拉普拉斯变换
拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。
在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。
2.1拉氏变换
2.1.1拉氏变换的定义
若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作
[()]f t L 或)(s F ，并定义为：
[()]()()e d
L st
f t F s f t t +∞-==?
（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。
必
e 1
[1()]1e d L st st
t t s
s
+∞
-+∞-=?=-
=?
(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。
⑵单位脉冲函数
单位脉冲函数如图2.2所示。 其定义为
()0
t t t δ∞
=?=?
≠? 同时，
()d 1t t δ+∞=?
，即脉冲面积为1。而且有如下特性：
()()d (0)t f t t f δ+∞-∞
?=?
(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。
(0)
()(0)
t f t t
t
≥?
由式（2.1）有
02
2
e
e []e d ()d e
11d e L st st st
st
st
t t t t
t
s
s
t s
s s +∞
--+∞+∞-+∞
-+∞-=?=---==-
=
?
??
（2.4)
⑷指数函数e at
()0
1
[e ]e e
d e d L at
at st
s a t t t s a
+∞+∞---=?==
-?
?
(2.5) 同理 1
[e
]L at
s a
-=
+ (2.6) ⑸正弦函数t ωsin 由欧拉公式1sin (e e )2j t j t
t j
ωωω-=
-，可得 0022
1[sin ]sin e d (e e )e d 2111()2L st
j t j t st
t t t t
j j s j s j s ωωωωωω
ωω+∞
+∞---=?=-=--+=
+?? (2.7) ⑹余弦函数t ωcos 由欧拉公式1cos (e e )2
j t j t
t ωωω-=
+，可得
2
21[cos ]cos e d (e e )e d 2111()2L st j t j t st
t t t t s j s j s s ωωωωωωω+∞+∞---=?=
+=
+-+=+?
? (2.8)
⑺幂函数n
t
[]e d L n
n st t t t +∞-=??
令u st =，则1,d d u t t u s s
=
= 则有 10
011[]e
d e d e d L n n
n st
u n u
n n u t t t u u u s s s
+∞+∞+∞---+=
?=??=??
?
?
式中
e d (1)n u u u n +∞-=Γ+?
为Γ函数，
而 !)1(n n =+Γ 故 1
!][+=
n n
s
n t L
上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表2.1。
表2.1常用函数拉氏变换对照表
续表
2.2 拉氏变换的性质
下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。
2.2.1线性性质
拉氏变换是一个线性变换，若有常数1K 、2K ，函数)(1t f 、)(2t f ，则
11221
1221122
[()()][()][()]
()()L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s +=+=+ (2.10)
上式可由拉氏变换的定义式直接得证。
线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常数K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K 倍。
例2.1已知()12cos f t t ω=-，求()F s
解：
2222
22()[()][12cos ]
12()
L L F s f t t s s s s s s ωωωω==--+=-=++
2.2.2实数域的位移定理（延时定理）
若有一函数1()f t 相当于()f t 从坐标轴右移一段时间τ,即1()()f t f t τ=-,称函数
1()f t 为()f t 的延迟函数，如图2.4所示。
那么，1()f t 和()f t 的象函数之间具有下列关系：
1[()][()]e ()L L s f t f t F s ττ-=-= （2.11）
证明： 0
[()]()e d L st f t f t t ττ+∞--=-?
令u t τ=-，则,d d t u t u τ=+= 代入上式有
0()[()]()e d L st s u f t f t t τττ+∞-+∞-+-=-?
)(1)(1)(τ-?-?=
t T t T t f 111
[()]e (1e )L sT sT f t Ts Ts Ts
--=-=-
2.2.3复数域的位移性质(平移定理)
若[()]()L f t F s =，对任一常数a ，有 [e ()]()L at
f t F s a -=+ （2.12）
证明：由定义出发
0()0
[e ()]e ()e d ()e d ()
L at at st s a t f t f t t f t t F s a +∞---+∞-+=?=?=+?
?
可见，原函数()f t 乘以at
e
-时，它的象函数只需将()F s 中的s 用()s a +代替即可。
例2.3 求sin at
e t ω-的拉氏变换。 解：直接运用复数域的位移定理可得
22
[e sin ]()L at t s a ω
ωω-=
++
同理，可求得
22
[e cos ]()L at s a
t s a ωω
-+=
++ 1
!
[e ]()
L at n
n n t s a -+?=
+ (1,2,3,,n = 2.2.4相似性质
若[()]()L f t F s =，如将()f t 波形相对于时间轴t 进行压缩（或伸长）a 倍，成为
()f t a ，
则 [()]()L f t a aF as = （2.13）
证明：
[()]()e d L st f t a f t a t +∞-=?
令t
a
τ=,则,d d t a t a ττ==
[()]()e d ()e d ()
L st sa f t a f t a t a f aF as τττ+∞-+∞-===?
?
上式表明，当原函数()f t 的自变量t 变化1a 时，则它对应的象函数()F s 及变量s 按比例变化a 倍。
2.2.5原函数导数的象函数(微分定理)
若[()]()L f t F s =，则导数d
()d f t t
的象函数为：
[
()]()(0)L d
f t s F s f dt
=- （2.14）
式中(0)f 是当0t =时函数()f t 的值，即原函数的初始条件。
证明：
0d ()[
()]e d d L st d
f t f t t dt t
+∞-=?
利用分部积分公式d d u v uv v u =-??
令e ,(),st u v f t -==有
00d [()]e ()e ()d d ()(0)
L st
st f t f t s f t t
t
sF s f ∞+∞--=+=-? 同理可得：
2
2(1)2d [()]()(0)(0)d L f t s F s sf f t =-- 3
32(1)(2)3d [()]()(0)(0)(0)d L f t s F s s f sf f t
=--- 1
2
(1)
(
1)d [()]()(0)(0)(0)d L n n n n n n f t s F s s f s
f f t
---=
----
（2.15）
式中(1)
(2)(1)
(0),(0),(0),,(0)
n f f
f f -
分别为函数()f t 及其各阶导数在0t =时的值。(2.14)和式2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。如果这些初始条件均为零，则有
d [()]()d L n
n n f t s F s t
= (1,2,)n = （2.16） 上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以
n s 。
2.2.6原函数积分的象函数（积分定理）
若[()]()L f t F s =，则()f t 的积分
()d f t t ?的象函数为
(1)()(0)
[()d ]L F s f f t t s s
-=+? (2.17)
式中(1)
(0)()d t f
f t t
-==?
证明： 0[()d ][()d ]e
d L st
f t t f t t t +∞
-=???
利用分部积分法，取()d ,d e
d st
u f t t v t -=
=?
则有 e d ()d ,st
u f t t v s
-==-
因此
00
(1)[()][()d ]e d 1
1()d ()e d 1(0)()L st st t f t dt f t t t
f t t f t t s
s f F s s s
+∞-+∞
-=-==+=+??
??? 同理可得n 重积分的拉氏变换：
(1)(2)()1
()(0)(0)(0)
[()(d )]L n n
n n n F s f f f f t t s s s s
----=++++?? （2.18） 式中(1)(0)f -，(2)(0),,f - ()(0)n f -分别为()f t 的各重积分在0t =的值。如果这些积分的初始值均为零，则有：
22()[()d ]()[()(d )]()[()(d )]L L L n n F s f t t s
F s f t t s F s f t t s ?
=
???
=???
=?
?
????? （2.19）
上式表明，在零初始条件下，原函数的n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以n
s 。
2.2.7终值定理
若[()]()L f t F s =，则原函数()f t 的终值为
l i m ()l i m (t s f t sF s →+∞
→=
（2.20）
证明：由式(2.14) 0d
d ()[()]
e d ()(0)d d L st
f t f t t sF s f t t
+∞-==-?
当0s →，则 e
1st
-→，于是由上式左边得
00d ()lim e d ()lim ()(0)d st s t f t t f t f t f t +∞+∞-→→+∞
??
==-????
?
由上式右边得
lim[()(0)]lim ()(0)s s sF s f sF s f →→-=-
因此得
l i m ()l i m ()
t s f t sF s →+∞
→=
上式表明，原函数()f t 在t →+∞的数值（稳态值），可以通过将象函数()F s 乘以s 后，再求0s →的极限来求得。条件是当t →+∞和0s →时，等式两边各个极限存在。
2.2.8初值定理
若[()]()L f t F s =，则原函数)(t f 的初值为
l i m ()l i m ()s t f t s F s →+∞
→=
（2.21）
证明： 由式(2.14)
0d d ()[(
)]e d ()(0)
d d L st
f t f t t sF s f t t
+∞-==-? 当s →∞，则e
0st
-→，因此
0d ()lim e d lim[()(0)]()(0)lim ()(0)0d st s s s f t t sF s f f t f sF s f t +∞-→+∞→+∞
→+∞??=--=-=????? 即0
lim ()lim ()t s f t sF s →→+∞
=
上式表明，原函数)(t f 在0t =时的数值（初始值），可以通过将象函数()F s 乘以s 后，再求s →+∞的极限来求得。条件是在0t →和s →+∞时等式两边各有极限存在。
2.2.9卷积定理
若[()]()L f t F s =，[()]()L g t G s =，则有
[()()d ]()()L t
f t
g F s G s τττ-=?? （2.22）
式中积分
()()d()()()t f t g f t g t τττ-=*?
，称作()f t 和()g t 的卷积。
证明：
在式（2.22）中，当t τ>，()1()0f t t ττ-?-=，因此
()()d ()1()()d t f t g f t t g τττττττ+∞-=-?-??
?
于是 0
[
()()d ][()1()()d ]e d L t st f t g f t t g t τττττττ+∞--=-?-?
?
令t τλ-=，代入上式，又由于()f t 和()g t 是可进行拉氏变换的，所以可改变上式的积分次序，可得：
()0
00
[()()d ][()e d ()d [()e d ()e d ()()
L t s s s f t g f g f g F s G s λτλττττλλττ
λλττ+∞+∞-++∞+∞---=?=?=??
??
?
上式表明，两个时间函数()f t 和()g t 卷积的拉氏变换等于两个时间函数拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可简化计算。
2.3拉氏反变换
2.3.1拉氏反变换的概念
拉氏反变换是指将象函数()F s 变换成与其对应的原函数()f t 的过程。采用拉氏反变换符号1
L -，可以表示为：
1[()]()L F s f t -= （2.23） 拉氏反变换的求算有多种方法，其中比较简单的方法是由()F s 查拉氏变换表得出相应的()f t ，及部分分式展开法。
如果把()f t 的拉氏变换()F s 分成若干分量的和，即
12()()()()n F s F s F s F s =+++
并且12(),(),,()n F s F s F s 的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么即得：
111212()[()][()()()]()()()L L n n f t F s F s F s F s f t f t f t --==++=++ （2.24）
可见，应用迭加原理即可求得原函数()f t 。
但是()F s 有时比较复杂，当不能很简便地分成若干分量之和时，可采用部分分式展开法对()F s 进行分解，也就是说，部分分式展开法是一种将较复杂的象函数分解成若干简单的很容易从拉氏变换表中查到其原函数的求算方法。
2.3.2部分分式展开法
在控制理论中，常遇到的象函数()F s 具有如下形式：
()
()()
B s F s A s =
式中()A s 和()B s 均为变量s 的多项式，且()A s 的阶次n 较()B s 的阶次m 要高，即n ≥m 。
在应用部分分式展开法来求)()()(s A s B s F =的拉氏反变换时，必须预先知道分母多项式()A s 等于零时的根。换句话说，这个方法在分母多项式被分解成因式后才能应用。
将()F s 分母()A s 进行因子分解，可写成
12()()
()()()()()
n B s B s F s A s s p s p s p =
=
+++ 式中，12,,,n p p p 称为()0A s =的根，或()F s 的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定是成对共轭的。
如果()B s 的阶次高于()A s 的阶次，则应首先用分母()A s 去除分子()B s ，由此得到一个s 的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s 多项式的阶次就化为低于分母s 多项式的阶次了。
下面分两种情况分别介绍部分分式展开法。
⑴分母()0A s =无重根
在这种情况下，()F s 总是可以展开成下面的简单的部分分式之和。即
1212
121()()
()()()()()n n n n
k k k
B s B s F s A s s p s p s p a a a s p s p s p a s p ==
=
+++=
++++++=+∑
（2.25）
式中，k a 为常值。k a 称为在极点k s p =-处的留数。k a 的值可用()k s p +乘以式（2.25）的两边，并令k s p =-的方法求出。即： 1212()()()()()
[
][]()k k
k k k n k k k n s p s p
B s s p a s p a s p a s p a a A s s p s p s p =-=-++++=+++++=+++
可以看出，在所有展开项中除k a 项外，其余各项全为零了，因此留数k a 可由下式求出。
()
[
()]()k
k k s p B s a s p A s =-=+ (1,2,)k n = （2.26） 因为1
1
[
]e L k p t k
s p --=+ ，从而可求得)(s F 的原函数为 1
1
()[()]e L k n
p t k k f t F s a --===∑ （2.27）
需要指出，因为()f t 是一个时间的实函数，如果1p 和2p 是一对共轭复数时，则留数1
a 和2a 也必然是共轭复数。这种情况下，式（2.26）照样可应用，且只需对复留数1a 和2a 中的任意一个求值，另一个自然也就知道了。
例2.4 求23
()32
s F s s s +=
++的拉氏反变换。
解： 12233
()32(1)(2)12
a a s s F s s s s s s s ++===+
++++++ 由式(2.26)可得
1122
3
(1)2
(1)(2)3
(2)1
(1)(2)s s s a s s s s a s s s =-=-+=
+=+++=
+=-++
因此
11
1221
()[()][][]2e e 12
L L L t t f t F s s s ------==+=-++ （t ≥0） 例2.5求2212
()25
s F s s s +=
++的拉氏反变换。
解：分母多项式可以因式分解为
225(12)(12)
s s s j s j ++=+++- ()F s 可展开如下
122212
()251212a a s F s s s s j s j
+=
=++++++-
由式（2.26）可得
12
122125
(12)1252s j
s a s j j s s =--+=
++=+++ 由于1a 与2a 共轭，由此
25
12
a j =-
所以
11(12)(12)2222551122()[()][
]121255
(1)(1)e 22
5
e (e e )e (e e )
2
2e cos 25e sin 2L L j t j t
t j t j t t j t j t t t j j f t F s s j s j
j e j j t t
---+--------+
-==++++-=++-=++-=+ ⑵分母()0A s =有重根
假设()F s 有r 个重极点1p -，其余极点均不相同，则
11111211
11111()()
()()()()()
()()r r n n r r r r r n
B s B s F s A s s p s p s p a a a a a s p s p s p s p s p ++-+=
=
+++=+++++++++++
式中11121,,,r a a a 的求法如下：
1
1
1
1
111
12121312
(1)11(1)
()()d [()()]d 1d [()()]2!d 1d [()()](1)!d r
s p r
s p r
s p
r r
r r s p
a F s s p a F s s p s a F s s p s a F s s p r s =-=-=---=-=+=
+=+=+-
（2.28）
其余留数12,,,r r n a a a ++ 的求法与第一种情况所述的方法相同，即
()()k
k k s p a F s s p =-=+ (1,2,,)k r r n =++
求得所有的留数后，()F s 的反变换为：
1121121112112()[()]
[](1)!(2)!
L n r r p t p t p t p t
r r r r r n f t F s a a t t a e a e a e a e r r ++-------++==+++++++-- （2.29）
例2.6 求31
()(2)(3)
F s s s s =++的拉氏反变换。
解：
13511124
32
()(2)(2)23a a a a a F s s s s s s
=
++++++++ 3
112
211
()(2)(3)2
s s a F s s s s =-=-=+=
=-+
312222
2
d (23)
1
[()(2)]d (3)4
s s s a F s s s s s =-=--+=
+==
+
223
1322
22
1d 1d 13[()(2)][]2!d 2d (3)8s s a F s s s s s s =-=-=+==-+ 43
33
1
1()(3)(2)3s s a F s s s s =-=-=+=
=+ 53
0011()(2)(3)24
s s a F s s s s ===?=
=++ 所以 3211311
()2(2)4(2)8(2)3(3)24F s s s s s s
-=
+-++
++++
122223223()[()]
11311
e e e e 2248324111(223)e e 8324
L t t t t t t f t F s t t t t -------==-?+-++
=-+-++
2.4用拉氏变换解线性定常微分方程
在2.1至2.3节中我们已经介绍了拉氏变换的一些有关概念和方法。本节将介绍应用拉氏变换解线性定常微分方程的方法。
应用拉氏变换法得到的解是线性定常微分方程的全解（特解加上补解）。求线性定常微分方程的经典方法需要利用初始条件求积分常数的值。然而，在应用拉氏变换法的情况下，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，就不需要根据初始条件求积分常数的值了。
用拉氏变换法解线性定常微分方程，首先通过拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得线性定常微分方程的解。以下面的例子说明求m 在外施作用力()f t 作用下()()k x t f t = （2.30）
2[()
(0)(0)]
()
()
m s X s s x x k X s F s --
2()()(0)(0)()ms k X s msx mx
F s +--= (2.31) 解出方程(2.31)中的)(s X ，可得
22
()(0)(0)()F s msx mx
X s ms k ms k
+=
+++ (2.32) 式(2.32)右边的第一项表示当初始条件全部为零时由外施作用所产生的微分方程的解（特解）的象函数，式（2.32）右边的第二项表示初始条件的影响所产生的解（补解）的象函数。微
分方程的时间解是由()X s 进行拉氏反变换求得：
11122()[()]
()(0)(0)[][]
L L x t X s F s msx mx L ms k ms k
---=+=+++ （2.33） 假若()f t 是一个单位阶跃函数，那么()1F s s =，式（2.33）变为
11221(0)(0)()[
][]
()11()[]
L L msx mx x t s ms k ms k
x x k k --+=+++=-++
假若()f t 是一个单位脉冲函数，那么()1F s =，又若初始条件(0)(0)0x x
== ，则有
11
21()[
]L L x t ms k --==+=
质量块m
2.5 习 题
1.求下列函数的拉氏变换。假设当0t <时，()0f t =。 ⑴()5(1cos3)f t t =- ⑵0.4()e
cos12t
f t t -=
⑶π
()sin()f t t =+53
⑷()e n at
f t t = 2.10
()(1)
F s s s =
+
⑴利用终值定理，求t →+∞时的()f t 的值。
⑵通过取()F s 的拉氏反变换，求t →+∞时的()f t 的值。 3.已知21()(2)
F s s =
+，应用初值定理求(0)f +和(0)f + 的值。 4.试求下列象函数的拉氏反变换： ⑴1
()(1)F s s s =
+
⑵1
()(2)(3)
s F s s s +=
++
⑶e ()1
s
F s s -=-
⑷2
4(3)
()(2)(1)
s F s s s +=
++ ⑸22
52
()(2)(22)
s s F s s s s ++=+++ 5.应用拉氏变换法解下列微分方程： ⑴220,(0)0,(0)1x x x x x ++===
⑵02730,(0),(0)0x
x x x x x ++===