1-2-1-1等差数列的认识与公式运用学生版

(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。

4.2.1 等差数列的概念（1）导学案【学习目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法【学习重难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【学习过程】1．等差数列的概念(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是3.从函数角度认识等差数列{a}n Array若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加三、典例解析例1.（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。

求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a 1，d 的值，再利用a n ＝a 1＋(n －1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d ＝直接求得公差，再利用a n ＝a m＋(n －m )d 写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a n是关于n 的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .(2)已知数列{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y 2. 2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．当堂检测1．数列{a n}的通项公式为a n＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{a n}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．243．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an }中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{a n}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{a n}的通项公式．。

学科培优数学等差数列的认识和计算提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算板块的部分,难度并不大。

要求学生熟记等差数列各个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。

知识梳理一、等差数列的定义：若干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

注：一般情况下,等差数列是按照从小到大进行排列的,有时会出现从大到小排列顺序,此时可以改变数列顺序,从而让数列变为从小到大,并避免出现公差小于零的情况。

二、等差数列的相关公式：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2注：第一个公式中,有时会遇到求中间项、而非末项,此时可以截取一个新的数列,把该项作为“新的末项”,即可继续用此公式。

三、重点难点解析1．找出题目中首项、末项、公差、项数。

2．必要时调整数列顺序。

四、竞赛考点挖掘1．找到数列规律。

2．适当调整数列顺序。

例题精讲【试题来源】【题目】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？【试题来源】【题目】计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【试题来源】【题目】计算11+12+13+14+15+16+17+18+19【试题来源】【题目】计算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【试题来源】【题目】把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？【试题来源】【题目】已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【试题来源】【题目】体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。

等差数列㈠求等差数列的通项公式1、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11，a 8=5，则a n =__________．2、已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10.3、已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n .4、等差数列2，5，8，…，107共有多少项？5、在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列.6、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．7、设数列{a n }是等差数列,a p =q,a q =p(p ≠q),求a p+q .8、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？㈡等差数列的判断1、已知数列{a n }的通项公式为a n =pn+q,其中p 、q 为常数,且p≠0,问这个数列一定是等差数列吗？2、数列{a n }的通项公式a n =2n+5,则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列 3、在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1则a 101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52㈢等差数列的性质1、等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=9,则a 10+a 11+a 12=______________.2、等差数列{a n }中,已知a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 5+a 8=___________________.3、已知等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,a 5·a 6·a 7=45,求数列{a n }的通项公式.4、设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-375、已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m-n|的值为 A.1B.43C.21D.83㈣等差数列的前n 项和1、求下列数列的和(1)1+2+3+…+n ； (2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？3、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？4、在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） Ａ．90 Ｂ．100 Ｃ．180 Ｄ．2005、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（ ） A .90 B.－90 C.110 .D －1106、在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（ ）A.7B.8C.9D.10 7、若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，则这个数列的项数是 （ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8、在等差数列{}n a 中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（ ）A ．27 B.28 C.29 D.309、已知一个等差数列的前四项和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.2810、已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则该数列{nS n }的前10项的和为（ ）A.120B.70C.75D.100 11、在等差数列中，154567405S S =-=，，则30S =（ ）Ａ．68 Ｂ．189 Ｃ．78 Ｄ．12912、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．26013、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是 。

课题 2.2等差数列教案编号 课型 新授 授课班级 课时授课时间2010-12授课人郝永军教材分析 本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项n a 可看作项数n 的一次型（0≠d ）函数，这与其图像的形状相对应．有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式d n a a n )1(1-+=是数列第n 项n a 与项数n 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是n ，即其末项未必是该数列的第n 项，在教学中一定要强调这一点．学情分析学法指导 类比等差数列与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学目标知识与技能掌握等差数列的概念、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及推导方法，会用定义判断数列{n a }是否为等差数列，能熟练运用用通项公式求有关的量:,,,,1n a n d a过程与方法1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；情感态度与价值观3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{n a }是否为等差数列，并能用通项公式解决有关问题.教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划教学过程教学环节所需时间教学内容设计意图教学反馈教师活动学生活动探究任务一：等差数列的概念问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示.⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差探究任务二：等差数列的通项公式从定义的数学表达式：1n na a d--=（n=2,3,4……）得：1n na a d-=+表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.213211,2, (1)na a d a a d a d a a n d=+=+=+=+-以上体现了归纳的过程，能否由递推式得出其通项呢？2132431.......n na a da a da a da a d--=-=-=-=1(1)na a n d⇒=+-由于有了第一节递推公式的基础，这种做法学生能很快接受，甚至能主动提出这种想法.1）第一通项公式：dnaan)1(1-+=n∈N*例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==dan=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项注：通项公式d n a a n )1(1-+=反映了项n a 与项数n 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知n d a ,,1求n a ）.找学生试举一例如：“已知等差数列{}n a 中，首项11=a ，公差2-=d ，求200a .”这是通项公式的简单应用。