等差数列-学生版

第二节 等差数列一知识梳理一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n +1-a n =d (n ∈N *).(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项满足A =a +b2或者2A =a +b .(3)通项公式：如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2，推导方法是倒序相加法.二等差数列a n 的性质(1)等差数列的拓展通项公式：a n =a m +(n -m )d (n ，m ∈N *)，d =a n -a mn -m.(2)a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d ),当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，斜率为公差d ，反之亦成立.若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(3)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，⋯仍是等差数列，公差为kd .(4)☆若a m 1+a m 1+⋯+a mk =a n 1+a n 1+⋯+a nk ⇔m 1+m 2+⋯+m k =n 1+n 2+⋯+n k .特别地，若m +n =p +q =2k ，则a m +a n =a p +a q =2a k .三等差数列前n 项和S n 的性质(1)S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项．显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．(2)☆S n n =d 2n +a 1-d2，即S n n 也是等差数列，其公差为a n 的公差的一半.(3)☆等差数列依次k 项之和，仍是等差数列，即数列S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，⋯也是等差数列，公差为k 2d ．(4)☆S 2n -1=2n -1 (a 1+a 2n -1)2=2n -1 a n （a n 是前2n -1项的最中间项），例S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5;S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n a n +a n +1 （a n 和a n +1是前2n 项的最中间两项），例S 10=10(a 1+a 10)2=5a 5+a 6 .(5)☆当总项数为2n -1项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n -1项偶数项，S 偶=(n -1)(a 2+a 2n -2)2=(n -1)a n，此时，S 奇-S 偶=a n ，S 奇S 偶=nn -1；当总项数为2n 项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n 项偶数项，S 偶=n (a 2+a 2n )2=na n +1，此时，S 偶-S 奇=nd ，S 偶S 奇=an +1a n ；(6)☆综合(4)和(5)得，n 为奇数时，S n =na 中，S 奇=n +12a 中，S 偶=n -12a 中，∴S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，S 偶-S 奇=nd 2.(7)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n +p }，{pa n +qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1+qd 2.二题型讲解一等差数列的基础题型一等差数列基本量的计算解题通法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4=0，a 5=5，则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n 1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=a 8=8，则公差d =( )A.14B.12C.1D.22.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4=24，S 9=99，则a 7=( )A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5=-14，S 3=-39，则S 10=( )A.6B.10C.12D.204.(2022·陕西汉中)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 6=15，S 9=99，则等差数列a n 的公差是( )A.-4B.-3C.14D.45.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为.二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）2.(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2)，a 1=12.(1)求证：1S n是等差数列；(2)求a n 的表达式．反思感悟等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n -a n -1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法2a n =a n +1+a n -1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n =pn +q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式验证S n =An 2+Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7.下列选项中，为“数列a n 是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A.2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)B.a n 2=a n +1⋅a n -1n ≥2C.通项公式a n =2n -3D.a n +2-a n =a n +1-a n -1n ≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为( )A.a ，c ，b B.a 2，b 2，c 2C.|a |，|b |，|c |D.1a ，1b ，1c9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a n是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )A.a n+3B.a2nC.a n-1+a nD.2a n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n-1在直线x-y-3=0上，则( )A.数列a n是等差数列B.数列a n是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=3nD.数列a n的通项公式为a n=3n三求数列{|a n|}的前n项和3.数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*)，设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．反思感悟已知等差数列{a n}，求绝对值数列{|a n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．11.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=-22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.12.在数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求T n.二等差数列性质的应用一下标和性质的应用（m+n=p+q=2k）1.(2022·广州市阶段训练)已知{a n}是等差数列，a3=5，a2-a4+a6=7，则数列{a n}的公差为( )A.-2B.-1C.1D.2反思感悟(1)由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q求解(注意项数不变，脚标和不变)．(2)等差数列中最常用的性质：①d=a p-a qp-q，②a m1+a m1+⋯+a mk=a n1+a n1+⋯+a nk⇔m1+m2+⋯+m k=n1+n2+⋯+n k.特别地若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q. (3)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．1.(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=( )A.1452B.145C.1752D.1752.(2021·江西九江一中月考)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3=59，则S9S5=( )A.1B.-1C.2D.123.(2022·北京通州·一模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若a3+a5=20，则S7=( )A.60B.70C.120D.1404.(2022·浙江杭州·二模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=( )A.12B.15C.18D.215.(2022·安徽滁州)已知a n是公差不为零的等差数列，若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k∈N∗，则m+k=( )A.7B.8C.9D.106.(2022·河北石家庄·二模)等差数列a n的前n 项和记为S n，若a2+a2021=6，则S2022=( )A.3033B.4044C.6066D.80887.(2022·河南平顶山)已知S n为正项等差数列a n的前n项和，若a3+a9=a26，则S11=( ) A.22 B.20 C.16 D.118.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{a n }满足a n+1=a n+2且a2+a4+a6=9，则log3(a5+a7+ a9)=( )A.-3B.3C.-13D.13二等差数列前n项和S n的性质2.(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=1，S30=5，则S40=( )A.7B.8C.9D.10反思感悟思路1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{a n}的前n项和S n=An2+Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得S n，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40-S30，得S40；思路4：利用S nn是等差数列，由S1010、S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得S40.9.(2021·山东师大附中模拟)若S n 是等差数列{a n}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则a10=__，S19=_____.10.若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足A nB n=2n-13n+1，则a3+a7+a11b5+b9的值为( )A.3944B.58C.1516D.132211.已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n =2n +33n -1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532C.1D.212.(2022·四川师范大学附属中学二模(理))设等差数列a n ，b n 的前n 项和分别是S n ，T n ，若Sn T n =2n3n +7，则a 6b 5=( )A.65B.1117C.1114D.313.在等差数列{a n }中，a 1=-2023，其前n 项和为S n ，若S 1212-S1010=2，则S 2023=( )A.-2023 B.-2022C.-2021D.-202014.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=-12，S 9=45，则S 12=____.三数列中的S 奇、S 偶相关问题3.在等差数列{a n }中，S 10=120，且在这10项中，S 奇S 偶=1113，则公差d =________.15.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.516.已知在等差数列{a n }中，公差d =1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____．17.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_______，项数是________．三等差数列中的最值问题一关于S n的最值问题解题通法(1)在等差数列{a n}中，当a1>0，d<0时，S n有最大值，使S n取得最值的n可由不等式组a n≥0，a n+1≤0确定；当a1<0，d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组a n≤0，a n+1≥0确定．(2)S n=d2n2+a1-d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．1.在等差数列{a n}中，a1=25，S8=S18，求前n 项和S n的最大值．2.(2022·吉林市调研)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当S n 最大时，n=()A.6B.7C.10D.9延伸 ①本例2中若将“S5=S9”改为“S5=S10”，则当S n取最大值时n=；延伸②本例2中，使S n<0的n的最小值为.二关于S n＞0或S n＜0时n的最值问题3.(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<-1，且其前n项和S n有最大值，则使得S n>0的最大值n为()A.11B.19C.20D.21延伸本例3中，使S n取最大值时n=.1.(2021·长春市模拟)等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.92.在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为.3.(2022·重庆·二模)(多选)设等差数列a n前n 项和为S n，公差d>0，若S9=S20，则下列结论中正确的有( )A.a15=0B.当n=15时，S n取得最小值C.a10+a22>0D.当S n>0时，n的最小值为294.(2022·内蒙古赤峰)已知等差数列a n的前n 项和为S n，若a3=15，S2=36，则S n取最大值时正整数n的值为( )A.9B.10C.11D.125.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10=S20，则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<06.(2022·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列a n的公差为d，其前n项和为S n，且S5=S13，a6+ a14<0，则使得S n<0的正整数n的最小值为( )A.16B.17C.18D.19跟踪测验1(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7=15，则该数列前9项和S9=( ) A.18 B.27 C.36 D.452已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2= 4，S4=22，a n=28，则n=( )A.3B.7C.9D.103(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则( ) A.d=3 B.a10=12C.S20=280D.a1=-44一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的范围是(　) A.d>875 B.d<325C.875<d<325D.875<d≤3255（多选）等差数列{a n}是递增数列，满足a7= 3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是( )A.d>0B.a1>0C.当n=5时S n最小D.S n>0时，n最小值为86（多选）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=07(2022·安徽·芜湖一中)等差数列a n的前n 项和为S n，满足：3a27+S21=72，则S25=( ) A.72 B.75 C.60 D.1008(2022·全国·高三阶段练习(理))若数列3a n+2是等差数列，a1=1，a5=-53，则a2= ( )A.-1B.1C.-2D.29(2022·全国·高三专题练习)已知数列a nn∈N*是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0,S9=27，则数列a n的公差是( )A.1B.2C.3D.410(2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测(文))已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5+ 2a10+a13=18，则S18=( )A.74B.81C.162D.14811(2022·安徽合肥·二模)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15=5(a3+a8+a m)，则m的值为( )A.10B.12C.13D.1412(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知a，b，c成等差数列，则( )A.a2，b2，c2一定成等差数列B.2a，2b，2c可能成等差数列C.ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)一定成等差数列D.1a，1b，1c可能成等差数列一轮复习第六章数列13(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d<0”是“S n有最大值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14(2022·重庆·二模)等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，若a m=5，则S m的最大值为( )A.3B.6C.9D.1215(2022·云南师大附中)已知a n是等差数列，S n是a n的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n>S3”是“a4>a3”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件16(2022·四川南充)设等差数列a n的前n项和为S n，满足a1<0,S9=S16，则( )A.d<0B.S n的最小值为S25C.a13=0D.满足S n>0的最大自然数n的值为2517(2022·全国·高三专题练习)在等差数列a n中，S n为a n的前n项和，a1>0，a6a7<0，则无法判断正负的是( )A.S11B.S12C.S13D.S1418(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=019(2022·全国·高三专题练习)(多选)等差数列a n与b n的前n项和分别为S n与T n，且S2nT n= 8n3n+5，则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时，b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀x∈N*，T n>020(2022·全国·高三专题练习)(多选设a n是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7> S8，则下列结论正确的是( )A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值21(2022·云南昭通)等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n,S nT n=3n-22n+1,a1=2，则b n的公差为____.22(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n，T n，且S nT n= n2n+1，则a3b5=_________.23(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n，b n的前n项和分别为S n，T n，若S nT n= 3n-12n+3，则a9b11=______．1112一轮复习 第六章 数列公众号：玩酷高中数学24(2022·黑龙江·哈九中二模)已知数列a n 满足a 1a 2⋅⋅⋅a n =2-2a n ，n ∈N ∗．证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；25(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=4-4a nn ∈N *．求证：1a n -2 是等差数列；26(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足，a 1=3，a n +1=3-4a n +1n ∈N *，设数列b n =1a n -1(1)求证数列b n 为等差数列；(2)求数列a n 的通项公式；27(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．。

等差数列的概念、性质教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为_________________或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =A.669B.673C.662D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =A.669B.668C.662D.663 例2.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 例3.已知数列{}n a 满足1111,1,4n n a a a +==-其中n N +∈设221n n b a =- （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n a 的通项公式练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （）A.24B.22C.20D.18练习10.已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1） 求1b 和2b（2） 求{}n b 的通项公式（3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．102. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．523. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．354. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 100≤0D ．a 51＝05. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( )A ．30B ．27C ．24D ．216. 等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( )A ．60B ．61C ．62D ．63_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( )A ．11B ．12C ．13D ．142. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．333. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．644. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．1605. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12 6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.7. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．179. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤32513. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．5114. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23D ．－1 15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3416. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －119. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________.20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？24. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100的值． 25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．26.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.27.在△ABC中，若lgsin A，lgsin B，lgsin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断三角形的形状．。

等差数列的前n 项和__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点: 掌握等差数列前项和通项公式及性质, 数列最值的求解, 与函数的关系教学难点: 数列最值的求解及与函数的关系1. 数列的前n 项和一般地, 我们称为数列的前项和, 用表示；记法: 显然, 当时, 有 所以与的关系为n a = ①1S ()1n =②______________2. 等差数列的前n 项和公式___________________3. 等差数列前n 项和公式性质（1） 等差数列中, 依次项之和仍然是等差数列, 即 成等差数列, 且公差为_______（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （3） 等差数列中, 若, 则；若 则（4） 若和均为等差数列, 前项和分别是和, 则有4. 项数为的等差数列, 有有偶 -奇 =, 奇 /偶 =5. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+可以写成____________________若令1,,22d d A a B =-=类型一: 数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a练习1.已知数列的前项和求.练习2: 已知数列的前项和求例2.已知等差数列的前项和为 , 求及练习3.已知等差数列的前项和为，，求.....练习4.已知等差数列的前项和为, 求.(1) 例3.在等差数列中, 前项和为(2) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(3) 若499,6,a a ==-求满足54n S =的所有n 的值练习5.设 是等差数列的前项和, 则___________练习6.在等差数列中, 则的前5项和 ______________类型二: 等差数列前项和公式的性质（1） 例4.在等差数列中,（2） 若, 求（3） 若共有项, 且前四项之和为21, 后四项之和为67, 前项和 , 求（4） 若10100100,10S S ==求110S练习7.（2014山东淄博一中期中）设 是等差数列的前项和, 若, 则等于（） A.19 B.13 C.310 D.18练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列的公差, 则 （）A.2014B.2013C.1007D.1006例5.已知等差数列和的前项和分别为和, 且则=（）A..........B...........C..........D..练习9.已知是等差数列, 为其前项和, 若则的值为______练习10.已知等差数列的公差为2, 项数是偶数, 所有奇数项之和为15, 所有偶数项之和为35, 则这个数列的项数为______________类型三: 等差数列前项和公式的最值及与函数的关系例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =-（1） 这个数列是等差数列吗？ 求出它的通项公式（2） 求使得n S 最小的n 值练习11.已知等差数列的前项和为, 为数列的前项和, 求数列的通项公式练习12.等差数列中, 若, 求=_____________例7.已知等差数列中, 求使该数列前项和取得最小值的的值练习13.已知等差数列中, 则使前项和取得最小值的值为（）A.7B.8C.7或8D.6或7练习14.数列满足, 则使得其前项和取得最大值的等于（）A.4B.5C.6D.71.四个数成等差数列, S4＝32, a2a3＝13, 则公差d 等于( )A. 8B. 16C. 4D. 02.设{an}是等差数列，Sn 为其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( )A. d<0B. a7＝0C. S9>S5D. S6与S7均为Sn 的最大值.3.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn 是等差数列{an}的前n 项和，则使得Sn 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 184.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011005.在等差数列{an}中, 若S12＝8S4, 且d ≠0, 则等于( )A. B. C. 2 D.6.设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a1＝1，公差d ＝2，Sk ＋2－Sk ＝24，则k ＝( )A. 8B. 7C. 6D. 57.(2014·福建理，3)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A. 8B. 10C. 12D. 14_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知am－1＋am＋1－a＝0, S2m－1＝38, 则m＝( )A. 38B. 20C. 10D. 92.数列{an}是等差数列, a1＋a2＋a3＝－24, a18＋a19＋a20＝78, 则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2203.等差数列{an}的公差为d, 前n项和为Sn, 当首项a1和d变化时, a2＋a8＋a11是一个定值, 则下列各数中也为定值的是( )A. S7B. S8C. S13D. S154.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A. 5B. 4C. 3D. 25.在等差数列{an}中, a1＞0, d＝, an＝3, Sn＝, 则a1＝________, n＝________.6.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和, 且a1＝1, a4＝7, 则S5＝________.7.设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为________.8.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0, a7＋a10<0, 则当n＝________时, {an}的前n项和最大.9.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.10.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项a n；(2)若Sn＝242, 求n的值.能力提升11.在等差数列{an}和{bn}中, a1＝25, b1＝15, a100＋b100＝139, 则数列{an＋bn}的前100项的和为( )A. 0B. 4 475C. 8 950D. 10 00012.等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A. a8B. a9C. a10D. a1113.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A. 12B. 16C. 9D. 16或914.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A. 24B. 26C. 27D. 2815.设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )A. －6B. －4C. －2D. 216.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若＝，则等于( )A.310B.13C.18D.1917.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn, 若＝a1＋a200, 且A.B.C 三点共线(该直线不过点O), 则S200＝( )A. 100B. 101C. 200D. 20118.已知等差数列{an}的前n 项和为18, 若S3＝1, an ＋an －1＋an －2＝3, 则n ＝________.19.已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－8，则通项公式an ＝________.20.设{an}是递减的等差数列, 前三项的和是15, 前三项的积是105, 当该数列的前n 项和最大时, n 等于( )A. 4B. 5C. 6D. 721.等差数列{an}中, d<0, 若|a3|＝|a9|, 则数列{an}的前n 项和取最大值时, n 的值为______________.22.设等差数列的前n 项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1, S2, …, S12中哪一个值最大, 并说明理由.23.已知等差数列{an}中, a1＝1, a3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{an}的前k 项和Sk ＝－35, 求k 的值.24.在等差数列{an}中:(1)已知a5＋a10＝58, a4＋a9＝50, 求S10；(2)已知S7＝42, Sn ＝510, an －3＝45, 求n.25.已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝－n2＋n, 求数列{|an|}的前n 项和Tn.课程顾问签字： 教学主管签字：。

【例1】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例2】 数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．【例3】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例4】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++= _______.【例5】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S .【例6】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且416S =，864S =，求12S .典例分析等差数列的通项公式与求和【例7】 有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b ．【例8】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例9】 等差数列{}n a 的前m 项和m S 为30，前2m 项和2m S 为100，则它的前3m 项和3mS 为_______．【例10】 等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中*n ∈N ．⑴ 设函数()y f x =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列；⑵ 设函数()y f x =的图象的顶点到y 轴的距离构成数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【例12】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项及公差．【例13】 设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >，且9100,0S S ><，求当n S 取得最大值时n 的值．【例14】 已知等差数列{}n a 中，150a =，2d =-，0n S =，则n =（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例15】 已知{}n a 是等差数列，且253,9a a ==，11n n n b a a +=，求数列{}n a 的通项公式及{}n b 的前n 项和n S ．【例16】 在各项均不为0的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --等于（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例17】 设数列{}n a 满足1a 6=，24a =，33a =，且数列{}1n n a a +-()n *∈N 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．【例18】 已知22()2(1)57f x x n x n n =-+++-，⑴ 设()f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证{}n a 为等差数列． ⑵ 设()f x 的图象的顶点到x 轴的距离构成{}n b ，求{}n b 的前n 项和．【例19】 已知数列{}n a 是等差数列，其前项和为n S ，347,24a S ==．⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 设,p q 是正整数，且p q ≠，证明221()2p q p q S S S +<+．【例20】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例21】 有固定项的数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79．⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】 已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，123n a a a a ⋅⋅⋅，，，，成等差数列(n 为正偶数)．又2(1)f n =，(1)f n -=-，⑴求数列的通项n a ；⑵试比较12f ⎛⎫⎪⎝⎭与3的大小，并说明理由．【例23】 设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=则d 的取值范围是 ．【例24】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【例25】 在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．【例26】 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，2a ，3a 成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项； ⑵求数列{}2n a 的前n 项和n S ．【例27】 已知数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，n *∈N 都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求3a ，5a ；⑵设2121n n n b a a +-=-()n *∈N 证明：{}n b 是等差数列；⑶设12121()n n n n c a a q -+-=-(0)q n *∈N ≠，，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【例28】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30【例29】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【例30】 若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ）A B ．C ．D ．【例31】 已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-【例32】 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．80【例33】 等差数列{}n a 中，35a =-，61a =，此数列的通项公式为 ，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则8S 等于 ．【例34】 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数） ⑴在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中11a =，22a =，33a =，44a =，55a =， 11b =，24b =，35b =，44b =，51b =；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；⑵设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，34c =，18n S =证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；⑶设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =． 求证：123k k k d d d +++>>．【例35】 已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n = ．⑴求345,,a a a 的值；⑵设121n n b a -=+，1,2,3,n = ，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的2m ≥，*m ∈N ，在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由．。

专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=1，a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.292(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=()A.-2B.73C.1D.23(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且d 1= 2.1，d 2=2.2，则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D.若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10=.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +1-3.2024年高考真题(1)求a n 的通项公式；(2)求数列S n 的通项公式.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和，且4S n =3a n +4．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n -1na n ，求数列b n 的前n 项和为T n ．10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为S n ．若a 1=1,S 2=a 3-1．(1)求数列a n 前n 项和S n ；(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1，b 1=1，其中k 是大于1的正整数．(ⅰ)当n =a k +1时，求证：b n -1≥a k ⋅b n ；(ⅱ)求S ni =1b i ．12(新高考上海卷)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.2662(2024·河北张家口·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=1,a n +1=a n +1,n 为奇数2a n ,n 为偶数 ，则S 100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-1033(2024·山东日照·三模)设等差数列b n 的前n 项和为S n ，若b 3=2，b 7=6，则S 9=()A.-36B.36C.-18D.184(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 3=9,S 9=81，则S 12=()A.288B.144C.96D.255(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n 中，a 2，a 5是方程x 2-8x +m =0的两根，则a n 的前6项和为()A.48B.24C.12D.86(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0，则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.647(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi )，是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1)=1，H (2)=3，则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <1008(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和，若a 3=3,S 3=9，则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.129(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列，且a 1+2a 4+3a 9=24，则S 11=()A.33B.44C.66D.8810(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，那么称a n 为内和数列，并令b n =m ，称b n 为a n 的伴随数列，则()A.若a n 为等差数列，则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列，则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列，则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列，则a n 为递增数列11(2024·广东茂名·一模)已知T n 为正项数列a n 的前n 项的乘积，且a 1=2,T 2n =a n +1n ，则a 5=()A.16B.32C.64D.12812(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n 中，a 3⋅a 10=1，a 6=2，则公比q 为()A.12B.2C.14D.4二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n，且a n+a n+2=2a n+1，若存在k∈N∗，使S k+1 >S k+2>S k成立，则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p，总存在n0∈N∗，当n>n0时，a n<p14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n的通项公式为a n=92n-7n∈N*，前n项和为S n，则下列说法正确的是()A.数列a n有最大项a4 B.使a n∈Z的项共有4项C.满足a n a n+1a n+2<0的n值共有2个D.使S n取得最小值的n值为415(2024·山东临沂·二模)已知a n是等差数列，S n是其前n项和，则下列命题为真命题的是() A.若a3+a4=9，a7+a8=18，则a1+a2=5 B.若a2+a13=4，则S14=28C.若S15<0，则S7>S8D.若a n和a n⋅a n+1都为递增数列，则a n>0 16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n=12n2+52nC.a nn为递减数列 D.1a n a n+1的前5项和为421 17(2024·江西·三模)已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a n+1，则()A.数列a n是等比数列 B.数列log2a n+1是等差数列C.数列a n的前n项和为2n+1-n-2 D.a20能被3整除18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n的首项为a1公比为q，下列条件能使a n既有最大值，又有最小值的有()A.a1>0，0<q<1B.a1>0，-1<q<0C.a1<0，q=-1D.a1<0，q<-1三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n满足a n+2-a n=2，若a1=1，a4=4，则数列a n的前20项的和为．20(2024·云南·二模)记数列a n的前n项和为S n，若a1=2,2a n+1-3a n=2n，则a82+S8=.21(2024·上海·三模)数列a n满足a n+1=2a n(n为正整数)，且a2与a4的等差中项是5，则首项a1= 22(2024·河南·三模)数列a n满足a n+1=e a n-2n∈N*，a2+a3=3x0，其中x0为函数y=e x-2-x2(x> 1)的极值点，则a1+a2-a3=.23(2024·上海·三模)已知两个等差数列2，6，10，⋯，202和2，8，14，⋯，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为．24(2024·湖南长沙·三模)已知数列a n 为正项等比数列，且a 2-a 3=3，则a 1的最小值为.四、解答题25(2024·黑龙江·三模)已知等差数列a n 的公差d >0，a 2与a 8的等差中项为5，且a 4a 6=24.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数，1a n an +2,n 为偶数，求数列b n 的前20项和T 20.26(2024·湖南长沙·三模)若各项均为正数的数列c n 满足c n c n +2-c 2n +1=kc n c n +1(n ∈N *,k 为常数)，则称c n 为“比差等数列”.已知a n 为“比差等数列”，且a 1=58,a 2=1516,3a 4=2a 5.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n ,n 为奇数b n -1+1,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和S n .27(2024·山东潍坊·三模)已知正项等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，且S1+1，S2，S3+1成等比数列.(1)求数列a n的通项公式a n；(2)若b n=1S n,n为奇数，S n⋅sin n-1π2,n为偶数，求数列b n 的前4n项和.28(2024·上海·三模)已知等比数列a n的公比q>0，且a3+a1a5=6，a6=16．(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足b n=λ⋅3n-a n，且b n是严格增数列，求实数λ的取值范围．29(2024·山东泰安·模拟预测)在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有23的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1,p2=0．① 试证明：p n-1 3为等比数列；② 设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p2024与q2024的大小．30(2024·湖南邵阳·三模)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z=a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ=θ，OZ=r，则任何一个复数z=a+bi都可以表示成：z=r cosθ+i sinθ的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ<2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz.复数有以下三角形式的运算法则：若z i=r i cosθi+i sinθi,i=1,2,⋯n，则：z1⋅z2⋅⋯⋅z n=r1r2⋯r n cosθ1+θ2+⋯+θn+i sinθ1+θ2+⋯+θn，特别地，如果z1=z2=⋯z n=r cosθ+i sinθ，那么r cosθ+i sinθn=r n cos nθ+i sin nθ，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：(1)求复数z=1+cosθ+i sinθ，θ∈π,2π的模z 和辐角主值argz(用θ表示)；(2)设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足sinθ+i cosθn=sin nθ+i cos nθ，那么这样的n有多少个？(3)求和：S=cos20°+2cos40°+3cos60°+⋯+2034cos2034×20°31(2024·湖南长沙·二模)集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A 和B ，定义和集A +B =a +b a ∈A ,b ∈B ，用符号d (A +B )表示和集A +B 内的元素个数.(1)已知集合A =1,3,5 ，B =1,2,6 ，C =1,2,6,x ，若A +B =A +C ，求x 的值；(2)记集合A n =1,2,⋯,n ，B n =2,22,⋯,n 2 ，C n =A n +B n ，a n 为C n 中所有元素之和，n ∈N *，求证：1a 1+2a 2+⋯+n a n <2(2-1)；(3)若A 与B 都是由m m ≥3,m ∈N * 个整数构成的集合，且d (A +B )=2m -1，证明：若按一定顺序排列，集合A 与B 中的元素是两个公差相等的等差数列.32(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a 1=1，a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N *).数列b n 对于确定的正整数k ，若存在正整数n 使得b k +n =b k +b n 成立，则称数列b n 为“k 阶可分拆数列”.(1)已知数列c n 满足c n =ma n (n ∈N *，m ∈R ).判断是否对∀m ∈R ，总存在确定的正整数k ，使得数列c n 为“k 阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列{d n }的前n 项和为S n =3n -a a ≥0 ，(i )若数列{d n }为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a 的值；(ii )在(i )问的前提下，若数列f n 满足f n =an S n，n ∈N *，其前n 项和为T n .证明：当n ∈N *且n ≥3时，T n <a 21+a 22+a 23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 2n -a n a n +1+1成立.。

等差数列（三）
知识纵横
等差数列中求公差的公式：公差=(末项-首项)÷(项数-1)
字母公式：d=(a n - a1)÷(n -1)
等差数列中末项的公式：末项=首项+(项数-1)×公差
字母公式：a n= a1+ （n -1）⨯d
等差数列中项定理：和=中间项×项数。

例 1
图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律叠放下去，第17个叠放的图形中，小正方体木块一共有多少个？
图1 图2 图3
试一试 1
有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，这个六边形点阵共 21层。

问：这个点阵共有多少个点？
例 2
木木练习口算，她将从1开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是444，但她重复计算了其中一个数。

那么木木重复计算了哪个数？
试一试 2
乐乐将从1开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是220，但他少计算了其中的一个数。

乐乐少计算的那个数是多少？
例 3
编号为1~7的七个盒子中共放有91个珠子，已知从2号盒子开始，每个盒子都比前一号盒子多放同样数量的珠子。

如果1号盒子放4个珠子，那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个珠子？
试一试 3
小杜读一本故事书，第一天读了5页，第五天读了17页，已知每天读的页数恰好构成一个等差数列，十天刚好把书读完。

那么这本故事书共有多少页？
例 4
有15个数构成等差数列，从小到大排成一行，中间的数是13。

前12个数的和比后3个数的和多45。

那么最后一个数是多少？。

4.2.3等差数列的前n项和性质性质1、已知S n=2n2+3n，则a n={S1 (n=1)S n−S n−1 (n≥2)=______________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。

已知S n=2n2+3n+1，则a n=_________________，此时{a n}不是等差数列，因为它的前三项是___________________.已知S n=an2+bn，则a n=_________________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。

性质2、因为S n=a1+a2+a3+⋯a n,所以加上一个正数，S n会增大，加上一个负数，S n会减小。

那么就有：已知{a n}为等差数列，公差为d，则①若a1>0，d>0.则a n均_____0，此时S n单调递________;②若a1>0，d<0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m≥0a m+1≤0时，S n有最大值S m.③若a1<0，d<0.则a n均_____0，此时S n单调递________;④若a1<0，d>0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m________0a m+1_____0时，S n有最小值S m.【小有所成】例1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.例2、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=10，公差d=−2，则S n是否存在最大值？若存在，求S n的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.【驾轻就熟】1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2. 已知数列{a n}的前n项和S n=14n2+23n+3．求这个数列的通项公式．3. 已知等差数列−4.2，−3.7，−3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．4. 求集合M={m|m=2n−1,n∈N∗，且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和．5. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15，前n项和为S n．求S n取得最小值时n的值．。

【例1】 判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？【例2】 若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（ ）A ．19B ．21C ．37D ．41【例3】 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．【例4】 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75【例5】 在等差数列{}n a 中，533a =，45153a =，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63【例6】 在等差数列{}n a 中，47a =，1121a =，则它的首项1a =_______，前n 项和n S =_______．典例分析等差数列的定义【例7】 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【例8】 ⑴ 在等差数列{}n a 的公差为d ，第m 项为m a ，求其第n 项n a ．⑵ 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，①求通项n a ；②若242n S =，求n .⑵ 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2329,S S =424S S =，求数列{}n a 的通项公式．【例9】 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，求证1{}na 是等差数列，并求通项n a ．【例10】 等差数列{}n a 中, 25a =，633a =，则35a a +=______________．【例11】 设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．【例12】 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．35B ．33C ．31D ．29【例13】 证明以下命题：⑴ 对任一正整数a ，都存在正整数b ，c ()b c <使得2a ，2b ，2c 成等差数列；⑵存在无穷多个互不相等的三角形n △，其边长n a ，n b ，n c ，为正整数，且2n a ，2n b ，2n c 成等差数列．【例14】 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

目录等差数列深入 (2)模块一：数列的基础概念 (2)考点1：数列的单调性 (2)考点2：an与Sn关系 (6)模块二：等差数列的an与Sn (6)考点3：等差数列基本量 (6)模块三：等差数列的性质 (8)考点4：等距离性质 (9)考点5：中项求和性质 (10)模块四：等差数列判定 (10)考点6：等差数列的判定 (11)课后作业： (12)等差数列深入模块一：数列的基础概念1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ． 2．数列的分类① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列．3.数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前项和公式． 数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥，1121n n n S S n a S n --⎧=⎨=⎩，≥，考点1：数列的单调性例1.（1）（2017秋•八步区校级月考）在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B ．8658C ．8258D ．108（2）（2019春•桥西区校级月考）数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若{}n a 是递减数列，则λ的取值范围是( ) A ．(,4)-∞ B ．(-∞，4] C ．(,6)-∞ D ．(-∞，6]（3）（2018春•高安市校级月考）已知数列{}n a 的通项公式为22n a n kn =++，若对于*n N ∈，都有1n n a a +成立，则实数k 的取值范围( ) A ．3k - B ．3k >- C ．2k - D ．2k >-（4）（2018春•安徽期末）设函数8(4)5,8(),8x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,4)4B ．13[,4)4C ．(1,4)D ．(3,4)例2.（1）（2019春•辛集市校级月考）已知*)n a n N =∈，则数列{}n a 的前50项中最小项和最大项分别是( ) A ．1a ，50a B ．1a ，44aC ．45a ，50aD ．44a ，45a（2）．设数列的通项公式是2(1)n n t t a n t--=-，若3a 最大，4a 最小，则实数t 的取值范围为( )A ．2)B ．(1,2)C ．(2-，⋃，2)D ．(2,-例3.（1）（2018秋•海淀区期中）数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(-∞，0] B ．[0，)+∞C ．(,2)-∞D ．[1，)+∞（2）（2019春•金安区校级期末）数列{}n a 的通项公式是9(2)()10n n a n =+，那么在此数列中( ) A ．78a a =最大 B ．89a a =最大 C ．有唯一项8a 最大 D ．有唯一项7a 最大（3）（2018春•东阳市校级月考）已知数列{}n a 的通项公式为10(1)()11n n a n =+，则它的最大项是( ) A ．第1项 B ．第9项C ．第10项D ．第9项或第10项考点2：a n 与S n 关系例4.（1）（2018秋•浏阳市期中）已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =++，则4a = ．（2）（2018•潍坊三模）已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则26(a a = ) A ．164B ．116C ．16D ．64（3）（2018春•朝阳区校级期中）数列{}n a 的前n 项和2n n S n =，则n a = ．模块二：等差数列的a n 与S n通项的主要公式：⑴()11n a a n d =+-；⑵a n =S n −S n−1(n ≥2)． 前n 项和S n 的公式：⑴S n =n (a 1+a n )2；⑵S n =na 1+n (n−1)2d ．考点3：等差数列基本量例5.（1）（2019春•南明区校级月考）在等差数列{a n }中，a 1011＝5，a 1+2a 4＝9则a 2019＝（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（2）（2019春•越城区校级月考）在x 和y 之间插入n 个实数，使它们与x ，y 组成等差数列，则此数列的公差为（ ） A ．y−x nB ．y−x n+1C ．x−y n+1D ．y−x n+2（3）（2019春•文峰区校级月考）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 6＝25，S 5＝40，则数列{a n }的公差d ＝（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1（4）（2017秋•鱼峰区校级月考）设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S m ﹣1＝﹣4，S m ＝0，S m +2＝14（m ≥2且m ∈N +），则m ＝ ．例6.（1）（2019•广元模拟）在等差数列{a n }中，a 1＝﹣2018，其前n 项和为S n ，若S 1515−S 1010=5，则S 2019的值等于（ ） A ．0 B ．﹣2018 C ．﹣2019 D ．﹣2017（2）（2018秋•平城区校级月考）在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，a 1＝﹣2018，S 20152015−S 20132013=2，则S 2018＝（ ）A ．2018B ．﹣2018C ．2017D ．﹣2017（3）（2019春•思明区校级月考）等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝﹣9，S 99−S 77=2，则S 12＝ ．模块三：等差数列的性质等差数列{a n }的性质（其中{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ）： （1）()n m a a n m d =+-（*m n ∈N ，）；（2）若p +q =m +n ，则有a p +a q =a m +a n ；若2m =p +q ，则有2a m =a p +a q （p ，q ，m ，n ∈N ∗）；（3）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n+m ，a n+2m ，……为等差数列，公差为md ；（4）若{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n−1=(2n −1)a n ．（5）1121n n a a a ++，，，；2222n n a a a ++，，，；……；23n n n a a a ，，，是等差数列，故它们的和数列也是等差数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等差数列．（6）若{a n }为等差数列，则{S n n }是等差数列，公差为d 2，且S nn =d 2n +(a 1−d2)．（7）用函数的观点看等差数列的通项公式与前n 项和公式： 1()n a dn a d =+-，0d ≠时，n a 是关于n 的一次函数；S n =d 2n 2+(a 1−d2)n ，0d ≠时，S n 是关于n 的常数项为零的二次函数，可以考虑二次函数的对称性与最值．同样，若2n S An Bn =+，则{}n a 一定是等差数列．考点4：等距离性质例7.（1）（2018秋•赫山区校级月考）已知数列{a n }满足2a n ＝a n ﹣1+a n +1（n ≥2），a 2+a 4+a 6＝12，a 1+a 3+a 5＝9，则a 1+a 6＝（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9（2）（2019•江西模拟）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3+a 5+a 7+a 9＝20，则S 9＝（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．54（3）（2014秋•景洪市校级期末）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝13，S 15＝63，则S 20＝（ ） A ．100 B ．90 C ．120 D ．110考点5：中项求和性质例8.（1）（2019春•和平区校级月考）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 8＝8a 5﹣4，则该数列的公差是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2）（2018春•香坊区校级月考）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 9S 12=（ ）A ．13B ．35C ．38D ．29（3）（2019春•上高县校级月考）等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n=3n−1n+5，则a 6b 6=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5模块四：等差数列判定等差数列的常用判定方法：{a n }是等差数列： ⑴公式法：①利用通项公式n a kn b k b =+，，是常数；②前n 项和公式2n S An Bn A B =+，，是常数． ⑵定义法：∀n ∈N ∗，a n+1−a n =d ，其中d 是常数． ⑶等差中项法：∀n ∈N ∗，2a n+1=a n +a n+2．考点6：等差数列的判定例9.（2017秋•上杭县校级月考）已知数列{}n a 满足：12a =，192(1)4n n a n a -=->+，记11n n b a =+． （1）求证：数列{}n b 等差数列； （2）求n a ．例10.（2019春•库尔勒市校级月考）已知：在数列{}n a 中，114a =，111244n n n a a ++=+． （1）令4nn n b a =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若n S 为数列{}n a 的前n 项的和，59n nS na λ+对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的最小值．课后作业：1．（2018秋•朝阳区期末）已知数列{}n a 满足*6(3)3,7,(),7n n a n n a n N a n ---⎧=∈⎨>⎩．若{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(2,3) C ．[2，3) D ．(1,3)2．已知数列{}n a 通项为n a ，当n a 取得最大值时，n 的值为( )A ．16B ．15C ．17D ．143．（2020春•上饶期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S =-，则10(a = ) A ．256 B ．512 C ．1024 D ．20484．（2019春•上高县校级月考）等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且6631,(5n n S an T n b -==+则 ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（2020•鄂尔多斯模拟）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6(S =) A ．21 B ．22C ．11D ．126．（2020春•温州期末）设数列{}n a 满足2n na n λ=+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．。

等差数列一、知识梳理1．数列的定义:按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________ 2、已知数列{a n}的前n项和S n，则a n＝________3．等差数列的定义：4、等差数列的通项公式：5．等差数列的前n项和公式：6、等差数列的前n项和公式与函数的关系：（1）（2）7、等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋________(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________.(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}是________数列．(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．8．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最值；若a1<0，d>0，则S n存在最值．试一试1．若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，而数列{a n}的前n项和数值最大时，n 的值为．2．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝.3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ .4．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ .题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3333，….题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .题型三 等差数列基本量的运算例3 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .跟踪训练 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ . (2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ .(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ．题型四 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ . (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .题型五 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．课堂练习：1．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．2、已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则其通项公式为．3、设数列{a n}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝.4、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝.5、已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a n＋2S n S n－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n与{a n}是否为等差数列，并说明你的理由．6、在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝.7、在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝.8、已知等差数列{a n}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和S n的最大值为．9、若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大．6.1等差数列作业1．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ .2．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ .3．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．4、在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝ 12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．5．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ .6、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是 ．7．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ .8、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为 ．9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 ．10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3.(1)求a n ； (2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.数列的概念及简单表示法一、知识梳理 1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2、已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最 大 值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最 小 值．试一试1．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n的值为 ． 答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ . 答案 12解析 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12.2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝ . 答案 20解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0. 又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20.3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ . 答案 88解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 ．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为 ．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ .答案 (1)52(2)5 解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)由题意得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0， 故a 1＝－m －12， 因为a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d＝－(m －1)＋2m －1＝5，即m ＝5.思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝ .(2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝ . (3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是 ． 答案 (1)13 (2)48 (3)2解析 (1)由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，故a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.(2)∵S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S 6＝3＋15d ＝48.(3)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.题型二 等差数列的性质及应用例2 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝ .(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ．(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 016＝ .答案 (1)45 (2)13 (3)2 016解析 (1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列．即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.(2)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d . 则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ＝－2 014＋2 015＝1， ∴S 2 016＝1×2 016＝2 016.思维升华 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；{S n n}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．(1)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝ .(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 答案 (1)28 (2)60解析 (1)∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.(2)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.题型三 等差数列的判定与证明例3 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.思维升华 等差数列的四个判定方法：(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)， 又因为S 1＝a 1＝12， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n. 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)， 而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1). 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．等差数列的前n 项和及其最值典例：(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝ .(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝ .(3)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为 ．(4)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝ 时，{a n }的前n 项和最大．思维点拨 (1)求等差数列前n 项和，可以通过求解基本量a 1，d ，代入前n 项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…；(2)求等差数列前n 项和的最值，可以将S n 化为关于n 的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.(3)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝20n －n (n －1)2×2 ＝－n 2＋21n ＝－(n －212)2＋(212)2， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.(4)∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.答案 (1)45 (2)－110 (3)110 (4)8温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前n 项和S n 的最值时，要注意到n ∈N *；(2)利用等差数列的性质求S n ，突出了整体思想，减少了运算量.方法与技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．失误与防范1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数．2．公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.课堂练习：4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为 ． 答案 －49解析 由题意知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103. 两式相减得a 15－a 10＝103＝5d ， ∴d ＝23，a 1＝－3. ∴nS n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫na 1＋n (n －1)2d ＝n 3－10n 23＝f (n )， 令f (x )＝x 3－10x 23，x >0， f ′(x )＝13x (3x －20)． 令f ′(x )＝0得x ＝0(舍)或x ＝203. 当x >203时，f (x )是单调递增的； 当0<x <203时，f (x )是单调递减的． 故当n ＝7时，f (n )取最小值，f (n )min ＝－49.∴nS n 的最小值为－49.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝ . 答案 －3解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4，∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.2．已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝ . 答案 1021 解析 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，所以直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)，所以a 1＝1，a 2＝3，所以公差d ＝2，a n ＝2n －1，所以b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(11－121)＝1021. 3．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝ . 答案 100解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.4．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则当{a n }的前n 项和S n 取到最大值时n 为 ．答案 5解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.5．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ．答案 60解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.6．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝ . 答案 2n －1解析 设等差数列的公差为d ，∵a 3＝a 22－4，∴1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n的值是 ．答案 6解析 依题意得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2>0，a 7＝－1<0；又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ . 答案 14解析 由已知1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， ∴a 10＝14. 9．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 015＝0.(1)求S n 的最小值及此时n 的值；(2)求n 的取值集合，使其满足a n ≥S n .解 (1)设公差为d ，则由S 2 015＝0⇒2 015a 1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a 1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a 1，a 1＋a n ＝2 015－n 1 007a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 015－n 1 007a 1＝a 12 014(2 015n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 007或1 008时，S n 取最小值504a 1.(2)a n ＝1 008－n 1 007a 1， S n ≤a n ⇔a 12 014(2 015n －n 2)≤1 008－n 1 007a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 017n ＋2 016≤0，即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n ≤2 016.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 016，n ∈N *}．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为 ．答案 19解析 ∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.2．(2013·辽宁改编)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中，真命题为 ．答案 p 1，p 4解析 由于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1)， 当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a n n}递增， 但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．综上，正确的命题为p 1，p 4.3．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为．答案19 41解析∵{a n}，{b n}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.4．已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4(n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3. (1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1. (1)解 由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3， 得1a n ＋1＝a n ＋33a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2， ∴{1a n }是以2为首项，以13为公差的等差数列． ∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53， ∴a n ＝3n ＋5. (2)证明 ∵b n ·n (3－4a n )a n＝1， 则由(1)得b n ＝1n (n ＋1)，∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1关于n单调递增，∴12≤S n<1.。