上海延安中学数学 二次函数单元培优测试卷

二次函数培优训练（3）一．解答题（共9 小题）1．已知抛物线经过 A （﹣ 2， 0）， B（ 0，2）， C（，0）三点，一动点P 从原点出发以1个单位 /秒的速度沿 x 轴正方向运动，连接 BP，过点 A 作直线 BP 的垂线交 y 轴于点 Q．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）求抛物线的解析式；（ 2）当 BQ= AP 时，求 t 的值；（3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M ，使△ MPQ 为等边三角形？若存在，请直接写 t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 C（ 0，4），点 A 、B 在 x 轴上，并且 OA=OC=4OB ，动点P 在过 A ，B ， C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点 Q 为线段 AC 上一点，若四边形OCPQ 为平行四边形，求点Q 的坐标．3．抛物线y=a（ x+1）（ x﹣ 3）交 x 轴于 A 、 B 两点，交y 轴于 C，∠ ABC=45 °．（1）求 a 值；（ 2）点 M 为抛物线上第一象限内一点，连接AM ，当∠ CAM=45 °时，求 M 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下， P 为抛物线上第一象限内一点，PR∥ AM 交 AC 、BC 于 R、Q，当PQ=时，求P 点坐标．24．如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，二次函数 y=x +c 的图象抛物线交 x 轴于点 A ， B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（ 0，﹣ 3）．（1）求∠ ABC 的度数；（ 2）若点 D 是第四象限内抛物线上一点，△ADC的面积为，求点 D 的坐标；（3）若将△ OBC 绕平面内某一点顺时针旋转 60°得到△ O′B′C′，点 O′，B′均落在此抛物线上，求此时 O′的坐标．5．在平面直角坐标系2xOy 中，定义直线 y=ax+b 为抛物线 y=ax +bx 的特征直线， C（ a， b）为其特征点．设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．（1）当点 A 的坐标为（ 0，0），点 B 的坐标为（ 1，3）时，特征点 C 的坐标为；（2）若抛物线 y=ax 2+bx 如图所示，请在所给图中标出点 A 、点 B 的位置；6．如图，菱形ABCD 的边长为 6 且∠ DAB=60 °，以点 A 为原点、边AB 所在的直线为x 轴且顶点 D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点 D 出发沿折线DCB 向终点 B 以 2单位 /每秒的速度运动，同时动点Q 从点 A 出发沿 x 轴负半轴以 1 单位 /秒的速度运动，当点P 到达终点时停止运动，运动时间为t，直线 PQ 交边 AD 于点 E．（1）求出经过 A 、 D、 C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻 t 使得 PQ⊥ DB ，若存在请求出 t 值，若不存在，请说明理由；（3）设 AE 长为 y，试求 y 与 t 之间的函数关系式；（4）若 F、G 为 DC 边上两点，且点 DF=FG=1 ，试在对角线 DB 上找一点 M 、抛物线 ADC 对称轴上找一点 N，使得四边形 FMNG 周长最小并求出周长最小值．27．如图 1，抛物线 y=ax +bx+3 （a≠0）与 x 轴、 y 轴分别交于点 A （﹣ 1， 0）、 B （3， 0）、点 C 三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点 D（ 2， m）在第一象限的抛物线上，连接BC 、BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠ PBC=∠ DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，在（ 2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△ B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△ BCD重叠的面积记为设平移的时间为t 秒，试求S 与 t 之间的函数关系式？S，8．如图，已知直线 y=2x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax 2﹣ 2ax+c 过点C 且与直线 y=2x+2 交于点 A （ 5， 12）．（1）求该抛物线的解析式；（2） D 为 x 轴上方抛物线上一点，若△ DCO与△ DBO的面积相等，求 D 点的坐标；（3）在线段AB 上是否存在点P，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线于 E 点，使得以P、 B、E 为顶点的三角形与△ BOC相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（ 2013?黄冈模拟）如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与 x 轴交于 A 、 B 两点（ A在 B 左侧）， B 点坐标为（ 6， 0），过点 B 的直线与抛物线交于点C （ 3，）．（ 1）写出点 A 坐标； （ 2）求抛物线解析式；（ 3）在抛物线的 BC 段上，是否存在一点 P ，使得四边形 ABPC 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从A 向B 运动，同时，点N 在射线BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当 t 为何值， △MNB 为等腰三角形，写出计算过程．参考答案与试题解析参考答案与试题解析【解答】 解：（ 1）设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，∵抛物线经过 A （﹣ 2， 0）， B （ 0，2）， C （，0）三点，∴，解得，∴ y= ﹣ x 2﹣ x+2 ．（ 2）∵ AQ ⊥ PB ，BO ⊥ AP ，∴∠ AOQ= ∠ BOP=90 °，∠ PAQ= ∠PBO ， ∵AO=BO=2 ，∴△ AOQ ≌△ BOP ，∴ OQ=OP=t ．① 如图 1，当 t ≤2 时，点 Q 在点 B 下方，此时 BQ=2 ﹣ t ， AP=2+t ．∵BQ= AP ，∴ 2﹣ t= （ 2+t ），∴ t= ．② 如图 2，当 t ＞2 时，点 Q 在点 B 上方，此时 BQ=t ﹣2， AP=2+t ．∵ BQ=AP ，∴ t﹣ 2= （ 2+t ），∴ t=6．综上所述， t=或 6 时， BQ= AP．（ 3）当 t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当 t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣ 3，﹣ 3）．分析如下：∵ AQ ⊥ BP，∴∠ QAO+ ∠BPO=90 °，∵∠ QAO+ ∠ AQO=90 °，∴∠ AQO= ∠BPO．在△ AOQ 和△ BOP 中，，∴△ AOQ ≌△ BOP，∴ OP=OQ，∴△ OPQ 为等腰直角三角形，∵△MPQ 为等边三角形，则M 点必在PQ 的垂直平分线上，∵直线 y=x 垂直平分 PQ，∴ M 在 y=x 上，设 M （ x， y），∴，解得或，∴ M点可能为（ 1，1）或（﹣ 3，﹣ 3）．①如图 3，当 M 的坐标为（1， 1）时，作 MD ⊥ x 轴于 D，222﹣ 2t+2，则有 PD=|1﹣t|，MP =1+|1﹣ t| =t22，PQ =2t∵△ MPQ 为等边三角形，∴ MP=PQ ，∴ t 2+2t﹣ 2=0 ，∴ t=﹣ 1+ ， t=﹣ 1﹣（负值舍去）．②如图 4，当 M 的坐标为（﹣3，﹣ 3）时，作 ME ⊥ x 轴于 E，则有 PE=3+t， ME=3 ，222222∴MP=3 +（ 3+t） =t+6t+18 ，PQ =2t，∵△ MPQ 为等边三角形，∴MP=PQ ，∴t 2﹣6t﹣ 18=0，∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．综上所述，当t=﹣ 1+时，抛物线上存在点M （ 1， 1），或当t=3+3时，抛物线上存在点 M （﹣ 3，﹣ 3），使得△ MPQ 为等边三角形．2．【解答】解：（ 1）∵ C （ 0， 4），∴ OC=4 ．∵ OA=OC=4OB ，∴ OA=4 ， OB=1 ，∴A （ 4， 0）， B （﹣ 1， 0），设抛物线解析式：y=a（ x+1）（ x﹣ 4），∴ 4= ﹣ 4a，2∴a=﹣ 1．∴ y= ﹣ x +3x+4 ．（2）存在．若△ ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，则点P 在 AC 的垂直平分线上，∵OA=OC ，∴ AC 的垂直平分线2），则可OP 即为∠ AOC 的平分线，设 P（ m，﹣ m +3m+4得： m=﹣ m 2+3m+4 ，∴ m1=+1， m2=1﹣∴存在点 P1（+1，+1），P2（1﹣，1﹣），使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形．（3）设 l AC：y=kx+b （ k≠0），∵过 A （4， 0），C （ 0，4），∴ l AC： y= ﹣ x+4．∵四边形OCPQ 为平行四边形，∴2）， Q（ t，﹣ t+4 ），PQ∥OC，PQ=OC ，设 P（ t，﹣ t +3t+42﹣（﹣ t+4 ） =4．∴ t1=t2=2，∴点 Q（ 2，2）．﹣t +3t+43．【解答】解（ 1）抛物线y=a（ x+1）（ x﹣ 3），令 y=0，∴x= ﹣ 1，或 x=3 ，∴ A （﹣ 1， 0）， B （3， 0），∵∠ ABC=45 °，∠ BOC=90 °，∴ OB=OC=3 ，∴C（ 0，3），将点 C（ 0， 3）代入二次函数解析式得：a=﹣ 1．（2）设 AM 交 y 轴于点 D，作 DE⊥ AC 交 AC 于点 E，如下图： OA=1 ，OC=3 ，∴ AC=，设DE=x ，∵∠CAM=45 °，∴AE=DE=x ， CE=10 ﹣x，∵∠DEC= ∠AOC ，∠ECD= ∠OCA ，∴△ AOC ∽△ DEC ，∴=，即：=，解得： x=，∴CD===，∴ OD=3﹣=，∴ D（0，），设直线 AM 解析式为y=kx+b ，（ k≠0），将点 D（ 0，）、A（﹣1，0）代入得：，解得： k=，b=，∴直线AM 解析式为y= x+．联立：解得： x=﹣ 1，或 x=，将 x=代入抛物线解析式得：y=，∴ M（，）．所以M点横坐标为M（，）．（3）∵ PR∥ AM ，直线 AM 解析式为 y= x+，∴设直线PR： y= x+b，联立：解得： x=， y=，∴ Q（，），联立：，解得： x=，∵点 P 在第一象限，∴ x=∴y=∴P（，），∵ PQ=，点 P 在第一象限，∴b=，代入点P，∴ P（，）．所以 P 点横坐标为 P（，）．4．【解答】解：（ 1）由题意与 y 轴交于点C（0，﹣ 3），∴得解析式为 y=x 2﹣3，令 y=0 ， x=±，∴ B （， 0）， A （﹣，0），∴ OA=， OC=3， AC=2，∴∠ OCA=30 °，∴∠ ABC=60 °；（2）由（ 1）得： OA=，OC=3 ，∴ S△OAC = ×3×=，过原点与 AC 平行的直线 y=﹣，直线与抛物线的交点即为点D，联立：，解得 x1=，x2=（舍去），∴ D（，）．（3）设点O ′（ m ， m 2﹣ 3），∵顺时针旋转60°，则点B ′（m+， m 2﹣ ），∴（ m+）2﹣3=m 2﹣ ，∴ m= ﹣，∴ O ′（﹣，﹣）．5． 解答】 解：（ 1）∵ A （0， 0）， B （ 1.3），代入：直线 y=ax+b ，解得： a=3， b=0，∴直线 y=3x ，抛物线解析式：y=3x 2，∴ C （ 3， 0）．故答案为：（ 3， 0）； （2）联立直线 y=ax+b 与抛物线22y=ax +bx ，得： ax +（b ﹣ a ） x ﹣b=0 ，∴（ ax+b ）（ x ﹣ 1）=0，解得： x= ﹣ ，x=1 ，∴ A （1， a+b ），B （﹣ ， 0）．点 A 、点 B 的位置如图所示；6．【解答】 解：（ 1）△ DAB 中，∠ DAB=60 °， DA=AB=6则： D 到 y 轴的距离 = AB=3 、D 到 x 轴的距离 =DA ?sin ∠ DAB=3 ；∴ D （ 3， 3 ）； 由于 DC ∥ x 轴，且 DC=AB=6 ，那么将点 D 右移 6 个单位后可得点C ，即 C （ 9， 3）；设抛物线的解析式为： y=ax 2+bx ，有：，解得∴抛物线解析式为： y= ﹣x 2+x ．（ 2）如图 1，连接 AC 知 AC ⊥BD ，若 PQ ⊥ DB ，则 PQ ∥ AC ，那么 P 在 BC 上时不存在符合要求的 t 值，当 P 在 DC 上时，由于 PC ∥ AQ 且 PQ ∥ AC ，所以四边形 PCAQ 是平行四边形，则 PC=AQ ，有 6﹣ 2t=t ，得 t=2 ．（ 3） ① 如图 1，当点 P 在 DC 上，即 0＜ t ≤3 时，有 △ EDP ∽△ EAQ ，则=== ，那么AE=AD=2 ，即 y=2；② 如图2，当点P 在CB上，即 3＜ t ≤6 时，有 △ QEA ∽△ QPB ，则= ，即=，得 y=，综上所述： y= ；（4）如图 3，作点作点 G 关于抛物线F 关于直线 DB 的对称点 F ′，由菱形对称性知ADC 对称轴的对称点 G ′，F ′在DA上，用DF ′=DF=1 ；易求 DG ′=4，连接 F ′G ′交 DB 于点 M 、交对称轴于点N ，点 M 、 N 即为所求的两点．过F′作 F′H⊥ DG′于 H，在 Rt△ F′HD 中，∠ F′DH=180 °﹣∠ ADC=60 °，F′D=1 ；则： F′H=F ′D?sin60°= ， HD=F ′D ?cos60°= ， HG ′=HD+DG ′= ．用勾股定理计算得F′G′=，所以四边形FMNG 周长最小为F′G′+FG=+1 ．27．【解答】解：（ 1）将 A （﹣ 1， 0）、 B （3， 0）代入抛物线y=ax +bx+3 （ a≠0），2，解得： a=﹣ 1， b=2．故抛物线解析式为：y=﹣ x +2x+3 ．（2）存在将点 D 代入抛物线解析式得： m=3，∴ D （2， 3），令 x=0 ， y=3，∴ C（ 0， 3），∴OC=OB ，∴∠ OCB= ∠CBO=45 °，如下图，设 BP 交 y 轴于点 G，∵CD ∥ x 轴，∴∠ DCB= ∠ BCO=45 °，在△ CDB 和△CGB 中：∵∠∴△ CDB ≌△ CGB（ ASA ），∴ CG=CD=2 ，∴OG=1 ，∴点 G（ 0， 1），设直线BP： y=kx+1 ，代入点 B（ 3， 0），∴ k= ﹣，∴直线BP： y=﹣x+1，联立直线BP 和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴ P（﹣，）．（3）直线 BC： y= ﹣ x+3，直线 BD ： y= ﹣ 3x+9 ，当 0≤t≤2 时，如下图：设直线 C′B′： y=﹣（ x﹣ t） +3 联立直线BD 求得 F（，），S=S△BCD﹣ S△CC′E﹣ S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）2整理得： S=﹣t +3t（ 0≤t≤2）．当 2＜ t≤3 时，如下图：H（ t，﹣ 3t+9），I（ t ，﹣ t +3 ）S=S △HIB = [（﹣ 3t+9）﹣（﹣ t+3 ） ] ×（ 3﹣ t ）整理得： S=t 2﹣6t+9（ 2＜ t ≤3）综上所述： S=．8．【解答】 解：（ 1）由直线 y=2x+2 知：点 C （﹣ 1， 0）、B （ 0，2）；抛物线 y=ax 2﹣ 2ax+c 过点 C （﹣ 1， 0）、A （5， 12），有：，解得∴抛物线的解析式： y=x 2﹣ 2x ﹣3．（2）由（ 1）知： OB=2、 OC=1 ；由题意知： S △DBO =S △DCO ，则：×BO ×|x D |= ×CO ×|y D |，即： |y D |=2|x D |∴可以设点D 的坐标为：（ x ， 2x ）或（ x ，﹣ 2x ）（ x＜﹣ 1 或 x ＞ 3），代入抛物线的解析式中，有：当点 D 坐标为（ x ， 2x ）时，有： x 2﹣ 2x ﹣ 3=2x ；解得： x 1=2﹣（舍）， x 2=2+ ； 当点 D 坐标为（ x ，﹣ 2x ）时，有： x 2﹣ 2x ﹣3=﹣ 2x ；解得： x 3= （舍）， x 4=﹣；∴点 D 的坐标为：（ 2+， 4+2）或（﹣， 2）．9．【解答】 解：（ 1）∵ B 点坐标为（ 6， 0），抛物线对称轴为直线 x=4 ，4×2﹣ 6=2 ，∴点 A 的坐标为（ 2，0）；（2）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，∵ A （ 2， 0）， B （ 6， 0）， C （ 3， ），∴，解得，∴抛物线解析式为y= ﹣ x 2+6x ﹣ 9；（3）存在．理由如下：2如图，设存在点 P （x ，﹣ x +6x ﹣ 9），使得四边形 ABPC 的面积最大，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ，过点 P 作 PF ⊥ x 轴于点 F ，∵ A （ 2，0），B （6，0），C （ 3，），∴S 四边形 ABPC =S △ ACE +S 梯形 CEFP +S △BPF= ×（3﹣ 2） × + （ 22﹣ 9）﹣ x +6x ﹣9） ×（ x ﹣3） + ×（ 6﹣x ） ×（﹣ x +6x = + （ x ﹣3） + （﹣ 2 ×（ 6﹣x ） ×（﹣ 2x +6x ﹣9） ×（ x ﹣ 3） + x +6x ﹣ 9）=﹣ （x2﹣ 9x+14 ）2，∵ 3＜＜ 6，=﹣（x﹣） +∴当 x=时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值为，此时，﹣22，∴点 P 的坐标为（，）；x +6x﹣ 9=﹣×（） +6× ﹣ 9=（4）∵ A （ 2， 0）， B（ 6， 0），∴ AB=6 ﹣ 2=4，∵ B（ 6， 0）， C（3，），∴BC==．① BN=MN 时，如图，过点N 作 ND ⊥BM 于点 D ，则 BD=MD=（4﹣t），cos∠ABC==，解得t=，②BN=BM 时，如图， BM=4 ﹣ t， BN=2t ，所以， 4﹣t=2t ，解得 t= ，③ BM=MN时，如图，过点M 作 MH ⊥BN 于点则 BH= BN=×2t=t，BM=4﹣t，cos∠ ABC=H ，=，解得t=，综上所述，当t 为或或秒时，△ MNB为等腰三角形．。

上海初三数学二次函数的专项培优易错试卷练习题一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+52），P35+5，1+52），P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35 -；P的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）；综上所述，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=12x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+ 23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b⨯=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM，∴C′B＋23C′D的最小值为点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=12 DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A （﹣2，6），B （1，0），∴AB 的解析式为：y=﹣2x+2，设P （x ，﹣x 2﹣3x+4），则E （x ，﹣2x+2），∵PE=12DE ， ∴﹣x 2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2）， ∴x=-1或1（舍），∴P （﹣1，6）；②∵M 在直线PD 上，且P （﹣1，6），设M （﹣1，y ），∵B （1，0），A （﹣2，6）∴AM 2=（﹣1+2）2+（y ﹣6）2=1+（y ﹣6）2，BM 2=（1+1）2+y 2=4+y 2，AB 2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+11）或（﹣1，3﹣11）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．5．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， 解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．6．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：12S S 的最大值； ②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D 的坐标是(2,3)-【解析】【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2）， ∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩，抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =，∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x =∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN == 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()22121214225552a a S DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45; ②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC=25，BC=5，AB=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴∠CDG=∠BAC ，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D（a，-12a2-32a+2），∴DR=-a，RC=-12a2-32a，∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．8．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ）=12 PN•OB=12×（﹣12t2+3t）×6=﹣32t2+9t=﹣32（t﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.9．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+剟；（2）2a =． 【解析】【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2．【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+剟； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--剟 对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．10．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式；⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17y 4=的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】⑴2y x 2x 3=-++；⑵当12a =，S □MANB =2S △ABM =274 ，此时115M ,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑶存在. 当15F 1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，无论x 取任何实数，均有PG PF =. 理由见解析. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入y=ax 2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； （2）过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点M （a ，-a 2+2a+3），则K （a ，a+1），利用函数思想求出MK 的最大值，再求出△AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）如图2，分别过点B ，C 作直线y=174的垂线，垂足为N ，H ，设抛物线对称轴上存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=174的距离，其中F （1，a ），连接BF ，CF ，则可根据BF=BN ，CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组，解方程组即可．【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax 2+2x+c ，得，20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得a=-1，c=3，∴此抛物线C 函数表达式为：y=-x 2+2x+3；（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，0 23k bk b-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，k=1，b=1，∴y AB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-12）2+94，根据二次函数的性质可知，当a=12时，MK有最大长度94，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=12MK•AH+12MK•（x B-x H）=12MK•（x B-x A）=12×94×3=278，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2S△AMB最大=2×278=274，M（12，154）；（3）存在点F，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=174-3=54，CF=CH=174，由题意可列：2222225 (21)(3)417(31)4aa⎧⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，a=154，∴F（1，154）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．11．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.【答案】(1)点A的坐标为（4，8）将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 得8=16a+4b0=64a+8b解得a=,b=4∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.②共有三个时刻：t1=163， t2=4013，t38525．【解析】（1）根据题意即可得到点A的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出点E的坐标，从而得到点G 的坐标，EG的长等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，得到一个函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得结果；②考虑腰和底，分情况讨论．12．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)． 【解析】 【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标； （2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ． 【详解】（1）Q 抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，3232a∴-=，解得：14a =-，∴抛物线的解析式为213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=，解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠． 将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<Q ，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ． 08x <<Q ，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭．又3MN =Q ，21234m m ∴-+=．当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=， 解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．13．如图，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D （2，3），tan ∠DBA=12． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x 2+32x ﹣2；（2）9；（3）点Q 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）． 【解析】（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．（3）如答图2所示，首先求出直线AC 与直线x=2的交点F 的坐标，从而确定了Rt △AGF 的各个边长；然后证明Rt △AGF ∽Rt △QEF ，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q 的坐标．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，由实际问题列函数关系式，二次函数最值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆的切线性质．14．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点3,-3) 和3,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）213322y x x =-；（2）P 点坐标为（3）或（833,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315） 【解析】 【分析】（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；（2）设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标；（3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可． 【详解】（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，解得：12a =，332b =-， 则抛物线解析式为213322y x x =-； （2）当P 在直线AD 上方时，设P 坐标为2133,22x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则有3AD x =2133322PD x x =-+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =2331333x x x =--+， 整理得：239318236x x x -+=-，即23113240x x -+=， 解得：11353x ±=，即83x =或3x =此时83(3P ，4)3-；当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =，即2313333x x x =--+， 整理得：23963663x x x -+=-，即253120x x -+=， 解得：5333x ±=，即43x =或3（舍去）， 此时(43P ，6)；当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽； 当P 在直线AD 下方时，同理可得：P 的坐标为43(3，10)3-，综上，P 的坐标为83(，4)3-或(43，6)或43(，10)3-或()0,0；（3）在Rt AOC ∆中，3OC =，3AC =，根据勾股定理得：23OA =，Q 11··22OC AC OA h =， 32h ∴=， 1333AOC AOQ S S ∆∆==Q ， AOQ ∴∆边OA 上的高为92， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ， 过M 作MH x ⊥轴，在Rt OMH ∆中，1924MH OM ==，39324OH OM ==，即93(4M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+，把M 坐标代入得：99394k =+，即3k =-，即39y x =-+， 联立得：2391332y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2315x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即(33Q ，0)或(23-，15)，则抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(33，0)或(23-，15)．【点睛】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15．抛物线，若a ，b ，c 满足b=a+c ，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x 轴上的一个定点A ；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P ，与x 轴另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）； （2）求出抛物线的顶点坐标和B 的坐标，由题意得出PA ∥CQ ，PA=CQ ；存在两种情况：①作QM ⊥AC 于M ，则QM=OP=，证明Rt △QMC ≌Rt △POA ，MC=OA=1，得出点Q 的坐标，设抛物线的解析式为，把点A 坐标代入求出a 的值即可；②顶点Q 在y 轴上，此时点C 与点B 重合；证明△OQC ≌△OPA ，得出OQ=OP=，得出点Q 坐标，设抛物线的解析式为，把点C 坐标代入求出a 的值即可． 试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c ，即a ﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或．考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．。

沪科版八年级下二次函数单元测试卷97一、选择题（共12小题；共60分）1. 抛物线的对称轴是A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是A. B.C. D.3. 若抛物线的顶点在轴上，则的值为A. C. D.4. 某汽车行驶时的速度（米秒）与它所受的牵引力（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为A. 千米时B. 千米时C. 千米时D. 千米时5. 如图所示，菱形的顶点，在轴正半轴上，反比例函数经过顶点，若点为中点，菱形的面积，则的值为B. C.6. 函数与在同一坐标系内的图象可能是A. B.C. D.7. 一个长方形的周长是，一边长是，则这个长方形的面积与边长的函数关系可用图象表示为A. B.C. D.8. 如图，平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，平行于轴，分别交，的图象于，两点，若的面积为，则值为B.9. 如图，抛物线与交于点，且抛物线经过原点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则下列结论中，正确的是A. B.C. 当时，D.10. 函数的图象可能是A. B.C. D.11. 二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是A. B.C. D. 无实数根12. 若二次函数的图象与坐标轴只有两个公共点，则应满足的条件是A. B.C. 或D. 或二、填空题（共6小题；共30分）13. 抛物线沿轴向上平移个单位长度后的抛物线的表达式为．14. 已知二次函数的图象上有纵坐标分别为，的两点，，如果点，到对称轴的距离分别等于，，那么（填“”，“”或“”）．15. 如图所示的抛物线形拱桥中，当拱顶离水面时，水面宽坐标系，且横轴平行于水面，那么拱桥线的解析式为．16. 下列函数：①；②；③；④；⑤．是的反比例函数的有．（填序号）17. 已知，是抛物线上的两点，则（填，，）．18. 二次函数（，，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，交于点，，则关于的不等式的解集是．三、解答题（共8小题；共104分）19. 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．①；②；③；④．20. 在一场足球赛中，一球员从球门正前方米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为米时，球到达最高点，此时球高米，已知球门高为米，问能否射中球门?21. 画出二次函数的图象．22. 已知二次函数．（1）指出这个二次函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）把这个图象进行上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图象上，求此时二次函数的解析式．23. 老李想利用一段米长的墙（图中），建一个面积为平方米的矩形养猪圈，另外三面（图中，，）需要自己建筑．老李准备了可以修建米墙的材料（可以不用完）．（1）设，，求关于的函数关系式．（2）对于（）中的函数的值能否取到?请说明理由．24. 在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，求四边形的面积．25. 用配方法把二次函数化为的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．26. 如图是反比例函数的图象的一支．（1）函数图象的另一支在第几象限?（2）求的取值范围；（3）点，，都在这个反比例函数的图象上，比较，和的大小．答案第一部分1. B2. C3. D4. A5. D【解析】连接，设，则，，菱形的面积，，菱形的对角线，互相垂直且互相平分，，反比例函数经过顶点，．6. A7. A8. A9. D 【解析】经过点与原点，解得，故A，B选项错误；经过点，，解得，，当时，，此时，故C选项错误；过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，，令，则，整理得，，解得，，，，整理得，，解得，，，，故D选项正确．10. C【解析】函数是反比例的图象向左移动一个单位，即函数是图象是反比例的图象双曲线向左移动一个单位．11. C12. C 【解析】二次函数的图象与坐标轴只有两个公共点，二次函数的图象与轴只有一个公共点或者与轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数的图象与轴只有一个公共点时，，得；当二次函数的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则，，与轴两个交点，坐标分别为，；由上可得，的值是或，故选：C．第二部分13.14.【解析】二次函数，抛物线开口向上，点，到对称轴的距离分别等于，，．15.【解析】如图：以拱顶为原点建立直角坐标系，由题意得，，设抛物线的解析式为：，把代入，得，解得，所以抛物线解析式为．故答案为：．16. ②⑤17.【解析】，是抛物线上的两点，，，．故答案为：．【解析】当时，，所以不等式的解集为．第三部分19. ①向下，直线，；②向下，直线，；③向上，直线；④向上，直线，．20. 可以射中球门．21. 略．22. （1）开口向下；对称轴：直线；顶点．（2）平移后的解析式：．23. （1）依题意，得：，所以．（2）当时，，解得：，所以，又因为，所以对于（）中的函数的值不能取到．24. 四边形的面积是．25. ，抛物线开口向上，对称轴，顶点．26. （1）第四象限（2）在第二象限，，．（3）。

二次函数单元测试题(卷)(含答案) 二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.当-2≤x≦1，二次函数y=-(x-m)^2+ m+1有最大值4，则实数m值为（）A.-7/4B.3或-3C.2或-3D.2或3或-7/42.函数y=mx+x-2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，并且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是4ac-b^2/4a；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称。

其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.关于二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）A.m-1/16且m≠0 D。

m≥-1/165.下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（）A.y=x^2B.y=x+4C.y=3x^2-2x+5D.y=3x+5x-16.若二次函数y=ax+c，当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.-cD.c7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A.y=x^2-2B.y=x+4C.y=x^2-2x+1D.y=3x+5x-18.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是（）A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点9.函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax^2+bx+c-3=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根10.若把函数y=x的图象用E(x,x)记，函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记，……则E(x,x-2x+1)可以由E(x,x)怎样平移得到？A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位二、填空题11.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b^2-4ac=2，相应二次方程3x-2x+8=0的根的个数为2.12.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于两点，此时m=0和(x,0)，若x+1/x=7，要使抛物线经过原点，应将它向右平移1个单位。

二次函数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = (x - h)^2 + kC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx答案：C2. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的值是：A. 正数B. 负数C. 零D. 任意实数答案：A3. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/a, c)D. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)答案：D4. 二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是：A. x = -bB. x = -b/2aC. x = b/2aD. x = b/a答案：B5. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴有两个交点，则判别式Δ的值是：A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0D. Δ ≤ 0答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是________。

答案：(1, 1)7. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与y轴交于(0, k)，则k等于________。

答案：c8. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口________。

答案：向上9. 二次函数y = -3x^2 + 6x + 5的对称轴方程是________。

答案：x = 110. 若二次函数y = ax^2 + bx + c与x轴相交于两点，则判别式Δ必须________。

答案：大于0三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点(1, 2)和(-1, 0)，求a和b的值。

解答：将点(1, 2)代入函数得：a + b + c = 2将点(-1, 0)代入函数得：a - b + c = 0两式相减得：2b = 2，即b = 1将b代入任一式得：a + c = 1由于题目条件不足，无法唯一确定a和c的值。

《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名：______________ 考号：______________时间限制：90分钟一、选择题（每小题2分，共30分）（每小题2分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3，那么它的判别式为（）A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则该二次函数的判别式必须为（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2，那么它的对称轴为（）A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图象开口向（）A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题（每小题3分，共30分）（每小题3分，共30分）1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么它的顶点坐标为（）答案：(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3)，则 a + b+ c 的值为（）答案：-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5，那么它的对称轴的方程为（）答案：x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6)，则该二次函数必定为（）答案：f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数的值域为（）答案：( -∞, f(c) ]...三、解答题（共40分）（共40分）1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答：首先，我们可以求出这个二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实根。

最新沪科版九年级上数学《二次函数》单元测试题及答案九年级数学二次函数单元测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限()A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()< p="">A. y1<y2<y3< p="">B. y2<y3<y1< p="">C. y3<y1<y2< p="">D. y2<y1<y3< p="">10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.B.C. D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.答案与解析：一、选择题1..选A.2. 答案选C.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，3. 解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，在第四象限，答案选D.7. 解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.</y1<y3<></y1<y2<></y3<y1<></y2<y3<></x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是()<>。

一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax x x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20 4．设函数()()12y x x m =--，23y x =，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y <B ．当1x <时，12y y >C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >5．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．21y x x =+C ．()()221y x x x =+--D ．21y x =-6．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x = 7．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ） A ．m ＜p ＜q ＜n B ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n 8．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．开口方向向上B ．顶点坐标为()1,2-C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-10．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x << 11．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（ ）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<< 12．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =413．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．14．抛物线2(3)y a x m =-+与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为__________．15．将二次函数y=x 2-4x+5化成=（x-h ）2+k 的形式，则y= _____．16．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．x… 3- 2- 0 … y … 3 1.68- 1.68-… 17．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．18．已知点()1,A a m y -、()2,B a n y -、()3,C a b y +都在二次函数221y x ax =-+的图象上，若0m b n <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_________．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．21．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？22．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值．（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y ＝ax 2+bx+3，已知OA ＝OC ＝3OB ，动点P 在过 A 、B 、C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．（1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB 为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？25．若二次函数y ＝x 2-x-2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P(m ，-2)为二次函数y ＝x 2-x-2图象上一点，求m 的值．26．小强根据学习函数的经验，对函数24(1)1y x =-+；图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数24(1)1y x =-+；的自变量x 的取值范围是______； （2）如表是y 与x 的几组对应值．x ...2- m 12- 0 12 1 32 2 52 3 4 ... y ... 25 45 163 2 165 4 165 2 1613 45 n... （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数24(1)1y x =-+的大致图象；（4）结合函数图象，请写出函数24(1)1y x =-+的一条性质：______．（5）解决问题：如果方程2421(1)1a x =--+的实数根有2个，那么a 的取值范围是______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．B解析：B【分析】由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误；∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误；综上，正确的有①②④．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数，∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤解得3a ≥ 解分式方程12322ax x x x -+=--解得：62x a =- 由x ≠2得，a ≠5，由于a 、x 是整数，所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1，同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15，故选：B ．【点睛】 本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．D解析：D【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x ，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．5．D解析：D【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．6．D解析：D【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．7．A解析：A【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题．【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =---∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根∴当x m =或x n =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间．故选：A【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．8．C解析：C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点． 对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该抛物线的开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为()1,2-，故选项B 正确；当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x 轴没有交点，故选项C 错误； 对称轴是直线x=1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．C解析：C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 11．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9， 0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 二、填空题13．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++；【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键． 14．【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线的对称轴为此抛物线与x 轴的一个交点为它与x 轴的另一个交点为即则关于x 的一元二次方程 解析：121,5x x ==【分析】先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线2(3)y a x m =-+的对称轴为3x =，此抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)， ∴它与x 轴的另一个交点为(231,0)⨯-，即(5,0)，则关于x 的一元二次方程2(3)0a x m -+=的根为121,5x x ==，故答案为：121,5x x ==．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．15．【分析】将二次函数的右边配方即可化成的形式【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c （a≠0abc 为常数）；（2解析：2(2)1x -+【分析】将二次函数245y x x =-+的右边配方即可化成2()y x h k =-+的形式．【详解】24445y x x =-+-+，2441y x x =-++，22()1y x =-+．故答案为：2(2)1x -+．【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式，关键是熟练掌握以下三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．16．6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1则−＝−1所以＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3， ∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6． 故答案为：6．【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．17．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解．【详解】 抛物线的对称轴212a x a-=-=， 由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)，∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，．故答案为：1213x x =-=，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键． 18．【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴再根据ABC 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可【详解】∵二次函数∴对称轴方程为且抛物线开口向上∴横坐标离对称轴x=a 越远y 越大a-m 离x=a 有m 个单位解析：231y y y >>【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴，再根据A 、B 、C 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可.【详解】∵二次函数221y x ax =-+∴对称轴方程为22a x a -=-=，且抛物线开口向上， ∴横坐标离对称轴x=a 越远，y 越大，a-m 离x=a 有m 个单位长度，a-n 离x=a 有n 个单位长度，a+b 离x=a 有b 个单位长度，又∵0m b n <<<， ∴231y y y >>，故答案为：231y y y >>.【点睛】本题考查二次函数的对称性和增减性，根据二次函数解析式确定函数图像的对称轴是解答本题的关键 .19．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线解析：①③【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，12b a∴-=， 2b a ∴=-，20b a ∴+=，故②错误；③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．故答案为：①③．【点睛】主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详 解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 三、解答题21．能，理由见解析【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A （﹣2，﹣4.4），B （2，﹣4.4），设这个函数解析式为y ＝kx 2．将A 的坐标代入，得y ＝﹣1.1x 2，∵货车装货的宽度为2.4m ，∴E 、F 两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x ＝1.2时 y ＝﹣1.584，∴GH ＝CH ﹣CG ＝4.4﹣1.584＝2.816（m ），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m ，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．22．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12b -=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，解得3c =-或0c（舍去）； ∴3c =-．（2）设点F 坐标为(0,)m ，∵对称轴是直线:1l x =，∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴E （1，-4），∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，∴直线BE 的表达式为26y x =-，∵点F '在BE 上，∴2262m =⨯-=-，即点F 坐标为(0,2)-．（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，∵PQN APM SS =， ∴1(1)(3)2n n +- ()21232n n QR =-++⋅，∴1QR =，①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()2,4n n n -，N 点坐标为()2,23n n n --，∴()2242323RN n n n n n =----=-+∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，∴当3n 2=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,24⎛⎫-⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，同理21RNn =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫-⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．23．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()1,4P 或()2,5--．【分析】（1）根据A 的坐标，即可求得OA 的长，则B 、C 的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据等腰三角形的性质得到两直角边相等，即可列方程分别求解．【详解】解：（1）由题意可知：c＝3∴OC＝OA＝3OB=3，∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），将点B、C代入抛物线的表达式为：09a33 03ba b=++⎧⎨=-+⎩，解得：a12 b=-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点A、C分别作直线AC的垂线，分别交抛物线于P1、P2．过点P1作P1M⊥ y轴，垂足为M．∵OC＝OA∴∠OAC=∠OCA=45º∴∠MAP1=∠MP1A=45º∴MA=MP1设P1点坐标（a，﹣a2+2a+3）则MP1=a，OP1=﹣a2+2a+3∵OA＝3∴MA=﹣a2+2a+3-3=﹣a2+2a∴﹣a2+2a=a解之得：a1=0（舍去），a2=1∴﹣a2+2a+3=4∴P的坐标为（1，4）过点P2作P2N⊥ x轴，垂足为N．∵OC＝OA ∴∠OAC=∠OCA=45º∴∠NAP2=∠NP2C=45º∴CN=NP2设P2点坐标（a，﹣a2+2a+3）则NP2=a2-2a-3，ON=﹣a∵a2-2a-3＝3-a解之得：a1=3(舍去）， a2=-2，∴﹣a2+2a+3=-5∴点P的坐标为（﹣2，﹣5）∴当点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）时，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形．【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．24．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，由题意00AB BC >>，，即02430x x >>，－，解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米，即02439x <≤－ ，解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<， 二次函数图像开口向下，对称轴为()24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y=+⨯-（-），∴当AB为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．25．（1）A (-1，0)，B(2，0)；（2）0或1【分析】（1）解方程x2-x-2=0可得A，B两点的坐标；（2）把P（m，-2）代入y=x2-x-2得m2-m-2=-2，然后解关于m的方程即可．【详解】解：（1）当y＝0时，x2-x-2＝0，解得x1＝-1，x2＝2，∴A（-1，0），B（2，0）；（2）把P（m，-2）代入y＝x2-x-2得m2-m-2＝-2，解得m1＝0，m2＝1，∴m的值为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．26．（1）全体实数；（2）1-，25；（3）答案见解析；（4）当1x=时，函数有最大值4等；（5）15 22a<<．【分析】（1）根据分式有意义的条件即可解决；（2）根据表格中的数据可知，此函数图象关于直线x＝1对称，据此判定即可；（3）用平滑的曲线连接各点即可；（4）观察函数图象，即可得到函数的一条性质；（5）观察图象可得：当0＜y＜4时，方程有两个实数根，即可求出a的取值范围．【详解】（1）∵（x−1）2＋1≥1，∴自变量x的取值范围是全体实数；故答案为：全体实数；（2）由表格中可以看出，函数关于x＝1对称，∴m＝−1，n＝25；故答案为：m＝−1，n＝25；（3）如图所示：（4）由函数图象可知：当x ＝1时，该函数由最大值，故答案为：当x ＝1时，该函数由最大值；（5）根据图象可得：0＜y≤4．∵方程2421(1)1a x =--+的实数根有2个 即0＜21a -＜4， 解得：1522a <<． 【点睛】 本题考查了函数的性质、分式方程的解的综合应用，解决此题的关键是能根据列表法、图象法观察图象，从而得到结论．。

初中数学二次函数的图象与性质培优测试题（附答案详解） 1．下列说法中，正确的有（ ）（1）、25的平方根是±5；（2）、五边形的内角和是540°；（3）、抛物线y=x 2+2x+4与x 轴无交点；（4）、等腰三角形两边长为6cm 和4cm ，则它的周长是16cm ． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．在平面直角坐标系中，将二次函数22y x =的图像向上平移5个单位，所得图像的解析式为（ ）． A ．225y x =-B ．225y x =+C ．22(5)y x =-D ．22(5)y x =+3．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则ac 的符号是（ ）A ．ac>0B ．ac<0C ．ac≥0D ．ac≤0 4．如果将抛物线2yx 向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（ ）． A ．2(4)2y x =-- B ．2(4)2y x =-+ C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++5．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．y=﹣12x 2﹣x ﹣32B ．y=﹣12x 2+x ﹣12C ．y=﹣12x 2+x-32D ．y=﹣12x 2﹣x ﹣127．抛物线()234y x =-++顶点坐标是（ ） A ．(3，4)B ．(﹣3，4)C ．(3，﹣4)D ．(2，4)8．给出下列四个函数：①y=﹣x ；②y=x ；③y=1x；④y=x 2．x ＜0时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若抛物线y =2x 2-px +4p +1中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为_________． 10．二次函数y ＝2（x+1）2﹣3的顶点坐标是_____．11．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．12．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x ﹣1 0 0.5 2 y﹣123.752下列结论中正确的有________ 个．(1)ac ＜0； (2)当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；(3)x=2是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜2时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．13．将()()y 2x 1x 21=-++化成2y a(x m)n =++的形式为________． 14．抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．15．已知二次函数y =x 2－2x ＋2的图像上有两点A （－3，y 1）、B （－2，y 2），则y 1____y 2．（填“＞”“＜”或“＝”号）16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =-，与x轴的一个交点为(10)，，与y 轴的交点为(03)，，则方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解为__________．17．已知二次函数的图象经过点（2，3），顶点坐标（1，4） （1）求该二次函数的解析式；（2）图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积． 18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()A 1,0．()1当b 2=，c 3=-时，求二次函数的解析式及二次函数最小值； ()2二次函数的图象经过点()B m,e ，()C 3m,e -．①求该二次函数图象的对称轴； ②若对任意实数x ，函数值y 都不小于114a 2-，求此时二次函数的解析式． 19．已知抛物线的顶点坐标是（﹣3，﹣2），它与直线y=2x+m 的交点是（1，6），求抛物线和直线所对应的函数关系式．20．如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________； （2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12MQD MKQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.21．已知，抛物线y ＝ax 2+2ax+c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为（1，0），OC ＝3OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．22．已知抛物线过点（，）和点（1，6），（1）求这个函数解析式；（2）当x为何值时，函数y随x的增大而减小；23．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．24．直线y=x－2与抛物线y=ax2+bx+c相交于（2，m），（n，3）两点，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的关系式．参考答案1．A 【解析】 【分析】55的平方根；(2)n 边形内角和公式是(n －2)180°；(3)判断22－4×1×4的符号；(4)分6cm 为等腰三角形的底和腰两种情况讨论. 【详解】详解：(1)5，而5的平方根是则(1)错误； (2)五边形内角和是(5－2)×180°＝540°，则(2)正确；(3)抛物线y ＝x 2＋2x ＋4与x 轴交点的横坐标即是x 2＋2x ＋4＝0的根， 因为22－4×1×4＜0，所以抛物线y ＝x 2＋2x ＋4与x 轴无交点，则(3)正确； (4)当等腰三角形的腰长为6cm 时，三边长为6，6，4，周长为16cm ； 当等腰三角形的腰长为4cm 时，三边长为6，4，4，周长为14cm ， 则(4)错误. 故选A .且要用三角形的三边关系判断能否组成三角形. 2．B 【解析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可得，将二次函数22y x =的图像向上平移5个单位，所得图像的解析式为225y x =+，故选B. 3．B 【解析】 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ac 的符号即可判定． 【详解】由函数图象可得各系数的关系：a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则ac ＜0．故选B. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断． 4．C 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x 2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为()4,2,-- 然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0),把点(0,0) 向左平移4个单位,再向下平移2个单位所得对应点的坐标为()4,2,--,所以平移后抛物线的解析式为()242y x =+-.故选：C. 【点睛】考查二次函数图象的平移，掌握图象平移规律是解题的关键. 5．B 【解析】试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确，综上可知，正确的结论有2个. 故选B ． 6．A 【解析】【分析】根据抛物线平移规律可写出函数解析式.即:左加右减；上加下减.【详解】将抛物线y=﹣12x 2向下平移1个单位长度，得y=﹣12x 2-1，再向左平移1个单位长度，得到y=﹣1x 2+（1）2-1，即y=﹣12x 2﹣x ﹣32.故选：A【点睛】本题考核知识点：抛物线的平移.解题关键点：熟记抛物线的平移与函数解析式的关系. 7．B 【解析】试题解析：22(3)4y x =--+是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为()3,4.- 故选B. 8．C 【解析】 【详解】解: 当x <0时，①y =−x ，③1y x=，④2y x =， y 随x 的增大而减小；②y =x ，y 随x 的增大而增大. 故选C. 9．（4，33） 【解析】 【分析】把含p 的项合并，只有当p 的系数为0时，不管p 取何值抛物线都通过定点，可求x 、y 的对应值，确定定点坐标． 【详解】y=2x 2-px+4p+1可化为y=2x 2-p （x-4）+1， 分析可得：当x=4时，y=33；且与p 的取值无关； 故不管p 取何值时都通过定点（4，33）． 【点睛】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断． 10．()1,3-- 【解析】 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(a,h,k 是常数，a≠0)，其顶点坐标为(h ，k). 【详解】解：由顶点式的定义可知该二次函数的顶点坐标为()1,3--. 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式. 11．（2-，0） 【解析】∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点， ∴点P 和点Q 关于直线1x =对称， 又∵点P 的坐标为（4，0）， ∴点Q 的坐标为（-2，0）. 故答案为（-2，0）.12．4 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得a 、c 的值，根据有理数的乘法，可得答案； （2）根据a ＜0，对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，可得答案； （3）根据解一元二次方程，可得答案； （4）根据函数与不等式的关系，可得答案． 【详解】解：将（-1，-1），（0，2）（2，2）代入函数解析时，得1{c 242=2a b c a b c -+=-=++＝， 解得a=-1{b=2c=2．故函数解析式为y=-x 2+2x+2， （1）ac=-1×2=-2＜0，故（1）正确；（2）y=-x 2+2x+2=-（x-1）2+3，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，故（2）正确； （3）-x 2+x+2=0，解得x=-1，x=2，故（3）正确；（4）当-1＜x ＜2时，y=ax 2+（b-1）x+c 的图象位于x 轴上方，故（4）正确； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键，同时利用了二次函数的性质，函数与不等式的关系． 13．2317y 2(x )48=+- 【解析】 【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】222399317(21)(2)12312()12(),216848y x x x x x x x =-++=+-=++--=+- 故答案为：2317y 2(x )48=+-. 【点睛】考查二次函数解析式之间的转化，掌握一般式和顶点式之间的转化方法是解题的关键. 14．（﹣2，4）． 【解析】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 详解：∵y=2（x+2）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4）， 故答案为（-2，4）．点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标． 15．＞ 【解析】 【分析】 【详解】点A 和点B 分别代入二次函数解析式可得:1296217,44210y y =++==++=,所以y 1＞y 2,故答案为: ＞. 16．11x =，23x =- 【解析】 【分析】直接利用抛物线的对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点是（1，0），得出另一个与x 轴的交点，进而得出答案． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1， ∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的另一个交点是（-3，0），∴方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解为：x 1=1，x 2=-3．故答案为x 1=1，x 2=-3．【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确得出抛物线与x 轴的交点坐标是解题关键． 17．（1）y=-（x-1）2+4；（2）S △ABC=6.【解析】【分析】（1）设出二次函数的顶点式y=a （x-1）2+4，将点（2，3）代入解析式，求出a 的值即可得到函数解析式；（2）令y=0，据此即可求出函数与x 轴交点的横坐标，从而得到图象与x 轴交点A 、B 两点的坐标；由于知道C 点坐标，根据A 、B 的坐标，求出AB 的长，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】解：(1)设所求的二次函数的解析式为y = a （x-1）2+4，把x =2，y =3代入上式，得：3=a （2-1）2+4，解得：a =−1，∴所求的二次函数解析式为y =−（x-1）2+4，即y =−x 2+2x +3.(2)当y =0时，0=− x 2+2x +3，解得：1x =−1，2x =3，∴图象与x 轴交点A. B 两点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，由题意得：C 点坐标为(0,3)，AB =4，∴S △ABC =12×4×3=6. 【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用是关键.18．（1）2y (x 1)4=+-；当x 1=-时，y 最小值为4-；（2）①x=32；②y=x 2-3x+2； 【解析】【分析】（1）利用待定系数法以及配方法即可解决问题．（2）①根据对称性B 、C 关于对称轴对称，即可解决问题．②首先求出b 、c （用a 表示），想办法列出不等式即可解决问题．【详解】解：()1将b 2=，c 3=-代入得：2y ax 2x 3=+-． 将x 1=，y 0=代入，a 230+-=，∴a 1=．∴22y x 2x 3(x 1)4=+-=+-，∴当x 1=-时，y 最小值为4-． ()2①由题意可知：对称轴m 3m 3x 22+-==． ②∵b 32a 2-=， ∴b 3a =-，又∵a b c 0++=，∴c 2a =，∴2y ax 3ax 2a =-+ 顶点纵坐标为224ac b a 4a 4a--=， ∵函数值不小于114a 2-， ∴a 0>，且2a 114a 4a 2-≥-， ∴2a 2a 10-+≤，∴2(a 1)0-≤，∵2(a 1)0-≥，∴a 10-=，∴a 1=．∴函数解析式为：y=x 2-3x+2【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.19．y=12（x+3）2﹣2；y=2x+4． 【解析】【分析】根据题意可设二次函数的解析式为y =a （x +3）2﹣2，将点（1，6）代入得a =12，求得抛物线的解析式；将点（1，6）代入直线y =2x +m 得m =4，求得直线所对应的函数关系式．【详解】设二次函数的解析式为y =a （x +3）2﹣2，将点（1，6）代入得：a =12，∴抛物线的解析式为y =12（x +3）2﹣2，将点（1，6）代入直线y =2x +m ，得：m =4． ∴直线所对应的函数关系式为y =2x +4．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，注意当二次函数的顶点坐标已知时，可设顶点式．20．（1）PQ 的中点坐标是(2.5,2)；（2）92t -=或3t 4=；（3）124(,)39D ，2240(,)39D -. 【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P 和Q 的路程OP 和AQ 的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况：①当△PAQ ∽△QBC 时，PA QB AQ BC ＝，②当△PAQ ∽△CBQ 时，PA BC AQ QB＝，分别列方程可得t 的值；（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q （3，2），M （0，2），可得MQ ∥x 轴，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，画出符合条件的点D ，证明△KEQ ∽△QMH ，列比例式可得点D 的坐标，同理根据对称可得另一个点D．详解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），∴OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P（2，0），Q（3，4），∴线段PQ的中点坐标为：（2+32，0+42），即（52，2）；故答案为：（52，2）；（2）如图1，∵四边形OABC是矩形，∴∠B=∠PAQ=90°∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△PAQ∽△QBC时，PA QB AQ BC＝，∴36223t tt--＝，4t2-15t+9=0，（t-3）（t-34）=0，t1=3（舍），t2=34，②当△PAQ∽△CBQ时，PA BC AQ QB＝，∴33 262tt t＝--，t2-9t+9=0，，∵0≤t≤6＞7，∴x=9+35不符合题意，舍去， 综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是34或9+352； （3）当t=1时，P （1，0），Q （3，2）， 把P （1，0），Q （3，2）代入抛物线y=x 2+bx+c 中得：10932b c b c ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：32b c -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线：y=x 2-3x+2=（x-32）2-14， ∴顶点k （32，-14）， ∵Q （3，2），M （0，2），∴MQ ∥x 轴，作抛物线对称轴，交MQ 于E ，∴KM=KQ ，KE ⊥MQ ，∴∠MKE=∠QKE=12∠MKQ ， 如图2，∠MQD=12∠MKQ=∠QKE ，设DQ 交y 轴于H ，∵∠HMQ=∠QEK=90°，∴△KEQ ∽△QMH ，∴KE MQ EQ MH＝，∴12+3432MH＝，∴MH=2，∴H（0，4），易得HQ的解析式为：y=-23x+4，则224332y xy x x＝＝⎧-+⎪⎨⎪-+⎩，x2-3x+2=-23x+4，解得：x1=3（舍），x2=-23，∴D（-23，409）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=12∠MKQ=∠QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=23x，则22332y xy x x⎧⎪⎨⎪-+⎩＝＝，x2-3x+2=23x，解得：x1=3（舍），x2=23，∴D （23，49）； 综上所述，点D 的坐标为：D （-23，409）或（23，49）． 点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t 表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题． 21．(1) y=﹣x 2﹣2x +3或y=x 2+2x ﹣3;(2) S=﹣32（m 2+3m ）（﹣3＜m ＜0）;当m=﹣12时，S 取最大值，最大值为278. 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标及OC=3OB 可得出点C 的坐标，再根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，进而即可得出线段AC 所在直线的解析式，由点D 的横坐标可找出点D 、E 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式，利用配方法可找出S 的最大值．【详解】（1）∵点B 的坐标为（1，0），OC=3OB ，∴点C 的坐标为（0，3）或（0，﹣3），将点B （1，0）、C （0，3）或（0，﹣3）代入y=ax 2+2ax+c ， 203a a c c ++=⎧⎨=⎩或203a a c c ++=⎧⎨=-⎩解得：13a c =-⎧⎨=⎩ 或13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3或y=x 2+2x ﹣3．（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，如图所示．∵a ＞0，∴抛物线的解析式为y=x 2+2x ﹣3，∴点C 的坐标为（0，﹣3）．当y=0时，有x 2+2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣3，x2=1，∴点A 的坐标为（﹣3，0），利用待定系数法可求出线段AC 所在直线的解析式为y=﹣x ﹣3．∵点D 的横坐标为m ，∴点D 的坐标为（m ，m 2+2m ﹣3），点E 的坐标为（m ，﹣m ﹣3），∴DE=﹣m ﹣3﹣（m 2+2m ﹣3）=﹣m 2﹣3m ，∴S=12DE×|﹣3﹣0|=﹣32（m 2+3m ）（﹣3＜m ＜0）． ∵﹣32＜0，且S=﹣32（m 2+3m ）=﹣32（m+32）2+278， ∴当m=﹣32时，S 取最大值，最大值为278．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S 与m 的函数关系式．22．（1）239y x =-+；（2）x>0【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可求出函数的关系式．（2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数y 随x 的增大而增大．试题解析：（1）把点（-2，-3）和点（1，6）代入y=ax 2+b 得436a b a b +-⎧⎨+⎩＝＝, 解得39a b -⎧⎨⎩＝＝,所以这个函数的关系式为y=-3x 2+9；（2）∵这个函数的关系式为y=-3x 2+9；∴对称轴x=0，∵a=-3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜0时，函数y 随x 的增大而增大．23．开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.试题解析:2264y x x =-++, =29923442x x ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭, =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 开口向下,对称轴为直线32x =,顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．y=（x －2）（x －4）=x 2－6x+8.【解析】【分析】先利用一次函数解析式求出抛物线与直线的交点为（2，0），（5，3），根据把两个交点坐标代入y=ax 2+bx+c 得到两个关于a 、b 、c 的两个方程，再加上对称轴方程，这样得到方程组，然后解方程组即可．【详解】把（2，m ），（n ，3）分别代入y=x-2得m-2=-2，n-2=3，解得m=0，n=5，即抛物线与直线的交点为（2，0），（5，3），根据题意得，420255332a b c a b c b a⎧⎪++⎪++⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，解得168a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以抛物线解析式为y=x 2-6x+8．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．。

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二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共30分）1。

当—2≤ x ≦1，二次函数y=-（x —m ）2 + m 2+1有最大值4，则实数m 值为（ ）A 。

—47B. 3或—3C 。

2或-3D 。

2或3或—472. 函数22y mx x m =+-（m 是常数)的图像与x 轴的交点个数为（ ）A 。

0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题:①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是(）A. 1个B ．2个C ．3个D ．4个4。

关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（)A ．116m <-B ．116m -≥且0m ≠ C ．116m =- D ．116m >-且0m ≠5。

下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点,这个函数是（ ） A ．2y x =B ．24y x =+C ．2325y x x =-+D ．2351y x x =+-6。