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第4讲加试计算题23题电磁
感应规律的综合应用
题型1 电磁感应中的动力学问题
1．(2017·浙江“七彩阳光”联考)半径为2r的圆形金属导轨固定在一水平面内，一根长也为2r、电阻为R的金属棒OA一端与金属导轨接触良好，另一端固定在中心转轴上，现有方向(俯视)如图1所示、大小为B1的匀强磁场，中间半径为r的地方无磁场．另有一水平金属导轨MN用导线连接金属圆环，M′N′用导线连接中心轴，导轨上放置一根金属棒CD，其长度L与水平金属导轨宽度相等，金属棒CD的电阻2R，质量为m，与水平导轨之间的动摩擦因数为μ，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场B2中，金属棒CD通过细绳、定滑轮与质量也为m的重物相连，重物放置在水平地面上．所有接触都良好，金属棒CD受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略其他摩擦和其他电阻，重力加速度为g.则：
图1
(1)若金属棒OA以角速度ω0顺时针转动(俯视)，求：感应电动势及接在水平导轨上的理想电压表的电压；
(2)若金属棒OA顺时针转动(俯视)的角速度随时间变化的关系为ω＝kt，求：重物离开地面
之前支持力随时间变化的表达式． 答案 见解析 解析 (1)感应电动势
E ＝B 1r
2ω0r ＋ω0r 2＝32
B 1ω0r 2
感应电流I ＝E 3R ＝B 1ω0r 2
2R
电压表示数U V ＝I ×2R ＝B 1ω0r 2
(2)电流I ＝E 3R ＝B 1ωr 22R ＝B 1kr 2t
2R
金属棒CD 受到的安培力
F 安＝B 2IL ＝B 1B 2kLr 2t
2R
重物离开地面之前受力平衡
F N ＋F T ＝mg
当F 安≤μmg 时即 t ≤2μmgR B 1B 2kLr 2，F T ＝0 所以F N ＝mg
当 F 安＞μmg 时即t ＞
2μmgR
B 1B 2kLr 2
，F T ＝F 安－μmg
所以F N ＝mg －B 1B 2kLr 2t
2R
＋μmg .
2．(2017·金华市高二上期末)如图2甲所示，在粗糙的水平面上有一滑板，滑板上固定着一个用粗细均匀的导线绕成的正方形闭合线圈，匝数N ＝10，边长L ＝0.4 m ，总电阻R ＝1 Ω，滑板和线圈的总质量M ＝2 kg ，滑板与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，前方有一长4L 、高L 的矩形区域，其下边界与线圈中心等高，区域内有垂直线圈平面的水平匀强磁场，磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化．现给线圈施加一水平拉力F ，使线圈以速度v ＝0.4 m/s 匀速通过矩形磁场．t ＝0时刻，线圈右侧恰好开始进入磁场，g ＝10 m/s 2
，求：
图2
(1)t ＝0.5 s 时线圈中通过的电流；
(2)线圈左侧进入磁场区域前的瞬间拉力F 的大小；
(3)线圈通过图中矩形区域的整个过程中拉力F 的最大值与最小值之比． 答案 (1)0.4 A (2)10.8 N (3)54∶49 解析 (1)线圈切割磁感线
E 1＝NB L
2
v ＝0.4 V
I 1＝E
R
＝0.4 A.
(2)线圈因匀速运动将要全部进入前， 右边导线所受向左的总安培力
F 1＝NBI 1L
2
＝0.4 N
上边导线所受向下的总安培力
F 2＝NBI 1L ＝0.8 N
滑动摩擦力F f ＝μ(Mg ＋F 2)＝10.4 N 故拉力：F ＝F 1＋F f ＝10.8 N.
(3)线圈左侧进入磁场区域后的瞬间拉力有最小值F min ，
t ＝1 s 时刻，在磁场运动 E 2＝N ΔΦΔt
＝0.2 V
线圈中形成顺时针方向的电流I 2＝E 2R
＝0.2 A 线圈上边受到向上的最大安培力
F 3＝NBI 2L ＝0.4 N
此时拉力F min ＝μ(Mg －F 3)＝9.8 N 所以最大值与最小值之比为54∶49.
1.电磁感应中动力学问题的基本特点
导体棒运动产生感应电动势→感应电流→通电导体棒受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化……周而复始地循环，最终导体棒的加速度等于零，导体棒达到稳定运动状态，要抓住a ＝0时速度v 达到最大的特点．
2．用牛顿运动定律处理电磁感应问题的基本思路
题型2 动力学和能量观点的综合应用
1．(2017·杭州市高三上期末)某同学在学习电磁感应后，认为电磁阻尼能够承担电梯减速时大部分制动的负荷，从而减小传统制动器的磨损．如图3甲所示，是该同学设计的电磁阻尼制动器的原理图．电梯箱与配重质量都为M，通过高强度绳子套在半径r1的承重转盘上，且绳子与转盘之间不打滑．承重转盘通过固定转轴与制动转盘相连．制动转盘上固定了半径为r2和r3的内外两个金属圈(如图乙)，金属圈内阻不计．两金属圈之间用三根互成120°的辐向导体棒连接，每根导体棒电阻均为R. 制动转盘放置在一对励磁线圈之间，励磁线圈产生垂直于制动转盘的匀强磁场(磁感应强度为B)，磁场区域限制在120°辐向角内，如图乙阴影区所示. 若电梯箱内放置质量为m的货物一起以速度v竖直上升，电梯箱离终点(图中未画出)高度为h时关闭动力系统，仅开启电磁制动，一段时间后，电梯箱恰好到达终点．
图3
(1) 若在开启电磁制动瞬间，三根金属棒的位置刚好在图乙所示位置，则此时制动转盘上的电动势E为多少？此时a与b之间的电势差有多大？
(2)若忽略转盘的质量，且不计其他阻力影响，则在上述制动过程中，制动转盘产生的热
量是多少？
(3)若要提高制动的效果，试对上述设计做出两处改进． 答案 见解析
解析 (1)ω＝v r 1
v a ＝ωr 3 v b ＝ωr 2
E ＝B (r 3－r 2)(v a ＋v b )2
联立解得：E ＝Bv (r 3 2－r 2 2
)
2r 1
I ＝E R ＋0.5R U ab ＝I ×0.5R
联立解得：U ab ＝Bv (r 3 2－r 2 2
)
6r 1
(2)Q ＋mgh ＝12(m ＋2M )v 2
解得：Q ＝12
(m ＋2M )v 2
－mgh
(3)增加励磁电流：减小金属棒的电阻；
增加金属棒的数目(用实心的金属材料做整个金属盘)． 增加外金属圈的半径r 3； 减小内金属圈的半径r 2；
减小承重转盘的半径r 1.(任选两项即可)
2．(2017·浙江名校新高考联盟联考)平行直导轨由水平部分和倾斜部分组成，导轨间距L ＝0.5 m ，PQ 是分界线，倾斜部分倾角为θ＝30°，PQ 右侧有垂直于斜面向下的匀强磁场B 2＝1 T ，
PQ 左侧存在着垂直于水平面但方向未知、大小也为1 T 的匀强磁场B 1，如图4所示．质量m
＝0.1 kg 、电阻 R ＝0.1 Ω的两根金属细杆ab 和cd 垂直放于该导轨上，其中ab 杆光滑，
cd 杆与导轨间的动摩擦因数为μ＝
3
2
，导轨底端接有R ＝0.1 Ω的电阻．开始时ab 、cd 均静止于导轨上．现对ab 杆施加一水平向左的恒定外力F ，使其向左运动，当ab 杆向左运动的位移为x 时开始做匀速直线运动，此时cd 刚要开始沿斜面向上运动(仍保持静止)，再经t ＝0.4 s 撤去外力F ，最后ab 杆静止在水平导轨上．整个过程中电阻R 的发热量为Q ＝1.0 J ．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(g ＝10 m/s 2
)
