线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案第一章

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第一章《线性代数》习题解答
习题一（A）

1. A B 11
1 2
31 ， A B 53
1 0

73
，
2A

3B

4 6
0 2

42

3 6
3 3
165 172
3 1
0 1

0 0
0 0

.
（2）
f
( A)

A2

A

E

2 3
1 12 2 1 2 3
1 1
1 1 2 0
0 1
0 0
7 8
1 2
3 3
.
1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0
0 1

.
即

a
a
b
c
c
d

b
a
d
c d

.
于是，ca

b d

b d

d
.解之得
d c

a 0
.故与
A
可交换的所有矩阵为

a b
0 a

，其中
a,
b
为任意常
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3

第一章《线性代数》习题解答

，
W5 AV5 11 11 01 11 ，W6 AV6 11 11 21 31 ，
第 1 页共 20 页
1
第一章《线性代数》习题解答
W7 AV7 11 11 21 31 ，W8 AV8 11 11 01 11 . 由W1,,W8 构成的图形如下：
4 5

，
B

63 90
25 30
13 20
5 7

.
65 25 14 3
80 28 18 5
（2）
A

B

121 162
52 60
28 38
9 12

，为
1997
年和
1998
年各种油品的产量之和.
145 53 32 8
5 B A 18
（3） ( A B1 )( A B1 ) A2 AB1 B1 A B12 A2 O B12 A2 B12 .
10.（1）

0 0
00 .
（2）令
A

1 0
13 ，则 A2 10
3 1

2

1 0
6 1
0 0 1 x7 x8 x9 x7 x8 x9 0 0 1
即
x1 x4 x4 x7 x7 于是
x2 x5 x5 x8 x8
x3 x6 x1
x6 x9 x4
x9
x7
x1 x2 x4 x5 x7 x8
（2）正确. (kA)T kAT kA .
（3）未必正确. ( AB)T BT AT BA AB .
8.（1）设与
A
可交换的矩阵为
B

a b
c d

，则由
AB

BA
得

1 0
10
a b
c d

a b
c d

1 0
2 0
2 2
1 2
，为
1998
年和
1997
年各种油品的产量之差.
15 3 4 2
（3）
1 2
(
A

B)

60.5 81
72.5
26 30 26.5
14 19 16
4.5 6
，为
1997
年和
1998
年各种油品的平均产量.
4
4.（1）

4 7
61
2
n1
A,
n为偶数 n为奇数
下面可利用数学归纳法加以证明，此处从略.
11. A2 的第 k 行第 l 列的元素为
a1l
ak1, ak 2 ,, akn

a2l anl

a a k1 1l
ak2a2l
akn anl

n
akj a jl
洲
820 655 335 BA 82 76 33.8
840 770 346
价值重量体积
（2）
C

1 1
.
1
1810 BC 191.8
1956
总价值总重量总体积
7.（1）正确. ( A B)T AT BT A B .

0 0

，
W2

AV2

11
11 02 22 ，
W3 AV3 11
11 22

4 .0

，
W4

AV4

11
11
0 2

2 2
1
0 0

，
A3

0

0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0

，
0 0 0 0
An

0

0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(n

4)
.
1 3 6 10
（5）（直接计算即可）

0 0 0
1 0 0
3 1 0
6
3 1

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2
第一章《线性代数》习题解答

（由正方形V1V2V3V4
顺时针旋转
2
弧度得到）
6.
A

2000 1200
1000 1300
800 500

，
B

0.2 0.011 0.12
0.35 0.05
.
0.5
（1）
北美欧洲非

（3） b bn

c

c
n

注：务必牢记这个重要的结果！
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
（4）（直接计算即可）令
A

0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 10
，则
A2

0

0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1 1
4 0 0 0
（6
）
令
A

1 1 1
1 1 1
1 1
1
1 11
，则由直接计算知，
A2

0 0 0
4 0 0
0 4 0
0
0 4

2
2
E
，
4 4 4 4
16 0 0 0
9.证（1） A(B1 B2 ) AB1 AB2 B1 A B2 A (B1 B2 ) A ， A 与 B1 B2 可交换.
（2） A(B1B2 ) ( AB1 )B2 (B1 A)B2 B1 ( AB2 ) B1 (B2 A) (B1B2 ) A ， A 与 B1B2 可交换.
j 1
.
AAT 的第 k 行第 l 列的元素为
n
ak1, ak 2 ,, akn al1 , al 2 ,, aln T ak1al1 ak 2al 2 akn aln akj alj . j 1
AT A 的第 k 行第 l 列的元素为
a1k T a1l
x2 x5

x3 x6

.
x8 x9

x4 x5

x7 x9

x8 x1

0
x2 x6
x1 x2 x3 故与 A 可交换的所有矩阵为 0 x1 x2 ，其中 x1, x2 , x3 为任意常数.
0 0 x1 注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一.
.
0 0 1 0 1
0 1 0 2 0
0
0
0
1
0

0
0
1
0
1

注：邻接矩阵（adjacent matrix）的概念在运筹学（Operations Research）的一个重要
分支－代数图论（Algebraic Graph Theory）上有着重要的应用.
14. A2 A [1 (B I )]2 1 (B I ) 1 (B 2 2BI I 2 ) 1 (B I )
时， An1 An A 10
3n 1

1 0
13

1 0
3(n 1
1)

，结论成立.
综上知，
An

1 0
3n 1

.
注：先根据 An 的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法

线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案

础解系1 (1,1,1)T 。
对应于 1 = 2 3 1 的线性无关的特征向量只有一个，
A 不能对角化。
5、已知三阶矩阵 A 的特征值为 -1，1，2，矩阵 B A 3A2 。试求 B 的特征
值和 det B 。
解： B A 3A2 ， 2E B =（ E A ）（ 2E 3A ），
第四章矩阵的特征值和特征向量
习题四

(B)
1、判断下述结论是否正确
（1）实数域上的 n 阶矩阵 A 一定有 n 个特征向量；解：错。n 阶矩阵 A 的特征多项式在实数域上不一定有 n 个根。（2） A 与 AT 有相同的特征值和特征向量；
解：错。若 A 与 AT 有相同的特征值和特征向量，设是 A 的属于 0 的特征向量
n (1,1,1,,1)T 。
（2）A 可以对角化。令 P=（1 2 ,, n ) 即
1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
P=
0
0
10 0
0 1 时，则 P 1 AP 为对角矩阵。

0

1
00
0 1
1 (1,0,1)T ，
对于 3 1 ，解齐次线性方程组（ E A ）X=0，可得方程组的一个基础解系
2 (3,1,0)T , v1 , v2的特征子空间的基为1 （1，0，1）T , v3的特征子空间的基为 2 （ 3，1，0）T .
1 1 0 3、设 A = 2 x 0 ，求 A 的特征值为 1，2，3。试求 x 的值。
det B =（－2） (4) (10) 80 。
6、试证：
1）果 A 为奇数阶正交矩阵，且 det A =1，则 1 是 A 的一个特征值。

线性代数（第2版）习题全解（习题一）

线性代数(第2版)习题全解(习题一)1.(1) 解 .14)4(492243=----++-=D (2) 解 .100sin 00cos 22-=---++-=θθD 2.(1)解 21010=+++=τ 偶排列 (2)解 19644221=+++++=τ 奇排列(3)解 =-+++++++=)22(420000n τ)1())1(21(2-=-+++n n n 偶排列)2(≥n(4)解 =++-++-+++=1)1()1(21 n n n τ2)]1(21[2n n n =+-+++ 排列的奇偶性与n 的奇偶性相同3. 解为使6654431213a a a a a a j i -为六阶行列式中的一项, 应选择i 和j , 使列标构成的6阶排列6413j i 为奇排列.于是应取2,5==j i , 此时排列642153的逆序数为501220=++++=τ4. (1)解列展开235012101331020307r r r 2r 3431---++D3223rr 35123120371)1)((+---+00361437335120614037=⨯-=-=-(2) 解 29730000300003022211r r r r r r 52211252112251122211c c c c c c 141312413121=---+++D(3) 解 =-----------÷-÷-÷-÷-÷00000)1()1(r )1(r )1(r )1(r )1(r 234123211232114321554321dc b ad c b a c c b a b b b a a a a a D D D -=-T ,于是0=D .(4)解 =---------32321212113412311200001111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a D))()((321a a a a a a ---5. 计算下列n 阶行列式:(1)解列展开n n n n nn r r r r r r D n n13210001200001132111312-------=----+132100120001)1(1 n n n n nn n 1)1(+-(2)解 =-+000302001)1(111 n D n列展开!)1(2)2()1(n n n ---(3) 解 1113122122121121r r r r r r 0001---++++n nn n n n nb a a a a b a a a a b a a a a D升阶113212112121c 1c c 1c c 1c 010010011++++---n nn nb b b b b b a a a=+∑=nn ni ii b b b a a a b a0000000121211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i i n b a b b b 1211(4)解 211211211211)1(121211+--+n nD D 行展开21-21--n n D D 列展开于是 =-=-=------32211n n n n n n D D D D D D 12312=-=-=D D 故 1)1(21121+=-+==+=+=-+n n D D D D n n n6.(1)解构造5阶范德蒙行列式并利用相应的计算公式得==44444333332222211111)(x d c b a x d c b a x d c b a x d c b ax f ))()()()()((b d b c a x a d a c a b ------=----))()()((d x c x c d b x])([))()()()()((34 ++++-------x d c b a x c d b d b c a d a c a b )(*又 55445335225155)(A x A x A x xA A x f ++++列展开注意到3x 的系数D D A -=-=+5445)1(，又由)(*式直接得到3x 的系数，故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=(2)解 321121111r r r r r r 1)()1(111)1(r r r r r r ↔↔↔-----↔↔↔-+-++nn n n n n n n nn n n n n a a an a a a D ==--------+222)1()()1()()1(1111)1(n a a a n a a a na a an n n n n=-----++-+nn n n n n a a a na a a )()1(1111)1(1)1(∏≥>≥++=------112)1()]1()1[()1(j i n n n j a i a∏∏≥>≥+≥>≥++-=--11112)1()()()1(j i n j i n n n j i i j7．(1)证 +++++++=bz ay by ax az by ax bx az ay bx az bz ay ax D 121131c c c )2(c c c (1)a bb abzay by ax bx byax bx az bz bxaz bz ay by -÷-÷++++++++++ay by ax z ax bx az y azbz ay xa 232323c c c )2(c c c )1(a bb abzay by x byax bx z bxaz bz y b -÷-÷+++b abzy x byx zbxz yb yaxz x az y z ay x a ÷÷+3222c )2(c )1( 213233c c c c )2(↔↔+zy x y x z x zy b y x z x z yz y xa yxzx z yx y xb a )(33+ (2)证 =----++-111)1(111x x a xD D n n n n列展开=++=+---n n n n n a a xD x a xD )(121==++-- n n n a x a D x 122=++++---n n n n a x a x a D x12211n n n n a x a x a x ++++--111(3)证+ddc dc b a b a aD n012行展开0)1(21cd cdc b a bab n+-=-----+--221)12(22)1(12(2)12)1(n n n D bc adD n n 行展开按行展开按==-=--- )2(22)1(2)()(n n D bc ad D bc ad=--21)(D bc ad n n bc ad )(-8.(1)解 141312r 2r r r r r 11124121111114141------=D 34323r 7r r 3r )2(r 29370102201313014141++-÷--------206423264051102300141412==-141312)1(r r r r r r 11124122111514142++------=D 2013501864133713050180641303714142=---=----=--------------=29360102001307014121r 2r r r r r 11224121115114121141312)2(D 40293610201307=-----=-----------=38103710151113730r 2r r r r r 12124221151114241242321)3(D 20637022703-=-----故 1,3,2,1)4(4)3(3)2(2)1(1-========DD x D D x D D x D D x(2)解 =-+==+410140011)1(144100141001410142134D D =--=-21223)4(44D D D D D 20915)4154(4=--⨯⨯=----=41031417014160010c 5c 410314120144001521)1(D 2094131470116=--- =----=15110142001410054r 4r 413014200141005434)2(D 20915110141054=-- =-----=430012100441011150r 4r 430012100441051421)3(D 20943012101115-=----=---=01001441011415014c 3c 31024104141501434)4(D 2091410141514=-- 故 1,1,1,14)4(44)3(34)2(24)1(1==-======D D x D D x D D x D D x9. 解系数行列式12r r 2)2(1111111++--++=λλλD 21cc 2)2(1022111-+-+++λλλλ=++=+-++231)2(2)2(302011λλλλλλλ)3)(2(-+λλ当2-=λ或3=λ时,0=D ,齐次线性方程组有非零解.。

线性代数第二版第一章1

a11 a12 = a11a22 - a12a21 a21 a22
并称之为二阶行列式．
备注
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 − a12 a21称为数表（ 4）所确定的二阶称为数表（ a11 行列式，行列式，并记作 a21
n
= l
1
l
2
L l
n
,
例5 计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
五.小结
(1) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）主对角线下侧元素都为）
a11 a12 L a1n a2 n = a11a22 L ann M ann
0 a22 L D= M M O 0 0 L
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,每一条虚线上的三个元素的乘积带负号, 条虚线上的三个元素的乘积带负号,所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式. 数和就是三阶行列式的展开式.
注意
例 2
计算三阶行列式
1 D= 2 - 1
- 2 1 1
1 - 3 - 1
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 - a11a23 a32 - a12 a21a33 - a13 a22 a31
= a11 (a22 a33 - a23 a32 ) - a12 (a21a33 - a23 a31 ) + a13 (a21a32 - a22 a31 )

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

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