案】69°，21°2．如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P．（1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC．（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？【答案】（1）∠BDC=105°，∠BPC=75°；（2）不变，∠D+∠P=180°3．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？（2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律？并说明理由？【答案】（1）∠1+∠2=∠B+∠C（2）α+β=2∠A 4．请完成下面的说明:（1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°-12∠A．说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____．根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°，所以∠EBC+∠FCB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠_____）=180°+∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3=12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____．（2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A．（3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？①②【答案】（1）A A A A A A（2）略（3）互补．5. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）．（1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____;（3）图③中草坪的面积为_____;（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____．【答案】（1）12πR2（2）πR2（3）32πR2（4）22n-πR26.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．【答案】7 cm或11 cm.7.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．【答案】5或4．8.若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．【答案】这个多边形的边数是5，内角和是540°.9.如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.【答案】125°10.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．【答案】边数是17.少加的内角是30°.1911.如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC ＝140°才合格，小明通过测量得∠A ＝90°，∠B ＝19°，∠C ＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？【答案】∠BDC≠140°，故此零件不合格．12.已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线相交于1G ，2G ，3G ，…，1G n -，试猜想：1n BG C -∠与∠A 的关系．(其中n ≥2且n 为整数)首先得到：当n ＝2时，如图1，1BG C ∠＝________； 当n ＝3时，如图2，2BG C ∠＝________； ……猜想1n BG C -∠＝________．……图1 图2 图n －1【答案】当n ＝2时，;21901A C BG ∠+=∠当n ＝3时，;32602A C BG ∠+=∠ 猜想.1180o 1A nn n C BG n ∠-+=∠- 13.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．【答案】920入门检测：1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 【答案】1. B2.三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是 ． 【答案】2. 1<x<63.如图，BD 平分∠ABC ，DA ⊥AB ，∠1=60°，∠BDC =80°，求∠C 的度数．【答案】3. 在△ABD 中，∵∠A =90°，∠1=60°， ∴∠ABD =90°-∠1=30°．∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠ABD =30°．在△BDC 中，∠C =180°-（∠BDC +∠CBD ）=70°．4.如下图，ABC ∆中，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，说明P ∠与A ∠有怎样大小关系？【答案】4. 902AP ∠∠=︒-5.如图①，ABC △为等边三角形，面积为S ．111D E F ，，分别是ABC △三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连结111111D E E F F D ，，，可得111D E F △． （1）用S 表示11AD F △的面积1S =，111D E F △的面积'1S =；21（2）当222D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时，如图②，按照上述思路探索下去，当n n n D E F ，，分别是等边ABC △三边上的点，且11n n n AD BE CF AB n ===+时（n 为正整数），n n AD F △的面积n S =，n n n D E F △的面积n S '= ．【答案】 5.根据同高的三角形的面积比是底的比求n n AD F △的面积，用ABC △的面积减去n n AD F △的面积的三倍求n n n D E F △的面积n S '(1)114S S =，114S S '= (2) 2(1)n n S S n =+，22121n n n S S n n -+'=++图②图①D 2E 2F 2F 1E 1D 1ABCCBA22第二讲 全等三角形的性质与判定2.1全等三角形的性质全等三角形的性质【例1】如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点BC D 与边上的N 点重合，如果，︒=∠==39,5,7DAM cm DM cm AD ，则=AN cm ，=NM cm ，=∠NAB .【答案】︒=∠︒=∠=∠====∆≅∆1239,5,7BAN DAM NAM cm DM NM cm AD AN ANM ADM ，得，MDNBC23【练习1.1】 如图，在长方形ABCD 中，将BCD ∆沿其对角线BD 翻折得到BED ∆，若︒=∠351，则=∠2 .【答案】︒352.2全等三角形的判定全等三角形判定方法1—“边边边”【例2】已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .【答案】利用SSS 证ADB BCA ∆≅∆,得出C D ∠=∠,由三角形内角和得出结论.【练习2.1】.“三月三，放风筝”．如图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ，EH ＝FH ，不 用度量，就知道∠DEH ＝∠DFH ．请你用所学的知识证明．24【答案】利用SSS 证全等，得出角等.全等三角形判定方法2—“边角边”【例3】△ABC 是一个等边三角形，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD =CE ，BE 和CD 相交于P ，求∠BPD 的度数．【答案】根据题干条件：AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，AD=CE ，可以判定△ABD ≌△BCE ，即可得到∠ACD=∠CBE ，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出即可．【练习3.1】如图所示，已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．F DC BA25【答案】由SSS 得ABE DCF ∆≅∆,C B ∴∠=∠,再由SAS 得AFB DEC ∆≅∆⏹ 全等三角形判定方法3—“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）【例4】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ． 求证：HN ＝PM .【答案】由“8”字型得出PMQ HNQ ∠=∠,根据ASA 得出PMQ HNQ ∆≅∆,进而得出结论.【练习4.1】已知如图，B 是CE 的中点，AD=BC ，AB=DC ．DE 交AB 于点F ， 求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．【答案】由SSS 得出ABD CDB ∆≅∆,ADB CBD ∴∠=∠,由平行线判定得出结论（1），再由ASA 得出ADF BEF ∆≅∆,对应边相等.⏹ 全等三角形判定方法4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）【例5】如图，已知AC =CE ，∠1=∠2=∠3．（1）说明∠B =∠D 的理由；（2）说明AB =DE 的理由．26【答案】全等三角形的判定与性质｡（1）由8字模型可得，△ADF 和△BCF 中∠B =∠D ； （2）由（1）知：∠B =∠D ， ∵∠2=∠3，∴∠DCE =∠ACB ， ∴△ABC ≌△EDC ，∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）．【练习5.1】求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．【答案】已知∠B =B '∠，∠C =∠C '，AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠.求证：∆ABC ≌A B C '''∆证明：∵∠B =B '∠，∠C =∠C '， ∴∠BAC =B A C '''∠，∵AD ，A D ''分别平分∠BAC ，B A C '''∠， ∴∠BAD =B A D '''∠∵AD =A D ''，∠B =B '∠， ∴△ABD ≌A B D '''∆（AAS ）， ∴AB =A B ''，∵∠B =B '∠，AB =A B ''，∠BAC =B A C '''∠， ∴∆ABC ≌A B C '''∆（ASA ）．全等三角形判定方法5——“斜边、直角边”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）【例6】已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF .求证：AB ∥DC .27【答案】用HL 求证Rt △ADE ≌Rt △BCF ，利用全等三角形的性质，可证△ABF ≌△CDE 或△ABC ≌△CDA ,再由内错角相等两直线平行推出AB ∥CD ．【练习6.1】如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD =AF ，AC =AE ．求证：BC =BE ．【答案】证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD =AF ，AC =AE ， ∴Rt △ADC ≌Rt △AFE （HL ）． ∴CD =EF ． ∵AD =AF ，AB =AB ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ABF （HL ）． ∴BD =BF ． ∴BD -CD =BF -EF ． 即BC =BE ．2.3全等模型手拉手模型【例7】如图，在直线AB 的同一侧作两个等边三角形ABD BCE ∆∆与，连接AE CD 与，证明：28（1）△ABC ≌△DBC （2）AE CD =（3）AE CD 与之间的夹角为︒60 （4）△AGB ≌△DFB （5）△EGB ≌△FBC （6）GF AC ∥【答案】（1）AB =BD ，∠ABE =∠CBD ,BC =BE ，可得全等.（2）由（1）中全等可得.（3）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，在△ADH 中，∠DAH +∠ADH =120°，所以∠AHD =60°，问题得证.（4）由（1）中全等可得∠CAE =∠CDB ，因为AB =BD ，∠ABG =∠DBF =60°，可得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF ，GBF 为等边，所以平行.【练习7.1】复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题:“如图①,已知在ABC ∆中, ,AB AC P =是ABC ∆内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至,AQ 使QAP BAC ∠=∠，连接,BQ CP 、则=BQ CP .”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图形①的分析,证明了,ABQ ACP ∆≅∆从而证得=BQ CP .之后,他将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中其它条件不变,发现=BQ CP仍然成立,请你就图②给出自己的证明.图1 图2【答案】AQ=AP，∠QAB=∠P AC，AB=AC，可证△QAB≌△P AC，问题可证【练习7.1】如图,A、B、C在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点G，连接CD交BE于点F，连接GF得△BGF. （1）求证：△ABE≌△DBC;（2）试判断△BGF的形状，并说明理由.∴△ABE≌△DBC（SAS）（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=60°即∠MBE=∠NBC=60°在△MBE和△NBC中，∵∠AEB=∠DCBEB=CB∠MBE=∠NBC∴△MBE≌△NBC（ASA）∴BM =BN ，∠MBE =60° 则△BMN 为等边三角形一线三等角模型【例8】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，垂足分别为E ，F .如图，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF .【答案】（1）∵AE ⊥l ，BF ⊥l ，∴∠AEC ＝∠CFB ＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3.∵在△ACE 和△CBF 中，13AEC CFBAC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△CBF （AAS ） ∴AE ＝CF ，CE ＝BF∵EF ＝CE ＋CF ，∴EF ＝AE ＋BF .【练习8.1】已知：如图,已知在△ABC 中,∠B =∠C =∠EDF ,D 为BC 上一点,BF =CD ,求证：DF =DE【答案】证明：∠BDF=∠CED，∠B=∠C，BF=CD，∴△BDF≌△CED∴DF=DE课后作业：1．如图，在△ABC 和△ADE 中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，点C 在DE上．求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）ADC BDA ∠=∠．【答案】证明：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠∴.CAE BAD ∠=∠∴.在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD EAC BAD ACAB ∴ABD ∆≌ACE ∆.（2）ABD ∆≌ACE ∆.AEC ADB ∠=∠∴.AE AD = AEC ADC ∠=∠∴.ADC BDA ∠=∠∴.2．已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点． 求证：AE =AF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ． ∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE =12DC ，BF =12BC ．∴DE =BF ． ∵在△ADE 和△ABF 中，B,,,AD AB D B DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ）．∴AE =AF ．3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，高线AD 和BE 交于点F .求证：CD ＝DF .【答案】证明： AD 、BE 是△ABC 的高线∴BC AD ⊥，AC BE ⊥∴︒=∠=∠90ADC ADB ,︒=∠90AEB∠ABC ＝45°∴△ADB 是等腰直角三角形∴BD AD = ︒=∠+∠9032, ︒=∠+∠9041,43∠=∠∴21∠=∠ ∴△BDF ≌△ADC (ASA ) ∴ CD ＝DF4．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．(1)求证：AE=CD ；(2)若AC =12cm ，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，BB∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°．∴∠D =∠AEC ． 又∵∠DBC =∠ECA =90°，且BC=CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE=CD ．（2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD=EC =12BC =12AC ，且AC =12cm ．∴BD =6cm ．5．如图，AB=AC ，∠BAC =90°，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，且BD ＞CE ． 求证：BD=EC+ED ．【答案】证明：∵∠BAC =90°，CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠BAD +∠DAC =90°，∠ADB =∠AEC =90°．∴∠ABD =∠DAC ．∵在△ABD 和△CAE 中ABD EACBDA E AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ）．∴BD=AE ，EC=AD ． ∵AE=AD+DE ，∴BD=EC+ED ．6．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M N 、分别是线段,AD BE 的中点．(1)求证：AD BE =；(2)求证：MNC ∆是等边三角形．【答案】 （1）证明全等（2）根据全等和中线得出MC NC =,且ACM BCN ∠=∠，则60MCN ∠=︒， 从而证明MNC ∆是等边三角形7．已知：ABC ∆中,8AB AC ==，,BD EC DEF B =∠=∠, 5BE = ,求AF 的长．【答案】证明：58,3,,AB AC B CDEF B BDE CEFB C BDE CEF BE CF AC AF CEF BD EC BDE =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠=∴∆∆∴===∴=≌又B入门检测：1．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 ．【答案】1. 80°2．如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？说明理由．【答案】2.提示：根据HL 证明△ABF ≌△CDE ，得到DE =BF ，然后根据AAS 证明△DEG ≌△BFG 即可3．如图，已知ABE △和ACF △，AB =AE ，AF =AC ，∠EAB =∠F AC =90°．CE 和BF 相交于O ．求证：BF CE ．【答案】3.提示：拉手模型：根据SAS证明△AEC≌△ABF，得到∠ABF=∠AEC，从而得证∠BEO+∠OBE=∠BEO+∠AEO+∠EBA=∠AEB=∠ABE=90°，可得∠EOB=90°，从而得CE .（推导∠EOB=90°可有多种证法）到BF4．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度.【答案】4.提示：∠ABC=45°可得AD=BD，由三角形内角和可得∠DBH=∠DAC，从而可证△BDH≌△ADC，可得BH=AC=4.5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为.【答案】5.提示：根据条件可证得△ACF≌△BAE，故△ACF与△BDE的面积之和为△ABD 的面积，根据“等高的三角形面积比等于底的比”可得△ABD的面积=5第三讲全等三角形常见的辅助线（一）3.1角平分线辅助线（1）--双垂型3940【例1】△ABC 中，∠C =90°，AD 为角平分线，BC =64，BD ∶DC =9∶7,求D 到AB 的距离..【练习1.1】已知：如图，P A 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线．【答案】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵P A ，PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD =PE ，PF =PE ,∴PD =PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN ,∴点P 在∠MBN 的平分线上， 即BP 是∠MBN 的平分线．41【例2】已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD =CB ，AB >AD ．求证:∠B +∠D =180°．【答案】因为C 在角平分线上，所以可以根据辅助线一作角两边的垂线，证明全等，然后利用邻补角的性质证明结论.【练习2.1】．已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ．求证：点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．【答案】作PD AB ⊥，PE BC ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为D ，E ，F ． ∵BM ，CN 是ABC △的角平分线(如图)， ∴PD PE =，PE PF =．∴PD PE PF ==，即点P 到ABC △三边AB ，BC ，CA 的距离相等．A图A BDEM N P F辅助线（2）——单垂型【例3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E.求证：BD=2CE.【答案】延长CE、BA交于点F,这样就在BD两侧出现全等三角形，从而得到CF=BD，再证明CF=BD即可.【练习3.1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= .【答案】126°4243【练习3.2】已知：90A ∠=︒，AB AC =，CE BD ⊥交BD 的延长线于E ，2BD CE =. 求证：BD 平分ABC ∠.【答案】提示：延长CE 、BA 交于点F ,可证△ABD ≌△FCA ，得到CE =EF ，再根据SAS 证明△FBE ≌△CBE 即可辅助线（3）——全等型【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系并证明； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）猜想FE =FD ；在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得OP AM NE B CDF AE F BD图①图② 图③44到EF =GF 且∠AEF =∠AGF =105°，从而得∠FGC =75°，又因为∠FDC =75°，得∠FGC =∠FDC ，然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,∴FE =FD ．（2）在AC 上截取AG =AE ，连接FG ，可证△AEF ≌AGF ，从而得到EF =GF ，根据三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，则∠AFE =∠AFG =∠DFC =60° 然后根据AAS 得证△GCF ≌DCF ,即FE =FD ．【练习4.1】如图所示：AM ∥DN ，AE 、DE 分别平分∠MAD 和∠AND ，并交于E 点．过点E 的直线分别交AM 、DN 于B 、C ．（1）如图，当点B 、C 分别位于点AD 的同侧时，猜想BE 、CE 之间的数量关系并证明． （2）若点B 、C 分别位于点AD 的两侧时，（1）中的结论还成立吗？画图并写出证明过程．【答案】 （1）BE =CE在AD 上作AF =AB ，连接EF 根据SAS 可证△ABE ≌△AFE ，从而得到BE =EF ，∠ABE =∠AFE ,由平行线的同旁内角互补及邻补角可知∠EFD =∠ECD ,根据AAS 可证△EFD ≌△ECD ，可得CE =EF ，等量代换得证BE =CE .（2）成立.提示：如图在AB 上作AF =AD ,根据SAS 可证△AFE ≌△ADE ，从而得到EF =ED ，根据平行线内错角相等及对顶角相等，可根据AAS 可证△BEF ≌△CED ,得到BE =CE .【练习4.2】P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC >AB ，求证：PC -PB <AC -AB ．45【答案】在AC 上作AE =AB ，连接PE ，可证得PE =BP ，则在△EPC 中利用三边关系即可.辅助线（4）--平行型【例题5】已知：ABC △的角平分线BM ，CN 相交于P ，连结AP ， 求证：AB +AC >2AP .【答案】过P 作BC 的平行线，交AB 、AC 于D ,E 两点，根据等角对等边得到边的关系，然后再利用三角形三边关系及不等式的性质得出题证结论.【练习5.1】已知：在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：BE CD 21． P D ACB46【答案】过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F ，可证得DF =BF ，DF =DC ,再根据∠BDF +∠EDF =90°，∠DBF +∠BED =90°，可得DF =EF ，从而得到BE CD 21=.3.2截长补短截长补短【例6】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点． 求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：延长BA ，并取BM =BC ,连接MD . 证明△BDC ≌△BDM ，推得36,BCD BMD CD DM ∠=∠==根据三角形的内角和可得：72MAD DMA ∠=∠=， ∴MA =MD ∴BC =AC +CD ．方法二：在BC 上截取BM =BA,连接MD . 证明△BDA ≌△BDM ，推得根据三角形的内角和可得：72CMD CDM ∠=∠=，BAAB CD∴CD=CM∴BC=AC+CD．【练习6.1】△ABC中，AB=AC=BC=1，△BDC中，∠BDC=120°，且BD=CD.以D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长.【答案】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．【练习6.2】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC．求证：BC=BD+AD．【答案】在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF．易证：△ABD≌△EBD∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80°48【例7】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且∠ABC +∠ADC =180°． 求证：1()2AE AB AD =+．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用AAS 可得CEM CEB ∆≅∆，根据线段之间的关系即可.【练习7.1】如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+． 求∠ABC +∠ADC 的度数．【答案】可以在AB 上截长，也在AD 上可以补短，也可以过C 作AD 的垂线.详析方法一：在AB 上截取AM =AD ，连接CM ．利用SAS 证ADC AMC ∆≅∆,得出ADC AMC ∠=∠,利用SAS 可得CEM CEB ∆≅∆，得出CME CBE ∠=∠即可.【例8】已知，AB =AC ，底边BC 上任一点P ，过点P 向AB ,AC 分别作垂线，交AB 于M ，AC 于N ．求证：PM +PN =CG ．。

人教八年级下册数学辅导专用教程Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】第一讲 二次根式的概念及有意义的条件 一、二次根式的概念形如(0a ≥)的式子叫做二次根式。

a 叫二次根号。

例1：判断下列式子哪些是二次根式。

1234 56 变式训练：1、下列各式中是二次根式的是 。

1○2-3 4 5 62m 、n 应满足的条件是 。

二、二次根式有意义的条件 笔记：例2：当x 为何值时，下列各式有意义（1变式训练：3x 的取值范围是 。

4P(a ,b )所在象限为 。

5、已知实数x 、y 满足等式：5y =,求222x xy y -+的值。

当堂检测1x的取值范围是（）A. 0x≥ B.12x≠ C. 0x≥且12x≠ D.一切实数2m的值为。

3、下列各式中不一定是二次根式的是（）4、y=x的取值范围为。

5x的值为。

第二讲2具有双重非负性2=a例1：（10=,求x、y的值。

（22x+3y-1的值。

变式：已知实数x、y|235|0x y--=,的值。

例2：（1）计算：22(-- (2)若22x=-,求x。

（3）在实数范围内分解因式：44x-22x-+变式：在实数范围内分解因式：4425x-例3：在ABC ∆中，a,b,c 是三角形的三边长，试化简：2||c a b --变式12、化简求值：2a当堂检测12、在实数范围内分解因式：224x -小试牛刀一、选择题（每题5分，共35分） 1x 的取值范围是（ ） A. 0x ≥ B. 12x ≠ C. 0x ≥且12x ≠ D.一切实数2、实数a,b ||a b +的结果为（ ） +b +b3、若实数a,b 满足|1|0a +=,则()2013ab 为（ ）D. 1±ba4、使式子x 的取值范围是【 】A ．x≥－1B ．－1≤x≤2 C．x≤2 D．－1＜x ＜2 5、已知实数x ，y 满足x 4-，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】A ．20或16B ． 20C ．16D ．以上答案均不对 6、下列各式正确的是（ ） A. （－2）2＝2 B. （－2）2＝－4 C. （－2）2＝2 D.（－x ）2＝－x7、如果a 是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（ ）A 、aB 、a -2C 、2a -D 、21a二、填空题（每题5分，共30分）8x 的取值范围是 ．9|x ﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y=10、当x=﹣4时，的值是 ．1111m +有意义，则m 的取值范围是第三讲 二次根式的乘除=例1：计算：（1）(-变式：计算：（1（2） (3)(-（a>b>0）例2：将a•变式：把(1x-为。

辅导讲义是”；是平行四边形，可以记做“ABDC1题图2．如图所示，在ABCD所示，在ABCD125．在ABCD 中，∠B-∠A=30°，则∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数是（ ）．A ．95°，85°，95°，85°B ．85°，95°，85°，95°C ．105°，75°，105°，75°D ．75°，105°，75°，105° 6．在ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A ．1：2：3：4B ．3：4：4：3C ．3：3：4：4D ．3：4：3：4 7．如图所示，如果ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，•那么图中的全等三角形有（ ）．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．如图所示，若平行四边形ABCD 的周长为22cm ，AC ，BD 相交于点O ，•△AOD 的周长比△AOB 的周长小3cm ，则AD=_______，AB=_______． 答案：4cm 7cm知识点3 平行四边形的面积 9．如图所示，ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，∠CAB=30°，AB 的长为6cm.求ABCD 的面积．答案：30cm 210．如图所示，在ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=6cm ，BC=6cm ，求BC 边上的高DF 的长．答案：10cm知识点4 平行四边形的判定11．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ． 提示：证明DE ∥BF ，DE=BF12．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 提示：证明BE ∥DF ，BE=DF13．1已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形． 提示：证明OB=OD, OE=OF知识点5 三角形的中位线14．1如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点3题图 4题图7题图 8题图3的距离是 m ，理由是 ．答案：40 三角形两边的中点连线平行于第三边且等于第三边的一半15．1△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 答案：1816．1已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 提示：连结BD ，利用中位线定理得：EH BD ，GFBD知识点6 矩形的定义与性质 17．已知在四边形ABCD 中，AB CD ，请添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形，•加上的条件是_______．答案：AC=BD (答案不唯一) 18．如图所示，M 是ABCD 的边AD 的中点，且MB=MC ．求证：ABCD 是矩形．提示：证明△ABM ≌△DCM ，得到∠A=∠D ，又因为∠A+∠D=180°19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点D ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求矩形的对角线的长．答案：8cm知识点7 直角三角形斜边中线的性质20．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则斜边上的中线长 ． 答案：5cm21．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F•在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ．求证：四边形DECF 为平行四边形． 提示：AE=CE,得到角相等，推出DF ∥CE ，又DE ∥BF ，即证 22．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ，PF⊥BC 于点F ，求证：DE=DF ． 提示：连结CD ，证明△ADE ≌△CDF 知识点8 矩形的判定 23．下列说法中：（1）四个角都相等的四边形是矩形．（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．B=AC，推出．如图所示，在菱形ABCD4如图，ABCD．对角线互相平分．若正方形的一条对角线长为，则它的边长是求∠AFD的度数．56提示：证明△ABE ≌△BCF知识点12 正方形的判定43．有下列命题，其中真命题有（ ）． ①四边都相等的四边形是正方形； ②四个内角都相等的四边形是正方形；③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 44．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB. 求证：四边形BEDF 是正方形．提示：由角平分线的性质可推出：DE=DF ，又三个角为90°的四边形是矩形，所以推出四边形BEDF 是正方形．一、专题精讲专题1 动点问题例1 1如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．(1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？(2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．分析：（1）设经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积． 解答：解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形 ∴DP=xcm，AP=CP=AD-DP=（8-x ）cm ， ∵DP 2+CD 2=PC 2，∴16+x 2=（8-x ）2，解得x=3 即经过3秒后四边形是菱形．（2）由第一问得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．ABC’D’是菱形，并请说8ABCFD ∴BC′=21AC ． 而∠ACB=30°， ∴AB=21AC ∴AB=BC′．∴四边形ABC′D′是菱形．点评：本题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握．考查了学生综合运用数学的能力． 重合，点D 落到分析：（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．910∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．二、专题过关1. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO ，∴EO=FO．（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO=FO，点O 是AC 的中点．∴四边形AECF 是平行四边形，∵C F 平分∠BCA 的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=21×180°=90°． 即∠ECF=90度，∴四边形AECF 是矩形．点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．12图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补1415 分析：过F 作AB 、CD 的平行线FG ，由于F 是AD 的中点，那么G 是BC 的中点，即Rt△BCE 斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG ，即△GEF、△BEG 都是等腰三角形，因此求∠B 的度数，只需求得∠B EG 的度数即可；易知四边形ABGF 是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG 的度数，即可得到∠AEG 的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG 的值，由此得解．解答：解：过F 作FG∥AB∥CD，交BC 于G ；则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF=BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt△BEC 中，EG 是斜边上的中线，则BG=GE=FG=21BC ； ∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．故选D ．点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．17。

初二数学暑假班讲义第09讲-实数与二次根式-学案高效提分源于优学第09讲实数与二次根式温故知新一.上节课重点回顾1.立方根的概念如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。

记为，读作“三次根号”。

2.立方根的性质注意任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。

3.开立方，。

课堂导入人是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念.但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念.提到数，大家都不陌生。

小学期间我们学习了自然数和正分数，在初一学习了负数以后，解决了在有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；之后又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩大。

数字是个神秘的领域，它为我们学好数学奠定了基础，它们的家庭也在日益壮大折知识要点一实数的概念及分类1.实数的概念及分类有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。

（1）按定义分类（2）按正负分类2.实数的性质在实数范围内，相反数.倒数.绝对值的意义和有理数范围内的相反数.倒数.绝对值的意义和有理数范围内的相反数.倒数.绝对值的意义完全相同。

（1）相反数与表示任意一对相反数；（2）绝对值；（3）倒数如果表示一个非零数，那么与互为倒数。

有关性质（1）与互为相反数；（2）与互为倒数；（3）；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即；（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。

3.实数的运算及化简实数和有理数一样，可以进行加.减.乘.除.乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数任然适用。

4.实数与数轴的关系每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5.利用实数轴比较实数的大小在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

精心整理新人教版八年级数学下册辅导资料（01）姓名：________ 得分：_____一、知识点梳理：1、二次根式的定义.；（2）a2（1（33积则：a>)043. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．二、典型例题：例1：当x是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？⑴2-x ⑵xx -+2)1(0⑶13-+-x x ⑷12+x （5）12-+x x小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。

（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2：化简：（1）例3(2)例4（1）例5（1)0〉 例6：化去下列各式分母中的二次根式： （1）323+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03〉〉y x xy 三、强化训练： 1、使式子2x+有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x ≤1； B 、x ≤1且2x ≠-； C 、2x ≠-； D 、x <1且2x ≠-．2、已知0<x<1时，化简()21--x x 的结果是（ ）A 2X-1B 1-2XC -1D 1 3、 已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则别一条直角边长为（ ）A 、1；BC 、19； D4n 的最小值是（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．56A78910、若588+-+-=x x y ，则xy = _______ 11、当a<0时，||2a a -=________12、实数范围内分解因式：422-x =_____________。

13、在Rt △ABC 中，斜边AB=5，直角边BC=5，则△ABC 的面积是________ 14、已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值。

15、在△ABC 中，a,b,c 是三角形的三边长，试化简()b a c c b a ---+-22。

买玻璃漫画释义满分晋级知识互联网1全等三角形的认识三角形4级 全等三角形的认识三角形5级 全等中的 基本模型 三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形暑期班 第一讲暑期班 第二讲暑期班 第四讲一、概念全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应．注意：寻找全等三角形的对应角，对应边的一般规律是：⑴把其中一个图形通过平移、翻折或旋转，能与另一个图形完全重合，则重合的边就是对应边，重合的角就是对应角，表示两个三角形全等时，要把对应字母写在对应位置上． ⑵有公共边时，则公共边为对应边；有公共角时，则公共角为对应角（对顶角为对应角）；最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角．二、全等三角形的性质⑴全等三角形的对应边相等； ⑵全等三角形的对应角相等；⑶全等三角形的周长相等，面积相等．模块一 全等三角形的概念和性质知识导航CBA C'B'A'【例1】 ⑴ 如果ABC DEF △≌△，则AB 的对应边是_______，AC 的对应边是_______ ，C ∠的对应角是_______ ，DEF ∠的对应角是__________．两个三角形的周长ABC C △______DEF C △，两个三角形的面积ABC S △_____DEF S △（填“>”、“=”、“<”）．⑵ 如图，若ABC AEF △≌△，AB AE =，B E ∠=∠，则对应结论①AC AF =；②FAB EAB ∠=∠；③EF BC =； ④EAB FAC ∠=∠中 正确结论共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个⑶如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB =5，AE =3，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2.5【例2】 如图，已知ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B ∠=︒，120EAB ∠=︒，求D F B∠的度数.模块二 全等三角形的判断夯实基础能力提升FE CBAF GE DC BA FE CA全等三角形的判定方法：⑴如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS ． ⑵如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS ．⑶如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA ．⑷如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等，简记为AAS ．⑸如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为HL ．特殊：直角三角形中，除以上几种方法外还可选用斜边直角边“HL ”．1. 全等三角形的判定（一）——SSS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC B'C'BC ===，，． 并判断A B C '''△和ABC △C BA知识导航夯实基础知识导航【引例】已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．求证：AC DF ∥．分析：要证AC DF ∥，需证ACB DFE ∠=∠，只要证__________≌___________．证明：∵BE CF =（ ）∴BE EC CF EC +=+（ ） 即BC =_____． 在ABC △和DEF △中，()()()__________________AB BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴__________≌___________（ ）∴ACB DFE ∠=∠（ ）∴AC DF ∥（ ）【解析】 分析：只要证ABC DEF △≌△．证明：∵BE CF =（已知）∴BE EC CF EC +=+（等量加等量和相等） 即BC EF =．在ABC △和DEF △中， AB DEBC EFAC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴ABC DEF △≌△（SSS ）．∴ACB DFE ∠=∠（全等三角形的对应角相等）．∴AC DF ∥（同位角相等，两直线平行）【例3】 已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在同一直线上，AB =DE ，BF =EC ，AC =DF ．⑴求证：AB ∥DE ；⑵又知∠D =30°，∠DEC =15°，求∠CFB 的度数．能力提升DBAA D FCBE2. 全等三角形的判定（二）——SAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使A'B'AB A'C'AC A'A ==∠=∠，，．并判断A B C '''△和ABC △C BA【例4】 如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC ． ⑴求证：△ABE ≌△CBD ； ⑵若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数．3. 全等三角形的判定（三）——ASA &AAS尺规作图：已知ABC △，画一个A B C '''△，使B'C'BC B'B C'C =∠=∠∠=∠，，． 并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C BA知识导航能力提升知识导航ECDB A思考：若将C'C ∠=∠改成A'A ∠=∠呢？画出的A'B'C'△和ABC △全等吗？【例5】 已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3．求证：BC=DE ．4. 全等三角形的判定（四）——HL尺规作图：已知Rt ABC △，画一个Rt A B C '''△，使B'C'BC A'B'AB ==，．并判断A B C '''△和ABC △是否全等．C B A【例6】 已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC =DC ，求证：BE =DF ．能力提升知识导航能力提升321F E D CBA F EDCBA【例7】 如图所示为我国边境线上某界河，其中A 点在境外，我国地质勘探人员在不跨越国界的情况下要测量河两岸相对的两点A 、B 间的距离，请你给出解决方案并加以证明．【例8】 如图所示，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，⑴你能找出图中的全等三角形吗？如果再加上AB AC =呢？⑵在⑴的基础上，连接EF 交AD 于M ，你能找出图中的全等三角形吗？ ⑶在⑵的基础上，当∠BAC =90︒时，你能找出图中的全等三角形吗？能力提升探索创新模块三 全等三角形判定的应用AFE DCBA训练1. 已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB DC ∥，AB DC =．⑴ 求证：AC 与BD 互相平分； ⑵ 若过O 点作直线l ，分别交AB DC 、于E F 、两点， 求证：OE OF =．训练2. 如右图所示，AB CD ∥，AC DB ∥，AB CD =，AD 与BC 交于O ，AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．训练3. 请分别按给出的条件画ABC △（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？⑴ 1202cm 4cm B AB AC ∠=︒==，，；⑵ 902cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑶ 302cm 3cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑷ 302cm 2cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑸ 302cm 1cm B AB AC ∠=︒==，，； ⑹ 302cm 1.5cm B AB AC ∠=︒==，，；训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：已知：ABC △、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠．求证：111ABC A B C △≌△．（先把文字语言转化成符号语言） 证明：分别过点B ，1B 作BD AC ⊥于D ，1111B D AC ⊥于1D ，则思维拓展训练(选讲)AF E O D C Bl OF EDCB A11190BDC B D C ∠=∠=︒，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法） DCBAD 1C 1B 1A 1∵在BCD △和111B C D △中，11111190BDC B D C C C BC B C∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴111()BCD B C D AAS △≌△∴11BD B D =∵在ADB △和111A D B △中，111111190BD B D AB A B ADB A D B =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ 111()ADB A D B HL △≌△，∴ 1A A ∠=∠， ∵在ABC △和111A B C △中，1111A A C C BC B C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ 111()ABC A B C AAS △≌△．对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等C ．两角和一组对应边相等D ．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的高相等B ．全等三角形对应边上的中线相等C ．全等三角形对应角的角平分线相等D ．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等【练习2】 如图，在ABC △中，D E 、分别是边AC BC 、上的点，若ADB EDB EDC △≌△≌△，则C ∠的度数为______________．题型二 全等三角形的判定 巩固练习【练习3】 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．【练习4】 如图所示，已知AC BC ⊥，AD BD ⊥，AD BC =，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，试证明CE DF =．实战演练FE D CBAA CEDBDC BA题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习【练习5】 ⑴如图，AB CD =，AD 、BC 相交于点O ，要使ABO DCO △≌△，应添加的条件为 ．(添加一个条件即可)⑵在ABC △和A B C '''△中，AB A B ''=，B B '∠=∠，补充条件后仍不一 定能保证ABC A B C '''△≌△，则补充的这个条件是( )A ．BCBC ''= B ．A A '∠=∠ C ．AC A C ''=D ．C C '∠=∠O DCBA第十五种品格：创新想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段.【创新的三个层次】一、处处是创造之处，人人是创造之人；二、敢想敢做，有付出定会有收获；三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.钓鱼钓出食品冷冻法1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级知识互联网2全等中的基本模型三角形5级 全等中的 基本模型三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短暑期班 第二讲暑期班 第四讲秋季班 第二讲把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =．求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF =⎧⎨=⎩模块一 平移型全等知识导航夯实基础FEDC BA∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A常见轴对称模型知识导航模块二 对称型全等能力提升【例2】⑴如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对⑵如图，ABE△和ADC△是ABC△分别沿着AB，AC翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【例3】如图，AB AC=，D、E分别是AB、AC的中点，AM CD⊥于M，AN BE⊥于N．求证：AM AN=．常见旋转模型：夯实基础能力提升知识导航模块三旋转型全等EDNMCBA4321EDCBADOFECBA【引例】如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数． 【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【教师铺垫】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【例4】 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M 、N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．⑴当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；⑵当把△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．图2图3图1MNMN N MA BCDE ABC D E ABC ED能力提升夯实基础A'B'CBAM D NEC BFA【例5】 如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ．⑴当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；⑵当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，求证：AG ⊥CE ．PHG GG图1图3图2FABCEF ABC DEABC DEF D辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，知识导航模块四 辅助线添加初步并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.【例6】 如图△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .⑴说明BE =CF 的理由；⑵如果AB =a ，AC =b ，求AE 、BE 的长.【例7】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图3图2图1FFFEEEDDC CBB AA能力提升GDAB CEF【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠.训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =．求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．F EDC BA思维拓展训练(选讲)探索创新A BCD EFA B C DE OQ P EDCB A M E DC BA题型一 平移型全等 巩固练习【练习6】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥，BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．(2)(1)ABCE F GGFEC BA题型二 对称型全等 巩固练习【练习7】 如图，已知Rt △ABC ≌Rt △ADE ，90ABC ADE ∠=∠=︒，BC 与DE 相交于点F ，连接CD 、EB ． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF ．题型三 旋转型全等 巩固练习【练习8】 如图，在Rt ABC △中，A B A C A D B C =⊥，，垂足为D ．EF 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那 么DBF ∠=__________．实战演练F DCB A F E DC B A【练习9】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何 关系？请说明理由．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习10】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转．⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与G 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF ED A第十五种品格：创新创新会更好汉斯是德国的一个农民，他爱动脑筋，所以常常花费比别人更少的力气有更大的收获.一次，又到了土豆收获季节，村里的农民进入了最繁忙的工作期.他们不仅要把土豆从地里收回来，而且还要把土豆按个头分成大、中、小三类.这样劳动量实在太大了，每人都起早摸黑地干，希望能早点把土豆运到城里去卖.汉斯一家与众不同，他们根本不做土豆分拣工作，而是直接把土豆装进麻袋就运走.但是，在向城里运送土豆时，他们不走平坦的公路，而是偏走颠簸不平的山路.数英里路下来，因为车子不断颠簸，小的土豆落到麻袋的最底部，而大的自然就留在了上面.到了市场，汉斯再把大小土豆进行分类出售.由于节省了时间，汉斯的土豆在市场上上市最早，卖出了比别人更理想的价位.俗话说，时间就是金钱，你有没有想到利用一些自然的方法加快你前进的脚步呢？知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人；知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人.今天我学到了图形变换1级 轴对称初步暑期班 第三讲图形变换2级 构造轴对称图形秋季班 第一讲图形变换3级 中考新题型之 折纸与拼图春 季 班 第 六 讲壮壮出糗记知识互联网满分晋级阶梯漫画释义3轴对称初步知识导航模块一 轴对称图形的认识与应用2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．A BCA BCA BCCBA⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．夯实基础⑹ 已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线l 对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB =A ′B ′；②点P 在直线l 上；③若A 、A ′是对应点，则直线l 垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB =PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④【例2】 ⑴ 图1的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且∠ABE =30°．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，图2为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED =15°，则∠BCE 的度数为（ ） A ．30° B ．32.5° C ．35° D ．37.5°⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④⑶ 已知30AOB ∠=°，点P 在AOB ∠内部，1P 与P 关于OB 对称，2P 与P关于OA 对称，则1P ，O ，2P 三点确定的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．腰底不等的等腰三角形D ．等边三角形能力提升图2图1A B CD E②模块二线段的垂直平分线知识导航夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶ 证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）.【例4】 ⑴ 如下图1，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE =3cm ，△ABD 得周长为13cm ，则△ABC 的周长是 ． ⑵ 如下图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE =3cm ，则P 点到直线AB 的距离是 ． ⑶ 如下图3，在ABC △中，90A ∠=︒，:2:3ABD DBE ∠∠=，DE BC ⊥，E 是BC 的中点，求C ∠的度数．图3图2图1ED CBAPE DCBAED CBA【例5】 ABC △的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，⑴若BC =8，求△ADE 的周长；⑵若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．能力提升H FED CB A【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）．⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．夯实基础知识导航模块三 角平分线性质及常见辅助线模型（一）CPAM⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．【例6】 ⑴ 如图，已知ABC △的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．⑵ 如图所示，2AB AC =，1∠2=∠，DA DB =. 求证：DC AC ⊥.【例7】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ；⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．能力提升21ADCB CPBANMOA BCDEF OG ODCBA训练1. D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥于G .求证：BF CG =.F AGEDC B训练2. 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：在平面内找一点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两边所在的直线的距离相等．B训练3. 如图，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠．DE AB FD AC ∥，∥．如果6BC =，求DEF △的周长．训练4. 已知：如图，在POQ ∠内部有两点M 、N ，MOP NOQ ∠=∠．⑴ 画图并简要说明画法：在射线OP 上取一点A ，使点A 到点M 和点N 的距离和最小；在射线OQ 上取一点B ，使点B 到点M 和点N 的距离和最小；⑵ 直接写出AM AN +与BM BN +的大小关系．思维拓展训练(选讲)FE DCBA O知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】⑴下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．④③②①答：图形__________；理由是__________．⑵画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（）条对称轴．A．1 B．2 C．3D．4⑷下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形⑸如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.实战演练【演练2】如图，把ABC△纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则A∠与1∠和2∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．12A∠=∠-∠B．212A∠=∠-∠C．3212A∠=∠-∠D．()3212A∠=∠-∠知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知40AOB∠=︒，CD为OA的垂直平分线，求ACB∠的度数．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练【演练4】如图，BD CD=，90ABD ACD∠=∠=°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分BEF∠．①求证：FD平分EFC∠；②求证：EF BE CF=+.【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．FEDCBA21E ADCBO DC BA第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子.每当球投进的时候，就有一个专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛.为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想.有位发明家甚至制造了一种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来.终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛.小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到.听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了等腰？漫画释义满分晋级知识互联网4特殊三角形之 等腰三角形三角形5级 全等中的 基本模型三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短暑期班 第二讲暑期班 第四讲秋季班 第二讲模块一 等腰三角形知识导航【例8】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，则B ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．35︒C ．25︒D ．20︒⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（ ） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒【例9】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（ ）A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数为_________．夯实基础DCB A D CB AA nA 4A 3A 2A 1E DC A B。

专题01 基础巩固+ 技能提升【基础巩固】1. （荆州市月考）下列说法错误的是（）A．2a与()2a-相等BC．D．a与a-互为相反数【答案】D.【解析】解：A、()2a-=2a,故A正确；B=,,故B正确；C、互为相反数,故C正确；-=,故D错误；D、a a故答案为：D.2．（山东淄博月考）如图,1/x、2x三个按键,以下是这三个按键的功能．1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；③2x：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后,按照以下步骤操作,依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10,那么第2018步之后,显示的结果是（）A．B．100C．0.01D．0.1 10【答案】C .【解析】解：根据题意得各步显示的数如下：第一步：102＝100,第二步：1100＝0.01,＝0.1；第四步：0.12＝0.01,第五步：10.01＝100,＝10；第七步：102＝100,第八步：1100＝0.01,＝0.1； … 所以显示的数是六步一个循环∵2018÷6=336 (2)∴按了第2018下后荧幕显示的数与第二步相同,所以显示的数是0.01．故答案为：C ．3．（四川达州期末）若,x y 为实数,且满足26||0x y --=,则2021x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是________．【答案】-1. 【解析】解：由题意得：260220x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得：22x y =⎧⎨=-⎩, ∴2021202122x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-1；故答案为：-1．4．（北京月考）已知3m =,则2019()m n +的值为______． 【答案】1.【解析】解：由题意得：16-n 2≥0,16-n 2≤0,故n 2=16,即n =±4,又n ≠-4,∴n =4,m =-3∴原式=（4-3）2019=1故答案为：1．-= 5．与,则a b________．【答案】2.【解析】解：根据题意得：a-1=2,b+2=5-2b,∴a=3,b=1∴a-b=2故答案为：2．6．（克东县期中）当x时,式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016.【解析】解：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013=2+2013=2016．故答案为：2016．7．（江苏扬州市期末）已知5=+,当x分别取1、2、3、…、2021时,所对y x应y值的总和是_____．【答案】2033.【解析】解：当x＜4时,y=-2x+9,即当x=1时,y=9-2=7；当x=2时,y=9-4=5；当x=3时,y=9-6=3；当x≥4时,y=1,即当x分别取4,5,…,2021时,y的值均为1,综上所述,当x分别取1,2,3,…,2021时,所对应的y值的总和是7+5+3+2018×1=2033,故答案为：2033．8．（浙江杭州市期中）已知ABC的三边长分别为1,k,3,则化简92k-的结果是_______．【答案】12-4k.【解析】解：由题意可知：2＜k＜4,∴1＜9-2k＜5,1＜2k-3＜5,∴原式=92k--=9-2k-2k+3=12-4k,故答案为：12-4k．9．（北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根,许多数学家进行了探索,期间经历了400余年,直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的,她在《代数备旨》中把图1?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________,计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2所示题目（字母代表正数）∵a＞0,=a+3a+3.10．a,小数部分是b,求ab的值．32=,23<,∴532,∴a=2,b2=-=,即)41263ab++===.11．2++【解析】解：原式32=+--2332=+--=12．（云南曲靖市期末）先化简,再求值：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭,其中2x=-【答案】22x-+,.【解析】解：2241244x xx x x-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭22(2)22(2)(2)x x xx x x x--⎛⎫=-⨯⎪--+-⎝⎭2222xx x--=⨯-+22x=-+,当2x=-+,原式==13．（浙江杭州期末）计算：（13-+++（2）(222【答案】（1）；（2）8-【解析】解：（13+=5+=+=；++（2）(222=5243+--=8-14．（浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,这两边的交点称为勾股顶点．（1）如图①,已知△ABC为勾股高三角形,其中A为勾股顶点,AD是BC边上的高．若BD ＝1,CD＝2,求高AD的长；-,求证：△ABC是勾股高三角形．（2）如图②,△ABC中,AB＝AC＝3,BC＝3【答案】（1（2）见解析.【解析】解：（1）解：∵AD是BC边上的高,BD＝1,CD＝2,∴AB 2＝AD 2＋1,AC 2＝AD 2＋4,∵△ABC 为勾股高三角形,A 为勾股顶点,∴ AC 2－AB 2＝AD 2,即（AD 2＋4）－（AD 2＋1）＝AD 2,∴ AD（2）∵AB ＝AC ＝3 ,∴点A 不可能为勾股顶点过B 作BH 垂直AC 于D 点H ,设HC ＝x ,由题意,得BC 2－CH 2＝BH 2＝AB 2－AH 2,∴()()2222333x x -=--,x ＝6-∴BH 2＝BC 2－CH 2＝()(223627--=∵AB 2－BC 2＝()223327-=∴BH 2＝AB 2－BC 2∴△ABC 是勾股高三角形．15．（河南省孟津县月考）根据下图,b c a c -+++．【答案】﹣b ．【解析】解：由数轴可以看出：a ＞0,b ＜0,c ＜0,a ＜﹣c ,b c a c ++,=|b |-|b +c |+|a -c |+|a +c |,＝﹣b ﹣[﹣（b +c ）]+（a ﹣b ）+[﹣（a +c ）],＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c,＝﹣b．16．（2019·南阳市月考）如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,再直爬向点C停止,已知点A表示,点C表示2,设点B所表示的数为m．（1）求m的值（2）求2m m的值1(1)（3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有个【答案】（1）2m=-（2）6-（3）3.【解析】解：（1）由题意可得：m-2=2,∴m=2-（2）把m=2-2m m1(1)2|221|2213232=-；6（3）从点A到点C所经过的整数有-1,0,1,2,其中非负整数有0,1,2,所以蚂蚁从点A到点C所经过的整数中,非负整数有3个．=,17．（成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程,1==（1＝；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论,求下列式子的值：)++⋅．1【答案】（1）（21=-n 为正整数）,证明见解析；（3）2007.【解析】解：（1故答案为：（2=-n 为正整数）．1=n 为正整数）；（3）原式＝12008++⋅1+)﹣1）+1）＝2008﹣1＝2007.18．阅读下列材料,并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中,利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”,该公式是：设△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ． （1）（举例应用）已知△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a ＝4,b ＝5,c ＝7,则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示,现测得AB ＝（）m ,BC ＝5m ,CD＝7m ,AD ＝m ,∠A ＝60°,求该块草地的面积．【答案】（1）（2）（）m 2【解析】解：（1）△ABC 的面积为S＝故答案为：；（2）解：过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E ,连接BD ,在Rt △ADE 中,∵∠A ＝60°,∴∠ADE ＝30°,∴AE ＝12AD ＝∴BE ＝AB ﹣AE ＝＝DE ==∴BD ==∴S △BCD =∵S △ABD ＝112422AB DE ⋅=⨯⨯=∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 24+ 19．（江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===． （2）用字母表示（1）中式子的规律,并给出证明． 【答案】（1）成立,理由见解析；（2）2211n nn n n n +=--（n ＞1）,理由见解析.【解析】解：（1）成立,===（2====,1)n =>,1)n ==>． 20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程,然后再解答：,只要我们找到两个正数a 、b ,使a +b ＝m ,ab ＝n ,使得22m +===（a＞b ）这里m ＝7,n ＝12,由于4+3＝7,4×3＝12即227+==2=（1＝ ,＝ ；（2【答案】（11 , ；（22.【解析】解：（1中,m =4,n =3,由于3+1=4,3×1=3+==即22411；,m＝9,n＝20,由于4+5＝9,4×5＝20+==即229=2（2这里m＝19,n＝60,由于15+4＝19,15×4＝60+==即2219=2221．（洛阳市期中）像2）2）＝1a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式．例如＋1﹣﹣有理化因式．进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1；（2）计算：（3的大小,并说明理由．【答案】（12）2＋；（3.【解析】解：（12＋（22＋；（3,,,．22．（江苏盐城市期中）先观察下列等式,再回答问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+；（1）根据上面三个等式,(直接写出结果) （2）根据上述规律,解答问题：设...m =+求不超过m 的最大整数是多少？【答案】（1）1120；（2）不超过m 的最大整数是2019．【解析】解：（1）观察可得1120；（2）m ＝112+116+1112+…+1120192020⨯ ＝1×2019+（12+16+112+…+1120192020⨯）＝2019+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+1120192020-）＝2019+（1﹣1 2020）=2019 20192020,∴不超过m的最大整数是2019．【拓展提升】1.数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数．其中错误的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.【解析】解：①带根号的数是无理数,,正确；③实数与数轴上的点是一一对应的关系,正确；④两个无理数的和一定是无理数,错误；⑤已知a＝2b＝2则a、b是互为倒数,正确．故答案为：B.2．（偃师市月考）设a,b部分,则21b a-的值为（）A1B1+C1D1【答案】B.∴a ,∴b ,∴21b a -, 故答案为：B ．3．（湖南邵阳市期末）若表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,则化简a b - ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a【答案】C .【解析】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ,|a |＞|b |, ∴a −b ＜0,a ＋b ＜0,∴a b -+|a −b |＋|a ＋b |＝b - a −（a ＋b ） ＝b - a –a -b =−2a ． 故答案为：C ．4.（四川期末）化简正确的是（ ）A B C D 【答案】C . 【解析】解：﹣1x＞0,得x ＜0,x. 故答案为：C ．5．（浙江杭州市）化简二次根式 ）A B C D 【答案】B .【解析】解：由题意知：a +2≤0,即a ≤-2,原式=a a ==故答案为：B .6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内,得________【解析】解：∵310a -≥, ∴a ＜0,∴a===．故答案为：a．7．将(0)a a -<化简的结果是___________________.【答案】 【解析】解：∵a ＜0 ∴a －3＜0,∴(a -=-故答案为：8．（北京期中）我们学完二次根式后,爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算22,23-的值,我们可以算122,233的值吗？金老师说：也是可以的,你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后,发现了这样的结论：0)nmaa =≥,例如：122=,3248===,那请你根据以上材料,写出123=____________,238=___________.4.【解析】123=,2384===．9．（龙口市期中）已知实数a 满足|2014-a |+a ,那么a -20142+1的值是______ ． 【答案】2016.【解析】解：∵a -2015≥0, ∴a ≥2015,∴原式可变形为：a -=a , ∴a -2015=20142, ∴a =20142+2015,∴a -20142+1=20142+2015-20142+1=2016. 故答案为：2016.10．（灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义,a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析,求22019a -的值． 【答案】（1）a ≥2021；a -2019；（2）2021. 【解析】解：（2）由（1）可知,∵2019a a -=,∴2019a a -=,2019=, ∴220202019a -=, ∴202019220a =-.11．先阅读下列解答过程,437+=,4312⨯=,即：227+=,=所以2====+问题：（1==____________﹔（2,只要我们找到两个正数a ,b （a b >）,使a b m +=,ab n =,即22m +== =__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11（2)a b >；（3.【解析】解：（11===；；（2)a b ===>；（3．12．（广东茂名市月考）阅读下述材料：我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用．其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式比如：-==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：-==>再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+≥-≥可知2x≥,而y==当2x=时,2,所以最大值是2．解决下述问题：（1）比较4和（2）求y=【答案】（1）4-<（2）y的最大值为2,1．【解析】解：（1）4===而4>4∴>4∴<（2）由10x -,10x +,0x 得01x ,y +∴当x =0时,有最大值1,1,所以y的最大值为2；当x =1时,1,0,所以y 1．13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标,设两条直角边的边长为a ,b ,则面积为12ab ,四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中,若0a >,0b >,代替a ,b 得,a b +≥,即2a b+≥（*）,我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x 取实数,2”为例给同学们介绍．2=0>0>,≥=,=时取等号,即当x =,最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a b a b +≥>>求最值,若ab 为定值,则+a b 有最小值． 请同学们根据以上所学的知识求下列代数式的最值,并求出取得最值时相应x 的取值．（1）若0x >,求22x x+的最小值； （2）若2x >,求12x x +-的最小值； （3）若0x ≥,的最小值． 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题知42=222x x x x++,∴422x x +≥,当且仅当242=x x 时取等号, 即当x =1时,最小值为4；（2）由题知11=2222x x x x +-++--, ∴1222x x -++≥-,当且仅当12=2x x --时取等号, 即当x =3时,最小值为4；（32922+,26≥,2, 即当x =1时,最小值为6.。

A BCDE F 专题一 梯形一、等腰梯形中的解题策略等腰梯形的性质定理一 等腰梯形同一底上的两底角相等。

已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD 。

求证：∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D 证明：梯形的解题策略一：作一腰的平行线，将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。

定理二 等腰梯形的对角线相等。

已知： 求证： 证明：应用：已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，连接AC 、BD 。

过点D 作DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证： AD+BC =2BM梯形的解题策略二：平移一条对角线，转化成三角形的问题。

定理三：梯形的中位线平行于两底，并且等于上底与下底的和的一半。

已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ， E 是AB 的中点，F 是 CD 的中点，连接EF 。

求证：1()2EF AD BC =+ 证明：连接AF 并延长交BC 于点M 。

梯形的解题策略三：过一腰中点作辅助线，构造全等三角形。

拓展：梯形的面积=中位线×高 综合练习：1、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD 。

连接AC 、BD 交于点O 。

求证：OB=OCABCDA BCD AB CDMAB C DO2、梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°。

E是AD的中点，F是BC的中点。

求证：1()2EF BC AD=-专题二四边形重点题型专讲1、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）在△ABC中，如果∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．猜想图中哪个四边形是等对边四边形，并证明你的结论．2、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．ABCDEF3、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，四边形ABCD中，AD=AB，∠BAD=60°，∠DCB=30°连接对角线AC．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．专题三、函数基础一、函数的定义重点抓住“对于自变量的每一个取值，函数（因变量）都有唯一的值与之对应”。