第一章 数的整除复习提纲
- 格式：pdf
- 大小：64.68 KB
- 文档页数：7
第一章数的整除复习提纲
1.1整数和整除的意义
F正整数：1,2,3,4,5，……
F负整数：-1，-2，-3，-4，-5，……
F零和正整数统称为自然数（0,1,2,3,4,5，……）。
F正整数、零、负整数，统称为整数。
F整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。
（记忆：被除数能被除数整除，除数能整除被除数）
F整除的条件：
（1）除数、被除数都是整数。
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
F整除与除尽的区别
整除要求被除数、除数、商都是整数且余数为零，
而除尽不要求被除数、除数、商都是整数，商可以是整数或有限小数，只要余数是零就可以。
（例子：12÷24，1.2÷2.4,2.4÷1.2, 0.6
÷3 等等都是被除数能被除数除尽的，只要除得尽即可。
而4÷
3=1.333333333……这样的就是除不尽）
注意：整除是除尽的一种特殊情况，除尽是包括整除的。
注意：倍数和因数是相互依存的，不能说a 是倍数，b 是因数。
重复了，所以结束并舍去。
1.2 因数和倍数
F 倍数与因数
整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数。
（记忆：一般来说，倍数是大的那个数，
因数是小的那个数）
F 如何求一个整数的倍数？ ×1，×2，×3，×4，×5，……
例：求5的倍数。
解：5的倍数有5,10,15,20,25，……
F 如何求一个整数的因数？
把一个数写成两数相乘的形式，要写全，从1开始，到重复或两数相同的为止，此后依次写出，从左到右，再从右回到左。
例：求60的因数。
解：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10（=10×6）
所以60的因数有1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60。
F 任何一个整数都有最小的因数，且它的最小因数是1； 任何一个整数都有最大的因数，且它的最大因数是它本身； 任何一个整数都有最小的倍数，且它的最小倍数是它本身； 没有最大的倍数！！！
1.3能被2,5整除的数
F能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8；
不能被2整除的数的特征：个位上是1,3,5,7,9；
能被5整除的数的特征：个位上是0或5；
既能被2整除又能被5整除的数（相同的说法：能被5整除的偶数）的特征：个位上是0；
能被3整除的数的特征：各个数位上数字之和能被3整除；
既能被2整除又能被3整除的数的特征？（同时满足2和3的特征即可）
能被9整除的数的特征：各个数位上数字之和能被9整除；
能被4整除的数的特征：末两位能被4整除；
能被25整除的数的特征：末两位能被25整除；
F偶数与奇数
能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。
1.4素数、合数与分解素因数
F素数与合数
一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数；
如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
F1既不是素数也不是合数。
正整数按照因数个数的不同，可分为1，素数，合数三类。
F2是唯一的偶素数。
F20以内的8个素数：2，3，5，7，11，13，17，19。
F100以内的数，考察其是否为素数的方法：只要分别考察其能否被2,3,5,7整除即可，若都不能，则为素数，否则是合数（除1外）。
F特别注意：
51是合数（5+1=6，能被3整除）
91是合数(91=7×13)
97是素数。
F素因数和分解素因数：
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数；
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
F如何分解素因数？
分解素因数的题，无论是填空还是简答题，都要写成A=a×b×c ×d×……的形式！！！
例：把117分解素因数。
解：
3 117
3 39
13
所以，117=3×3×13
注意：（1）最后没有””符号；
（2）除数位置一定是素数，不能出现合数或1，一般从2开始考察。
（3）最后直到商为素数为止，把所有除数和商写成连乘的形式。
（4）从小到大排列。
（5）最后分解素因数的式子中素因数不能出现1或合数。
F几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
F互素的概念：
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
F连续的两个正整数一定互素。
1和其他任何一个正整数互素。
任意两个偶数一定不互素。
两个素数一定互素。
两个连续的奇数一定互素。
F最大公因数的求法？
第一步：先判断：是否是倍数关系？若不是，再判断是否是互素关系？（除非一看就是互素的，否则不能妄下结论说两个数互素！）若不是两种特例，再用短除法。
例1：求45和270的最大公因数。
解：因为45是270的因数，所以45和270的最大公因数为45。
（两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。
）例2：求8和9的最大公因数。
解：因为8和9互素，所以8和9的最大公因数是1。
（两个整数如果互素，那么它们的最大公因数就是1）
F最大公因数也可以把两数分别分解素因数后把它们所有的公有素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。
F公因数的求法？
第一步：求最大公因数
第二步：求出该最大公因数的所有因数。
F几个整数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
F最小公倍数的求法？
第一步：先判断：是否是倍数关系？若不是，再判断是否是互素关系？
若不是两种特例，再用短除法。
例1：求45和270的最小公倍数。
解：因为270是45的倍数，所以45和270的最小公倍数是270。
（两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。
）例2：求8和9的最小公倍数。
解：因为8和9互素，所以8和9的最小公倍数是8×9=72。
（如果两个整数互素，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积）
F最小公倍数也可以把两数分别分解素因数后把它们所有的公有素因数与各自剩余的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。
F公倍数的求法？
第一步：求出最小公倍数
第二步：求出该最小公倍数的所有倍数。
F最大公因数、最小公倍数与两数的关系：
最大公因数×最小公倍数=两数乘积。
