第二章 最佳滤波

Rz opt = λ max z opt
有:
Rss w opt = λ max Rnn w opt
H 2 H H
R ss = E{s(n)s ( n)} = E{s (n) }ss = ps ss
其中:
s( n) = s ( n)s s 为一固定矢量
p s = E{ s (n) }
2
为一个支路的输入有用信号功率
求最佳滤波器的输出估计方程为：
∇ s ( n )ξ = − s Rnn x (n) + s opt (n) s H Rnn s = 0
H −1 ∧ −1
s opt (n)s H R nn s = s H R nn x(n)
∧
−1
−1
最佳滤波器的输出为： s opt (n) =
−1
∧
s H Rnn
H
−1
]
空域-单个正弦平面波输入
x1 (t ) = s (t )e jω0t
x2 (t ) = x1 (t + τ ) = s (t + τ )e jω0 (t +τ ) = s (t + τ )e j (ω0t +φ ) d sin θ 2π d τ = φ = sin θ
c
λ
x i ( t ) = s ( t + ( i − 1)τ ) e
E{[w H s(n)][w H s(n)]∗ } w H R ss w = = H ξ = SNR = 2 H H ∗ E{ yn (n) } E{[ w n(n)][w n(n)] } w R nn w E{ ys (n) }
其中: Rss = E{s ( n) s H ( n)} 为输入有用信号的自相关矩阵 是非负定的埃尔米特矩阵
1 − w T R − 1w 2
似然函数为：
p (z | x) = 1 ( 2π ) | R |
n
e
1 − ( z − H x )T R − 1 ( z − H x ) 2
似然函数表示为：
∇ s ( n )ξ = 0
1 ξ = α [x(n) − s(n)s] R − nn [x( n) − s ( n)s ] H
− 1 2 − 1 2 − H 2 −
其中: z = Rnn w
1 2
1 2
故:
( R z ) H Rss ( R z ) z H ( R Rss R ) z z H Rz ξ= = = H H H z z z z z z
其中:
R=R
−
H 2
R ss R
−
1 2
ξ的最大值为R的最大特征值 λmax ，且：ξ max = ( SNR ) max = λ max 该最大值是在 z = z opt 为对应于 λmax 的特征矢量时取得的，即：
s Rnn s
−1
−1
x ( n)
=(
Rnn s ∗ s H Rnn s
H ) T x (n) = w opt x ( n)
−1 其中： Rnn Rnn 为埃尔米特矩阵
最大似然准则滤波器的最佳权为：
w opt =
1 s Rnn s
H −1
Rnn s
−1
l j (w ) = 0
j = m + 1, m + 2, " , p
x(n) = [x1 (n), x 2 (n), " , x M (n)]
M i =1
T
w (n) = [w1 (n), w2 ( n), " , wM ( n)]
T
y (n) = ∑ wi xi (n) = w H x(n) = x T ( n)w ∗
其中：
α = λmax −1 ( p s s H w opt )
可得到最佳权矢量为
w opt = αR nn s
−1
最大似然（ML）准则
输入矢量为
x ( n ) = s ( n ) + n( n )
似然函数定义为在给定有用信号 s ( n) 的条件下 x ( n) 出现的 条件概率： 或 其 ln P x(n) | s(n) P x ( n) | s ( n) 对 数：
[
]
[
]
最大似然准则的性能函数就是该条件概率。通常采用对数 似然函数并简称似然函数。 最大似然准则为：
Max ξ = ln P[x (n) | s(n)]
s (n)
线性观测，且观测噪声为高斯的。 限定： z = H x + w , w ~ N ( 0 , R )
p (w ) = 1 ( 2π ) n | R | e
y ( n ) = w H x ( n ) = w H s ( n ) + w H n( n ) = y s ( n ) + y n ( n )
y s ( n) = w H s ( n)
y n ( n ) = w H n( n )
为输出有用信号矢量 为输出干扰和噪声
输出信号功率对干扰和噪音功率之比（输出信噪比）为:
第二章 最佳滤波
性能函数
ξ = f ( w1 ," , w1 ) = f ( w )
w = [ w1 , w2 ," wM ]
T
最佳化（优化）
Min ξ = f ( w1 ," , w1 ) = f (w )
w
w = [ w1 , w2 ," wM ]
T
s.t. g i ( w ) ≤ 0 i = 1,2, " , m
最大信噪比（MaxSNR）准则
设输入矢量为：
x ( n ) = s ( n ) + n( n )
T T
s ( n) = [s1 ( n), s 2 (n), " , s M ( n)]
为有用信号矢量 为干扰和噪音矢量
n( n) = [n1 (n), n 2 (n), " , n M ( n)]
输出信号为
时域-正弦输入
x1 (n) = s1 (n) = s (n)e jω0 n jω n − j ( i −1)ω xi ( n) = si ( n) = s ( n − i + 1) = s ( n)e e
0
0
x ( n ) = s ( n )e
jω 0 n
[1, e
− jω 0
,", e
− j ( M −1)ω0 T
x (n) = [a1 , a 2 ,", a L ]s(n) = As(n)
A = [a1 , a 2 ,", a L ] a i = [1, e jφ ," , e j ( M −1)φ
i
i
]
T
s ( n) = [s1 (n), s 2 ( n), " , s L (n)]
T
常见准则
最小均方误差（MMSE）准则 最大信噪比（MaxSNR）准则 最大似然（ML）准则 最小二乘（LS）准则
]
例: 空域滤波 输入为
x ( n ) = s ( n )a = s ( n ) s
其中： s = a = 1, e − jφ , " , e − j ( M −1)φ 可得到
p s ss H w opt = λmax Rnn w opt
[
]
T
φ=
2πd
λ
sin θ
Rnn w opt = αs
标量
a = a (θ ) = 1 , e
2 个平面波分别以
θ1
[
jφ
," , e
角输入
j ( M −1)φ
和
θ2
]
T
x1 (t ) = s1 (t )e jω 0t + s 2 (t )e jω 0t + " + s L (t )e jω 0t
xi (t ) = s1 (t )e j ( i −1)φ1 e jω 0t + s 2 (t )e j ( i −1)φ2 e jω 0t + " + s L (t )e j ( i −1)φ L e jω 0t
Rnn = E{n( n) n H ( n)} 为输入干扰和噪音的自相关矩阵
2
是正定的埃尔米特矩阵
Rnn 为正定的埃尔米特矩阵，所以 Rnn = ( Rnn ) Rnn = Rnn Rnn
H
1 2
1 2
H 2
1 2
其中: R
2 H
H 2
= (R ) H
H H 2 1 2 H
1 2
E{ y n (n) } = w Rnn w = w Rnn Rnn w = z z
φi =
2πd sin θ i
λ
i = 1, " M
xi (n) = s1 (n)e j ( i −1)φ1 + s2 (n)e j ( i −1)φ2 + " + s L ( n)e j ( i −1)φ L
⎡ x1 (n) ⎤ ⎡ 1 ⎢ x (n) ⎥ ⎢ e jφ1 x( n) = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ j ( M −1)φ1 ⎢ x n ( ) ⎣ L ⎦ ⎣e 1 e jφ 2 # e j ( M −1)φ2 ⎤ ⎡ s1 (n) ⎤ ⎢ s ( n) ⎥ e jφ L ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎥ # ⎥ ⎢# ⎥ ⎥⎢ " e j ( M −1)φ L ⎦ ⎣ s L (n)⎦ " " " 1
例: 时域滤波
输入为 x(n) = s (n) = e jωn 有：
x (n) = s(n) = [s(n), s(n − 1),", s(n − M + 1)]