线性代数2-3

因此
A
1
A
1
.
1 A
.
3 若 A 可逆, 数
A
1
0 , 则 A 可逆, 且
1

A
1
.
4 若A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆, 且
AB 1
B
1
A
1
.
1
证明 AB B 1 A 1
AB
1 A 2E A 3E E 4 A 2E
且
1 4
A 2E
3E A 4
1
A 3 E 1,
1 4
故 A 2 E 可逆 .
.
A
2E

1

A 3E
例4
设三阶矩阵
A , B 满足关系 :
练习 1.设 A 可逆， （ 证明 A 亦可逆，并求 A ） 1 。

A
A
*
1

A A A A
1
1 1
A A
(A )
1
1
A
1
1
A E

T
(| A| A
)
1
1 |A|
A.
T 1
2. 试化简
解
T T
( I A B) (A )
1 T
判断题： 1、n阶方阵A可逆的充要条件是| A | ≠0 因为A可逆的 A 0
2
√
2、若A2不可逆，则A一定不可逆 √ A 0 , A不可逆 因为若A2不可逆,则 A 0 3、设A为n阶方阵，且 A 0 ，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。 √ 因为若 A 0 ，则A可逆 则有A-1AB= A-1O成立 ，即B=O 4、设A为n阶方阵，且 A可逆，若AB=AC，则 √ 有B=C.

机动 目录 上页 下页 返回 结束
A O 例13 (02考研): 设A,B为n阶方阵, C , O B *
则C的伴随矩阵C ＝( D )
( A) (C ) AA O
A B O

O BB O BA
B B ( B) O
X A1CB 1
3 2 1 1 3 3 1 2 1 3 5 3 2 0 10 4 2 2 5 2 10 4 3 1 1 1 1
x1 y1 3 y2 2 y3 3 5 x2 y1 3 y2 y3 2 2 x3 y1 y2 y3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例11(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB, 解：
C＝A＋CA，求B－C. 由 B＝E＋AB 得: ∴(E－A)B＝E 由C＝A＋CA得: B－AB＝E ∴ B＝(E－A)-1 C－CA＝A
解:
1
0
2
即AX＝B
∴A可逆
A 1 2 3 1 0 0 1 1
X＝A-1B
即： x1 1
2 x 1 2 3 2 x 0 1 1 3 0
1
1 1 2 4 1 5 0 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 3
A B 2B (2)4 B 16 ( 3) 48
B A 3 A (3) A 27 2 54
3
机动
目录
上页

Er Ps , L , P2 , P1 AQ1 , Q2 , L , Qt = 0 Q P 0 0
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1

例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。