2019年北京四中高一上学期数学期中考试试题-真题

北京市第四中学2019届高三第一学期期中考试数学试卷（理）一、选择题1．设函数的定义域为，函数的值域为，则（）A．B．C．D．2．下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为（）A．B．C．D．3．函数（）的大致图象是（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是（）A．? B．? C．? D．?5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为（）A．B．C．D．6．原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件7．设，定义符合函数，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．8．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题9．i为虚数单位，计算_______________。

10．.11．命题“，使得成立”的否定是____________。

12．在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为______．13．已知函数，则，的最小值是．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

三、解答题15．已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－m<0}，(1)当m＝3时，求A∩ ∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．16．已知的三个内角分别为A,B,C,且（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若求的面积S.17．已知函数。

（I）求的最小正周期；（II）当时，求函数的单调递减区间。

18．已知实数，函数(x∈R).(1) 求函数的单调区间；(2) 若函数有极大值32，求实数a的值.19．已知函数。

北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。

高一数学（必修1）期中模拟卷一、选择题：（每小题5分，共12小题，合计60分） 1、 下列几个关系中正确的是（ ）A 、0{0}∈B 、 0{0}=C 、0{0}⊆D 、{0}∅=2、设:f M N →是集合M 到集合N 的映射，下列说法正确的是（ ）a 、M 中每一个元素在N 中必有输出值。

b 、N 中每一个元素在M 中必有输入值。

c 、N 中每一个元素在M 中的输入值是唯一的。

d 、N 是M 中所有元素的输出值的集合。

3、下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A、y B 、2x y x= C 、log (0,a x y a a =>且1)a ≠ D 、log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 4、集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ⊆ C 、N M ⊆ D 、M N =∅5、已知53()2f x x ax bx =-++且(5)17f -=，则(5)f 的值为（ ） A 、19 B 、 13 C 、 -19 D 、 -136、若0a <，则函数(1)1x y a =--的图象必过点（ ） A 、(0,1) B 、（0，0） C 、（0，-1） D 、（1，-1）7、要得到函数(2)1y f x =-+的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）a 向右平移2个单位，向下平移1个单位。

b 向左平移2个单位，向下平移1个单位。

c 向右平移2个单位，向上平移1个单位。

d 向左平移2个单位，向上平移1个单位。

8、定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ ） A ．9 B. 14 C.18 D.21 9、已知函数()312f x ax a =+-在区间（-1，1）上存在0x ，使得0()0f x =，则（ ）A 、115a -<<B 、15a >C 、1a <-或15a > D 、1a <- 10、对任意实数x 规定y 取14,1,(5)2x x x -+-三个值中的最小值，则函数y （A 、有最大值2，最小值1，B 、有最大值2，无最小值，C 、有最大值1，无最小值，D 、无最大值，无最小值。

2018-2019学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 21log 2的值为 A. 2 B. 2-C. 1D. 1-2. 集合M={1，2，3），则下列关系正确的是 A. 1∈M B. 1∉MC. 1⊆MD. 1⊂≠M3. 函数11+=x y 的定义域是 A. {R x x x ∈≠,0|}B. （1-，∞+）C. {R x x x ∈-≠,1|}D. R4. 若xxx f +-=11)(，则=)0(f A. 1B.21C. 0D. 1-5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A. 1+-=x yB. 3x y =C. 542+-=x x yD. xy )21(=6. 下列函数中，值域是{y ∈R|y>0}的是 A. 121+=x y B. ||1x y =C. 232++=x x yD. x y ln =7. 函数)(x f =x)21(x -的零点所在的一个区间是A. （－2，－1）B. （－1，0）C. （0，1）D. （1，2）8. 若log2 a <0，2b>1，则A. a >1，b >0B. 0<a <1，b >0C. a >1，b <0D. 0<a <1，b <09. 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，当x ≥0时)(x f =1-x ，则)(x f <0的解集是 A. （－1，0）B. （0，1）C. （∞-，1-） （1，+∞）D. （－1，1） 10. 若a >1，b <0，则函数b a y x+=的图象有可能是二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算：2lg +5lg =________；328=________。

2019北京四中高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，则集合A∩B＝（）A．{2，3，4，5} B．{3} C．{1，4，5} D．{1，3，4，5}2．（5分）函数的定义域是（）A．R B．{x|x＞2} C．{x|x≥1} D．{x|x≥1且x≠2}3．（5分）若a＞b，则下列各式中正确的是（）A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．a+c2＞b+c2D．4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2﹣2x B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）下列函数中：①②③y＝x2+1④偶函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）“x＞1”是“x2﹣x＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）9．（5分）下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1C．D．f（x）＝x﹣|x|10．（5分）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁U A）∩B＝．12．（5分）已知，则f（f（﹣1））的值为．13．（5分）函数y＝x2+3x﹣1，x∈[﹣2，3]的值域是．14．（5分）若x＞0，则f（x）＝4x+的最小值为．15．（5分）若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是．16．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为．②该小组人数的最小值为．三.解答题：本大题共3小题，共30分17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x2+4x+3＜0}，C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}．（1）求A∪B；（2）若C⊆A∪B，求实数k的取值范围．18．（8分）已知a，b＞0，证明：a3+b3≥a2b+ab2．19．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R，a≠0）．（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．（4分）已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝．21．（4分）不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是．22．（4分）已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是．（只填写序号）23．（4分）设．（1）当时，f（x）的最小值是；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是．24．（4分）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．（10分）已知函数f（x）＝x2+a|x﹣1|．（1）当a＝2时，解方程f（x）＝2；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．26．（10分）设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx2+cx+d，g（x）＝ax3+bx2+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．2019北京四中高一（上）期中数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据函数f（x）的解析式列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数中，令，解得x≥1且x≠2，所以函数f（x）的定义域是{x|x≥1且x≠2}．故选：D．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．3．【分析】由a＞b，根据不等式的基本性质即可得出结论．【解答】解：由a＞b，可得ac与bc大小关系不确定，ac2≥bc2，a+c2＞b+c2，与的大小关系不确定．因此只有C确定．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【分析】由二次函数的性质可知，y＝x2﹣2x在（0，+∞）上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y＝|x|在（0，+∞）上为增函数；由一次函数的性质可知，y＝2x+1在（0，+∞）上为增函数；由幂函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上为增函数，从而可判断y＝﹣（0，+∞）上为减函数【解答】解：由二次函数的性质可知，y＝x2﹣2x在（0，+∞）上先减后增，故A错误；y＝|x|在（﹣∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B错误；由一次函数的性质可知，y＝2x+1在（0，+∞）上为增函数，故C错误；由幂函数的性质可知，y＝在（0，+∞）上为增函数，从而有y＝﹣（0，+∞）上为减函数，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．5．【分析】将量词否定，结论否定，可得结论．【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：B．【点评】本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．【分析】对各函数分别检验是否满足f（﹣x）＝f（x）即可判断．【解答】解：①由＝f（x），可得f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），即不为偶函数；②f（x）＝的定义域为{x|x≠﹣1}，关于原点不对称，不是偶函数；③由二次函数的性质可知，y＝x2+1的图象关于y轴对称，为偶函数；④由可得f（﹣x）＝＝f（x）是偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查了偶函数的定义在偶函数判断中的应用，属于基础试题．7．【分析】先化简x2﹣x＞0得x＞1或x＜0，然后根据充分必要条件的定义加以判断即可．【解答】解：∵x2﹣x＞0⇔x＞1或x＜0，∴当x＞1时，x2﹣x＞0成立，当x2﹣x＞0时，x＞1不一定成立，∴“x＞1”是“x2﹣x＞0”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，注意运用定义，也可以运用集合的包含关系判断，是一道基础题．8．【分析】由已知可检验f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，结合零点判定定理即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x﹣3，∴f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝1＞0，由函数零点判定定理可知，函数在（1，2）上一定存在零点．故选：B．【点评】本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用，属于基础试题．9．【分析】根据题意，依次分析验证选项中函数是否符合f（2x）＝2f（x），综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝（x+2）2，f（2x）＝（2x+2）2＝4（x+1）2，2f（x）＝2（x+2）2，f（2x）≠2f（x）；对于B，f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1，2f（x）＝2（x+1）＝2x+2，f（2x）≠2f（x）；对于C，f（x）＝，f（2x）＝＝，2f（x）＝，f（2x）≠2f（x）；对于D，f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2x﹣2|x|，2f（x）＝2x﹣2|x|，f（2x）＝2f（x），符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．10．【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，f（0）＝，∴b＞0，由f（x）＝0得ax+b＝0，即x＝﹣，即函数的零点x＝﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．【分析】根据补集与交集的定义，计算即可．【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合∁U A＝{x|x≤0或x≥2}，所以集合（∁U A）∩B＝{﹣3，﹣1，3}．故答案为：{﹣3，﹣1，3}．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．12．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣1）的值，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，，则f（﹣1）＝3×（﹣1）2＝3，则f（f（﹣1））＝f（3）＝2×3﹣1＝5；故答案为：5．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13．【分析】由题意可求函数对称轴，再结合函数图象就可以求出函数的最大值和最小值．【解答】解：因为y＝x2+3x﹣1，所以函数对称轴为，因为x∈[﹣2，3]，所以当x＝时，y的值最小为，当x＝3时，y的值最大为32+9﹣1＝17，所以函数的值域为[，17]．故答案为：[，17]．【点评】本题主要考查求二次函数在给定区间上的值域问题，主要看对称轴相对区间的位置，画出图象即可求出答案．14．【分析】直接利用基本不等式求解函数的最小值即可．【解答】解：∵x＞0，∴4x+≥2＝（当且仅当4x＝即x＝时，取“＝”号），∴当x＝时，f（x）最小值为．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，最小值的求法，注意等号成立的条件．15．【分析】由已知条件可分析出二次函数f（x）的对称轴和开口方向，画出图象，有图象可得出a的取值范围．【解答】解：由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．①当a∈（﹣∞，2）时：，解得a≤0．②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），所以，解得a≥4．综上所求：a≤0或a≥4．故答案为：a≤0或a≥4【点评】考察了二次函数的图象和性质，培养学生的数形结合的数学思想．16．【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则，即4＜y＜x＜8，即x的最大值为7，y的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则，即z＜y＜x＜2z即z最小为3才能满足条件，此时x最小为5，y最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．三.解答题：本大题共3小题，共30分17．【分析】（1）化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；（2）由C⊆A∪B，写出关于k的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x2+4x+3＜0}＝{x|﹣3＜x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）由C＝{x|2k﹣1＜x＜2k+3}，且C⊆A∪B，令2k﹣1≥3或2k+3≤﹣1，解得k≥2或k≤﹣2，所以实数k的取值范围是k≤﹣2或k≥2．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．18．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，（a﹣b）2≥0，∴（a﹣b）2（a+b）≥0，则有a3+b3≥a2b+b2a．【点评】本题考查不等式的证明，重点考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．19．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，根据f（x）＞0，解出a的范围；（2）f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只需，求出的最小值后，解关于a的不等式，可得a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝．∵f（x）＞0，∴，∴0＜x＜2，∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}；（2）f（x）+g（x）＝＝，∵f（x）+g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，∴只需．∵当x＞0时，，当且仅当x＝1时取等号，∴，∴，∴a＜0或a≥，∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪[，+∞）．【点评】本题考查了分式不等式的解法，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能了，属中档题．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分20．【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{0，1，2，3}，N＝{0，2，4，6}，∴M∩N＝{0，2}．故答案为：{0，2}．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．21．【分析】由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集．【解答】解：根据绝对值的意义可得，|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2对应点的距离之和，而﹣3、2对应点到1和﹣2对应点的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≤5的解集是[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．22．【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①x＞0，y＞0，z＜0，②x＞0，y＜0，z＜0，③x+z＝0，y＝0．所以①xz＜yz正确．②xy＞yz，不正确．③xy＞xz，正确．④x|y|＞z|y|，不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．【分析】（1）当时，分别求出当x≤0和x＞0时函数的最小值，进行比较即可．（2）先判断当x＞0时，函数的最小值为2，然后讨论a的取值范围，结合一元二次函数的最值性质进行比较即可．【解答】解：（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x﹣）2≥（﹣）2＝，当x＞0时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a≤，即实数a的取值范围是[0，]，故答案为：，[0，]．【点评】本题主要考查函数最值的应用，解一元二次函数以及基本不等式分别求出当x＞0和当x≤0时的最值，进行比较是解决本题的关键．注意合理分类讨论．24．【分析】求出集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，由此能求出X1+X2+X3的最大值与最小值的和．【解答】解：解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3＝8+18+13＝39，当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+16+16＝48，当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3＝16+19+22＝57，∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57＝96．故答案为：96．【点评】本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三.解答题：本大题共2小题，共20分25．【分析】本题第一问，通过分类讨论去绝对值转化为一般一元二次不等式求解即可；第二问是含参函数单调性问题，分类讨论转化为二次函数单调性问题，考虑其对称轴即可，同时要注意在分段点处函数值的大小关系．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2+2|x﹣1|＝2．当x＜1时，x2+2（1﹣x）＝2，x2﹣2x＝0，得x＝0；当x≥1时，x2+2（x﹣1）＝2，x2+2x﹣4＝0，得．综上，方程f（x）＝2的解为x＝0或．（2）x≥1时，f（x）＝x2+a（x﹣1）＝x2+ax﹣a在[1，+∞）上单调递增，则，故a≥﹣2；0≤x＜1时，f（x）＝x2﹣ax+a，，故a≤0．且1﹣a+a≤1+a﹣a恒成立．综上，实数a的取值范围是[﹣2，0]．【点评】本题体现了分类讨论思想，对于含有绝对值的函数问题，通过分类讨论去绝对值，转化为一元二次方程和二次函数问题．26．【分析】（1）代入检验即可；（2）利用”k函数“定义求出；（3）换元法，设t＝﹣cx（x﹣1），根据t 的范围，对g（f（x））讨论，求出c的范围．【解答】解：（1）由f（x）＝x+1＝0，得x＝﹣1，所以g（f（﹣1））＝g（0）＝1，故x＝﹣1不是g（f（x））的零点，故不满足②，所以不是一对“K函数”，（2）设r为方程的一个根，即f（r）＝0，则由题设得g（f（r））＝0．于是，g（0）＝g（f（r））＝0，即g（0）＝d＝0．所以d＝0，反之g（f（x））＝f（x）[f4（x）+bf（x）+cf（x））＝0，则f（x）＝0成立，故d＝0；（3）因为d＝0，由a＝1，f（1）＝0得b＝﹣c，所以f（x）＝bx2+cx＝﹣cx（x﹣1），g（f（x））＝f（x）[f2（x）﹣cf（x）+c]，由f（x）＝0得x＝0，1，可以推得g（f（x））＝0，根据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，故f2（x）﹣cf（x）+c＝0必然无实数根设t＝﹣cx（x﹣1），则t2﹣ct+c＝0无实数根，当c＞0时，t＝﹣c（x﹣）2+，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t﹣）2+c﹣，所以h（t）min＝h（）＞0，即，解得c∈（0，），当c＜0时，t＝﹣c（x﹣）2+，h（t）＝t2﹣ct+c＝（t﹣）2+c﹣，所以h（t）min＝h（）＞0，即c﹣，解得c∈（0，4），因为c＜0，显然不成立，当c＝0时，b＝0，此时f（x）＝0在R上恒成立，g（f（x））＝c＝0也恒成立，综上：c∈[0，）．【点评】本题考查函数的新定义，求参数值和范围，用了分类讨论思想，二次函数的性质，难度大，综合性高．。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设函数的定义域为，函数的值域为，则A ．B ．C ．D ．2．在下列函数中，是偶函数,且在内单调递减的是A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是，则判断框内的条件是A ．? B ．? C ．? D ．?4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝3，A ＝，则C 为A ．B ．C ．D ．5．函数（）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．B ．C ．D ．6．设m,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设，定义符合函数，则下列等式正确的是A ．B ．C ．D ．二、填空题9．i 为虚数单位，计算_______________。

10．命题“，使得成立”的否定是____________。

11．已知向量，则a 与b 夹角的大小为_________.12．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．13．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有点，且，则___________．14．对于函数，若存在一个区间，使得，则称A 为的一个稳定区间，相应的函数叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是_____________。

北京市第四中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分。

考试时间：120分钟。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（ ）A. 0⊆AB. {0}∈AC. {0}⊂≠AD. A ∈Φ 2. 函数f （x ）=22-x ，则)21(f =（ ） A. 0 B. -2 C. 22 D. -22 3. 与函数y=lg （x-1）的定义域相同的函数是（ ）A. y=x-1B. y=|x-1|C. y=11-xD. y=1-x 4. 若函数f （x ）=x x -+33与g （x ）= x x --33的定义域均为R ，则（ ）A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数5. 设a=lg 0.2，b=2log 3，c=215，则（ ）A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a 6. 若指数函数y=x a )1(+在（-∞，+∞）上是减函数，那么（ ）A. 0<a<1B. -1<a<0C. a=-1D. a<-17. 设函数y=x 3与y=x )21(的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是R 上的偶函数，当x ≥0时f （x ）=2x -2，则f （x ）<0的解集是（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （-1，1）D. （-∞，-1）⋃（1，+∞）9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。

以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（ ）A. 不亏不盈B. 盈利372元C. 亏损140元D. 盈利140元10. 设函数f （x ）在（-∞，+∞）上是减函数，则（ ）A. )2()(a f a f >B. )()(2a f a f <C. )()(2a f a a f <+D. )()1(2a f a f <+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11. 326689log 4log -+=_______。

北京市房山四中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本答题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x＞1}2．设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|logx＞0|}，则A∩B等于（）2A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}3． =（）A．14 B．0 C．1 D．64．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥55．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣6．若a=30.3，b=（0.3）2，c=log0.2，则a，b，c的大小关系是（）3A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．函数f（x）=log（x﹣1）（a＞0，a≠1）的反函数的图象过定点（）aA．（0，2）B．（2，0）C．（0，3）D．（3，0）8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．x+x+2的零点个数为（）9．函数f（x）=log2A．0 B．1 C．2 D．310．函数y=（）的单调增区间为（）A．[1，2] B．R C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=______．12．函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，则g（x）=______．13．不等式的解集是______．14．函数 y=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为______．15．如果函数f（x）=是奇函数，则a=______．16．定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2x的值域是______．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17．已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）求f（x）的值域．18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，（1）设AN的长为x米，用x表示矩形AMPN的面积？（2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？19．已知：f（x）=lg（a x﹣b x）（a＞1＞b＞0）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a﹣b与1的大小．卷（II）四、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）．2的值等于（）20．若3a=4，则log3A．2a B．a C．D．21．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0）C．[0，4] D．（0，4）22．定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当f（a）+f（a2）＞0成立时，实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0或a＞1 D．a＜﹣1或a＞1五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）23．若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，则实数a的取值范围是______．24．已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为______．25．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，f（2）=，则m的取值范围是______．五、解答题：（本大题共2小题，26题8分，27题12分，共20分）26．解关于x的不等式2log4（x﹣1）＞log4[a（x﹣2）+1]（a为常数且a＞2）的解集．27．已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．北京市房山四中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本答题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数y=的定义域为（）A．{x|x≤1} B．{x|x＜1} C．{x|x≥1} D．{x|x＞1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1，故函数的定义域为{x|x≤1}，故选：Ax＞0|}，则A∩B等于（）2．设集合A={x|x2﹣1＞0}，B={x|log2A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合，即解一元二次不等式x2＞1，和对数不等式logx＞0，再求交集．2【解答】解：根据题意：集合A={x|x＜﹣1或x＞1}，集合B={x|x＞1}∴A∩B={x|x＞1}．故选A3． =（）A．14 B．0 C．1 D．6【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解： =4﹣﹣lg10﹣2+3lne=4﹣9+2+3=0，故选：B．4．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【考点】二次函数的性质．【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A5．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．0.2，则a，b，c的大小关系是（）6．若a=30.3，b=（0.3）2，c=log3A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性，分析出三个数与0和1的关系，即可得出答案．0.2＜0，【解答】解：∵a=30.3＞1，b=（0.3）2∈（0，1），c=log3则a，b，c的大小关系是c＜b＜a，故选：C．（x﹣1）（a＞0，a≠1）的反函数的图象过定点（）7．函数f（x）=logaA．（0，2）B．（2，0）C．（0，3）D．（3，0）【考点】反函数．【分析】先求函数过的定点，再求关于y=x的对称点，对称点就是反函数过的定点．（x﹣1）恒过（2，0），【解答】解：函数f（x）=loga函数和它的反函数关于y=x对称，那么（2，0）关于y=x的对称点是（0，2），即（0，2）为反函数图象上的定点．故选A．8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．9．函数f（x）=log2x+x+2的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数，数形结合可得β结论．【解答】解：函数f（x）=log2x+x+2的零点的个数，即函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数，画出图象如图所示：函数y=log2x 的图象和直线y=﹣x﹣2的交点个数为1，即函数f（x）=log2x+x+2的零点的个数为1．故选：B．10．函数y=（）的单调增区间为（）A．[1，2] B．R C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣3+4x﹣x2，则y=，本题即求函数t的单调减区间，利用二次函数的性质可得函数t 的减区间．【解答】解：令t=﹣3+4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，则y=，本题即求函数t的单调减区间．利用二次函数的性质可得函数t的减区间为[2，+∞），故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．11．已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N= {0，1，2} ．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】由M，N，以及两集合的交集确定出x的值，进而确定出M，求出M与N的并集即可．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}12．函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，则g（x）= ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接利用函数的解析式，求解即可．【解答】解：函数f（x）=3x﹣1，若f[g（x）]=2x+3，可得3g（x）﹣1=2x+3，解得g（x）=．故答案为：．13．不等式的解集是（﹣∞，0]∪[6，+∞）．．【考点】其他不等式的解法．【分析】转化指数不等式为二次不等式，然后求解即可．【解答】解：不等式可以转化为x2+x+6≤2x2﹣5x+6，即x2﹣6x≥0，解得x≤0或x≥6．所以不等式的解集为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[6，+∞）．14．函数 y=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象必过定点P，P点的坐标为（1，4）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】通过图象的平移变换得到y=3+a x﹣1与y=a x的关系，据y=a x的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）【解答】解：y=3+a x﹣1的图象可以看作把y=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，且y=a x一定过点（0，1），则y=a x﹣1+3应过点（1，4）故答案为：（1，4）15．如果函数f（x）=是奇函数，则a= 2 ．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由奇函数的定义可得，f（﹣x）+f（x）=0，再化简整理，即可得到a．【解答】解：函数f（x）=是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即有+=0，则=0，化简得到， =0，即=1，故a=2．故答案为：216．定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2x的值域是（0，1] ．【考点】函数的值域．【分析】为了求函数f（x）=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围，即可得到数f（x）=1*2x的值域．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=作出函数的图象，由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故答案为：（0，1]．三、解答题（本大题共3小题，共26分）17．已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）求f（x）的值域．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．【分析】（Ⅰ）利用分母不为0，求f（x）的定义域；（Ⅱ）利用函数奇偶性的定义，判断、证明f（x）的奇偶性；（Ⅲ）x＞0时，f（x）＞1，即可求f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由2x﹣1≠0，可得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}．（Ⅱ）奇函数证明：f（﹣x）=1+==﹣1﹣=﹣f（x）．∴f（x）是奇函数；（Ⅲ）x＞0时，f（x）＞1，∴值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）18．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米，（1）设AN的长为x米，用x表示矩形AMPN的面积？（2）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时：对（1）根据实际问题：由AN的长为x米，利用相似关系即可转化出边长AM，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围．对（2）利用（1）的结论由于矩形AMPN的面积大于32平方米，即可找到不等关系，变形后是解关于X在定义域内的一元二次不等式即可获得问题的解答．【解答】解：（1）设AN的长为x米（x＞2）∵，∴|AM|==|AN|•|AM|=（x＞2）∴SAMPN（2）由S＞32得＞32，AMPN∵x＞2，∴3x2﹣32x+64＞0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0∴或x ＞8；AN 长的取值范围是．19．已知：f （x ）=lg （a x ﹣b x ）（a ＞1＞b ＞0）．（1）求f （x ）的定义域；（2）判断f （x ）在其定义域内的单调性；（3）若f （x ）在（1，+∞）内恒为正，试比较a ﹣b 与1的大小．【考点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．【分析】（1）由对数的真数大于零得，a x ﹣b x ＞0，再由a ＞1＞b ＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；（2）先在定义域任取两个自变量，即x 2＞x 1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx 在定义域上是增函数，得出f （x 2）与f （x 1）的大小，判断出此函数的单调性；（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f （1），只要f （1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a ﹣b 与1的大小．【解答】解：（1）要使函数有意义，则a x ﹣b x ＞0，∴，∵，∴x ＞0，∴f （x ）的定义域为（0，+∞）． （2）设x 2＞x 1＞0，∵a ＞1＞b ＞0，∴，，则，∴，∴．∵函数y=lgx 在定义域上是增函数，∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在（0，+∞）是增函数．（3）由（2）知，函数f （x ）在（0，+∞）是增函数，∴f （x ）在（1，+∞）是增函数，即有f （x ）＞f （1），要使f （x ）＞0恒成立，必须函数的最小值f （1）≥0，即lg （a ﹣b ）≥0=lg1，则a ﹣b ≥1．卷（II ）四、选填题（本大题共3小题，每小题5分，共30分）．20．若3a =4，则log 32的值等于（ ）A ．2aB ．aC ．D ．【考点】对数的运算性质．【分析】先将指数式3a =4转化为对数式a=log 34，再根据对数的运算性质得到a=log 34=log 322=2log 32，所以log 32=．【解答】解：根据3a =4，得a=log 34，根据对数的运算性质得到，a=log 34=log 322=2log 322=∴log3故选C．21．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0）C．[0，4] D．（0，4）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|4x﹣x2|+a零点的个数，即为函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a交点个数，结合图象可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点函数y=|4x﹣x2|与函数y=﹣a有4个交点，如图所示：结合图象可得 0＜﹣a＜4，∴﹣4＜a＜0故选B22．定义域为R的奇函数f（x）是减函数，当f（a）+f（a2）＞0成立时，实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1或a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0或a＞1 D．a＜﹣1或a＞1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先根据函数是定义在R上的奇函数，把不等式f（a）+f（a2）＞0变形为f（a2）＞f（﹣a），再根据f（x）在R上是减函数，去函数符号，再解关于a的二次不等式即可．【解答】解：∵f（a）+f（a2）＞0，∴f（a2）＞﹣f（a），又∵f（x）为奇函数，∴f（a2）＞f（﹣a），∵f（x）在R上是减函数，∴a2＜﹣a，解得﹣1＜a＜0．故选：B．五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）23．若关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5] ．【考点】绝对值不等式．【分析】由绝对值的意义可得|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，故当a≤5时，关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，从而得到要求的a的范围．【解答】解：由于|x+2|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣2和3对应点的距离之和，它的最小值为5，故当a≤5时，关于实数x的不等式|x+2|+|x﹣3|＜a无解，故答案为：（﹣∞，5]．24．已知函数f（x）=（）x﹣（）x+1的定义域是[﹣3，2]，则该函数的值域为[] ．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【分析】由于x∈[﹣3，2]，可得≤≤8，令 t=，有y=t2﹣t+1=+，再利用二次函数的性质求出它的最值．【解答】解：由于x∈[﹣3，2]，∴≤≤8，令 t=，则有y=t2﹣t+1=+，故当t=时，y有最小值为，当t=8时，y有最大值为57，故答案为[]．25．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，f（2）=，则m的取值范围是﹣1＜m＜．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，即可得到结论．【解答】解：∵若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞1，∴f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）＜﹣1，即f（2）=＜﹣1，即+1==，则等价为（m+1）（3m﹣2）＜0，解得﹣1＜m＜，故答案为：﹣1＜m＜．五、解答题：（本大题共2小题，26题8分，27题12分，共20分）26．解关于x的不等式2log4（x﹣1）＞log4[a（x﹣2）+1]（a为常数且a＞2）的解集．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用对数函数的单调性把已知不等式变形，由a的范围求得的范围，求解不等式组得答案．【解答】解：原不等式等价于⇔，∵a＞2，∴，则2﹣，从而不等式组等价于：，即x＞a或．∴不等式的解集为{x|x＞a或}．27．已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称．（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象与图象变化；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由题意，h（1）=，从而可得（1，）关于（0，1）的对称点（﹣1，﹣）在函数f（x）=m（x+）的图象上，从而求m；（2）由对勾函数的单调性求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由h（1）=得，（1，）关于（0，1）的对称点（﹣1，﹣）在函数f（x）=m（x+）的图象上，故﹣=﹣2m，解得，m=；（2）g（x）=（x+）+==+，故1+a＞0，≥2，解得a≥3．。

2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。

北京四中高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1.的值为（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；B选项是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；D选项是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中，值域为，错误；D中的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间. 【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.计算:________；________.【答案】(1). 1(2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】;故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.10.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.11.函数，则其图象的对称轴方程为________；的增区间是________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时，增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2(2).【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）13.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.14.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.15.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）16.不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.17.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量（台）10 20 39 81 160则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.19.设全集，集合,则_______；_______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.二、解答题：（本大题共2小题，共22分）21.（12分）设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知log a（x2－x）>log a2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.22.（10分）给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合. （I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若A B=R，存在a∈R且a A，故a∈B，同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与a A矛盾，同理可知若，，与b B矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈A B，2+3=5A B，因此，A B不为闭集合.（III）证明：（反证）若A B=R,则因为A R，存在a∈R且a A，故a∈B,同理，因为B R，存在b∈R且b B，故b∈A,因为a+b∈R=A B，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与a A矛盾,若，则由B为闭集合，，与b B矛盾,综上，存在c∈R，使得c（A B）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.。