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第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义, 并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象, 能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析, 确定二次函数的表达式, 并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念, 在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维]
（1）正方形边长为a （cm ）, 它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米, 宽是3厘米, 如果将其长与宽都增加x 厘米, 则面积增加y 平方厘米, 试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子, 它们是不是函数？为什么？如果是函数, 请你结合学习一次函数概念的经验, 给它下个定义． [实践与探索]
例1． m 取哪些值时, 函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是二次函数, 须满足的条件是：
02≠-m m ．
解 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数, 则
02
≠-m m ． 解得 0≠m , 且1≠m ．
因此, 当0≠m , 且1≠m 时, 函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数, 则m 取哪些值？
例2．写出下列各函数关系, 并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%, 存入10000元本金, 若不计利息, 求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm, 求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意, 得 )0(62
>=a a S , 其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意, 得 )0(42
>=x x y π
, 其中y 是x 的二次函数； （3）由题意, 得 10000%98.110000?+=x y （x ≥0且是正整数）,
其中y 是x 的一次函数； （4）由题意, 得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S , 其中S 是x 的二次函数．
例3．正方形铁片边长为15cm, 在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形, 用余
下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时, 求盒子的表面积． 解 （1）)2
150(42254152
22<
<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时, 189342252
=?-=S （cm 2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中, 哪些是二次函数？ （1）02
=-x y
（2）2
)1()2)(2(---+=x x x y
（3）x
x y 1
2
+
= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时, 函数1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数？
3．已知正方形的面积为)(2
cm y , 周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]
A 组
1． 已知函数7
2)3(--=m x
m y 是二次函数, 求m 的值．
2． 已知二次函数2
ax y =, 当x=3时, y= -5, 当x= -5时, 求y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为27, 底面半径为x, 求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的
底面半径x 为3, 求此时的y ．
4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形, 求扇形的面积y 与它的半径x 之间
的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m, 下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．2
2
)1(x m y -= B ．2
2
)1(x m y += C ．2
2
)1(x m y += D ．2
2
)1(x m y -= 6．下列函数关系中, 可以看作二次函数c bx ax y ++=2
（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ． 我国人口年自然增长率为1%, 这样我国人口总数随年份的变化关系
C ． 竖直向上发射的信号弹, 从发射到落回地面, 信号弹的高度与时间的关系（不计空
气阻力）
D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）
教学目标
(一)知识与技能
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标．
(二)过程与方法
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 培养学生的探索能力和创新精神．
2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数, 讨论一元二次方程的根的情况, 进一步培养学生的数形结合思想．
3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．
(三)情感态度与价值观
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性,
2．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．体会方程与函数之间的联系．
2．理解何时方程有两个不等的实根, 两个相等的实数和没有实根．
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．
教学难点
1．探索方程与函数之间的联系的过程．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学过程
Ⅰ.创设问题情境, 引入新课
1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后, 讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时, 一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0, 且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0), 它们之间是否也存在一定的关系呢?
2.选教材提出的问题, 直接引入新课
Ⅱ．合作交流解读探究
1.二次函数与一元二次方程之间的关系
探究：教材问题
师生同步完成.
观察：教材22页, 学生小组交流.
归纳：先由学生完成, 然后师生评价, 最后教师归纳.
Ⅲ.应用迁移巩固提高
1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根
同期声
2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.
3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况
Ⅳ．总结反思拓展升华
本节课学了如下内容：
1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程, 体会了方程与函数之间的联系．
2．理解了二次函数与x 轴交点的个数
与一元二次方程的根的个数之间的关系, 理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.
3.数学方法:分类讨论和数形结合.
反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时, 和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案
Ⅴ．课后作业P 231.3.5
26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数2
ax y =的图象, 概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]
我们已经知道, 一次函数12+=x y , 反比例函数x
y 3
=的图象分别是 、 , 那么二次函数2
x y =的图象是什么呢？
（1）描点法画函数2
x y =的图象前, 想一想, 列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时, y 的值如何？
（2）观察函数2
x y =的图象, 你能得出什么结论？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象, 并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）2
2x y = （2）2
2x y -=
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =
…
18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …
-18
-8
-2
-2
-8
-18
…
分别描点、连线, 画出这两个函数的图象, 这两个函数的图象都是抛物线, 如图26．2．1．
共同点：都以y 轴为对称轴, 顶点都在坐标原点．
不同点：2
2x y =的图象开口向上, 顶点是抛物线的最低点, 在对称轴的左边, 曲线自左向
右下降；在对称轴的右边, 曲线自左向右上升．
22x y -=的图象开口向下, 顶点是抛物线的最高点, 在对称轴的左边, 曲线自左
向右上升；在对称轴的右边, 曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时, 要注意合理灵活地取值以及图形的对称性, 因为图象是抛物线, 因此, 要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知4
2
)2(-++=k k
x k y 是二次函数, 且当0>x 时, y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意, 得???>+=-+0
22
42k k k , 解得k=2．
（2）二次函数为2
4x y =, 则顶点坐标为（0, 0）, 对称轴为y 轴．
例3．已知正方形周长为Ccm, 面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式, 并画出图象； （2）根据图象, 求出S=1 cm 2时, 正方形的周长； （3）根据图象, 求出C 取何值时, S ≥4 cm 2．
分析 此题是二次函数实际应用问题, 解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时, 自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意, 得)0(16
12
>=C C S ． C
2
4 6
8 (2)
161C S =
41 1
4
9 4
…
描点、连线, 图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm 2时, 正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得, 当C ≥8cm 时, S ≥4 cm 2． 回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S, 不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内, 图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象, 并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）23x y = （2）2
3x y -= （3）23
1x y = 2．（1）函数2
32x y =
的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ； （2）函数2
4
1x y -=的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x, 请将此三角形的面积S 表示成x 的函数, 并画出图象的草图．
[本课课外作业]
A 组
1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象． （1）2
4x y -= （2）2
4
1x y = 2．填空：
（1）抛物线2
5x y -=, 当x= 时, y 有最 值, 是 ． （2）当m= 时, 抛物线m
m x m y --=2
)1(开口向下．
（3）已知函数1
222
)(--+=k k x k k y 是二次函数, 它的图象开口 , 当x 时, y 随
x 的增大而增大． 3．已知抛物线10
2
-+=k k
kx y 中, 当0>x 时, y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线2
ax y =经过点（1, 3）, 求当y=9时, x 的值．
B 组
5．底面是边长为x 的正方形, 高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象, 求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象, 求出x 取何值时, y ≥4．5 cm 3．
6．二次函数2
ax y =与直线32-=x y 交于点P （1, b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式, 并指出x 取何值时, 该函数的y 随x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点, y 轴为对称轴的抛物线, 且过M （-2, 2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标, 并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（2）
[本课知识要点]
会画出k ax y +=2
这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？
, 你能由此推测二次函数2
x y =与12
+=x y 的图象之间的关系吗？
, 那么2x y =与22
-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中, 画出函数2
2x y =与222
+=x y 的图象．
描点、连线, 画出这两个函数的图象, 如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x 取同一数值时, 这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上, 相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数, 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数2
2x y =与222
-=x y 的图象之间的关系吗？
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y = … 18 8 2 0 2 8 18 … 222+=x y
…
20
10
4
2
4
10
20
…
例2．在同一直角坐标系中, 画出函数12+-=x y 与12
--=x y 的图象, 并说明, 通过怎样的平移, 可以由抛物线12
+-=x y 得到抛物线12
--=x y ．
描点、连线, 画出这两个函数的图象, 如图
26．2．4所示．
可以看出, 抛物线12
--=x y 是由抛物线12
+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12
+-=x y 和抛物线12
--=x y 分别是由抛物线2
x y -=向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线42
+-=x y , 应将抛物线12
--=x y 作怎样的平移？
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =
相同, 顶点纵坐标是-2, 且抛物线经过点（1, 1）, 求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得, 所求函数开口向上, 对称轴是y 轴, 顶点坐标为（0, -2）, 因此所求函数关系式可看作)0(22
>-=a ax y , 又抛物线经过点（1, 1）, 所以, 2112
-?=a , 解得3=a ．
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … 12--=x y
…
-10
-5
-2
-1
-2
-5
-10
…
故所求函数关系式为232
-=x y ．
回顾与反思 k ax y +=2
（a 、k 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归
[当堂课内练习]
1． 在同一直角坐标系中, 画出下列二次函数的图象：
221x y =
, 2212+=x y , 22
1
2-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系, 并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说
出抛物线k x y +=
2
21的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线94
12
-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 , 它可以
看作是由抛物线2
4
1x y =向 平移 个单位得到的．
3．函数332
+-=x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大而减小．当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ． [本课课外作业]
A 组
1．已知函数231x y =
, 3312+=x y , 23
1
2-=x y ． （1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数53
12
+=
x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象, 说出函数34
12
+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并说明它是由函
数2
4
1x y -=通过怎样的平移得到的．
3．若二次函数22
+=ax y 的图象经过点（-2, 10）, 求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？
B 组
4．在同一直角坐标系中b ax y +=2
与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )
5．已知二次函数7)1(82
-+--=k x k x y , 当k 为何值时, 此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（3）
[本课知识要点]
会画出2
)(h x a y -=这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
我们已经了解到, 函数k ax y +=2
的图象, 可以由函数2
ax y =的图象上下平移所得, 那么函数2)2(21-=
x y 的图象, 是否也可以由函数22
1
x y =平移而得呢？画图试一试, 你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．
221x y =
, 2)2(21+=x y , 2)2(2
1
-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
描点、连线, 画出这三个函数的图象, 如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0, 0）, （-2, 0）, （2, 0）． 回
顾与反思 对于抛物线
2)2(2
1
+=
x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大
而减小；当x 时, 函数值y 随x 的增大而增大；当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ．
探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(2
1-=x y 分别是由抛物线221
x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2
)4(21-=x y , 应将抛物线22
1x y =作怎样的
平移？
例2．不画出图象, 你能说明抛物线2
3x y -=与2
)2(3+-=x y 之间的关系吗?
解 抛物线2
3x y -=的顶点坐标为（0, 0）；抛物线2
)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2, 0）． 因此, 抛物线2
3x y -=与2
)2(3+-=x y 形状相同, 开口方向都向下, 对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2
)2(3+-=x y 是由2
3x y -=向左平移2个单位而得的．
2)2(21
-=
x y (2)
25 8 2
9 2
21
0 2
1
…
回顾与反思 2
)(h x a y -=（a 、h 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标
[当堂课内练习]
1．画图填空：抛物线2
)1(-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 , 它可以看作是由抛物线2
x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．
22x y -=, 2)3(2--=x y , 2)3(2+-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐
标．
[本课课外作业]
A 组
1．已知函数221x y -
=, 2)1(21+-=x y , 2)1(2
1
--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果, 试说明：分别通过怎样的平移, 可以由抛物线2
2
1x y -
=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(2
1
--=x y ？
3．函数2
)1(3+-=x y , 当x 时, 函数值y 随x 的增大而减小．当x 时, 函数取得最 值, 最 值y= ．
4．不画出图象, 请你说明抛物线2
5x y =与2
)4(5-=x y 之间的关系．
B 组
5．将抛物线2
ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2, 且新抛物线经过点 （1, 3）, 求a 的值． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（4）
[本课知识要点]
1．掌握把抛物线2
ax y =平移至2
)(h x a y -=+k 的规律；
2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象, 通过比较, 了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]
由前面的知识, 我们知道, 函数2
2x y =的图象, 向上平移2个单位, 可以得到函数
222+=x y 的图象；函数22x y =的图象, 向右平移3个单位, 可以得到函数2)3(2-=x y 的图象, 那么函数22x y =的图象, 如何平移, 才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．
221x y =
, 2)1(21-=x y , 2)1(2
1
2--=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
描点、连线, 画出这三个函数的图象, 如图26．2．6所示．
它们的开口方向都
向 , 对称轴分别
x
… -3
-2 -1
0 1
2 3
…
221x y =
(2)
9 2
2
1 0
2
1 2
2
9
… 2)1(2
1
-=
x y … 8 29 2 2
1 0 2
1 2 … 2)1(2
1
2--=
x y …
6
2
5 0
2
3- -2
2
3- 0
…
为 、 、 , 顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空, 并观察三个图象之间的关系． 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移, 只影响二次函数2
)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移, 只影响h 的值, 抛物线的形状不变, 所以平移时, 可根据顶点坐标的改变, 确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外, 图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数2
)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数, a ≠0）的图象的开口方向、对称
例2．把抛物线c bx x y ++=2
向上平移2个单位, 再向左平移4个单位, 得到抛物线
2x y =, 求b 、c 的值．
分析 抛物线2
x y =的顶点为（0, 0）, 只要求出抛物线c bx x y ++=2
的顶点, 根据顶点坐标的改变, 确定平移后的函数关系式, 从而求出b 、c 的值．
解 c bx x y ++=2
c b b bx x +-++=44222
4
)2(2
2b c b x -++=． 向上平移2个单位, 得到24)2(2
2+-
++=b c b x y , 再向左平移4个单位, 得到24
)42(22
+-
+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24
,42(2
+-
--b c b , 而抛物线2x y =的顶点为（0, 0）, 则 ???
????=+-=--024042
2
b c b
解得 ?
??=-=148
c b
探索 把抛物线c bx x y ++=2
向上平移2个单位, 再向左平移4个单位, 得到抛物线
2x y =, 也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位, 再向右平移4个单位, 得到抛物
线c bx x y ++=2
．那么, 本题还可以用更简洁的方法来解, 请你试一试． [当堂课内练习]
1．将抛物线1)4(22
--=x y 如何平移可得到抛物线2
2x y = （ ）
A ．向左平移4个单位, 再向上平移1个单位
B ．向左平移4个单位, 再向下平移1个单位
C ．向右平移4个单位, 再向上平移1个单位
D ．向右平移4个单位, 再向下平移1个单位 2．把抛物线2
2
3x y -
=向左平移3个单位, 再向下平移4个单位, 所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -
+=可由抛物线22
1
x y -=向 平移 个单位, 再向 平移 个单位而得到．
[本课课外作业]
A 组
1．在同一直角坐标系中, 画出下列函数的图象．
23x y -=, 2)2(3+-=x y , 1)2(32-+-=x y , 并指出它们的开口方向、对称轴和顶点
坐标．
2．将抛物线522
++-=x x y 先向下平移1个单位, 再向左平移4个单位, 求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线23212++-
=x x y 如何平移, 可得到抛物线322
1
2++-=x x y ？ B 组
4．把抛物线c bx x y ++=2
向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 得到抛物线
532+-=x x y , 则有 （ ）
A ．b =3, c=7
B ．b= -9, c= -15
C ．b=3, c=3
D ．b= -9, c=21
5．抛物线c bx x y ++-=2
3是由抛物线132
+--=bx x y 向上平移3个单位, 再向左平
移2个单位得到的, 求b 、c 的值．
6．将抛物线)0(2
≠=a ax y 向左平移h 个单位, 再向上平移k 个单位, 其中h ＞0, k ＜0, 求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会]
26．2 二次函数的图象与性质（5）
[本课知识要点]
1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2
化成2
)(h x a y -=+k 的形式, 从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维]
我们已经发现, 二次函数1)3(22
+-=x y 的图象, 可以由函数2
2x y =的图象先向
平移 个单位, 再向 平移 个单位得到, 因此, 可以直接得出：函数
1)3(22+-=x y 的开口 , 对称轴是 , 顶点坐标是 ．那么, 对于
任意一个二次函数, 如232
-+-=x x y , 你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标, 并画出图象吗？ [实践与探索]
例1．通过配方, 确定抛物线6422
++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标, 再描点画图．
解 6422
++-=x x y
[
]
8
)1(261)1(26)112(26)2(222
22+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x
因此, 抛物线开口向下, 对称轴是直线x=1, 顶点坐标为（1, 8）． x
…
-2
-1 0
1 2 3
4
…
6422++-=x x y … -10 0
6
8
6
0 -10 …
描点、连线, 如图26．2．7所示．
回顾与反思 （1）列表时选值, 应以对称轴x=1为中心, 函数值可由对称性得到, ． （2）描点画图时, 要根据已知抛物线的特点, 一般先找出顶点, 并用虚线画对称轴, 然后再对称描点, 最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索 对于二次函数c bx ax y ++=2
, 你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 , 顶点坐标 ． 例2．已知抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上, 求a 的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上, 则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上, 则顶点的横坐标等于0．
解 9)2(2
++-=x a x y 4
)2(9)22(2
2+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是???
???+-+4)2(9,222a a ．
当顶点在x 轴上时, 有 02
2
=+-
a , 解得 2-=a ．
当顶点在y 轴上时, 有 04
)2(92
=+-
a , 解得 4=a 或8-=a ．
所以, 当抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时, a 有三个值, 分别是 –2, 4,
8．
[当堂课内练习]
1．（1）二次函数x x y 22
--=的对称轴是 ．
（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 , 当x 时, y 随x 的增大而减小．
（3）抛物线642
--=x ax y 的顶点横坐标是-2, 则a = ． 2．抛物线c x ax y ++=22
的顶点是)1,3
1(-, 则a 、c 的值是多少？ [本课课外作业]
A 组
1．已知抛物线2
5
3212+-=
x x y , 求出它的对称轴和顶点坐标, 并画出函数的图象． 2．利用配方法, 把下列函数写成2
)(h x a y -=+k 的形式, 并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）162
++-=x x y
（2）4322
+-=x x y
（3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=2
3．已知6
22)2(-++=k k x
k y 是二次函数, 且当0>x 时, y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
B 组