高一数学课堂练习4

第3章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A. －79B. －19C. 19D. 79答案：A解析：由sin(π4＋θ)＝13，得22sin θ＋22cos θ＝13，即sin θ＋cos θ＝23，两边平方，得1＋sin2θ＝29，所以sin2θ＝－79.2. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋76π)的值是( )A. －25 3B.235C. －45D. 45答案：C解析：cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin(α＋π6)＝45 3.∴sin(α＋π6)＝45，而sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.3. [2012·太原部分重点中学联考]已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝( )A. －255B. －3510C. －31010D. 255答案：A解析：由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.4. [2012·江南十校一模]若将函数y ＝A cos(x －π6)·sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D解析：f (x )＝A cos(x －π6)sin(ωx ＋π6)，则f (x ＋π6)＝A cos x sin(ωx ＋πω6＋π6)，即ω·π6＋π6＝kπ，则ω的值可能为5，故选D.5. [2012·广州六校联考]已知f (x )＝cos(π2－x )＋3sin(π2＋x )(x ∈R )，则函数f (x )的最大值为( )A. 2 3B. 2C. 3D. 1 答案：B解析：∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2(12sin x ＋32cos x )＝2(sin x cos π3＋cos x sin π3)＝2sin(x ＋π3)．∴当sin(x ＋π3)＝1，其中x ＝2kπ＋π6，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，其最大值为2，故选B.6. 若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A. －32B. －12C. 12D.32 答案：B解析：∵α，β∈(0，π2)，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos(α－β2)＝32和sin(α2－β)＝－12可得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈(0，π2)矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos(α＋β)＝－12，选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·浙江杭州月考]已知sin(x ＋π6)＝33，则sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝__________.答案：2＋33解析：sin(5π6－x )＋sin 2(π3－x )＝sin[π－(5π6－x )]＋cos 2[π2－(π3－x )]＝sin(x ＋π6)＋cos 2(x ＋π6)＝sin(x ＋π6)＋1－sin 2(x ＋π6)＝33＋1－13＝2＋33.8. [2012·广东惠州模拟]方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈(－π2，π2)，则A ＋B ＝__________. 答案：－3π4解析：由韦达定理得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.又A ，B ∈(－π2，π2)，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0，tan A tan B ＝3a ＋1>0，所以tan A <0，tan B <0，A ∈(－π2，0)，B ∈(－π2，0)，A ＋B ∈(－π，0)，所以A ＋B ＝－3π4.9. [2012·镇江模拟]已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________．答案：13解析：∵f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝12＋sin(2ωx －π6)， 由题意知f (x )的14个周期为34π，∴14×2π2ω＝34π，∴ω＝13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，求sin α的值．解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213) ＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.11. [2011·广东]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(1)化简f (54π)＝2sin π4＝2，可直接求出．(2)化简f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，得sin α＝513，同理f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.由α、β都为锐角，可求得cos α、sin β值，再用两角和的余弦公式可求得cos(α＋β)．解：(1)f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，∴sin α＝513.又α∈[0，π2]，∴cos α＝1213.f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，∴cos β＝35.又β∈[0，π2]，∴sin β＝45，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1665.12. [2012·深圳调研]已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)(其中ω为正常数，x ∈R )的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，求BCAB 的值．解：(1)∵f (x )＝2sin(ωx －π6)sin(ωx ＋π3)＝2sin(ωx －π6)cos[(ωx ＋π3)－π2]＝2sin(ωx －π6)cos(ωx －π6)＝sin(2ωx －π3)，而f (x )的最小正周期为π，ω为正常数， ∴2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π3)，若x 是三角形的内角，则0<x <π. ∴－π3<2x －π3<5π3.令f (x )＝12，得sin(2x －π3)＝12.∴2x －π3＝π6或2x －π3＝5π6.解得x ＝π4或x ＝7π12.∵A ，B 是△ABC 的内角，A <B ，且f (A )＝f (B )＝12，∴A ＝π4，B ＝7π12，∴C ＝π－A －B ＝π6，由正弦定理，得BC AB ＝sin Asin C ＝sinπ4sin π6＝2212＝ 2.。

高一数学同步练习必修四 第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③弧长公式：l ＝|α|r ， 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线三角函数线 有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线 B.1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π2，k ∈Z .2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．C.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )． A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用。

课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线 (建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上B [∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α终边在y 轴上．故选B.]2．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θA [由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.]3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C [如图阴影部分(不包括边界)即为所求．]4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第二、第三象限的角平分线上 C [角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以选C.]5．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．[解析] 作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . [答案] AT >MP >OM7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．[解析] 要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π， 所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) 8. 若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到α的取值范围是________．[解析] 利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以α的范围是0<α<π3或5π3<α<2π.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 三、解答题9．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．[解] 如图，MP ，OM ，AT 分别为正弦线，余弦线和正切线．sin7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33.10．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧ 1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . [冲A 挑战练]1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )【导学号：79402009】A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．]2．满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z A [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .]3．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________． [解析] 在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线， 即sin 2π5<tan 2π5，所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.[答案] cos 6π5<sin 2π5<tan 2π54．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________． ①sin θ＋cos θ＜0; ②sin θ－cos θ＞0；③|sin θ|＜|cos θ|; ④sin θ＋cos θ＞0.[解析] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.[答案] ④5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2. [证明] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α，在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |，∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α，S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2，π∴1＜sin α＋cos α＜2.。

第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析 A 、B 均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C 错，∴选D.答案 D2．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1D. 3解析 由题意，得3a＝9，得a ＝2，∴tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝ 3. 答案 D3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上解析 由题意知，cos θ≥0，tan θ≤0，所以θ在x 轴上或在第四象限，故θ2在第二、四象限或在x 轴上．答案 D4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2解析 由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴θ＝π2.答案 A5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( )A.43π B.76π C.53πD.116π解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝－32，又x ∈(π，2π)，∴x ＝7π6. 答案 B6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析 三角函数的周期为T ＝2π|a |，当振幅大于1时，∵|a |>1，∴T <2π.∵D 的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D 不符合要求．答案 D7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析 当φ＝11π6时，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 答案 D8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( )A ．0B ．1C.34D.54解析 ∵tan θ＝2，∴2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ＝2tan θ－1tan θ＋2＝2×2－12＋2＝34.答案 C9．函数f (x )＝tan x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 解析要使f (x )有意义，必须使⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，1＋cos x ≠0，即x ≠k π＋π2，且x ≠(2k ＋1)π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x1＋cos x ＝－f (x )，∴f (x )＝tan x1＋cos x 是奇函数．答案 A10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点解析 在同一坐标系里分别作出y ＝x 和y ＝cos x 的图象易知，f (x )＝0有且仅有一个零点．答案 B11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A的值是( )A ．m ＋1n B ．m －n C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1n D.12(m －n )解析 ∵m －n ＝lg(1＋cos A )－lg 11－cos A＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A )＝lg(1＋cos A )(1－cos A )＝lgsin 2A ＝2lgsin A ， ∴lgsin A ＝12(m －n )，故选D. 答案 D12．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①把x ＝1112π代入f (x )知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝3sin 3π2＝－3. ∴x ＝1112π是函数f (x )的对称轴，∴①正确． ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令k ＝0得增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，∴②正确．③依题意知y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴③不正确．应选C. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案 －2 214．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．解析 如图，由于y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称图形，故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD 的面积的一半，即12×π×6＝3π.答案 3π15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由图知，T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝43π. 又T ＝2πω＝43π，∴ω＝32. 答案 3216．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．其中正确命题的序号为__________． 解析 ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫23x ＋π2＝－sin 23x 是奇函数．②因为sin x ，cos x 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sin x ＋cos x ＝2成立．③α＝π3，β＝13π6，则tan α＝3，tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝tan π6＝33，tan α>tan β，∴③不成立．④把x ＝π8代入函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4，得y ＝－1. ∴x ＝π8是函数图象的一条对称轴．⑤因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心在图象上，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0不在图象上，所以⑤不成立．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，求tan A 的值． 解 ∵sin A ＋cos A ＝22，① 两边平方，得2sin A cos A ＝－12，从而知cos A <0，∴∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴sin A －cos A ＝ (sin A ＋cos A )2－4sin A cos A＝12＋1＝62.②由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋24， ∴tan A ＝sin Acos A ＝－2－ 3.19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 所以所求的单调减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32个单位，即得函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象．20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围． 解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A ＝5， ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k π＋π3(k ∈Z )．(3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． 解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，即sin α＝2sin β① 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，即3cos α＝2cos β② ①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝12.∴cos α＝±22. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝34π.(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6.(2)当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32，又β∈(0，π)，∴β＝5π6.综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π6.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。