人教新课标版数学高一数学人教B版必修1课件集合之间的关系

【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=∅或M≠∅.
(1)当M=∅，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠∅，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={
=-3或2，解得m= 或 .
1 1, ∴a a≤-2.…………………………11分
2

a

1,
a 0, 综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分
【失分警示】
【防范措施】 1.特别关注空集 此题含有条件A⊆B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合 为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误. 2.分类讨论的意识 本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0, ＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识.
1.空集：指的是_____不__含__任__何_的元集素合，记作__，并规定： ∅
空集是________的子集. 任何集合
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C子,那集么_____. A⊆A
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.( ) (2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( ) (3)空集没有子集.( ) 提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合. (2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集. (3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集. 答案：(1)× (2)√ (3)×

(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称； (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称； (3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称； (5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足 f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．

[微体验] 1．思考辨析 (1)空集可以用表示．( ) (2)空集中只有元素0，而无其余元素．( ) 答案 (1)× (2)×
2．下列四个集合中，是空集的为( )
A．{0}
B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x＞4}
解析 满足x＞8且x＜5的实数不存在，故{x|x＞8，且x＜5}＝∅. 答案 B
答案 C B A
课堂互动探究
探究一 集合关系的判断
例 1 (1)已知集合 M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合 M 与 N 的关系是( )
A．M＝N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．N M
C．M N
D．N⊆M
解析 解方程 x2－3x＋2＝0 得 x＝2 或 x＝1，则 M＝{1,2}，
因为 1∈M 且 1∈N,2∈M 且 2∈N，所以 M⊆N.
探究二 子集、真子集问题
例 2 已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足 A⊆C⊆B 的集合 C 的所有可能情况．
解 由 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}， 又因为 A⊆C⊆B，即{1,2}⊆C⊆{1,2,3,4,5}， 所以 C 中至少含有元素 1,2，故 C 的所有可能情况是： {1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5}，共 8 个．
A．M⊆P
B．P⊆M
C．M＝P
D．M，P互不包含
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含． 答案 D

高中数学
[导入新知] 子集的概念
任意一个
包含
A⊆B B⊇A
高中数学
⊆ ⊆
高中数学
[化解疑难] 对子集概念的理解
(1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是：集合 A 中的 个元素都是集合 B 中的元素，即由 x∈A 能推出 x∈B.例 ⊆{－1,0,1}，则 0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与 列顺序无关.
高中数学
真子集 [提出问题] 给出下列集合： A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}． 问题1：集合A与集合B有什么关系？ 提示：A⊆B. 问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？ 提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不
高中数学
[导入新知] 集合相等的概念
如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B A 的 子集 (B⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素 的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B .
高中数学
[化解疑难] 对两集合相等的认识
(1)若 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝B；反之，如果 A＝ ⊆B，且 B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即 ＝B，只需证 A⊆B 与 B⊆A 同时成立即可．
(2)若 A 不是 B 的子集，则 A 一定不是 B 的真子集
高中数学
空集 [提出问题] 一个月有32天的月份组成集合T. 问题1：含有32天的月份存在吗？ 提示：不存在． 问题2：集合T存在吗？是什么集合？ 提示：存在，是空集．
高中数学
[导入新知]
空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空
1 理解教 材新知
1.1.2

课前篇 自主预习
一
二
三
四
2.填空 (1)集合:把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体,就说这个 整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集).集合通常用英文大 写字母A,B,C,…来表示. (2)元素:组成集合的每个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素 通常用英文小写字母a,b,c,…来表示. 3.做一做:下列各组对象能构成集合的有( ) ①2019年1月1日之前,在腾讯微博注册的会员;②不超过10的非负 奇数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B
-12-
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
课堂篇 探究学习
延伸探究 若集合A中含有两个元素a-3和2a-1,已知-3是A中的元素, 如何求a的值? 解:∵-3是A中的元素, ∴-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0. 此时集合中含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述:满足题意的实数a的值为0或-1.
-14-
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
课堂篇 探究学习
反思感悟解决此类问题的通法是:根据元素的确定性建立分类讨论 的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元 素的互异性.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 当堂检测
变式训练用符号“∈”和“∉”填空.
(1) 2-1 (2)23 (3)-4
课前篇 自主预习
一
二
三
四
知识点四、常用数集及其表示
1.思考
我们曾经学习了哪些常见的数集?

5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有
限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空 集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然 数集，记作N；
在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或 N＋；
所有整数组成的集合称为整数集，记作Z； 所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 所有实数组成的集合称为实数集，记作R.
知识点三 集合的表示 1．列举法：把集合中的元素_一__一_列__举__出来(相邻元素之间用逗号分 隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做___列__举_法__．
2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合 A的一个特征性质 ．此时，集合A可以用它的特征性质 p(x)表示为 {x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述 法．
12≤x<5}＝
− 1 ，5
2
.
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，
1)∪ 2，3 .
课堂探究•素养提升
题型1 集合的概念[经典例题]
例1 下列对象能构成集合的是( )
①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；
②所有的钝角三角形；
③2019年诺贝尔经济学奖得主；
图形等； (3)不能出现未被说明的字母．
知识点四 区间及其表示 1．区间的几何表示
定义 {x|a≤x≤b}
名称 闭区间
{x|a＜x＜b}
开区间

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3． 空 集
(1)定 义 ： 不 含 任 任何 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集 ， 记 为 ∅. ∅
(2)规 定 ： 空 空 集 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ．
思 考2： {0}与 ∅相 同 吗 ？ [提 示 ]不 同 ． {0}表 示 一 个 集 合 ， 且 集 合 中 有 且 仅 有 一 个 元 素0； 而 ∅表 示 空 集 ， 其 不 含 有 任 何 元 素 ， 故 {0}≠ ∅.
学习目标：
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
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3．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( )
A．M⊆N
B．M∈N
C．N⊆M
D．M＝N
C [正 方 形 是 特 殊 的 菱 形 ， 故N⊆M.]
4． 集 合 {0,1}的 子 集 有 ________个 ． 4 [集 合 {0,1}的 子 集 有 ∅， {0}， {1}， {0,1}， 共4个 ． ]
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思考 1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
[提示] (1)不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．

栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
2．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x ∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C. 解析：集合 A 为方程 x2－3x＋2＝0 的解集，即 A＝{1，2}，而 C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B； (2)A C；(3){2} C；(4)2∈C. 答案：(1)＝ (2) (3) (4)∈
栏目 导引
■名师点拨
第一章 集合与常用逻辑用语
在真子集的定义中，A B 首先要满足 A⊆B，其次至少有一个
x∈B，但 x∉A. 3．维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的_内__部___来表示集合，这种示意图 通常称为维恩图． ■名师点拨 表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也 可以是其他封闭曲线．
A．A⊆B
B．C⊆B
C．D⊆C
D．A⊆D
解析：选 B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以 C⊆B.
已知集合 A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且 A⊆B，则 a ＝________．
解析：因为 A⊆B，所以 a＋3＝1，即 a＝－2.
答案：－2
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
集合间关系的判断 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)； (3)A＝{x|x 是等边三角形}，B＝{x|x 是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

12
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并 集中只出现一次.
2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素 都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含 义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型二
两个集合的并集运算
【例2】 求下列各对集合的并集: (1)A={x|x2-5x+4=0},B={x∈N|0<x<5}; (2)C={x|-4<x<8},D={x|-5≤x≤6}; (3)E={菱形},F={正方形}. 分析:(1)先化简两个集合,再通过观察可得;(2)借助数轴观察分 析;(3)由特征性质分析求得. 解:(1)由已知得A={x|x25x+4=0}={1,4},B={x∈N|0<x<5}={1,2,3,4},故A∪B={1,2,3,4}; (2)结合数轴分析, 可得C∪D={x|-5≤x<8}; (3)由已知得E∪F={菱形}.
2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象 概念的作用.
3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.
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知识梳理
HISHI SHULI

• 1．表示集合的方法常用___描__述__法_、___列__举__法_、____维__恩__图__法． • 2．把集合中元素的___公__共__属__性_描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫描
述法．描述法有两种形式： • (1)一般形式：{x∈A|p(x)}．例如：不大于100的自然数构成的集合可表示为
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． • (2)方程x2＝x的实数根为0,1，设方程x2＝x的所有实数根构成的集合为B，则B
＝{0,1}． • (3)设由1～20的所有质数构成的集合为C，则C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
『规律方法』 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在 明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，” 而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
• 3．如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集 合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个__________．于 是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}．它表示特集征合性A质是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的．
A．0∈A
B．2∉A
C．－2∈A
D．0∉A
• [解析] ∵A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，－2∉A，故选A．
3．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为@ziyuanku (
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．{－12，0}
D．{(－12，0)}
[解析] 由xy＝＝02x＋1 ，得xy＝ ＝01 ，故选 B．
(2)解方程组2x－x＋y＝y＝18 ，得xy＝ ＝32 .