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电通量积分法

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电磁学第一章习题

电磁学第一章习题
不一定。例：等势面上 U 相等，同一 E 线上的
不同点，U 不等。。
⑦ E 相等的场中， U 是否相等？
相等
2 计算
E, U , (F , ,W , A)
（1） E
————
1 E
4 0
dq
r2
rˆ
S
E dS
qi
0
E U
（2）U —— 叠加原理-积分求和：
（a）已知 q 分布——（U∞=0） U
4、dq 2 r dl 2 R sin Rd
r Rdr
R
dq Rd Rsin d
R O
R O
5、 dq 4r 2dr
或：
dq r 2 sin dr d d
例1：求半径为 R 的均匀带电Q半圆形细环
圆心处的场强。
dl
解：建坐标系如图，取微元
d q Rd
R
d
x
由对称性，Ex=0, 而
L
这表明静电力是
保守力
，
也表明 静电场中的电力线 不可能闭合 。
10、有一带电球壳，内、外半径分别为 a 和 b ，
电荷体密度 ρ=A/r ，在球心处有一点电荷 Q ，证 明当 A = Q/(2πa2) 时，球壳区域内的场强 E
的大小与 r 无关。
证：由高斯定理，有
E
1
4 0r 2
Q
r
a
A 4
r
r
p
p0
(b)U p E dl .
p
b
(d )Aab q E dl q U ab .
a
① 如图，
A
B
C
E
若将 q0 >0 放在 B 点，它向何方运动？ 向 C

(11)电通量、高斯定理

(11)电通量、高斯定理
有何关系？ 2）上述结论与库仑定律 F ∝ 1 r 2 有何关系？
正是由于库仑定律的平方反比关系， 正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿 无关， 过高斯面的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯 定理是库仑定律平方反比关系的反映。 定理是库仑定律平方反比关系的反映。
(11)电通量 高斯定理
四、高斯定理的应用
利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件： 成立条件：静电场 求解条件：电场分布具有某些对称性： 求解条件：电场分布具有某些对称性： 才能找到恰当的高斯面，使 ∫s E ⋅ dS 中待求 E 的大 才能找到恰当的高斯面， 小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求 小为常量，并且能够提到积分号外， 分布。 出 E 分布。 球对称性 常见类型： 常见类型： 场源电荷分布 轴对称性 面对称性
E = E = dN / dS
E
S
E
(11)电通量 高斯定理 点电荷的电场线 E =
正 点 电 荷
Q 4πε0r
2
ˆ r
负 点 电 荷
+
(11)电通量 高斯定理 一对等量异号点电荷的电场线
+
(11)电通量 高斯定理 一对等量正点电荷的电场线
+
+
(11)电通量 高斯定理 一对不等量异号点电荷的电场线
电量为q的负电荷有 ε0 电量为 的负电荷有q/ 的负电荷有 条电场线终止于它
q < 0 ⇒Φe < 0
+q
q
(11)电通量 高斯定理 讨论
2）若q不位于球面中心， ） 不位于球面中心， 不位于球面中心
电通量不变。 电通量不变。
3）若封闭面不是球面， ）若封闭面不是球面，

高斯定理

高斯定理

3.点电荷在封闭曲面之外 e E dS 左 E dS 右 E dS 0
dS1
E2
E1
e S E dS 0
q+ dS 2
4.点电荷系电场中的电通量
使 q1 , q2 , qn 在曲面内；
使 qn1 qnk 在曲面外。 闭合面上各点场强
e S de S E cos dS
e S E dS
S
2）通过闭合曲面的电通量 规定: n 的方向指向曲面的外侧。
dS1 E 1 1 E2
de E dS EdS cos ( E n ) 90 通量为正； ( E n) 90 通量为负。
2.通过高斯面的电通量仅由高斯面内电荷的代数和决 定，而与面外电荷无关。 1 3.若电荷连续分布 e S E dS S dq
0
利用库仑定律和场强叠加原理，验证高斯定理。
1.点电荷位于球面中心
1 q E 4π 0 r 2 1 q e S E dS S dS 2 4π 0 r 1 q dS 2 S 4π 0 r
E0
例：求均匀带电球体的内外场强分布。设球体半径 为 R ，所带总带电为 Q。 解：选取同心的球面 为高斯面。
R
1 n S E dS qi
r
r
o
Q
E
P
0
i 1
1. r R
Qr E 3 4π 0 R
2. r R
Q 4 3 q 3 πr 4πR 3 3
高斯定理概要
一、电场线 性质：静电场的电场线不相交、不中断。 二、电通量 e S E dS 1 n 三、高斯定理 S E dS qi

电通量真空中静电场的高斯定理

电通量真空中静电场的高斯定理

高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。

大学物理公式总结

大学物理公式总结

大学物理电磁学公式总结第一章（静止电荷的电场）1.电荷的基本性质：两种电荷，量子性，电荷守恒，相对论不变性。

2. 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力F =kq 1q 2r 2e r =q 1q 24πε0r 2e r3. 电力叠加原理：F=ΣF i4. 电场强度：E=Fq 0, q 0为静止电荷5. 场强叠加原理：E=ΣE i用叠加法求电荷系的静电场：E =∑q i4πε0r i2e ri i (离散型) E=∫dq4πε0r 2e r q(连续型)6. 电通量：Φe=∫E •dS s7. 高斯定律：∮E •dS s=1ε0Σq int 8. 典型静电场：1) 均匀带电球面：E=0 （球面内）E=q4πε0r 2e r （球面外）2) 均匀带电球体：E=q4πε0R3r =ρ3ε0r （球体内）E=q4πε0r 2e r （球体外）3) 均匀带电无限长直线： E=λ2πε0r ，方向垂直于带电直线4) 均匀带电无限大平面：E=σ2ε0，方向垂直于带电平面9. 电偶极子在电场中受到的力矩：M=p×E第九章 静电场知识点：1、 用积分方法计算连续带电体电场强度，场强叠加是矢量叠加；首先进行矢量分解，再把同方向的相加；2、 运用高斯定理，计算电荷均匀分布、对称带电体周围空间的场强和电势；关键是分析场强分布特点，选好封闭曲面；（1）电荷在表面均匀分布的带电圆筒；（选择一个封闭圆柱曲面） （2）电荷在表面均匀分布的带电球壳；（选择一个封闭球面） （3）电荷均匀分布的无穷大平面；（选择一个封闭圆柱曲面）3、 根据电势定义用积分方法计算连续带电体的激发的电势，要获得积分路径上场强的分布；电势叠加是标量叠加； 4、 电场强度环路定理一些问题辨识：1、理解高斯定理的内容：（1）只有封闭曲面内的电荷，才对该封闭曲面的电通量有贡献；（2）曲面以外的任何电荷，对该封闭曲面的电通量没有贡献；（3）这里强调的是封闭曲面，如果只是一个有限曲面，是封闭曲面的一部分，里外的电荷对该部分是有电通量贡献的：（4）里、外的电荷都对曲面上的各点产生场强；2、场强等于零的空间点，电势可以不为零；电势为零的空间点，场强可以不为零；1、 有关静电场的论述，正确的是（ ）（1） 只有封闭曲面内的电荷才对该封闭曲面的电通量有贡献；√（2） 无论封闭曲面内的电荷的位置如何改变，只要不离开该封闭曲面，而且电荷代数和不变，该封闭曲面的电通量就不变；√（3） 封闭曲面内部的任何电荷的位置的改变，尽管不离开该封闭曲面，而且电荷代数和不变，该封闭曲面的电通量也要发生改变；×（4） 封闭曲面外的电荷激发的场强对该封闭曲面上的任何面元的电通量的贡献为零；×（5） 如果封闭曲面的电通量为零，则该封闭曲面上任何面元上的电场强度一定为零；×（6） 如果封闭曲面的电通量不为零，则该封闭曲面上任何面元的电通量的一定不为零；×（7） 电场强度为零的空间点，电势一定为零；×（8） 在均匀带电的球壳内部，电场强度为零，但电势不为零；√计算场强的三种方法，按照问题的实际情况选择最方便的方法： （1） 根据连续带电体的积分公式； （2） 采用高斯定理；（3） 先获得电势分布公式，然后计算偏导数；z z y x U E y z y x U E x z y x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=),,(;),,(;),,(计算电势分布首先计算场强分布，再计算电势分布；➢ 第三章（电势）1. 静电场是保守场：∮E •dr L=0 2. 电势差：φ1 –φ2=∫E •dr (p2)(p1)电势：φp =∫E •dr (p0)(p) （P0是电势零点） 电势叠加原理：φ=Σφi 3. 点电荷的电势：φ=q 4πε0r电荷连续分布的带电体的电势：φ=∫dq4πε0r4. 电场强度E 与电势φ的关系的微分形式：E=-grad φ=-▽φ=-(∂φ∂x i+∂φ∂y j+∂φ∂z k)电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低的方向；电场线密处等势面间距小。

封闭物体的电通量计算

封闭物体的电通量计算

封闭物体的电通量计算
对于封闭物体的电通量计算，我们可以采用高斯定律来解决。

根据高斯定律，封闭物体内的电通量与该物体内的电荷密度有关，公式表示为：
ΦE = ∮ρdxdydz / ε0
其中，ΦE表示封闭物体内的电通量，ρ表示封闭物体内的电荷密度，dxdydz表示微小的体积元，ε0表示真空介电常数。

需要注意的是，对于封闭物体来说，其内部的电荷是有限的，因此电荷密度ρ不为零。

同时，由于封闭物体的形状可能是复杂的，因此需要采用积分的方式来计算电通量。

另外，如果封闭物体内部的电荷是均匀分布的，那么可以将电荷密度ρ替换为电荷面密度σ，此时公式变为：
ΦE = ∫σdS / ε0
其中，∫dS表示曲面积分，σ表示封闭物体内的电荷面密度。

需要注意的是，对于封闭物体来说，其内部的电荷是有限的，因此电荷面密度σ不为零。

同时，由于封闭物体的形状可能是复杂的，因此需要采用曲面积分的方式来计算电通量。

6.4 电通量 高斯定理(1)

o R r
2. 无限大均匀带电平面的场强分布 (电荷面密度为 )
解：对称性分析：电场分布有面对称性，方向沿法向。 作轴线与平面垂直且被平面垂直平分的封闭圆柱形高斯面 侧面上无电场线穿出，左右两底面上各点E 的大小相等。

S
S
由高斯定理： E dS
s
1
0 s内
q
i
S
右
S
E dS E dS E dS E dS
选择的高斯面满足：使它通过我们所要求的场点，高斯面上 E的大小相等，E的方向与高斯面法线方向平行或垂直。
典型例题：
均匀带电球面和球体的电场 无限大均匀带电平面的电场 无限长均匀带电直线（或带电圆柱面）的电场
1. 均匀带电球壳的场强分布（已知半径R,电荷量q) 解：由于电荷分布球对称，所以电场分布也有球 对称，则有： E // d S , E d S EdS q + + （1）带电球壳内的电场分布 + +q + 作同心且半径为r 的高斯面S ，如图+ R r
b) 通过任一闭合曲面的电通量：d Φe E d S Φe d Φe E d S
s
Φe d Φe E d S cos E d S
n
s
s
规定：闭合曲面由内向外的方 向为各面元法线的正方向。
n
电场线穿出，电通量为正， 反之则为负。
高斯定理求场强总结
1. 理论上对任何带电体都成立,但实际计算时, 要求带电体的电荷分布具有一定的对称性；
2. 根据对称性分析,到适当的高斯面,使积 分简化。即在高斯面上要求:
E S或 E // S , 且各点E的大小相等.

10.3 电通量 高斯定理


σ
Φe = ∫ E dS
= ∫ E dS +
侧 左 底 右 底
S
∫ E dS + ∫ E dS
右 底
= 0+
∫ E dS + ∫ E dS
左 底
= 0 + E1S + E2S
根据高斯定理
两个底面对称
E1 = E2 = E
Φe = σ S / ε0
∴ E=
σ 2ε0
讨论
无限大均匀带电板
ρ
10.3 电通量
一、电力线（电场线）
dN
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密 线的疏密
E
dS⊥
+
-
dN E= dS⊥
电力线起始于正电荷 或无穷远处）， ），终止 （或无穷远处），终止 于负电荷（ 于负电荷（或无穷远 处）。 电力线不相交。 线不相交。
E 垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。 板对称的圆柱面为高斯面。 为高斯面 S d
ρSd 板外： 板外： Φe = 2ES = ε0
ρd E= 2ε0
板内： Φe = 2ES = 板内：
x
ρS 2x ε0
S d
ρx E= ε0
讨论
无限大均匀带电板 E
E 垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。 板对称的圆柱面为高斯面。 x
二、电通量
穿过任意曲面的电力 穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量 面元的电
E
θ θ
n
dΦe = dN = EdS⊥ = Ecosθ dS = dS n E

电通量

4)标准电阻精度应为士0.1%；直流数字电流表量程应为（0-20) A， 精度应为士0.1%。
5)真空泵和真空表应符合本标准第7.1.2条的要求。
6)真空容器的内径不应小于250mm，并应能至少容纳3个试件。
7)阴极溶液应用化学纯试剂配制的质量浓度为3.0％的NaCl溶液。
8)阳极溶液应用化学纯试剂配制的摩尔浓度为0. 3mol/L的NaOH液。
654#墩：龄期98天，强度推定値38.3MPa
655#墩：龄期92天，强度推定値41.9MPa
656#墩：龄期9天，强度推定値25.7MPa
657#墩：龄期101天，强度推定値38.2MPa
658#墩：龄期112天，强度推定値44.8MPa
659#墩：龄期11天，强度推定値32.1MPa
660#墩：龄期15天，强度推定値34.8MPa
2每个试件的总电通量可采用下列简化公式计算：
(7. 2. 4-1)
式中：Q―通过试件的总电通量（C);
Io―初始电流（A)，精确到0.001A;
It―在时间t (min)的电流（A)，精确到0.001A。
3计算得到的通过试件的总电通量应换算成直径为95mm试件的电通量值。应通过将计算的总电通量乘以一个直径为95mm的试件和实际试件横截面积的比值来换算，换算可按下式进 行 ：
今日回弹情况如下：
弹650-660共10个墩身，除656、659、660因龄期不够只弹三个测区外，其余各墩均弹10个测区。651和653流沙较严重。
650#墩：龄期128天，强度推定値41.9MPa
651#墩：龄期113天，强度推定値40.6MPa
652#墩：龄期103天，强度推定値38.8MPa
653#墩：龄期107天，强度推定値39.9MPa

混凝土——电通量

混凝土电通量（1）基本原理电通量法是在一定条件下通过混凝土规定截面积的电荷总量，用于评价混凝土抵抗水和离子等介质向内渗透的能力。

（2）目的与适用范围本方法适用于测定以通过混凝土试件的电通量为指标来确定混凝土抗氯离子渗透性能。

本方法不适用于惨有亚硝酸盐和钢纤维等良导电材料的混凝土抗氯离子渗透试验。

（3）仪器与材料电通量测定，真空保水机恒温水浴；阴极溶液采用3.0%的NaCl溶液，阳极溶液采用0.3mol/L的NaOH溶液，密封材料为硅胶或树脂等密封材料。

（4）环境设施无特殊要求。

（5）试验准备1、电通量试验应采用直径Φ=100±1 mm，高度h=50±2 mm 的圆柱体试件。

如试件表面有涂料等表面处理应预先切除，试样内不得含有钢筋。

试样移送试验室前要避免冻伤或其它物理伤害。

2、先将养护到规定龄期的试件暴露于空气中至表面干燥，以硅胶或树脂密封材料涂刷试件圆柱表面或侧面，必要时填补涂层中的孔洞以保证试件圆柱面或侧面完全密封。

3、测试前应进行真空饱水。

将试件放入真空干燥器中，启动真空泵，使真空干燥器中的负压保持在1～5kPa 之间，并维持这一真空3h 后注入足够的蒸馏水或者去离子水，直至淹没试件，试件浸没1h 后恢复常压，再继续浸泡18±2h。

（6）试验步骤1、水中取出试件，抹掉多余水分（保持试件所处环境的相对湿度在95％以上），将试件安装于试验槽内，采用螺杆将两试验槽和端面装有硫化橡胶垫的试件夹紧。

2、将质量浓度为3.0％的NaCl 溶液和物质的量浓度为0.3mol/L 的NaOH 溶液分别注入试件两侧的试验槽中，注入NaCl 溶液的试验槽内的铜网连接电源负极，注入NaOH 溶液的试验槽中的铜网连接电源正极。

3、接通电源（保持试验槽中充满溶液），对上述两铜网施加60±0.1V 直流恒电压，并记录电流初始读数I0。

开始时每隔5min 记录一次电流值，当电流值变化不大时，每隔10min记录一次电流值；当电流变化很小时，每隔30min 记录一次电流值，直至通电6h。

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36.00
符合要求
代表值 730
电流1 电流2 电流3
35.00 34.00 33.00 32.00
31.00
30.00 29.00 附注： 试验
0
5
10
15
20 计算
30
40
50
60
90 复核
120
150180210240270300
330
360
试验过程中通过的电流代表值Ii(mA)
时间 0 5 10 15 20 30 40 50 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
电流1 31.04 31.14 31.50 31.22 31.52 32.67 32.79 33.50 33.26 33.10 33.44 33.46 33.50 33.78 33.82 34.09 33.95 34.35 34.29
时间 0 5 10 15 20 30 40 50 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
电流2 31.99 32.26 33.07 32.33 32.78 33.19 33.78 33.93 33.87 34.02 34.48 34.06 34.55 34.77 34.65 34.78 34.66 34.82 34.80
时间 0 5 10 15 20 30 40 50 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
电流3 31.61 32.03 32.15 32.48 31.63 32.27 33.18 33.28 33.68 33.45 33.21 34.04 33.69 33.71 33.94 34.06 33.09 34.32 34.07
混凝土电通量快速测定记录
试件编号 代表数量 委托日期 仪器设备 及 环境条件 样品状态描述 MHTJ1-HPB-2010-037 / 2011-03-06 记录编号 委托编号 试验日期
表号：铁建试录053 批准文号：铁建设[2009]027号
MHTJ1-HPB-2010-037 HPB-2010-037 2011-03-06 相对湿度（%） 70
液晶屏显电通量智能测定仪
温度（℃） 仪器设备名称 型号管理编号 示值范围 分辨力 PER-6A 098 / / 23
采用标准 铁建设【2005】160号 (1)与试件有关的技术条件 混凝土种类 强度等级泥品种等级 水 水胶比 养护方法 养护温度（℃） 骨料种类 20±2 普通混凝土 C25 P.O42.5 5-31.5mm 0.43 标养 (2) 试件描述 芯样来源及编号 试件截取位置 试件尺寸（mm)有无钢筋 有无覆盖层及其厚度 配合比设计/ 037 中部 Φ 100 x 50 无 无 （3)试验过程中通过的电量 试 龄期 电流初 测试 电流读 测试 电流读 测试 电流读数 测试经 试验 通过电 件 制件日期 （d 始读数 经过 数Ii 经过 数Ii 经过 Ii（mA） 过时间 过程 量值 序 ） I初 时间 （mA） 时间 （mA） 时间 t(min) 中通 QX© 5 31.14 50 33.5 5 210 33.78 31.81 10 31.50 60 33.26 10 240 33.82 32.24 15 31.22 90 33.1 15 270 34.09 32.01 1 2011-01-08 56 31.04 723.4 20 31.52 120 33.44 20 300 33.95 31.98 30 32.67 150 33.46 30 330 34.35 32.71 40 32.79 180 33.5 40 360 34.29 33.25 5 32.26 50 33.93 50 210 34.77 33.57 10 33.07 60 33.87 60 240 34.65 33.6 15 32.33 90 34.02 90 270 34.78 33.52 2 2011-01-08 56 31.99 740.8 20 32.78 120 34.48 120 33.71 300 34.66 30 33.19 150 34.06 150 33.85 330 34.82 40 33.78 180 34.55 180 33.91 360 34.80 5 32.03 50 33.28 210 34.09 210 33.71 10 32.15 60 33.68 240 34.14 240 33.94 15 32.48 90 33.45 270 34.31 270 34.06 3 2011-01-08 56 31.61 724.6 20 31.63 120 33.21 300 300 33.09 33.9 30 32.27 150 34.04 330 330 34.32 34.5 40 33.18 180 33.69 360 34.39 360 34.07 试验过程中通过的电量代表值 729.6035 电流I(mA)与时间t(min)关系图