5.备课资料(3.3.2 简单线性规划问题)

课题: §3.3.2简单的线性规划第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组： (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。

3.3.2简单线性规划问题（1课时）一、教学目标:1.理解线性目标函数、线性约束条件、线性规划问题、可行解、可行域、最优解的概念；2.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；3.掌握简单的二元线性规划问题的解法.二、教学重点:简单的二元线性规划问题的解法及步骤.三、教学过程:1.创设情境某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算，若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?为理解题意，能够将已知数据整理成下表:将上述问题转化为数学问题为：●如何解决这个问题？2.建构数学一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解()y x ,叫做可行解。

由所有可行解组成的集合叫做可行域。

使目标函数取得最值的可行解叫做最优解。

3.数学应用1.解决问题：求利润z=2x+3y 的最大值.2841641200.x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，， 2.设y x z 53+=，式中变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>≥+≥+.001710732y x y x y x ，，，，求z 的最小值.3.某公司的仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨。

现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元。

则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？ 【练习】课本练习的1、2、3、4、54.回顾小结解简单的线性规划问题要注意: 1.准确作出可行域；2.理解目标函数的几何意义；3.找准最优解的对应点，对应点一般在可行域的顶点、边界上。

3.3.2简单线性规划问题从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下. （生回答）推进新课 ［合作探究］师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？ 生 则z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ ［教师精讲］师 把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线z x y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z 最大.由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z 最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元. ［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l 0：2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l:2x+y=t,t ∈R. 可知，当l 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x,y)满足2x+y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点B （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以t m a x =2×5+2=12,t min =2×1+3=3.(2)(3) ［合作探究］师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨） 乙原料（吨） 费用限额成本1 000 1 500 6 000 运费500 400 2 000 产品90 100 解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y xz=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440. 答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x目标函数为z=2x+3y. 作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值.解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）. 答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A 组2.第2课时导入新课师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解;(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师 【例1】 已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200）， 令t=300x+900y， 即,90031t x y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500. 师 【例2】 求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191). 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.师 【例3】 已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min=1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x ［教师精讲］师 （1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？师 分析：将已知数据列成下表：消耗量 产品 资源甲产品（1 t ） 乙产品(1 t) 资源限额（t ） A 种矿石（t ）10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t) 利润（元）4 9 360 600 1 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、4.第3课时导入新课师 前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题. 推进新课师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？师 分析：将已知数据列成下表：食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生 由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生 考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z 是直线在y 轴上的截距，当28z 取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z[]28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人师 由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z ，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元. 师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生 若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为 3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元. ［教师精讲］师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义. 课堂小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l 0；（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值. 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时简单线性规划问题图1课堂小结线性规划问题的相关概念图2第2课时简单线性规划问题例1课堂小结例3例2第3课时简单线性规划问题例5课堂小结例7例6。

3.3.2 简单的线性规划问题(一)教学目标1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法.4.会画常见非线性约束条件的可行域及解释其目标函数的几何意义．教学引导知识点一线性约束条件及目标函数1．在上述问题中，不等式组①是一组对变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．2．在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量x，y的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．知识点二可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解．知识点三线性规划问题与图解法一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．在确定了线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求”．(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值时的点的坐标(解方程组)及最大值或最小值．教学检测1．可行解是可行域的一个元素．(√)2．最优解一定是可行解．(√)3．目标函数z＝ax＋by中，z为在y轴上的截距．(×)4．当直线z＝ax＋by在y轴上的截距最大时，z也最大．(×)教学案例题型一 求线性目标函数的最值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求2x ＋3y 的最大值．解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图．由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14. 反思感悟 (1)由于求最优解是通过图形来观察的，故画图要准确，否则观察的结果可能有误．(2)作可行域时要注意特殊点与边界．(3)在可行域内求最优解时，通常转化为直线在y 轴上的截距的最值问题来研究，故一定要注意直线在y 轴上的截距的正负，否则求出的结果恰好相反． 跟踪训练1 若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 【答案】3【解析】由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.题型二 已知线性目标函数的最值求参数例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________． 【答案】(1，＋∞)【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分含边界所示)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即C (3,1)，目标函数为z ＝ax ＋y (a >0)，由题意可知，当直线y ＝－ax ＋z 经过点C 时，z 取得最大值， ∴－a <k CD ，即－a <－1，则a 的取值范围为(1，＋∞)．反思感悟 (1)线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，在y 轴上的截距是zb，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．(2)若b >0，则当截距最大时，z 取得最大值，当截距最小时，z 取得最小值；若b <0，则当截距最大时，z 取得最小值，当截距最小时，z 取得最大值．跟踪训练2 在本例条件下，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的值为________． 【答案】1【解析】如上例中图形，若使z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax＋y 与直线x ＋y ＝4重合，所以－a ＝k CD ，即－a ＝－1，此时a ＝1. 题型三 求非线性目标函数的最值例3 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.则z ＝y ＋1x ＋1的最大值为________，最小值为________． 【答案】3 12【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3，z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.反思感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b 的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题．跟踪训练3 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，则y ＋2x ＋2的最大值为( ) A ．1 B ．45 C ．12 D ．23【答案】B【解析】画出可行域如图(阴影部分含边界)所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝23，则B ⎝⎛⎭⎫43，23.y ＋2x ＋2表示可行域内的点(x ，y )与C (－2，－2)连线的斜率，从图象可以看出，经过点B ⎝⎛⎭⎫43，23时，y ＋2x ＋2有最大值45.类比：思想方法的迁移方式之一典例 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则z ＝2|x |＋y 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,11]C ．[1,3]D ．[－1,11] 【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当x ≥0时，z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，由图象可知其经过A (0，－1)时，z min ＝－1，经过B (6，－1)时，z max ＝11；当x ≤0时，y ＝2x ＋z ，由图象可知其经过C (－2，－1)时，z max ＝3，经过A (0，－1)时，z min ＝－1，综上所述，－1≤z ≤11.[素养评析] 逻辑推理主要有两类：演绎是从一般到特殊，归纳与类比是从特殊到一般．其中类比是从此类到彼类，找到两类之间的关联．本例中的目标函数乍看新颖，但只要去掉绝对值，就变成常规的截距型，我们只要把解截距型问题的思想方法迁移过来即可.当堂检测1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0C ．53D ．52【答案】C【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 【答案】B【解析】作出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b <4，那么b ＋1a ＋1的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫15，3B.⎝⎛⎭⎫13，2C.⎝⎛⎭⎫15，2D.⎝⎛⎭⎫13，3 【答案】A【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2<a ＋2b <4，a >0，b >0表示的平面区域，如图阴影部分所示(不含边界).b ＋1a ＋1的几何意义是可行域内的点M (a ，b )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图得，当点M 与点B (0,2)重合时，b ＋1a ＋1最大；当点M 与点A (4,0)重合时，b ＋1a ＋1最小．由图知k PB ＝2＋10＋1＝3，k P A ＝0＋14＋1＝15，因为a ，b 是正数，且点A ，B 不在可行域内，所以15<b ＋1a ＋1<3，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6] D.⎣⎡⎦⎤－6，32 【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．【答案】3【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3. 课堂小结1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．对于非线性约束条件，仍然用“方程定界，特殊点定域”.。