高等数学：D11_习题课新

2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1） xy 2 y ， y 5x 2 ； （2） y y 0 ， y 3sin x 4cos x ； （3） y 2 y y 0 ， y x 2 e x ； （4） ( xy x) y x( y)2 yy 2 y 0 ， y ln( xy) ． 解 （1）将 y 10 x 代入所给微分方程的左边，得左边 10 x 2 ，而右边＝2 (5 x 2 ) 10 x 2 左边，所以 y 5x 2 是 xy 2 y 的解． （ 2 ） 将 y 3 cosx 4 sin x ， y 3sin x 4cos x 代 入 所 给 微 分 方 程 的 左 边 ， 得 左 边 右 ( 3 sin x 4 cos x ) (3 sin x 4 cos x ) 0边，所以 y 3 sin x 4 co x s是 所 给 微 分 方 程 y y 0 的解． （3）将 y x 2 e x ， y 2 x e x x2 e x ， y 2e x 4 x e x x2 e x 代入所给微分方程的左边，得 左边 (2e x 4 x e x x2 e x ) 2(2 x e x x2 e x ) x2 e x 2e x 0 （右边） ， 所以 y x 2 e x 不是所给微分方程 y 2 y y 0 的解． （4）对 y ln( xy) 的两边关于 x 求导，得 1 y y ， x y xyy y xy ． 即 再对 x 求导，得 yy x( y)2 xyy y y xy ， 即
即
(3 y 2 1) 6 C e 2 ．
由定解条件 y
x 0
1
1
x2

第十一章总习题
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定 收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定 发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所 以 级 数 的 收 敛 区 间 为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1

收o敛
发散 x
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定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
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三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数
及
的收敛半径分别为
R1, R2, 令 R min R1 , R2 , 则有 :
若存在N Z , 对一切 n N ,
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
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R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
n
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别 设
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则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 显然

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斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
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*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.


A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz

4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y


3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .