探索“规形”的性质及其变式
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探索“规形”的性质及其变式
天津市第四十三中学
有这么一个“基本图形”如图1，这种图形似圆规，我们不妨称之为“规形”，它有一条重要性质：B D C A B C ∠=∠+∠+∠．下面我们来探索其性质及其变式。
∠BDC=∠A+∠B+∠C
一、 规形的基本性质证明及简单变形
途径一：利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角和
法一：如图2，连结ＡＤ并延长到Ｅ， ∵∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠CAB，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
法二：如图3，延长ＣＤ交ＡＢ于Ｆ，∵∠BDC=∠CFB+∠B，又∵∠CFB=∠A+∠C， ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
法三：如图4，延长ＢＤ交ＡＣ于Ｇ，∵∠BDC= ∠CGD+∠C，又∵∠CGD=∠A+∠B， ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
途径二：利用三角形的内角和等于1800
法四：如图5，连结BC ，
∵∠DB C+∠DCB=1800－∠BDC，又∵∠DB C+∠DCB=1800－（∠A+∠ABD+∠ACD）， ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C。
这个结论的证明很简单，但它的应用却非常广泛，特别是运用这条性质解答相关问题既快又准确。
如果我们让D 点动起来会是怎样的效果呢？结论还成立吗？我们不妨来研究一下。
变式1-1如图6，当点D 向下运动至与点B 、C 在同一直线时（此时∠BDC =180°），则有∠BDC=∠A+∠B+∠C =180° （即三角形内角和180°）
变式1-2 如图7，当点D 向下运动至BC 所在直线下方时，则有0
360()BD C A B C ∠=-∠+∠+∠（即四边形内角和360°）
C
B
G
B
A C
D
图4
B
A
C
D
图5
B
A
C
D
F
图3
B A
C
D E 图2
变式2-1如图8，当点D 向右运动至与点A 、C 在同一直线时，则有B D C A B C ∠=∠+∠±∠，
(0)C ∠=（实际B D C A B ∠
=∠+∠，即三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，
）
变式2-2 如图9， 当点D
向右运动至AC 所在直线右方时（蝶形），则有B D C A B C ∠=∠
+∠-∠
二、规形中∠BDC 与∠A、∠B、∠C 及其内角、外角平分线夹角的关系 变式3-1-1 如图10，∠A BD 、∠A CD 的平分线BE 、CE 交于点E ，则有 2∠E = ∠A + ∠BDC
变式3-1-2如图11，当点D 向下运动至与点B 、C 在同一直线（此时∠BDC =180°），∠A BC 、∠A CB 的平分线BE 、CE 交于点E 时，则有A E ∠+
︒=∠2190
变式3-2 如图12，∠BAC 、∠A BD 的平分线AE 、BE 交于点E ，则有 2∠E = 360°+∠C－∠BDC
变式3-3 如图13，∠BAC 、∠A CD 的平分线AE 、CE 交于点E ，则有 2∠E = 360°+∠B －∠BDC
变式4-1 如图14，∠A BD 、∠A CD 外角的平分线BE 、CE 交于点E ，则有 2∠E = 360°－∠A － ∠BDC
D 图6
图7
D
C
B
A
图8
D C
B A D
C
B
A
图9 D
图11
变式4-2 如图15，∠BAC 、∠A BD 外角的平分线AE 、BE 交于点E ，则有 2∠E =∠B DC －∠C
变式4-3 如图16，∠BAC 、∠A CD 外角的平分线AE 、CE 交于点E ，则有 2∠E = ∠BDC－∠B
变式5-1 如图17，∠BAC 的平分线AE 与∠A BD 外角的平分线BE 交于点E ，则有 2∠E =180°－∠BDC +∠C
变式5-2如图18，∠BAC 外角的平分线AE 与∠A BD 的平分线BE 交于点E ，则有 2∠E =180°－∠BDC +∠C
变式5-3 如图19，∠BAC 的平分线AE 与∠A CD 外角的平分线CE 交于点E ，则有 2∠E = 180°－∠BDC +∠
B
变式5-4 如图20，∠BAC 外角的平分线AE 与∠A CD 的平分线CE 交于点E ，则有 2∠E = 180°－∠BDC +∠B
变式5-5 如图21，∠A BD 的平分线BE 与∠A CD 外角的平分线CE 交于点E ，则有 2∠E = 180°－∠BDC +∠A
变式5-6如图22，∠A BD 外角的平分线BE 与∠A CD 的平分线CE 交于点E ，则有 2∠E = 180°－∠BDC +∠A
E
D
C
B
A 图14 E
D
C
B
A
图16
C
图15 图17 E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
图18 E
D
C
B
A
图19
D
E C
B
A
图20
E
图21 D
E
C
B
A
图22
变式6-1，如图23，∠A BD 的角平分线BE 与∠BDC 的角平分线的反向延长线DE 交于点E ，则有 2∠E=∠A +∠C
变式6-2，如图24，∠A CD 的角平分线CE 与∠BDC 的角平分线的反向延长线DE 交于点E ，则有2∠E=∠A +∠B
变式6-3，如图25，∠BAC 的角平分线AE 与∠BDC 的角平分线DE 交于点E ，则有2∠E=∠B －∠C
图23 图24 图25
B
A C
E
D
A
B
D
E
C
C。
