机车启动问题

1、功率及功率的计算

2、汽车的起动问题

细解知识点

1. 功率：物体所做的功与完成这些功所用时间的比值，叫功率。

①功率是标量，但是它有正负之分。

②功率是表示物体做功快慢的物理量。

平均功率公式为P＝W/t

瞬时功率公式：P＝Fvcosα

2. 关于汽车的起动问题

引例：汽车发动机的额定功率是60千瓦，汽车质量是5吨，当汽车在水平路

面上行驶时，设阻力是车重的1/10倍，若汽车从静止开始保持以1米/秒2的加速

度作匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间

(

解析：上面的题目属于“机车起动类问题”。机车的起动主要包括两种情况，一类是“匀加速起动”和“最大功率起动”。其中多数的题是“匀加速起动”，因为这一类题更能锻炼人的思维。下面对机车的这两种起动方式进行分析。

首先是“匀加速起动”过程的分析：匀加速起动过程实际包括两个过程：（如上图）“过程１”是真正的匀加速过程，在此过程中，速度由零开始不断增加，功率也由零开始逐渐增加；因为加速度是不变的，所以在此过程中牵引力也是不变的（因为加速度a 是由牵引力F和阻力f的合力除以质量m得到的）。此过程的结束就是第二个过程的开始，以“功率P达到最大，但速度没有达到最大”为标志。在“过程２”中因为还有加速度的存在，所以速度ｖ会不断增加，在功率P不变的情况下，根据P＝Fv，就可知道牵引力F 不断减小，加速度a也相应减小。第二过程结束的标志就是“机车的功率最大，速度也是最大”，到此为止，整个起动过程结束。再以后，机车将以匀速直线运动，功率不变。（注：这里之所以称为“机车”，是因为此类型的题完全可以是汽车、火车、轮船、摩托等动力机械的起动问题。）

第二类起动是“最大功率起动”。比如在赛车比赛时，一般都是最大功率起动问题。

机车的起动只有一个过程，在此过程中，机车不断加速，因为开始时机车已经达到最大功率，所以在速度不断增大的时候，牵引力F会不断减小，加速度a也不断减小，但因为加速度的方向和速度的方向相同，所以无论加速度a怎样小，速度ｖ也是增加的。起动过程结束的标志就是“速度不变”。

解：P ＝60000W m ＝5000kg f ＝ a ＝1m/s2

以牵引力方向为正方向（在有关矢量计算中一定要注意方向问题）

f ＝－×5000kg×10m/s2＝－5000N

[

根据F合＝ma （这一步是最容易出错的）

F+f ＝ma

F + （－5000N）＝5000kg×1m/s2

F＝10000N

根据P ＝Fv （此时功率达到最大）

60000W ＝10000N×v

v ＝6m/s

根据v ＝at （原公式应为v t＝v0+at，因初速度为零故公式发生变化）

6m/s ＝1m/s2 t

t ＝6 s

、

注：该类题中的“机车的功率”是“牵引力的功率”，即机车的任何时刻的瞬时功率都等于这个时刻的牵引力F，与这个时刻的运动速度v的乘积，即P＝Fv与机车受到的合力无关。

【典型例题】

例1、一个质量为m的物体在一个恒力F的作用下，由静止开始在光滑水平面上运动，那么此力在t时刻的功率是多少

解析：此时的功率为瞬时功率，知道作用力要求功率，只需求出t时刻的速度即可。

首先求出物体的加速度

F＝ma a＝F/m

用公式v t＝v0+at

则

？

例2、质量m＝5t的汽车从静止出发，以a＝1m／s2的加速度沿水平直路作匀加速运动，汽车所受的阻力等于车重的倍，求汽车在10s内的平均功率和10s末的瞬时功率。（取g＝10m／s2）

分析：汽车在水平方向受到两个力：牵引力F和阻力f。根据牛顿第二定律算出牵引力，结合运动学公式算出10s内的位移和10s末的速度即可求解。

解答：设汽车的牵引力为F，阻力f＝kmg＝，由牛顿第二定律

F－f＝ma

得F＝m（+a）＝5×103（×10+1）N＝8×103N

汽车在t＝10s内的位移和10s末的速度分别为

v t＝at＝1×10m／s＝10m／s

所以汽车在10s内的平均功率和10s末的功率分别为

#

P t＝Fv t＝8×103×10W＝8×104W

说明：题中汽车作匀加速运动，因此10s内的平均功率也可用

由此可见，在匀变速运动中，某段时间内的平均功率等于这段时间始末两时刻瞬时功率的平均，即

例3、汽车以速率v1沿一斜坡向上匀速行驶，若保持发动机功率不变，沿此斜坡向下匀

速行驶的速率为v2，则汽车以同样大小的功率在水平路面上行驶时的最大速率为（设三种情况下汽车所受的阻力相同）（）

解析：设汽车的质量为m，斜坡倾角为α，汽车沿斜坡匀速向上和匀速向下时的牵引

力分别为F1、F2，阻力大小为f，根据力平衡条件和功率公式可知

…

联立两式，得所受阻力的大小

代入①式或②式，得发动机的功率

若汽车沿水平路面行驶，达最大车速时牵引力等于阻力，即

答：C

讨论：汽车、火车或轮船等交通工具，在恒定的功率下起动，都是作变加速运动，这个过程中牵引力F与运动速度v的制约关系如下：

{

所以，最大的运动速度就是作匀速运动时的速度。

课本中的例题要求轮船的最大航行速度，就是在F＝f时匀速航行的速度。

例4、汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为的长直公路上

时，如图所示，所受阻力为车重的倍（g＝10 m/s2），求：

（1）汽车所能达到的最大速度v m＝

（2）若汽车从静止开始以m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间

（3）当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少

（4）在10 s末汽车的即时功率为多大

解析：由P＝F·v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比。当汽车的牵引力与阻力（包括爬坡时克服下滑力）相等时，速度达最大。只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F·v＝P额时，匀加速运动即告结束，可由W＝F·S求出这一阶段汽车做的功。当10 s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由P t＝F·v t求发动机的即时功率。

、

（1）汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即

f＝Kmg＋mgsinα＝4000＋800＝4800 N

又因为F＝f时，P＝f·v m，所以

（2）汽车从静止开始，以a＝m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f－mgsinα＝ma。所以

F′＝ma＋Kmg＋mgsinα＝4×103×＋4800＝×103N

保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v′m，有

由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移

！

（3）由W＝F·S可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为

W＝F·S＝×103×＝×105J

（4）当t＝10 s＜s，说明汽车在10 s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率

P t＝F·v t＝F·a·t＝×103××10＝kW