初中奥数讲义_图形的初步认识

3．角平分线的性质和判定 (1)从一个角的顶点引出一条射线，把一个角分成 两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． (2)角平分线的性质 ①角平分线上的点到角的两边的距离 相等 ； ②角的内部到角的两边距离 相等 的点在角的平 分线上．
(3)角平分线的表示方法 如图，OC 平分∠AOB，则
①∠AOC＝∠BOC； ②∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC； 1 ③∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB． 2
中考分析
1．(2016· 黔南州)下面四个图形中，∠1＝∠2 一 定成立的是( B )
2．(2016· 百色)如图，直线 a，b 被直线 c 所截， 下列条件能使 a∥b 的是( B )
A．∠1＝∠6 C．∠1＝∠3
B．∠2＝∠6 D．∠5＝∠7
3．(2016· 宜昌)已知 M，N，P，Q 四点的位置如 图所示，下列结论中，正确的是( C )
平行线的性质和判定
经过直线外一点有且只有 一 条直线与已知直线 平行． 2．平行线的性质 (1)如果两条直线平行，那么 同位角 相等； (2)如果两条直线平行，那么 内错角 相等； (3)如果两条直线平行，那么 同旁内角 互补．
3．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内 不相交 的两条直线，叫 做平行线； (2) 同位角 相等，两直线平行； (3) 内错角 相等，两直线平行； (4)同旁内角 互补 ，两直线平行．
第14讲 图形的初步认识
考点一
线段、射线、直线
1．直线、射线、线段的区别与联系
2．两点间的距离 连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离． 3．线段的性质 (1)两点的所有连线中， 线段 最短． (2)过两点有且只有 一 条直线．
4．线段的中点 (1)如图，点 B 在线段 AC 上，且 AB＝BC，则点 B 叫做线段 AC 的中点．

《图形的初步认识》讲义一、图形的世界在我们的日常生活中，图形无处不在。

从我们居住的房屋、行走的道路，到使用的各种物品，都充满了各种各样的图形。

当我们抬头仰望天空，看到的太阳是圆形的；低头看向脚下，地砖可能是正方形或长方形的。

甚至我们阅读的书籍、观看的电视屏幕，也都有着特定的形状。

图形不仅存在于我们身边的实体物品中，在虚拟的世界里，比如计算机图形学、数学的几何领域，图形同样扮演着重要的角色。

可以说，图形是我们认识世界、理解世界的一种重要方式。

二、点、线、面、体1、点点是最基本的图形元素，它没有大小和形状，只有位置。

我们可以把点想象成一颗极小极小的沙粒，或者是夜空中一颗遥远的星星。

在数学中，点通常用一个大写字母来表示，比如点 A 、点 B 。

2、线线是由无数个点连续排列而成的。

线可以分为直线和曲线。

直线是笔直的，没有弯曲的部分，能够向两端无限延伸。

而曲线则是弯曲的，比如圆的周长就是一条曲线。

直线可以用两个点来确定，比如直线 AB 。

在实际生活中，像电线杆之间的电线、笔直的公路，都可以近似地看作直线。

3、面面是由线移动所形成的轨迹。

面可以分为平面和曲面。

平面是平的，比如桌面、墙面；曲面则是弯曲的，像篮球的表面、圆柱的侧面。

常见的平面图形有三角形、四边形（包括正方形、长方形、平行四边形、梯形等）、圆形等。

4、体体是由面围成的。

常见的体有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等。

例如，一个正方体有六个面，每个面都是正方形；一个圆柱体由两个圆形的底面和一个侧面组成。

三、角1、角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

2、角的度量我们通常用度来度量角的大小。

把一个圆平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1°。

角可以分为锐角（小于 90 度）、直角（等于 90 度）、钝角（大于90 度小于 180 度）、平角（等于 180 度）和周角（等于 360 度）。

第8讲图形的初步认识一、学习策略指引简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，需要在图形形状方面进行想象和判断，掌握立体图形和平面图形的联系与转化，可以培养抽象的空间想象能力.1.三视图:就是从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看的方向不同，有左视图、右视图.2.一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看.3.一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。

例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等.4.技巧与方法：由三视图想象物体的形状，对初学者来说是一个难点，需按规律操作：抓住俯视图，结合其它两种视图，发挥空间想象.例如对简单组合体可在俯视图上操作，参照主视图从左到右，结合左视图从前排到后排，确定每一个位置上的正方体的个数，在相应的俯视图上标上数字.5.钟表问题:钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．二、型例题分析:例1:由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（）图1 图2 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．例2.如图是由几个完全相同的小正方体所垒的几何体的俯视图，小正方形中的数字代表该位置小正方体的块数，请你画出这个立方体的正视图和左视图．例3.一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）.A. 19m2B. 21m2C. 33m2D. 34m2例4.时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合？三、专项练习(一)选择题:1.如下图是有一些相同的小正方体构成的立体图形的三视图.这些相同的小正方体的个数是（）A.4B.5C.6D.72.下图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（）.3．如图是一个物体的三视图，则该物体的形状是（）A.圆锥B.圆柱C.三棱锥D.三棱柱4.已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如图所示，那么x的最大值是（）.A．13 B．12C．11 D．105.如右图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）左视图正视图俯视图主视图左视图6.正方体的平面展开图是右图，原正方体形如（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．(二)填空:7.一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子.C 2B 1A 4(第8题)(三)探究8.如图是一个正方体木块的表面展开图。

《图形的初步认识》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何体的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB ＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PN要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角 （1）定义：若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． 6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 【典型例题】类型一、从生活中认识几何图形1. 观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．【答案】从左向右依次是：球、六棱柱、圆锥、正方体、三棱柱、圆柱、四棱锥、长方体． 【解析】针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．【总结升华】熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键． 类型二、线段和角的概念或性质2.下列说法正确的是( )A.射线AB 与射线BA 表示同一条射线.B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.C.平角是一条直线.D.若∠1+∠2＝90°,∠1+∠3＝90°,则∠2＝∠3. 【答案】D【解析】选项A 中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B 中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C 中角和直线是两种不同的概念，不能混淆. 【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆． 举一反三：【变式】下列结论中，不正确的是（）．A．两点确定一条直线B．两点之间，直线最短C．等角的余角相等D．等角的补角相等【答案】B3.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短? 画出图来，并说明原因．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．4. (广西钦州)钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．【思路点拨】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】90【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．举一反三：【变式】100°－60°52′10″＝【答案】39°7′50″类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算1.方程的思想方法5. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的【答案与解析】解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴2x+3x+4x＝90，x＝10，∴AB＝20 cm，BC＝30 cm，CD＝40 cm，∴MN＝MB+BC+CN＝12AB+BC+12CD＝10+30+20＝60(cm)．【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．举一反三：【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．【答案】解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，可得7x＝2x+100°．解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°＝60°，∠COD＝∠BOD -∠BOC＝100°-60°＝40°．2.分类的思想方法6.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．(1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；(2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．【答案与解析】解：(1)分两种情况：①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x得∠AOB＝x，即x＝18°所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x所以9x＝18°，则x＝2°所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝59m，∠BOC＝49m，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．【变式1】已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上画线段BC ＝3cm ，求线段AC 的长． 【答案】解：分两种情况：(1)如图(1)，AC ＝AB －BC ＝8－3＝5(cm )； (2)如图(2)，AC ＝AB+BC ＝8+3＝11(cm )． 所以线段AC 的长为5cm 或11cm ．【变式2】下列判断正确的个数有 ( ) ．①已知A 、B 、C 三点，过其中两点画直线一共可画三条． ②过已知任意三点的直线有1条． ③三条直线两两相交，有三个交点．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A3.类比的思想方法【高清课堂：图形认识初步章节复习399079 类比思想例5】7.(1)如图,线段AD 上有两点B 、C,图中共有______条线段.(2)如图，在∠AOD 的内部有两条射线OB 、OC ，则图中共有 个角.【答案】（1）6； （2）6. 【解析】（1）以A 为端点的线段有3条，同样以B,C,D 为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：3462⨯=（条）. （2）以射线OA 为一边的角有3个，同样以OB ，OC ，OD 为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：3462⨯=（个）. 【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.。

图形的初步认识（讲义）一、多彩多姿的图形1、画出下列几何体的三视图答案：总结：三视图：从正面、上面、侧面（左面的右面）三个不同方向看一个物体，然后描绘出三张所看到的图，就是视图。

2、下列几何体的展开图是什么答案：三角形扇形与圆形长方形与圆形3、指出下列平面图形是什么几何体的展开图：答案：圆柱体圆锥总结：同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的。

4、三棱锥有____条棱，四棱锥有____条棱，十棱锥有____条棱。

_____棱锥有30条棱。

_____棱柱有60条棱。

一个多面体的棱数是8，则这个多面体的面数是_____答案：6，8，20，15，30，5.总结：1）棱锥：面数和顶点数间的关系：F=V，棱数和顶点数间的关系：E=2*（V-1），棱数和面数间的关系：E=2*（F-1）。

2）n棱锥有2n条棱，有n+1个顶点，n+1个面。

5、下列平面图形绕虚线旋转一周是什么几何体？（1）（2）（3）（4）（5）答案：（1）被截去上半部分的圆锥 （2）球 （3）圆柱体 （4）圆锥总结：一些立体图形可由一些平面图形绕一条直线旋转而得到，这样的几何体叫旋转体。

点动成线、线动成面、面动成体。

6、如图，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图每与左视图。

7、下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则从正面看它的视图为（ ）8、如图，把左边的图形折叠起来，它会变成右边的正方体是右边的（ ）二、线的认识1、下图中有__________条线段，分别表示为______________。

第1题答案：6，AC,CD,DB,AD,CB,AB2、图1中共有 条线段， 条射线．答案：6，63． 用几何语言叙述图2的含义是 ．答案：线段AB 与直线c 相交于点P 。

4、判断下列说法是否正确（1）直线AB 与直线BA 不是同一条直线 （ ） （２）用刻度尺量出直线AB 的长度过 （ ） （3）直线没有端点，且可以用直线上任意两个字母来表 （ ） （4）线段AB 中间的点叫做线段AB 的中点 （ ） （5）取线段AB 的中点M ，则AB-AM=BM （ ） （6）连接两点间的直线的长度，叫做这两点间的距离 （ ） （7）一条射线上只有一个点，一条线段上有两个点 （ ） 答案：错，错，对，对，对，错，错 5、如图，四点A 、B 、C 、D 在一直线上，则图中有______条线段，有_______条射线；若AC=12cm ，BD=8cm ，且AD=3BC ，则AB=______，BC=______，CD=_ ___答案：6，8，7，5，3总结：直线长度无限长，没有端点，字母无序。

《图形的初步认识》讲义一、图形的世界我们生活在一个充满图形的世界里，从简单的几何形状到复杂的建筑结构，图形无处不在。

当我们睁开眼睛，看到的房屋、桌椅、书本等，都是由各种不同的图形组成的。

比如，我们常见的圆形，像太阳、月亮、车轮；方形则有窗户、书本的页面；三角形能在屋顶、金字塔中找到。

这些图形不仅仅是物体的外在形状，还蕴含着丰富的数学知识。

图形的存在让我们的生活变得更加有序和美好。

建筑师依靠图形设计出美观实用的建筑，工程师利用图形制造出精密的机器，艺术家通过图形创作出令人惊叹的作品。

二、点、线、面、体在数学中，图形的构成要素主要有点、线、面、体。

点是最基本的元素，它没有大小和形状，只是一个位置的标识。

比如，在地图上标记的城市位置，就可以看作一个点。

线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度。

直线是笔直的，没有弯曲；曲线则是弯曲的，像抛物线、圆弧等。

线可以分为线段和射线。

线段有两个端点，长度是固定的；射线只有一个端点，可以无限延伸。

面是由线围成的，它有长度和宽度，但没有厚度。

常见的面有平面和曲面。

平面像黑板的表面、桌面；曲面则如球体的表面、圆柱的侧面。

体是由面围成的，它有长度、宽度和高度。

例如，正方体、长方体、球体、圆柱体等都是常见的体。

三、直线、射线、线段直线是可以向两端无限延伸的，没有端点。

在数学中，我们通常用直线上的两个点来表示一条直线，比如直线 AB。

射线有一个端点，可以向一端无限延伸。

我们用射线的端点和射线上的另一个点来表示射线，比如射线 OA。

线段有两个端点，长度是固定的。

我们可以用两个端点的字母来表示线段，比如线段 AB，也可以用一个小写字母来表示，比如线段 a。

在实际生活中，我们经常会用到直线、射线和线段的概念。

比如，手电筒发出的光可以看作射线，笔直的铁轨可以近似看作直线，连接两个城市的公路可以看作线段。

四、角角是由两条有公共端点的射线组成的图形。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性更快、更高、 更强。

国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命 题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入 学考试。

奥数对青少年的脑力锻炼有着一定的作用，可以通过奥数对思维 和逻辑进行锻炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用,通常比 普通数学要深奥些。

下面是 1、几何图形点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复 杂的世界，它们都称为几何图形。

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

有些几何图形的各部分不在同一平面内，叫做立体图形。

有些几何图形的各部分都在同一平面内，叫做平面图形。

虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相 联系的。

2、几何图形的分类几何图形一般分为立体图形和平面图形。

3、直线几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动 的轨迹。

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标 系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行;有无穷多解时，二直线重合;只有 一解时，二直线相交于一点。

常用直线与轴正向的夹角叫直线的倾斜角或该角的正切称直线 的斜率来表示平面上直线对于轴的倾斜程度。

4、射线在欧几里德几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所 组成的图形称为射线或半直线。

5、线段指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的 图线，如实线的线段或由长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔组 成的双点长划线的线段。

线段有如下性质两点之间线段最短。

6、两点间的距离连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。

7、端点直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫 做线段的端点。

线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示，有时这些字 母也表示线段长度，记作线段或线段，线段。

其中表示直线上的任意两点。

第7讲图形的初步认识知识整合1.生活中的立体图形圆柱，圆锥，球；（旋转体）棱柱，棱锥；（多面体）2.立体图形的视图视图：视图来自于投影。

灯光的光线可以看作是从一点发出的，我们称这种投影为中心投影；而太阳的光线可以看作是平行的，我们称这种投影为平行投影；三视图：从正面得到的投影，称为主视图；从上面得到的投影，称为俯视图；从左往右得到的投影，称为左视图；通常将主视图、俯视图、左视图（或右视图）称做一个物体的三视图。

三视图特征：长对正，高平齐，宽相等；重点讲解重点1：生活中的立体图形如图所示为8个立体图形．其中，是柱体的序号为________，是锥体的序号为________，是球的序号为________．解析：分别根据柱体，锥体，球体的定义可得结论，柱体为①②⑤⑦⑧，锥体为④⑥，球为③，故填①②⑤⑦⑧；④⑥；③.方法总结：正确理解立体图形的定义是解题的关键．如图所示，各标志的图形主要由哪些简单的平面图形组成？解：(1)由5个图形组成；(2)由2个正方形和1个长方形组成；(3)由3个四边形组成．方法总结：解决这类问题的关键是正确区分图形的形状和名称．重点2：立体图形的视图沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它从上面看到的图形是( )解析：从上面看依然可得到两个半圆的组合图形．故选D.方法总结：本题考查了从不同的方向观察物体．在解题时要注意，看不见的线画成虚线，看得见的线画成实线．如图所示，由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的正面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形．解析：从正面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有1，1，2个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有两列，分别有2，1个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有2，1，1个小正方形．解：如图所示：方法总结：画出从不同的方向看物体的形状的方法：首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．在画三种视图时，从正面、上面看到的图形要长对正，从正面、左面看到的图形要高平齐，从上面、左面看到的图形要宽相等．巩固练习1，观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是( )解析：圆柱的上下底面都是圆，所以正确的是D.方法总结：结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．2，有下列图形，①三角形，②长方形，③平行四边形，④立方体，⑤圆锥，⑥圆柱，⑦圆，⑧球体，其中平面图形的个数为( )A．5个 B．4个C．3个 D．2个解析：根据平面图形的定义：一个图形的各部分都在同一个平面内可判断①②③⑦是平面图形．故选B.方法总结：区分平面图形要记住平面图形的特征，即一个图形的各部分都在同一个平面内．3，下列物体的形状类似于球体的是（ )A,橄榄球 B，羽毛球 C，乒乓球 D，白炽灯泡答案：选C本题考查生活中的立体图形4，下列说法中，正确的有（）①柱体的两个底面一样大②圆柱、圆锥的底面都是园③棱柱的底面是四边形④长方体一定是柱体⑤棱柱的侧面一定是长方形A,2个B，3个C，4个D，5个答案：选C本题考查生活中的立体图形5，下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（）答案：选D本题考查立体图形的视图6，如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，它的左视图是（）答案：选D本题考查立体图形的视图提升练习1.如图1所示的棱柱有( )A.4个面B.6个面C.12条棱D.15条棱(1)答案：选D本题考查生活中的立体图形2，正方体有______条棱，_____个顶点，个面.答案：12； 8； 6；本题考查生活中的立体图形3，下列几何体中不是多面体的是A,长方体 B ，正方体 C ，三棱柱 D ，圆柱 答案：选D ；本题考查生活中的立体图形4，如图是由两个小正方体和一个圆锥组成的立体图形，其俯视图是（ ）答案：选C ；本题考查立体图形的视图5，画出如图所示的几何体的三视图.答案：略；本题考查立体图形的视图。

(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm， M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度 吗？请画出图形，并说明理由. 1 A MB N C 猜想：MN= b cm. 2 证明：根据题意画出图形，由图可得
MN = MC－NC
1 1 = AC－ BC 2 2 1 1 = (AC－BC) = b (cm)． 2 2
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 2. 直线、射线、线段的区别
类型 端点个数 线段 射线 直线 延伸性 能否度量
2个 1个
无端点
不能延伸
可度量
向一个方向 不可度量 无限延伸
向两个方向 不可度量 无限延伸
3. 基本作图 (1) 作一线段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
第四章 图形初步认识
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、几何图形 1. 立体图形与平面图形 (1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如：
(2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如：
2. 从不同方向看立体图形
3. 立体图形的展开图
正方体
圆柱
三棱柱
圆锥
4. 点、线、面、体之间的联系 (1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点； (2) 点动成线、线动成面、面动成体.
针对训练
3. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 45cm 则线段 MC 的长度为__________.

⎧⎨⎩⎧⎨⎩第四章《图形初步认识》一、教学目标1．使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章的全部知识； 2．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识； 3．掌握本章的全部定理和公理； 4．理解本章的数学思想方法； 5．了解本章的题目类型． 二、教学重点和难点重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；难点是理解本章的数学思想方法．三、相关知识点（一）多姿多彩的图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。

主（正）视图---------从正面看2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看俯视图---------------从上面看（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

3、立体图形的平面展开图（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。

（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

（二）直线、射线、线段1、基本概念直线 射线 线段图形 端点个数 无 一个两个 表示法直线a直线AB （BA ） 射线AB线段a线段AB （BA ） 作法叙述作直线AB ；作直线a作射线AB作线段a ；作线段AB ；连接AB 延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB ；反向延长线段BA[1]画出下列几何体的三视图 正面看 上面看 左面看 点 线 面点 体点 动交 交 交 动 动2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单地：两点确定一条直线。

两条不同的直线有一个公共点时，就称两条直线相交，这个公共点叫它们的交点。

第四章图形的初步认识第一节多姿多彩的图形一、课标导航二、核心纲要1．几何图形(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．(2)立体图形：有些几何图形(如长方体、正方体等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．(3)平面图形：有些几何图形(如线段、角、正方形等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形．(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2．点、线、面、体(1)点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，如长方体、正方体等．②包围着体的是面，面有平面和曲面两种．③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种．④线与线相交形成点．(2)点动成线、线动成面、面动成体．3．几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素．4．基本图形5．欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间的关系为：V＋F－E＝2．6．正方体的11种展开图(1)“1－4－1”型本节重点讲解：三个图形(平面图形、立体图形、展开图)，四个概念(点、线、面、体)，七种常见几何体，一个公式(欧拉公式)．三、全能突破基础演练1． 图4－1－1所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是( )．图4－1－1lDC2． 以下图形中，不是平面图形的是( )．A. 线段B. 角C. 圆锥D. 圆3． 圆柱的侧面展开图形是( )．A. 圆B. 长方形C. 梯形D. 扇形4． 一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图4－1－2所示，从上面看时金属 丝的形状是( )．5． 一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是图4－1－3中( )．图4－1－3(c )(b )(a )A. 图(a )、图(b )B. 图(a )、图(c )C. 图(b )、图(c )D. 只有图(a )6． 如图4－1－4所示，这个几何体的名称是＿＿＿；它由＿＿＿个面组成，它有＿＿＿个顶点， 经过每顶点有＿＿＿条边．AB C D图4－1－2图4－17. 18世纪瑞士数学欧拉证胆了简单多面体中顶点数(V)，面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图4－1－5中几种简单多面体模型，解答下列问题：图4－1－5正十二面体正八面体长方体四面体(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．(2) 一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是．8. 将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图4` －1－6所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )．A. 文B. 明C. 城D. 市创建文明城市图4－1－69．如图4－1－7所示是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是()．A. ①②B. ②④C. ③⑤D. ②⑤4－1－710．图4－1－8所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式abc的值等于()．A.3-4B. ﹣6C.34D. 6ab c2-14图4－1－811．将一个正方体纸盒沿图4－1－9所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为()．A. B. C. D.12．图4－1－10所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是()．13．图4－1－11所示是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的＿＿＿＿＿．(填字母)A B C D图4－1－10图4－1－914．图4－1－12所示的七个平面图形中，有圆柱、三棱柱、三棱锥的表面展开图，请你把立体图形 与它的表面展开图有线连接．15．图4－1－13是由几个小立块放在一起后从上面看得到的平面图形，请画出几何体的正面、左 面看的示意图．图4－1－131212116．用平面去截一个正方体，最多有几种不同边数的截面？17．(1) 写出下列各数的相反数：3，8，－10；(2) 图4－1－14(a )是一个正方体盒子的展开图，请把上面各数与它们的相反数分别填入六个小 正方形，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数； (3) 图4－1－14(b )是一个正方体盒子的展开图，请在其余的三个空格内填入适当的数，使折成 的正方体相对面上的两个数互为相反数； (4) 图4－1－14(c )是一个正方体盒子的展开图；正方体相对面上的两个数互为相反数；写出图中x ，y ，z 的值．xy -3-1-7120.5z图4－1－14(c )(b )(a )图4－1－18．如图4－1－15(a )所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图4－1－15(b )的几何体．(1) 设原大正方体的表面积为S ，图4－1－15(b )中几何体的表面积为S '，那么S '与S 的大小关系是( )． A. S '＞SB. S '＝SC. S '＜SD. 不能确定(2) 小明说：“设图4－1－15(a )中大正方体各棱的长度之和为c ，图4－1－15(b )中几何体各棱 的长度之和为c '，那么c '比c 正好多出大正方体3条棱的长度”．若设大正方体的棱长为1， 小正方体的棱长为x ，请问x 为何值时，小明的说法才正确？ (3) 如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图4－1－15(c)是图4－1－15(b )中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图4－1－15(c )中修正．9． 现有图4－1－16所示的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为10cm 的无盖正方体铁盒，问怎样 下料(画线)， 才能使得加工的盒子数最多？最多几个？链接中考20．(2011·徐州)以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是 ( )．A B CD21．(2010·北京)美术课上，老师要求同学们将如图4－1－17所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸 片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符 合上述要求，那么这个示意图是( )．22．(2010·宁夏)用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是( )．A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱柱D. 正方形图4－1－15巅峰突破23．图4－1－18(a)是图4－1－18(b)中立方体的平面展开图，左右两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图4－1－18(a)中的线段AB与图4－1－18(b)对应的线段是()．A. eB. hC. kD. dg24．设5cm×4cm×3cm长方体的一个表面展开图的周长为ncm，则n的最小值是＿＿＿．25．用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体．(1) 如图4－1－19(a)所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为＿＿＿＿cm2；(2) 如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图4－1－19(b)中的虚线)从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为＿＿＿cm2；(3) 如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩张成一个长xcm、宽1cm的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为130cm2？如果能，请求出x；如果不能，请说明理由．(a) (b)图4－1－15第二节 直线、射线与线段一、课标导航二、核心纲要1．两个重要公理①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”； ②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 2．两点之间的距离：连接两点间的线段的长度叫做两点之间的距离 3．直线、射线、线段的主要区别4．线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点. 5. 数线段的方法如果一条直线上有n 个点，含有（n －1）条基本线段（把相邻两点间的线段叫做基本线段），直线上的线段条数为：（n －1）＋（n －2）＋…＋3＋2＋1＝(n 1)2n ⨯-（条） 6.线段长短比较方法（1）叠合法：比较两条线段AB 、CD 的长短，可把它们移到同一条直线上，如下图所示：使一个端点A 和C 重合，另一个端点B 和D 落在直线上点A （或点C ）的同侧，① 若点B 、D 重合，则AB ＝CD ； ② 若点D 在线段AB 上，则AB >CD ； ③ 若点D 在线段AB 外，则AB <CD .（2）度量法：分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小，比较线段的大小，线段的大小 关系和它们长度的大小关系是一致的.本节重点讲解：两个概念（两点间的距离、线段的中点），两个公理，两种方法（数线段方法和线段长短的比较方法）.三、全能突破基 础 演 练1. 下列说法中正确的有（ ）个①钢笔可看做线段 ②探照灯光线可看做射线 ③笔直的高速公路可近似看做一条直线④ 电线杆可看做线段A. 1B. 2C. 3D. 42. 若点C 是线段AB 的中点，则下列结论中错误的是（）A. AC ＝BCB. AB ＝2ACC. AC ＝2ABD. BC ＝12AB 3. 如图4-2-1所示，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的依据是（ ）A. 两点之间，直线最短B. 两点确定一条直线C. 两点之间，线段最短D. 两点确定一条线段4. 点O是线段AB的中点，AB＝14cm，点P在直线AB上，AP:PB＝4:3，则线段OP的长为（）mA. 1B. 49C. 1或49D. 2或495. 根据直线、射线、、线段各自的性质，如下图所示，能够相交的是（）6. 如图4-2-2所示，根据要求作图（1）作线段AB；（2）作射线AC；（3）作直线BC；（4）在直线BC上取异于B、C的两点D、E，数出图中线段个数.能力提高7. 对于线段的中点，有以下几种说法：①因为AM＝MB，所以M是AB的中点；②若AM＝MB＝12AB，则M是AB的中点；③若AM＝12AB，则M是AB的中点；④若A，M，B在一条直线上，且AM＝MB，则M是AB的中点，以上说法下确的是（）A. ①②③B. ①③C. ②④D.以上结论都不对8. A火车站与B火车站之间还有3个车站，那么往返于A站与B站之间的车辆，应安排（）种车票（）A. 4B. 20C. 10D. 99. 如图4-2-3所示，在数轴上有A、B、C、D、E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A，E两点表示的数分别为－13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）A. －2B. －1C. 0D. 210．如图4-2-4所示，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 如果平面上M、N两点的距离是15cm，在该平面上有一点P与M、N两点间的距离之和等于23cm，那么下面结论正确的是（）A. P点在线段MN上B. P点在直线MN上C. P点在直线MN外D. P点可能在直线MN上，也可能在直线MN外12. 5条直线将一个矩形最少可以分为______部分，最多可以分为______部分，n条直线最多可以将一个矩形分为______部分.13. 如图4-2-5所示，一工作流程上有6位工人，他们的工作位置分别是A、B、C、D、E、F，现要在这六个位置之一设置一个工具箱，使工人取工具所花费的总时间最少.那么这个工具箱应该放置在_______的位置.14. 如图4-2-6所示，在平整的地面上放有一个正文体，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B，问蚂蚁有几条最短路线？它应怎样确定爬行路线？15. (1) 平面上有三个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线？(2) 平面上有四个点，经过两点一条直线，则可以几条直线？16. (1) 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？(2) 平面内两两相交的n条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？17. 点M、N在线段AB上，AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，MN＝1.5，求AB的长度.18. 如图4-2-7所示，把一要绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP：BP＝2：3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，求绳子的原长.19. 同一直线上有A、B、C、D四点，已知AD＝59DB，AC＝59CB且CD＝4cm，求AB的长.20. 已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若｜m－2n｜与（6－n）2互为相反数.(1) 求线段AB，CD长度.(2) 若M，N分别是AC，BD的中点，且BC＝4，求MN.(3) 当CD运动到某一时刻，点D与点B重点，点P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：①+PA PBPC是定值.②PA PBPC－是定值，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值.中考链接21. (2010泸州)已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图4-2-8所示。

母亲说：“娘，我记得我小时候，娘就用这药锅子给我奶奶煎药喝的。奶奶长寿，活到九十多岁的高龄，说不定就与这药锅子有关。我知道，这药锅子，太好了！”智博专升本官网
姥姥听了面带笑容地说：“可不是嘛！我一嫁给你爹，咱们家就有这只药锅子，也不知道上几辈子了，家门里有人开过药铺子的。呵呵！开药铺子好呀，给人医病，现在不是说救死扶伤吗？行医积 善积德，好呀！”
二
母亲和姥姥说话，那时我不懂。我慢慢长大，她们经常说，我就渐渐记住了。我记得姥姥说过，一个村子里没有几户人家有药锅子，一般都是借着使用。只要一个村子里有一两家有了，别的人家就 不会再去买，直到用坏了。除非有的人家是急等着用，才会的姥姥。她穿着藏青大襟衣服，白色衬领子，挽着高高发髻，簪着银簪子，闪闪发亮，越加显得干净利索、亲切和蔼；她必定穿 着三寸金莲，端着药锅子一步步地向我走来，口里说着和我姥姥一样一样的话语：“恨病吃苦药，黛玉你给我记着呀，中药医病好着呢！没有副作用，见效也快。”
这人绝对不是我姥姥，或许，是母亲奶奶的奶奶。她就有这么老，老得不仅掉了牙，而且老眼昏花，腰也弯了，背也驼了，喘着粗气。但是，她的记忆依旧好，身子骨也算是硬朗，还能煎药，这不 是给自己喝，而是给上门来医病的。说不定，老老姥爷家里开着药铺。每日里，背对着一排药厨子，穿着长衫，戴着圆圆的一副老旧的小眼镜，瘦骨嶙峋，却是精神矍铄。只见他左手持戥杆，用拇指和 掌心扣住砣弦以固定戥砣，空出右手来取药放入戥盘，并根据需求称量选择头毫或后毫，然后提起称毫，再将戥杆举至与双目平齐，左手将砣弦移至欲称量的戥星刻度上，放开左手并检视平衡，称出所 需的药，慢慢地将一份一份草药放到草纸上。称完了，再一份一份地包起来，并用以麻绳儿捆起来，打个结，递给来人，嘱咐如何煎药，如何服用。注意事项一一说完了，来医病的人就起身，由人搀扶 着，出门回家，按着医嘱去煎药服药去了。

第七讲图形初步认识图形概述1.生活中的图形现实生活中我们可以见到各种优美的图形。

有的图形在同一个平面内（通俗的说，有的图形能放在地面上），这种图形被称为平面图形；有些图形不在同一个平面内（例如长方体，圆柱体等），这种图形被称为立体图形。

观察一个立体图形，我们往往从正面看（主视图）、从上面看（俯视图）、从左面看（左视图）。

而主视图、俯视图、左视图三者被合称为“三视图”生活中的物体往往都是立体图形，但是它们是由平面图形组成的。

我们可以把它的表面适当展开，可以展开得到平面图形。

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

利用展开图，我们就可以把立体图形问题转化为平面图形问题研究图形的形状、大小和位置关系等性质的科学叫做几何学。

在初中阶段，我们主要研究平面图形的性质，这门学科也被称为平面几何几何学体现了人们对空间方面的认识。

研究几何学，要从现实出发，进行实践、观察、分析，再总结出一般规律，最后进行论证观察下列立体图形，把它们的名字填写在横线上：2.图形的基础——点、线、面点、线、面是最简单，也是最基本的图形。

我们在日常生活中，很容易对它们产生直观的认识：比如桌子的角顶或笔尖给予我们“点”的认识，桌子的边缘或细绳给予我们“线”的认识，桌面、纸张给予我们“面”的认识在空间中，最原始的概念是“位置”，通常我们用“点”标记一个“位置”.例如，在地图上，我们用“★”表示北京，用“●”表示天津。

这只是为了把首都和其他城市区分开，其实，北京、天津的“位置”和地图上标记的形状是没有关系的。

像这样，仅仅考虑“位置”的图形就是点在几何中，我们用不同的大写字母A、B、C…表示不同的点在日常生活中，我们经常需要从一个地方走到另一个地方。

例如早晨上学，我们需要从家的位置走到学校的位置，所经过的路线就是连接这两个位置的“通路”.在空间中，第二个基本的概念就是“通路”，所谓“通路”’，就是从一个位置移到另一个位置的路线，。

在地图上，我们往往用线条表示通路，例如公路铁路等。

课题图形的初步认识教学目标掌握线段、射线、直线的性质会线段的比较大小重点、难点重点:线段、射线、直线的性质线段的比较大小难点:线段的比较大小与和差倍分考点及考试要求掌握线段、射线、直线的性质线段的比较大小与和差倍分规律例 1 如图，图中有几条射线？能用字母表示出来的有几条？将它们分别表示出来。

例2如图所示，你知道图中共有几条直线、几条射线？（不添加字母，直接可以读出．）几条线段？它们分别是什么？例 3 如图，以点A、B、C、D、E、F为端点的线段共有几条？分别把它们写出来．例4、如图，已知点C、D在线段AB上，线段AC=10 cm，BC=4 cm，取线段AC、BC的中点D、E．（1）请你计算线段DE的长是多少？（2）观察DE的大小与线段AB的关系，你能用一句简洁的话将这种关系表述出来吗？（3）若点C为直线AB上的一点，其他条件不变，线段DE的长会改变吗？如果改变，请你求出新的结果．例5、已知AB＝16cm，C是AB上一点，且AC＝10cm，D为AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长．例6、（1）过一个已知点可以画多少条直线？（2）过两个已知点可以画多少条直线？（3）过平面上三点A、B、C中的任意两点可以画多少条直线？（4）试猜想过平面上四点A、B、C、D中的任意两点可以画多少条直线？例7、如图，A、B是两个车站，若要在公路l上修建一个加油站，如何使它到车站A、B的距离和最小，请在公路l 上标出点P 的位置，并说明理由．8，数线段，找规律：下列各图中，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数，条线段； 条线段； 条线段； 条线段； (1) 请猜想，当线段AB 上有10个点时（含A 、B 两点），有几条线段？ （2）n 个点呢（n ≧2）知识点二： 余角与补角例1. （1）∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠4和∠1互补，∠3＝153°，求∠4= （2）一个角的补角是 （ ） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、以上三种情况都有可能 （3）一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ） A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º（4）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240º，由∠2是∠1的 （ ） A 、512倍 B 、5倍 C 、11倍 D 、无法确定倍数 （5）若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ） A 、∠1 B 、∠1+∠2 C 、）（2121∠+∠ D 、）（2121∠-∠（6）已知三个非零度角的度数之和为180°，则这三个角中至少有一个角不大于（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°例2. 如图，O 是直线AB 上的一点，∠AOE ＝∠FOD ＝90°，OB 平分∠COD ，请你观察图中与∠DOE 互ABlDCEBCBABACBAA余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？例3. 小华从A点出发向北偏东50°方向走了80米到达B地，从B地又向西走了100米到达C地．（1）用1∶2000的比例尺（即图上1cm等于实际距离20米）画出示意图；（2）请你用刻度尺量出AC的距离；（3）你知道C点距A点的实际距离是多少米吗？（精确到1米）C点的方向角为多少度呢？（精确到1°）例4. 如图，BOCAOB∠∠,是互补的两个角，OD平分,AOB∠︒=∠∠=∠66,21DOEEOCBOE，试求∠EOC的度数．例5.（1）指出图中OA、OB所处的位置．（2）画出OC射线，OC射线在北偏西45°．针对性训练：1．选择题：（1）下列说法正确的是（）A．一个角既有余角又有补角，它的补角一定比其余角大B．若90,60,30===Qβα，则Q,,βα互补C．把一个角分成两个角的射线，叫做这个角的平分线．D．若两个角相等，则这两个角的余角的补角也相等（2）锐角α的补角比它的余角（ ）A ．大90°B ．小90°C ．大αD ．小α （3）一个锐角的补角与这个锐角的余角之间的差是（ ）． A ．45° B ．60° C ．90° D ．无法确定 （4）若α∠与β∠互为补角，且βα∠>∠，则β∠的余角是（ ）．A ．α21B ．β21C ．)(21βα+D ．)(21βα-（5）．如果两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角一定是（ ）．A ．必有一个是直角B ．都是直角C ．一个锐角，一个钝角D ．都是钝角 (6)下列说法不正确的是（ ）．A ．钝角没有余角，但一定有补角B ．两个角相等且互补，则它们都是直角C ．锐角的补角比该锐角的余角大D ．一个锐角的余角一定比这个锐角大 (7)如图，AB CD ACB ⊥︒=∠,90于D ，图中1∠的余角有几个（ ）． A ．1 个 B ．2 个 C ．3个 D ．4个（8）若互补的两角有一条公共边，则这两个角的平分线所形成的角为（ ）． A ．一定是直角 B ．一定是锐角 C ．一定是钝角 D ．是直角或者锐角（9）如图，α=∠=∠=∠AOC COD AOB ,90，则BOD ∠的度数是（ ） A ．α+ 90 B ．α290+ C ．α- 180 D ．α2180-（10）．甲看乙的方向是北偏东30°，则乙看甲的方向是（ ）A ．南偏东60°B ．南偏东30°C ．南偏西30°D ．南偏西60°(11)．海洋中有一只船，先从A 点出发向西北方向航行2海里到达B 点，再由B 点向正北方向航行3海 里到达C 点，再由C 点向东南方向航行2海里到达D 点，这时D 点在A 点的（ ） A ．正北方向 B ．北偏东方向 C ．北偏西方向 D ．正东方向 2．∠α＝79°25′，则∠α的补角是多少？3.一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，这个角的度数是多少？4.如果两个角的余角的度数之比为3：2，这两个角的补角的度数之比为9：8，求这两两个角的度数．5．如图所示，由点O 引出六条射线OF OE OD OC OB OA ,,,,,，且OF AOB ,90︒=∠平分OE BOC ,∠平 分AOD ∠，若︒=∠170EOF （包括COD ∠在内），求COD ∠的度数?6．1,221∠∠=∠的余角的3倍等于2∠的余角，求2,1∠∠的度数．7.如图，AOB 是一条直线，OC 是一条射线，BOC BOE AOC AOF ∠=∠∠=∠21,21，①求证：1∠与2∠互余②指出图中所有互余的角和互补的角．★8．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，试判断∠CBD 的度数是多少？★9．如图，O 是直线AB 上一点，OC 是任一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线． （1）请你找出图中∠AOD 的补角，∠BOE 的补角；（2）∠BOC ＝50°，试求∠COD 和∠EOC 的度数分别是多少？并观察它们的关系；（3）当∠AOB 不是平角时，如图所示，OD ，OE 依然是∠AOC 和∠BOC 的平分线，试探究∠DOE 与∠ AOB 的关系．10．根据余角和补角的定义可知：10°角的补角为170°，余角为80°；15°角的补角为165°，余角为75°；32°角的补角为148°，余角为58°；40°角的补角为140°，余角为50°．观察以上几组数据，你能得到怎样的结论？请用任意角α代替题中的10°、15°、32°、40°来说明你的结论？查漏补缺1．下列说法正确的是（）A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条射线叫做角C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角2．下列说法不正确的是（）A．周角是平角的2倍 B．平角度数是90°的2倍C．平角就是一条直线 D．周角的始边与终边互相重合3．下列说法正确的是（）A．90°角是余角; B．如果一个角有补角，那么它一定有余角C．若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补; D．等角的余角一定相等4．若∠A与∠B互补，且∠A>∠B，则∠B的余角是（）A．12（∠A-∠B） B．12（∠A+∠B） C．12∠A+∠B D．∠A-12∠B5．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A B C D6．下列语句中错误的是（）A．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补 B．若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°C．若∠1=∠2，则∠1与∠2是对顶角 D．若∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠27．（1)三条直线两两相交，形成对顶角的对数有（）A．3对 B．6对 C．6对或12对 D．12对(2)4条直线相交于同一点，对顶角的对数有（）A．6对 B．8对 C．10对 D．12对8．下列说法正确的是（）A．相等的角是对顶角 B．如果∠1与∠2的补角都是∠3，则∠1与∠2是对顶角 C．互余的两个角均不会是钝角 D．一个角的补角一定会比这个角大9．如图所示，P为直线L外一点，点A，B，C在直线L上，且PB⊥L，下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长叫做点P到直线L的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③①第9题第10题第11题10．如图所示，点O表示某运动员跳远时的起跳点，P，M•分别表示两脚在坑里的位置，PQ，MN分别垂直于起跳线L，垂足分别为Q，N，则该运动员跳远成绩应该是（• ）A．线段OP的长 B．线段PQ的长 C．线段MN的长 D．线段OM的长11．如图所示，点A到直线CD的距离是指哪条线段的长（）A．AB B．CD C．BD D．AD12．已知点A，B分别在直线L外和直线L上，点A到直线L的距离等于5cm，那么（）A．AB>5cm B．AB≥5cm C．AB<5cm D．AB≤5cm13．已知在同一平面内有三条直线AB，CD，EF，且AB∥CD，CD⊥EF，则直线AB•与直线EF的位置关系是（） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定14．如图所示，四边形ABCD，AECF都是平行四边形，•则图中的平行线的组数是（）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组二、填空：1、（1）0.3°=______=______；（2）1296″=_______=________；（3）72.32°=_______；（4）121°36′36″=________；（5）90°-43°42′=_______．2．比较∠1=30°12′，∠2=30°11′59″，∠3=30.12°的大小．3．计算：（1）180°-（75°40′23″+31°35′49″）；（2）24°14′24″+55.48°；（3）123°24′-60°36′42″（1）36°24′36″×3；（2）22.38°÷4．4．解下列关于钟表上时针与分针所成角的问题：（1）上午8时整，时针与分针成几度角？（2）上午7时55分，时针与分针所成的角是等于120°，大于120°，还是小于120°？（3）一天中有多少次时针与分针成直角？（4）时间为20：30分时，时针与分针的夹角是？（5）8：40到9：20，时钟的时针转动的角度是_______5．借助量角器，根据下列语句画图，并标上相应的字母，然后回答问题：①画射线OA；②以OA为始边，沿逆时针方向，作∠AOB=60°；③以OB为始边，沿逆时针方向，作∠BOC=30°；④以OC为始边，沿逆时针方向，作∠COD=90°；⑤反向延长OC至E．问题：（1）量一量，图中有几个平角？（2）小于平角的角，图中又有几个？6．在∠AOB的内部，（1）画1条射线OA1共有几个角？把它们表示出来；（2）画2条射线OA1，OA2共有几个角？把它们表示出来；（3）画3条射线OA1，OA2，OA3，共有几个角？（4）画n条射线OA1，OA2，OA3，…，O A n，共有几个角？7．如图所示，已知射线OC平分∠BOE，射线OD平分∠AOE，且∠AOB=110°．（1）求∠COD的度数；（2）若∠COE=30°，求∠AOD的度数．8．如图所示，∠AOB与∠AOD的度数之比为2：11，∠AOC=∠BOD=Rt∠，•求∠AOB，∠BOC和∠AOD的度数．9．如图所示，∠AOB=35°，∠AOD=105°，∠COA=70°，试问在图中，哪条射线是哪个角的角平分线？10．如图所示，（1）图中共有几个角？（2）哪个角最大？（3）你能否找出一个角，使它能表示为另外两个角的和？这样的角有几个？试把它们写出来．12．如图所示，已知OC是∠AOB的平分线，∠COD=∠BOE=90°，∠AOE=140°，求∠BOD的度数．13．如图所示，∠AOB是直角，作射线OC，OD，使∠AOD=42°，∠BOC=68°，求∠COD的度数．14．如图所示，已知∠COB=n∠AOC（n>1），OD平分∠AOB．（1）求∠COD与∠AOB的比值（用关于n的式子表示）；（2）若∠COD：∠AOB=1：6，求n的值．15．如图所示，已知∠AOB=70°，将∠AOB•绕顶点O•逆时针旋转50•°至∠COD的位置，OE平分∠AOC，OF平分∠COB，OG平分∠BOD．（1）求∠AOD，∠EOF的度数；（2）OF是不是∠EOG的平分线？为什么？16．如图所示，（1）射线OM表示的是_________的方向；（2）射线ON表示的是_________的方向；（3）画方向线：东北方向；（4）画方向线：南偏东30°．17．如图所示，射线OC在∠AOD的内部，已知∠AOC=15∠AOB，•射线OD•平分∠BOC，∠DOC与∠AOC互余，求∠AOB的度数．18．一个角的补角减去20°后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数．19．如图所示，∠AOC与∠EOC互补，OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，•设∠AOC=n°，用n 的代数式表示∠BOE和∠DOE的度数．20．一只小虫从点O出发，沿北偏东60°方向爬行了4cm到达M地，•后折向北偏西45°方向爬行3cm到达N地．（1）试画出小虫爬行的大致路线．（2）求∠OMN的度数．（3）测量∠ONM及N地离出发点O的距离，并说出N地位于点O的什么方位？21．已知∠1（如图所示），画出∠1的对顶角∠2，并说明∠1与∠2的大小关系．22．如图所示，直线AB，CD相交于O，OA平分∠EOC，∠EOC=76°，求∠BOD•的度数．23．如图所示，三条直线相交于一点，求∠1+∠2+∠3的度数．24．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠AOC=28°，•求∠DOE的度数．25．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，•OF•平分∠AOE，•若∠AOC=25°，求∠EOF，∠COF 的度数．26．如图所示，直线AB与CD相交于点E，∠CEF=65°，∠BEF=∠AEC+40°.求∠AEC，∠BEF的度数．27．要测量如图所示的零件AB，CD这两条轮廓线的延长线所成的角的大小，有一位同学小明想到利用图中的仪器，他认为只要用量角器量得∠EOF的大小，就知道零件两条轮廓线的延长线所成的角的大小，你认为他的方法正确吗？为什么？•你还有什么方法？28．完成下列问题：（1）2条直线交于一点，共有几对对顶角？（2）3条直线交于一点，共有几对对顶角？（3）4条直线交于一点，共有几对对顶角？（4）n条直线交于一点，共有几对对顶角？29．两条直线互相垂直，所成的四个角都是_____；两条直线相交所成的四个角中，有一个角为_______，我们就说这两条直线互相垂直．32．如图所示，直线AB，CD，EF都过点O，且EF⊥AB，OG平分∠EOD，∠AOC=32°.求∠GOF的度数．33．如图所示，AO⊥BO，CO⊥DO，且∠AOC：∠BOD=7：2，求∠AOD的度数．34．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE．（1）若∠BOE=60°，求∠COF的度数；（2）若∠BOE=x°，用含x的代数式表示∠COF的度数．35．如图所示，OA⊥OB，ON平分锐角∠AOC，OM平分∠BOC，求∠MON的度数．。

图形的初步认识一、 几何图形柱体（圆柱、棱柱） 立体图形（体） 锥体（圆锥、棱锥）球体点几何图形（点、线、面、体）直线（射线、线段）线平面图形 曲线平面（角、三角形、平行四边形、圆等） 面曲面 点动成线，线动成面，面动成体。

二、线段、射线和直线1、概念及记法的区别线段：（1）有两个端点（2）可以度量（3）A a B记作：线段AB 或线段BA 或线段a射线：（1）有一个端点（2）向一方无限延伸（3）A B记作：射线AB直线：（1）无端点（2）向两方无限延伸（3） A Bl 记作：直线AB 或直线BA 或直线l 2、相关概念两点间的距离：连接两点的线段的长度线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。

如A C BC 为线段AB 上一点，且AC ＝BC ，则C 为线段AB 的中点，记作AB ＝2AC ＝2BC 或AC ＝BC 或AC ＝BC ＝21AB 3、线段大小的比较线段长短的比较有两种方法：（1）度量法（用刻度尺量出两线段的长度再比较）（2）叠合法（用圆规）4、相关性质公理直线公理：过两点有且只有一条直线 线段公理：两点之间，线段最短三、角的认识1、 角的概念 静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边） 运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边） 2、 角的表示方法（1）可以用三个大写字母来表示，如AOB ∠（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如O ∠ （3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如2,1∠∠或βα∠∠,3、角的大小角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（X 口大小）来决定。

(1)计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转︒6，时针经过一小时转︒30）)"601('1,'601==︒)'601("1,"60'1== (2)角的大小比较两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合） （3）两个角的和或差两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。