1分类一(实数、科学记数法)

第一单元实数一：基本考点考点1：相反数，数轴，绝对值1.相反数：（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数，也称其中一个数是另一个数的相反数。

特别的，0的相反数是0。

从数轴上看，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

（2）表示法：一般地⇋，在一个数前面加上“—”号就表示这个数的相反数，即a的相反数是-a，a可以是正数、负数、0，也可以是一个式子。

（3）特点：○1互为相反数的两个数的和为0；○2互为相反数（非零数）的两个数的商为-1.2.数轴：（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包含三层含义：第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是说数轴有三要素—原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是说原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的. （2）实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，有理数或无理数与数轴上的点表不是一一对应的数轴上的点A与点B所对应的实数分别为m、n，则A与B之间的距离为|m－n|.⑶利用数轴比较大小：在数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.3.绝对值：（1）定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，其值为非负数，即|a|≥0。

（2）正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

（3）利用绝对值比较大小：正数大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。

【例1】若a与2互为相反数，则|a+2|=＿＿。

解：0【例2】比较-100与-0.01的打消。

正确解法：因为|-100|=100，|-0.01|=0.01，且100＞0.01，所以-100＜-0⑴定义：乘积为1的两个数为倒数，即若ab=1，则a与b互为倒数：反之也可，若a与b互为倒数，则ab=1.⑵注意：①0没有倒数；②倒数是它本身的数是±1.【例3】-1/2的倒数是（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2考点3：乘方及其性质（1）定义：求n个相同数a的积的运算叫做乘方，即a×a×…×a （n 个）= a n，其中乘方的结果叫做幂（类似于和、差、积、商），a为底数，n叫指数，a n读作a的n次幂（或a的n次方）。

中考数学知识点总结第一章：实数本节知识点试题特点：中考所占分数不多，一般为2-6分，占全卷3%左右。

考点一：实数的概念及分类考点二：实数的倒数、相反数和绝对值考点三：平方根、算术平方根和立方根考点四：科学计数法和近似数考点五：实数大小的比较考点六：实数的运算基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数1、有理数：任何一个有理数总可写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a叫实数a的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

第十三章实数一、基础知识1.有理数：整数和分数统称为有理数。

有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，如可表示为0.4，可表示为等等；所有形如(m, n为互质的整数，n≠0)的数都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。

如：π，，- ，- ……。

3.实数：有理数和无理数统称为实数。

我们一般用下列两种情况将实数进行分类：4.数轴的三要素为原点、正方向、和单位长度。

实数与数轴上的点是一一对应的。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。

画数轴地方法：(1)画一条直线（2）在直线上取任一点为原点并用这一点表示0（3）选取正方向（通常向右味正方向）（4）选适当长度为单位长度。

5.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，设是a一个整数，数周上与原点的距离是的点有两个，它们分别在原点左右，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。

实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数。

又如果a表示一个负实数，则-a表示一个正实数。

a与-a互为相反数。

0的相反数仍是0。

如π与-π，与- ，m与-m…均互为相反数。

相反数的几何意义：在数轴上与原点距离相等的两个点是互为相反数的两个点。

在任意一个数前面添上“—”号，新的数就表示原书的相反数。

6.实数绝对值（几何意义）：数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值。

实数的绝对值(代数意义)：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即如果a是一个实数，则有|a|=绝对值的性质：1、0的绝对值是0，绝对值是0的数是0；2、任意一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0；3、任何数的绝对值都不小于原数；4、绝对值是相同整数的数有两个，它们互为相反数；5、互为相反数的两个数绝对值相等；6、绝对值相等的两数相等或互为相反数；7、若几个数绝对值的和为0则这几个数都为0。

实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。

有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。

无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。

1.1 有理数有理数包括整数和分数。

整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。

有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。

1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。

无理数不能表示为分数形式。

二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。

- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。

三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。

两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。

减法的顺序改变会改变结果的符号。

3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。

3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。

除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。

四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。

- 零大于所有的负实数。

- 负实数都小于零。

- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。

五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。

正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。

5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。

科学计数法概念
科学计数法又称"指数计数法"，是一种用指数表示数字的计数方式。

它是一种特殊的文字描述，可以更加简洁地表示重复性数字序列，或者表示大数字范围内的数值。

它由一个数字加上明示的指数构成或
指数的形式的指数。

科学计数法的写法特别简洁，其表示形式为：a x 10^b，其中a
是有符号实数（正/负），b是一个整数。

例如，定义359,800为
3.598 x 10^5,其中3.598为有符号实数，5为指数。

科学计数法在化学、物理、数学等数学领域有着广泛的应用，它
是一种非常有效的计数方式，能够清楚的表达数字的大小、方向以及
含义。

这种记录方式可以避免数字出现乱码，也可以更加精准的表达
数字。

科学计数法还有一些特殊的用法，比如，可以使用科学计数法表
示无限小数。

它可以用0乘以10的一个负无穷次方来表示，例如，
0.003可以表示为3 x 10^-3.此外，科学计数法还可以将一个小数表
示为一个大指数和小指数的乘积，比如，3.384 x 10^4可以用338.4
x 10^2表示。

科学计数法的应用很广泛，无论是在实际应用中，还是在学术研
究中，科学计数法都能够提高我们数学研究的准确性和效率。

希望我
们在使用科学计数法时能够正确理解并正确运用科学计数法。

4、（10分）观察
，即 ；
即 ；猜想： 等于什么，并通过计算验证你的猜想。
5、章节测试
实数章节测试题
学生姓名_________考试分数__________
特别说明：1、本试卷完成时间为90分钟；2、本试卷满分为100分；3、考试中考
生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生草稿纸要求规范使用，考试结束上交。
三、解答题：（共38分）
1、（6分）求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3）－
2、（6分）化简:（1） （2）
3、（6分）已知 =x－1，求x的值。
4、（6分）一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).
图3
一、仔细选一选：（每题3分，共30分）
1．下列实数: ， ， , ， ， ， ，0．020020002……中,无理数有( )个．
A.2 B.3 C.4 D.5
2． 表示的意义是( )
A.25的立方根B.25的平方根C.25的算术平方根D.5的算术平方根
3．下列语句正确的是( )
A.－2是－4的平方根; B. 2是(－2)2的算术平方根;
初中精品数学精选精讲
学科：数学任课教师：授课时间：年月日
姓名
年级
课时
教学课题
实数
教学目标
（知识点、考点、能力、方法）
知识点：无理数和实数的概念
考点：实数的概念、分类、倒数、相反数、绝对值、运算和平方根、算数平方根、立方根、科学计数法、近似数
能力：了解实数范围内相反数和绝对值的意义，会对实数进行分类、运算，能估算无理数的大小
其中正确的说法的个数是（）

实数知识点总结一、如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a （a ≥0），那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

a 的算术平方根记为√a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。

0的算术平方根是0.记作：√0=0. 负数没有算术平方根。

注意：√a ≥0。

三、平方根的定义如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根。

a 的平方根记为±√a （即：x =±√a ），读作“正负根号a ”。

正数有两个平方根，它们互为相反数。

即：√a ，-√a 。

0的平方根是0。

负数没有平方根。

即：当a <0时，√a 无意义。

四、立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，也叫做a 的三次方根．记作√a 3。

其中a 是被开方数，３是根指数，符号“√3”读做“三次根号”． 一个正数有一个正的立方根。

即，当a >0时，√a 3>0。

一个负数有一个负的立方根。

即，当a <0时，√a 3<0。

零的立方根是零。

当a =0时，√a 3=0。

五、算术平方根、平方根、立方根的联系和区别0 自然数，√3”中开不尽方的数。

0.101001000100001……是本身0, 1 0 1, 0，-1六、几个重要结论（1）√a 2 =|a |={a （a >0）0（a =0）−a （a <0）； （2）(√a)2=a （a ≥0）； （3）(√a 3)3=a （a 为任意实数）；（4）√a 3 3=a （a 为任意实数）； （5）√−a 3=−√a 3（a 为任意实数） 七、已学过的相关知识1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（如下图）数轴上的点与实数一一对应。

2、相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

规定“0的相反数是0”。

如，3与-3是互为相反数。

科学计数法的取值范围科学计数法是一种用于表示非常大或非常小的数字的方法，它将数字表示为一个基数（通常为10）乘以10的幂次方。

科学计数法可以简化大量数字的表达，使得它们更易于理解和处理。

在本文中，我们将探讨科学计数法的取值范围。

一、什么是科学计数法科学计数法是一种用于表示非常大或非常小的数字的方法。

它将数字表示为一个基数（通常为10）乘以10的幂次方。

例如，1000可以写成1 × 10³，而0.0001可以写成1 × 10⁻⁴。

二、科学计数法的格式科学计数法的格式如下：a × 10ⁿ其中a是一个实数，n是整数。

a称为尾数或有效数字，n称为指数或幂次方。

三、科学计数法的取值范围科学计数法可以表示任何实数，但存在一些限制条件。

首先，尾数必须在1到基数之间（不包括1和基数）。

其次，指数必须在可表示范围内。

对于十进制系统来说，基数为10。

因此，在科学计数法中，尾数必须在1到10之间（不包括1和10）。

指数可以是正整数、负整数或零。

对于正整数n，科学计数法中的最大值为9.999... × 10ⁿ，即10ⁿ-1 ×（1 + 0.9 + 0.09 + ...）= 10ⁿ-1 ×（1 / 0.1）= 10ⁿ-1 × 10 = 10ⁿ。

同样地，对于负整数n，科学计数法中的最小值为0.000...01 × 10ⁿ，即10⁻ⁿ。

四、科学计数法的应用科学计数法在自然科学和工程技术领域广泛应用。

例如：1. 太阳的质量约为2 × 10³⁰千克；2. 地球到太阳的距离约为1.5 × 10¹¹米；3. 氢原子的直径约为1 × 10⁻¹¹米；4. 火箭发动机推力可达2 × 10⁷牛顿。

五、总结本文介绍了科学计数法的定义、格式和取值范围。

科学计数法可以表示任何实数，但尾数必须在1到基数之间（不包括1和基数），指数可以是正整数、负整数或零。

4)有理数除法法则 ①除以一个数等于乘上这个数的倒数; 即
1 a÷b=a× (b≠0) b
②
两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于0的数,都得0.
5)有理数的乘方
①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。 即a···· a aa · ·· n 个 底数 ②正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，(-1)n= -1 负数的偶次幂是正数. (-1)n= 1 =
典型例题解析
2 13、(2004年· 四川省)计算 2 2 sin60 3 1
o
3 解：原式＝ 2 2 3 1 （ ） 2
3
典型例题解析
14、计算： (1) ( 1 )1 ( 1
2 )0 3 8 1 5
0
2 1
(2)
2 2 cos 45 sin 60 4 5 2 1 解： (1)原式=2+1×(-2)-［-(1- 5 )］=2-2+1- 5 =1- 5 .
3 0 1
1 B. sin 30 2 C. ( 4)2 4
o
1 2
D. a2•a3=a5
典型例题解析
9、 计算下列各题：
1 6 8 2 （1） 125 3 35
2 1 2 1 2 (2) 1 1.5 3 2 3 2
3
；-（-2）3 的立方根是 ； 22 的平方根是
8 的算术平
1 6、(2004年·宁夏)计算 ( 4) ( ) 的结果是 2
（ D ）
A.8
B.-8
C.-2
D.2
典型例题解析

初中数学知识点实数总结手写一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括所有的有理数和无理数。

有理数可以表示为两个整数的比，即分数形式，而无理数则不能表示为分数形式。

实数具有完备性，即任何实数序列都有一个极限，这个极限也是实数。

实数可以分为以下几类：1. 有理数：包括整数和分数，可以表示为a/b的形式，其中a和b都是整数，b≠0。

2. 无理数：不能表示为分数形式的数，如√2、π等。

3. 正实数：大于0的实数。

4. 负实数：小于0的实数。

5. 零：既不是正数也不是负数的特殊实数，用0表示。

二、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。

2. 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的，即运算结果仍然是实数。

3. 交换律：实数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a*b=b*a。

4. 结合律：实数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a*b)*c=a*(b*c)。

5. 分配律：实数的乘法对加法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。

三、实数的运算1. 加法：两个实数相加，和仍然是实数。

例如，3+4=7。

2. 减法：两个实数相减，差值是实数。

例如，7-4=3。

3. 乘法：两个实数相乘，积是实数。

例如，3*4=12。

4. 除法：实数相除，商是实数，但除数不能为零。

例如，12÷4=3。

5. 乘方：实数的乘方是将实数自身乘以指定次数。

例如，2的3次方是2*2*2=8。

6. 开方：求一个实数的平方根或其它次方根。

例如，√9=3，因为3*3=9。

四、实数的比较1. 正实数大于零和所有负实数。

2. 零大于所有负实数。

3. 负实数小于零和所有正实数。

4. 两个负实数中，绝对值大的数实际上更小。

五、实数的应用实数在日常生活中有广泛的应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。

在数学的其他领域，如代数、几何、三角学和微积分中，实数也是不可或缺的基础。

2．相反数：a 的相反数为－a，0 的相反数是 0. 3．倒数：___乘_积____是 1 的两个数互为倒数.0 没有倒数， 倒数等于本身的数是 1 或－1. 4．绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的__距__离____， 记作|a|，|a|＝a0（（aa>＝00）），，
－a（a<0）.
解 析 2.5 μ m ＝ 2.5×0.000001 m ＝ 0.0000025 m ＝ 2.5×10－6 m，故选择 C.
考点聚焦
归类探究
回归教材
理数．无理数有：－π，0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)，共有2
个．
第1课时┃ 实数的有关概念
方法点析
对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最 后结果去判断．注意：用根号表示的数不一定就是无理数，
如3 27＝3 是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就 是无理数，如 sin30°，tan45°就是有理数．一个数是不是 无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无 限不循环小数．
随堂练习┃ 实数
的有关概念
探究三 科学记数法
命题角度： 用科学记数法表示数．
例 3 [2014·淮安] 地球与月球的平均距离大约为
384000 km.将 384000 用科学记数法表示应为( C )
A．0.384×106
B．3.84×106
C．3.84×105
D．384×103
解 析 方法一：因为 a＝3.84，n＝6－1＝5，所以 384000 ＝3.84×105；方法二：384000＝3.84×100000＝3.84×105. 故选 C.
要点提示：无理数的几种常见形式
• ① 以及化简后含有字母 的式子 ；

实数一、有理数的分类()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 注意：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

二、实数的分类基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数．注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；三、数轴、绝对值、相反数、倒数1、数轴数轴三要素：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大.，所以结合数轴，可以比较两个数的大小。

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

2、相反数一般地，如果两个数只有符号不同，那么我们就说其中一个是另一个的相反数，也说这两个数互为相反数．我们也特别规定，0的相反数是0．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 b a ,互为相反数0=+⇔b a ；()01≠-=b ba 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立;倒数等于本身的数是1和-1；零没有倒数（1）当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1，即：n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。

如120 000 000=8101.2⨯（2）当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0），即n 的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。

如0.000000125=-7101.25⨯七、实数的运算1、实数的基本运算包括：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方共六种. 对于这些运算，要先确定符号，再运算.2、实数混合运算等级：运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.3、实数运算顺序：同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方、开方，再算乘除，最后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

实数的表⽰⽅法实数的表⽰⽅法1.科学计数法（scientific notation）科学计数法是为了表⽰绝对值⾮常⼤的或⾮常⼩的实数时，所引⼊的⼀种⽅法。

例如对于⼗进制实数+0.0000 0001⽽⾔，其相应的科学计数法表达形式为+1×10^-8；对于⼗进制实数-230000⽽⾔，其相应的表达形式为-2.3× 105；对于⼆进制实数+10.001⽽⾔，其相应的科学计数法表达形式为：+1.0001×2^1；对于16进制实数-ff.2ea3⽽⾔，其相应的科学计数法表达⽅式为-f.f2ea3×16^1。

⼀般来说，⼀个n进制实数对应的科学计数法表达形式由四个部分组成，分别是系数（coefficient)，基数（base)，指数和表⽰正负的符号。

系数是介于表⽰正负的符号与乘号之间的实数，系数中的每个数字⼤于等于零，⼩于n，⽽且系数中⼩数点之前的数字只有⼀个，且不可以为0；基数是乘号后的指数式的底数，基数是等于n的；指数是乘号后的指数式的指数；表⽰正负的符号。

2.IEEE 浮点数标准（IEEE floating number standard)1）电⼦与电⽓⼯程师协会（Institute of Electrical Electronics Engineers/IEEE)是⼀个⾮盈利的专业技术协会，它是计算机⼯程和通讯技术领域的权威。

2)在20世纪70年代之前，不同的计算机⽣产⼚家对于实数的表⽰采⽤不同的形式，这使得许多程序对于不同的机器是不兼容的。

在1980年，IEEE对于实数的浮点数表⽰⽅法进⾏了标准化，将实数的浮点数表⽰⽅法统⼀了起来。

由于不同的应⽤领域对于数值的精度要求不同，IEEE给出了两种实数的浮点数表⽰⽅法，分别是单精度（single precision)浮点数表⽰⽅法和双精度(double precision)浮点数表⽰⽅法。

3)单精度浮点数（single precision floating number)能⼒要求：当⾯对⼀个实数时，应能够将其转换为相应的单精度浮点数。

教学过程：1．实数分类：2．相反数：ba,互为相反数=+ba4．倒数：ba,互为倒数0;1=ab没有倒数.5．平方根，立方根：==x，axax记作的平方根叫做数则数若,2±a.若ax，axax33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.有理数与无理数的区分1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙-有理数集合：｛｝；无理数集合：｛｝；负实数集合：｛｝；2、无限小数包括无限循环小数和，其中是有理数，是无理数.3、在3.14，- ，- ，0.13241324… … ，- ，这七个数中，无理数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、全体小数所在的集合是（）A．分数集合B．有理数集合C．无理数集合D．实数集合5、下列命题中，真命题是（）A．两个无理数的和一定是无理数B．两个无理数的差一定是有理数C．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数D．两个无理数的积一定是无理数考点一、实数的概念例1.下列各数:2π，错误！未找到引用源。

0，9，0.23·，227，0.30003，1－2中无理数个数为( )实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数）正无理数负无理数)0(>a3．绝对值：=aaa-)0(=a)0(<aA ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【跟踪练习1】下列实数中，是无理数的为（ ）A. 3.14B. 13 C. 3 D. 9 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值例2. (1) －(－2)的相反数是（ ） A ．2 B ．12 C ．－12 D ．－2 (2)3-的倒数为（ ） A.3- B.31 C.3 D. 31-(3)32-的倒数的绝对值是 。

【跟踪练习2】(1) －4的绝对值（ ） A ．4 B ．－4 C ．41 D ．41-(2) 无理数3-的相反数是（ ） A ．3- B ．3． C ．31D ．31-(3) 5-的倒数是（ ） A ．5 B ．15C ．5-D ．15- 考点三、科学记数法和有效数字例3.(1)2010年上海世博会开园第一个月共售出门票约664万张，664万用科学计数法表示为（ ）A.466410⨯B.566.410⨯C.66.6410⨯D.70.66410⨯ (2)由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（ ） A ．精确到十分位，有2个有效数字 B ．精确到个位，有2个有效数字C ．精确到百位，有2个有效数字D ．精确到千位，有4个有效数字【跟踪练习3】(1)今年1季度，连云港市高新技术产业产值突破110亿元，同比增长59%．数据“110亿”用科学记数可表示为（ ）A ．1.1×1010B ．11×1010C ．1.1×109D ．11×109(2)将5.62×10－8用小数表述为（ ）．A ．0．000 000 005 62B ．0．000 000 056 2C ．0．000 000 562D ．0．000 000 000 562 考点四 平方根、算术平方根、立方根 例4(1)4的平方根是（ ）． A ．2 B ．2 C ．±2 D ．±2(2)－8的立方根是（ ） A ．2B ．－2C ．12D ． －12(3)如图，在数轴上点A 和点B 之间的整数是 ． 【跟踪练习4】(1)4的算术平方根是()A.2B. ±4C.±2D.4(2)如图,下列各数中,数轴上点A 表示的可能是（ ） A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根考点五、实数的大小比较例5(1)如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点， 则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ）A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜1(2)如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为,a b ，则 下列结论不正确的是（ ）A 、0a b +>;B 、0ab <C 、0a b -<;D 、0a b ->【跟踪练习5】(1)给出四个数0，2，12-，0.3，其中最小的是（ ）A ．0B ．2C ． 12- D ．0．3(2)实数a ．b 在数轴上位置如图所示，则|a |．|b |的大小关系是 ．考点六、实数的运算例6.(1)计算：01243⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．同步练习：1．下列命题错误的是（ ）A 、3是无理数B 、π＋1是无理数C 、23是分数 D 、2是无限不循环小数 2. 下列各数中，一定是无理数的是（ ）A 、带根号的数B 、无限小数C 、不循环小数D 、无限不循环小数 3．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（ ）Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个4．在下列实数中,无理数是( ) A.2 B.0 C.5 D.135.四个数－5，－0.1，１２，３中为无理数的是( ).A. －5B. －0.1C. １２D. ３6.如在实数0，－3，32-，｜－2｜中，最小的是（ ）. A ．32-B ． －3C ．0D ．｜－2｜7.对于实数a 、b ，给出以下三个判断：①若b a =，则 b a =． ②若b a <，则 b a <． ③若b a -=，则 22)(b a =-．其中正确的判断的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．|213|-＝________，|1|3-＝________．9．|14.3π|-＝________，|42.12|-＝________． 10．23-的相反数是________，________的倒数是39． 11．在实数0，2，3.14，1211，34，38，0.3010300100300010003…中，无理数有______个． 12．一个负数a 的倒数等于它本身，则2+a ＝________． 13．满足35＜＜x -的整数x 是________． 14．下列说法正确的是 [ ]A ．正有理数和负有理数统称为有理数B ．无理数是指带有根号的数C ．开方开不尽的数必是无理数D ．数轴上的点只能表示有理数 15．下列说法正确的是 [ ]A ．无限小数都是无理数B ．带根号的数都是无理数C ．有限小数和无限小数统称为实数D ．53)5()3(15--=-⨯-⋅＝练一练：1. (－2)2的算术平方根是（ ）.A ． 2B ． ±2C ．－2D ． 2 2. 2×（－21）的结果是（ ） A.－4 B.－1 C. －41 D.233.下列运算正确的是（ ） A ．(1)1x x --+=+ B ．954-= C ．3223-=- D ．222()a b a b -=-4. 2－3的值等于( )A.1B.－5C.5D.－1· 5.如计算：-1-2=（ ）A.-1B.1C.-3D.3 6.计算：（一1）+2的结果是( ) A ．-1B ．1C ．-3D ．37.计算(－3)3＋52－(－2)2之值为何？（ ）A ．2B ． 5C ．－3D ．－68.计算45.247)6.1(÷÷－－之值为何？（ ） A ．－1.1 B ．－1.8 C ．－3.2 D ．－3.9 9．小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为（ ）A ．4℃B ．9℃ C．－1℃ D．－9℃ 10.计算：0)1(1---的结果正确．．的是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-11.下列计算正确的是（ ）（A ）088=--）（ （B ）1221=⨯）（）（-- （C ）011--=（） （D ）22-|-|= 12.计算03的结果是（ ）A ．3B ．30C ．1D ．013.下列等式成立是（ ）A. 22=-B. 1)1(-=--C.1÷31)3(=- D.632=⨯- 14.已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）(A)0>m (B)0<n (C)0<mn (D)0>-n mm1n15．如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是（ ）A ． a < b B.a = b C. a > b D ．ab > 016．把下列各数填入相应的集合里： －1，3，0， ，－3.14，9，22，7.0 (1)有理数集合：{ }； (2)无理数集合：{ }； (3)正实数集合：{ }．。

[解析] 1亿＝108，317亿元＝317³108元＝3.17³1010元
第1讲┃ 归类示例
科学记数法的表示方法： (1)当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的整数位 数减1. (2)当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等 于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前 的0)． (3)有数字单位的科学记数法，先把数字单位转化为数字 表示，再用科学记数法表示

正整数 零 负整数
分数
正分数 有限小数或
负分数 无限循环小数
正无理数 无限不循环小数 无理数 负无理数
第1讲┃ 考点聚焦
2．按正负分类： 正整数 正有理数 正分数 正实数 正无理数 零 实数 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数
图1－1
第1讲┃ 回归教材
解：从图中可以看出，OO′的长就是这个圆的周长π ， 所以O′的坐标是π . [点析] 用画图的方法可以将一个无理数用数轴上的点 表示出来．事实上每一个无理数都可以用数轴上的一个点 表示出来．
第1讲┃ 回归教材
中考变式
1．[2012²泰州] 如图1－2，数轴上的点P表示的数是－1，
相反数
倒数
第1讲┃ 考点聚焦
名称 绝对值 定义 数轴上表示数a的点与原点的 距离 ，记作|a| ________ 性质
a（a>0） 0（a＝0） |a|＝ －a（a<0）
科学计 数 法
a³10 的形式．(其 把一个数写成________ 中1≤|a|<10.n为整数)，这种记 数法叫科学记数法
n
设这个数为m，①当 |m|≥10时，n等于 原数的整数位数减1； ②当|m|≤1时，|n| 等于原数左起第一 个非零数字前所有 零的个数

七年级下册数学知识点实数一、数轴与实数数轴是一种用于表示实数的图形。

从数学的角度来看，实数是包括所有的有理数和无理数的一个集合。

而数轴能够以直观的方式将实数表示出来。

在数轴上，原点通常代表0，负数和正数在原点的左侧和右侧分别表示。

实数的大小在数轴上用点的距离来表示，距离越远，数值越大。

二、实数的分类实数可以分为三类：有理数、无理数和代数数。

1. 有理数：可以表示为两个整数的比，例如1/2、3/4、-3/2等。

有理数可以在数轴上表示为有限或无限循环小数。

2. 无理数：不能表示为两个整数的比。

例如，π和√2都是无理数。

无理数在数轴上通常表示为无限不循环小数。

3. 代数数：代数数是有理数和无理数的统称。

它们可以通过方程式的根来表示。

例如，方程x^2-2=0的解是√2，所以√2是一个代数数。

三、实数的运算实数和有理数的运算法则相同，包括加、减、乘和除。

下面是一些实数运算的规则：1. 加法和减法：实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。

2. 乘法：实数的乘法也满足交换律、结合律和分配律。

3. 除法：两个非零实数的商是一个实数。

特别地，任何实数除以0等于无穷大或负无穷大，通常用符号“∞”表示。

四、实数的大小比较1. 正数和负数：任何正数都比负数大。

2. 有理数：有理数可以通过将它们转化为通分数来进行大小比较。

3. 无理数：无理数的大小比较通常用近似值来确定。

五、实数的绝对值实数的绝对值是指该实数到原点的距离，表示为|a|。

根据定义，任何正数的绝对值等于它本身，而任何负数的绝对值等于它的相反数，即|a|=-a。

绝对值有以下几个重要的性质：1. |a|=|b|当且仅当a=b或a=-b。

2. |a+b|<=|a|+|b|，称为三角不等式。

3. 如果a>=0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

六、实数的平方和平方根1. 平方：一个数的平方等于它与自己相乘的结果。

例如，5的平方是25，表示为5^2。

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩实数⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩正整数整数零负整数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎫⎨⎬⎭⎩有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数第1讲 实数的概念及运算1. 实数的概念(分类)(1)按定义分类：(2)按正、负分类：实数还可以分为：正实数、0、负实数．2. 实数的表示(1)“数”的方面：用字母表示实数，如实数a 等．(2)“形”的方面：用数轴上的点表示实数．(3)数轴的三要素：原点，正方向和单位长度．(4)数轴上的点与实数一一对应．3. 实数大小的比较“数”的方面：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；“形与数结合”的方面：两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小；“形”的方面：从数轴上看，数轴上右边的点表示的实数大于左边的点所表示的实数．4. 实数的运算(1)在实数范围内加、减、乘、除、乘方运算都可以进行(规定：除数不能为0；01(0)a a =≠；1(0)p pa a a -=≠)； (2)正数可以开任何次方，负数不能开偶次方.(3)有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算；(4)进行实数的运算，需做好“三确定”：一是确定运算顺序，二是确定结果的符号，三是确定结果的绝对值.5.两实数的关系(1)相反数①定义：实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零.②从“数”的角度：a b 、互为相反数0a b ⇔+=③从“形”的角度：在数轴上表示相反数的两点与原点对称.④从“形数结合”角度：由0a b +=得a b =-，即直线y x =-上的点横、纵坐标互为相反数，以互为相反数作为点的横、纵坐标，所组成的图形为直线y x =-．(2)倒数①定义：乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数.②从“数”的角度：111;,.ab a a b b-=== ③从“形”的角度：面积为1的矩形的长和宽的关系．④从“形数结合”角度：函数1y x =图像上的点横、纵坐标的关系；过函数1y x=图像上的点向x 轴y 轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴所围矩形的面积．6. 平方根与立方根①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.如：4=±②任何一个实数都有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立2=4=-7.实数的绝对值与非负性(1)绝对值.①定义：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．②从“数”的角度：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩③从“形”的角度：实数a 的绝对值就是在数轴上表示实数a 的点离开原点的距离． ④从“形数结合”角度：函数y x =的图像．⑤绝对值的非负性：a 为实数，||0a ≥．(2)实数的三个非负性：2||0, 0,0(0)a a a ≥≥≥≥(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩8. 准确数、近似数、精确度、有效数字、科学计数法(1)准确数与近似数：用数表示事物的多少，一般有两种，一是准确数，二是近似数．四舍五入法是常用的取近似数的方法．(2)精确度：用来刻画一个近似数的精确程度，精确度有两种表示方法，一是精确到指定的位数(如精确到个位、百位、万位、0.01等)，二是保留若干个有效数字．(3)有效数字：一个数，从左边的第一个不是0的数字起，到精确到的这位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．(4)科学计数法：是一种记数的方法，把一个数写成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数这种记数法叫做科学记数法．科学计数法常用来表示绝对值较大或较小的数．有时候，只有利用科学计数法才能表示一个数的精确度及有效数字．。