梁的应力
- 格式：ppt
- 大小：1.13 MB
- 文档页数：43
下载文档原格式
合集下载
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版
等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
梁的应力
第六章 梁的应力§6-1 梁的正应力 回顾与比较： 内力 应力FN σ = ATTρ τ = IPM FSFAy§6-1 梁的正应力MdAσ dAFAyFSτ dAσ⇔Mτ ⇔ FS在横截面上，只有法向内力元素dFN=σdA才能合成M, 只有切向内力元素dFS=τdA才能合成剪力FS。
§6-1 梁的正应力 纯弯曲：Fs图 M图 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§6-1 梁的正应力 思路： 实验观察得应变ε的变化规律(变形几何关系)⎯⎯⎯ → (物理关系)静力平衡条件(静力学关系)σ = Eε应力σ的变化规律⎯⎯⎯⎯⎯ → 横截面上任一点的正应力公式§6-1 梁的正应力 变形几何关系:用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:Me Me§6-1 梁的正应力 实验观察： (1)变形前互相平行的纵向直线，变形后均变 为圆弧，且凸边伸长，凹边缩短； (2)变形前垂直于纵向线的横向线，变形后仍 为直线，且仍与纵向曲线正交。
Me Me§6-1 梁的正应力 实验分析: Me Me (1) 平面假设梁在纯弯曲时的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
§6-1 梁的正应力 (2) 单向受力假设 梁的各纵向层互不挤压或牵拉，各纵向 “纤维”均只受到拉伸或压缩的作用。
§6-1 梁的正应力 (3) 梁变形后，同一层纵向纤维的长度相同，即 同层各条纤维的伸长（或缩短）相同。
§6-1 梁的正应力 凹入一侧纤维缩短 中间一层纤维长度不变 中性层与横截面的交线 凸出一侧纤维伸长 ——中性层 ——中性轴重要结论：中性轴z轴必定通过截面的形心§6-1 梁的正应力 计算梁的弯曲正应力的一般公式：My σ= IzI Z = ∫ y dA2 A§6-1 梁的正应力 正应力分布： σ = I zMyzy yzzy yz§6-1 梁的正应力 最大正应力：My σ= IZσ maxMymax = IZ当中性轴是横截面的对称轴时： 令σ maxIZ WZ = ymaxσ maxM = WZσ maxWz——抗弯截面模量，是一个仅与 截面的形状和尺寸有关的几何量。
梁的应力计算
( // Fs )
§6-4 矩形截面梁的切应力
一、矩形截面梁
切应力计算公式： FSSZ IZb
（6-11）
式中，FS-横截面上的剪力；IZ-截面对中性轴的惯性矩； b-截面的宽度；SZ-为面积A*对中性轴的静矩。
A*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。
FS、SZ均代绝对 值，切应力方向
依剪力方向确定。
b´
b´
m´ n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性层与横截面的交线－ －中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
MCy2 2.7 103 N m 0.038 m 103 N m2
MBy1 1.8103 N m 0.072 m 129 N m2
因MCy2<MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即
t,max
MB IZ
y1
129N m2 0.573105 m4
22.5106 Pa
2.5MPa
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
bh3 IZ 12
梁的内力与应力(图片版)
σ=FbA，其中F为作用在梁上的力，b 为梁的宽度，A为梁的横截面积。
描述
正应力表示梁在承受拉伸或压缩时， 截面上产生的应力。
剪应力
剪应力
与截面相切的应力，主要由于剪 切而产生。
描述
剪应力表示梁在承受剪切时，截面 上产生的应力。
公式
τ=FsA，其中Fs为作用在梁上的剪 力，A为梁的横截面积。
弯曲应力
致梁发生断裂或严重变形。
强度失效的原因可能包括材料缺 陷、设计不当或制造工艺问题等。
弯曲失稳
弯曲失稳是指梁在受到垂直于 轴线的横向力作用时，发生弯 曲变形并最终失去稳定性。
弯曲失稳通常发生在梁的长度、 跨度较大或支撑不足时，导致 梁发生过大弯曲和扭曲。
弯曲失稳的原因可能包括梁的 刚度不足、支撑条件不当或外 力过大等。
。
混凝土
适用于桥梁、房屋和基础设施 等需要承受较大荷载且稳定性
要求较高的场合。
木料
适用于临时建筑、小型建筑和 家庭装修等需要较低承载能力
的场合。
其他材料
如铝合金、玻璃钢等，适用于 特殊场合和特定需求。
优化设计
截面优化
根据梁的跨度、承载能力和稳定性要求，选择合适的截面尺寸和 形状，以减小材料用量和提高承载能力。
梁的内力与应力(图片 版)
目录 CONTENT
• 梁的简介 • 梁的内力 • 梁的应力 • 梁的强度与稳定性 • 梁的设计与优化 • 梁的案例分析
01
梁的简介
梁的种类
01
02
03
简支梁
简支梁是两端支撑在支座 上的单跨梁，其载荷作用 在跨中位置。
连续梁
连续梁是多跨梁，载荷可 以作用在任意位置。
悬臂梁
第五章梁的应力
y
ρ
σmin M
σmax
σmax
材料力学
3.静力关系 3.静力关系
M O dA y
z
第五章 梁的应力
FN = σdA = 0 ∫A M y = ∫AzσdA = 0 M z = ∫ yσdA = M A E ∫ σ dA = ∫ ydA = 0
A
z(中性轴 中性轴) 中性轴
x
[σc ] = 60MPa ,试校核梁的强度。 试校核梁的强度。
材料力学
52
第五章 梁的应力
解：（1）求截面形心 z1 z
yc =
80 × 20 × 10 + 120 × 20 × 80 = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩 求截面对中性轴z
80 × 203 Iz = + 80 × 20 × 42 2 12 20 × 1203 + + 20 ×120 × 282 12 = 7.64 ×10 −6 m 4
A
a
C
B
l
1 2) M max = FL = 17.8kN • m 4 M max 17.8 × 103 σ max = = = 126 × 106 Pa = 126MPa < [σ ] Wz 141×10 −6
材料力学
第五章 梁的应力
例5-3-4：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图,[σt ] = 30MPa 型截面铸铁梁，截面尺寸如图,
材料力学
第五章 梁的应力
所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁 例5-3-5：图a所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁，该 ： 所示为横截面如图 所示的槽形截面铸铁梁， 截面对于中性轴z 的惯性矩I 已知图a中 截面对于中性轴 的惯性矩 z=5493×104 mm4。已知图 中， × b=2 m。铸铁的许用拉应力 σt]=30 MPa，许用压应力 σ c]=90 。铸铁的许用拉应力[σ ，许用压应力[ MPa 。试求梁的许可荷载 。 试求梁的许可荷载[F]。
第9章 梁的应力
中性层
中 性 轴
6
3.假设和推论 (1)平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生
转动.
(2)假设纵向纤维之间无挤压，各条纤维仅发生简单的拉伸
或压缩。材料服从虎克定律σ=Eε。
推论： (1）距中性轴等高处，变形相等。 (2) 横截面上只有正应力。
F
F
m
n
4、梁的正应力公式推导
m
n
中性轴
B
L 2 L 2
A
F
h 6
a
b
C
h 2
h
c
b
3
FL
1
a
M B ya IZ
FL
h
MB
1 2
FL
IZ
bh
12
2 3 3 1.65MPa bh 12 1 h
b 0
c
M B yc IZ
FL
2 3 2 bh 12
2.47MPa
（压）
12
例题2
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
F A
F
cos
2
同一点在斜截面上时：
2
sin 2
即使同一点在不同方位截面上，它的应力也各不相同
45
3、梁上任一点应力状态的分析
符号规定： 正应力：拉应力为正，压应力为负 切应力:使单元体顺时针方向转动为正；反之为负 α自x轴开始到斜截面的外法线方向逆时针转向为正，反之为负
第九章 梁的应力
1
概
述
钢筋混凝土梁拉裂破坏 1、弯曲构件横截面上的应力 剪力V 内力 剪应力τ
梁的应力
ac
M
⑵、纵向线：由直线变为曲
线，且靠近上部的纤维缩短，
靠近下部的纤维伸长。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线。
第九章 梁的应力
梁是由许多纵向纤维组成的
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
z
A2 20120mm2 y2 80mm
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
52mm
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
Iz
Hale Waihona Puke 80 203 1280 20 422
y
201203 20120 282
12
7.64106 m4
第九章 梁的应力
横截面上应力分布
b
d2
c,m ax
h yt,max yc,max d1
oz y
Oz
y b
t,m ax
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉
应力值和最大压应力值为
t,m ax
My t ,m a x Iz
c,m ax
Myc ,m a x Iz
第九章 梁的应力
例 对于图示 T形截面梁,求横截面上的最大拉应力和最大压 应力.已知: I z 290 .6 10 8 m4
d
在弹性范围内， E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
第九章 梁的应力
应力的分布图：
材料力学梁的应力解读
材料力学梁的应力解读
梁是结构分析中最基本的问题之一，也是材料力学中一个重要的概念。
梁的应力解读，就是对梁结构中的应力的分析。
一般来说，在材料力学中，梁的应力解读可以从下面几个方面来进行：
（1）弯曲应力：弯曲应力是指当梁在受到外力的作用下发生偏移或
沿着其中一轴线变形时，梁中钢材筋的纵向应力称为弯曲应力。
根据梁的
预定约束方式，可以分为受自重弯曲的应力和受外力弯曲的应力。
受自重
弯曲的应力大小由梁的自重和梁的几何形态所决定，一般情况下，斜梁的
自重弯曲应力会比悬臂梁的自重弯曲应力大。
受外力弯曲的应力大小取决
于受力梁的拉张性和刚度，以及施加外力的位置，大小和作用方向等因素，其中最重要的是材料的弹性模量。
（2）剪切应力：梁结构的剪切应力，是指梁受到外力作用时，对面
两侧的钢材筋之间的剪切应力。
由于受力面两端受非对称分布的外力作用，使得受力面的梁结构受到剪切应力的作用，一般情况下，受力面梁结构分
布的剪切应力会在受力面的两端有最大值，随着回头距离变小而逐渐减小。
（3）压应力：梁受外力所产生的压应力，是指受力面角支撑点处承
受拉力的钢材筋之间的应力，称为压应力。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的弯曲(应力、变形)
和梁的跨度、截面尺寸等因素。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
梁的弯曲类型
01
02
03
自由弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端不受约束，可以自由 转动。
简支弯曲
梁在受到外力作用时，其 一端固定，另一端可以自 由转动。
固支弯曲
梁在受到外力作用时，其 两端均固定，不能发生转 动。
梁的弯曲应用场景
桥梁工程
桥梁中的梁常常需要进行弯曲变形以承受车辆和 行人等载荷。
稳定性。
06 梁的弯曲研究展望
CHAPTER
新材料的应用研究
高强度材料
随着材料科学的进步，高强度、轻质的新型 材料不断涌现，如碳纤维复合材料、钛合金 等。这些新材料在梁的弯曲研究中具有广阔 的应用前景，能够显著提高梁的承载能力和 刚度。
功能材料
新型功能材料如形状记忆合金、压电陶瓷等， 具有独特的力学性能和功能特性，为梁的弯 曲研究提供了新的思路和解决方案。
反复的弯曲变形可能导致疲劳裂纹的 产生和扩展，影响结构的疲劳寿命。
对使用功能的影响
弯曲变形可能导致结构使用功能受限 或影响正常使用。
04 梁的弯曲分析方法
CHAPTER
理论分析方法
弹性力学方法
01
基于弹性力学理论，通过数学公式推导梁在弯曲状态下的应力
和变形。
能量平衡法
02
利用能量守恒原理，通过计算梁在不同弯曲状态下的能量变化，
详细描述
常见的截面形状有矩形、工字形、圆形等。应根据梁的用途和受力情况选择合适的截面形状。例如， 对于承受较大弯矩的梁，采用工字形截面可以有效地提高梁的承载能力和稳定性。
支撑结构优化
总结词
支撑结构是影响梁弯曲性能的重要因素，合理的支撑结构可以提高梁的稳定性，减小梁 的变形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q
s
t
t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 腹、翼相交处。
M
s
Q
t
s t
1.2 正应力和剪应力强度条件：
s max
M max Wz
s
t max
Qmax
S
z max
b Iz
t
Q A
4t
3
③ 薄壁圆环：
t
max
2
Q A
2t
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
8.5 梁的正应力和剪应力强度条件
1 梁的正应力和剪应力强度条件 1.1 危险面与危险点分析
一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下 边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴 处。
M
ss
8.2 梁横截面上的正应力
8.2 梁横截面上的正应力
1 弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
第9章梁的应力
8.2 梁横截面上的正应力
2 两个概念
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
第9章梁的应力
M图
(KN.m)
281
375
281
解：1、求支座反力；
FAy=FBy=112.5KN(↑);
作弯矩图，确定最大弯矩；
Mmax=375KN.m
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
2、求满足强度要求时梁的抗弯截面系数Wz.
梁满足强度要求则 s Mmax s
WZ
所以：
WZ
M max
s
375 106 152
梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核剪应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
q=3.6kN/m
例1 矩形(bh=0.12m0.18m）截面
A L=3m
+ qL2 8
s max M max 2 A L 16.7 t max Wz 3Q h
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
例3工字形截面钢梁受力如图所示，已知：荷载Fp=75KN,钢材
的许用弯曲应力应力[σ]=152MPa,试按正应力强度条件选择工
字钢的型号。
Fp Fp Fp
A
B
FAy 2.5m 2.5m 2.5m 2.5m FBy
2.47103cm3
3、确定截面尺寸
由附录型钢表查得，56c号工字钢的
Wz=2.55103cm3>2.47103cm3,
所以该梁可以选择56c号型工字钢。
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
例4 如图所示园截面简支木梁，受均布载荷作用，跨度L=4m,截 面直径D=160mm,许用弯曲应力[σ]=10MPa,试按正应力强度计 算梁上许用均布荷载值。
s max
M max Wz
67.5 104径
x
r1
EI z M1
200 5.832 10 194.4m 60
第9章梁的应力
8.4 梁的剪应力
8.4 梁的剪应力
1 矩形截面梁横截面上的剪应力
x
dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
2 惯性矩、极惯性矩
❖ 惯性矩
z
y dA
z
O
y
Iz
A y2 dA，I y
z 2 dA
A
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长 度平方的乘积，即
Iy A iy2
或 iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
i
、
y
iz
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 2 其它截面梁横截面上的剪应力
(1)研究方法与矩形截面同，剪应力的计算公式亦为：
t QSz
1 bIz
其中Q为截面剪力；Sz* 为y点水平线以下或以上的面积对中性轴
之静矩；
第9章梁的应力
8.4 梁的剪应力
Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 (2) 几种常见截面的最大弯曲剪应力
ydA
A
，Sy
zdA
A
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
z
形心坐标
yC C zC
O
y
ydA
zdA
yC
A
A
，zC
A
A
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
静矩和形心坐标之间的关系
z yC C
yC
Sz A
O
zC
y
zC
Sy A
Sz yC A，S y zC A
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
①工字钢截面：
Q
t max
Af
; Af —腹板的面积。
t m in
t max
结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（99~97%），且tmax≈ tmin
Q
故工字钢最大剪应力
t max
Af
;
第9章梁的应力
8.4 梁的剪应力
②圆截面：
t max
4 3
简介
第8章 梁的应力
8.1 平面弯曲的概念▲及实例 8.2 梁横截面上的正应力▲ 8.3 常用截面的几何性质▲ 8.4 梁的切应力▲ 8.5 梁的强度条件▲▲ 8.6 梁的主应力、主应力迹线
第9章梁的应力
8.1 平面弯曲的概念及实例
8.1 平面弯曲的概念▲及实例
1 平面弯曲的概念
纵对称面
P1
P2
对称轴
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
例3：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 y
z
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质
解
Iz
y2dA
A
h/2
y2bdy
h/2
bh 3
12
dy y
z
第9章梁的应力
8.3 截面的几何性质 1 q=60kN/m
例6 受均布载荷作用的简支梁如图 所示，试求：
A
8.6梁的主应力及其主应力迹线
主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示
着该点的主拉应力方位（或压主应力方位）。
实线表示主拉应力迹线； 虚线表示主压应力迹线。
拉力
s3 s1
压力
第9章梁的应力
8.6梁的主应力及其主应力迹线
q
s1 s3
第9章梁的应力
A 解：1、求支座反力；
q
B
FAy=FBy=2q(↑);
FAy
4m
作弯矩图，确定最大弯矩； M图
FBy D
Mmax=ql2/8=q42/8=2q
qL2/8
第9章梁的应力
8.5梁的正应力和剪应力强度条件
2、计算截面抗弯截面系数Wz
D3 3.14 1603
WZ 32
32
4.02 105 mm 3
q=3.6kN/m
求最大应力并校核强度
Q
qL
2+
M
s max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa 7MPa [s ]
–
x
t max
1.5 Qmax A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
x 应力之比
曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。
单元体：
sx
My Iz
t xy
QSz bI z
s s
1 3
sx
2
（s x
2
）2
t
2 xy
第9章梁的应力
8.6梁的主应力及其主应力迹线
1
s3
s3
P1
a0 s1
s3
3 –45°
s1s3
a0 s1
5 s1
P2
q
1
2 3 4
5
第9章梁的应力
3、根据强度条件，确定许用荷载，
s Mmax s
Wz 所以：Mmax≤Wz[σ]
即2q≤4.02×105×107
q≤2.01KN/m
梁所能承受许用荷载值[q]=2KN/m
D
第9章梁的应力
8.6梁的主应力及其主应力迹线
8.6 梁的主应力及其主应力迹线
P1
P2
1
2 3 4
5
sx
s3
txy
s1
q 如图，已知梁发生剪切弯
z 120
y
x +
s1
s2
M1 y Iz
60 60 105 61.7MPa
5.832
M
qL2
8
M1 Mmax