指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

[自主练习] 1．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( A．y＝100 x C．y＝x100 B．y＝100ln x D．y＝100· 2x )
2．我国工农业总产值从 1990 年到 2010 年的 20 年间翻两番，设平均每年的 增长率为 x，则有( A．(1＋x)19＝4 C．(1＋x)20＝2 ) B．(1＋x)20＝3 D．(1＋x)20＝4
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长是越来越快，还是越来越慢呢？
4．通过下面的函数图像观察这三种函数增长的差异：
从函数 y＝2x，y＝x2 和 y＝log2x 的图像比较，随着自变量 x 的增大，这三个 函数的函数值增长速度怎样呢？
1．掌握常见增长函数的定义、图像、性质，并体会其增长快慢．(重点) 2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型的性质的 比较．(易混点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难点)
1．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a、b、c、d 所表示的函数可能 是( ) A．a：y＝2x B．a：y＝x2 C．a：y＝x2 D．a：y＝2x b：y＝x2 b：y＝2x b：y＝2x b：y＝x2 c：y＝ x c：y＝2
－x
d：y＝2
－x
d：y＝ x d：y＝2
－x
c：y＝ x c：y＝2
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在什么条件下是增函数？y＝2x 与 y＝3x 哪个增 长的速度更快？指数函数增长速度的快慢由什么决定呢？ 2．幂函数 y＝xn，当 x>0，n>1 时是增函数吗？当 x>1 时，其增长的快慢与 n 有什么关系？
3．对数函数y＝logax，当a>1时是增函数，那么随着a的增大，函数值的增
[强化拓展] (1)指数函数 y＝ax(a>1)与幂函数 y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax<xn，但 随着 x 的增大 y＝ax 的增长速度远远快于 y＝xn 的增长速度，因而总存在一个 x0， 当 x>x0 时，有 ax>xn.
(2)对数函数 y＝logax(a>1)与幂函数 y＝xn(n>0) 在区间(0，＋∞)上，不论 a 与 n 值的大小如何，尽管在 x 的一定范围内，有 logax>xn，但随着 x 的增大，对数函数 y＝logax(a>1)的增长速度总会慢于 y＝xn 的 增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 x0，使 x>x0 时有 logax<xn. (3)指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax(a>1) 它们的图像关于 y＝x 对称， y＝ax 的增长速度远远快于 y＝logax 的增长速度．
－x
d：y＝ x
比较大小问题 当 2＜x＜4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( A．2x＞x2＞log2x C．2x＞log2x＞x2 B．x2＞2x＞log2x D．x2＞log2x＞2x )
[思路探究] ―→ 在同一坐标系下画出图像 ―→ 取x∈（2，4）得结果 , 构造三个函数
2．设
10.2 1 ，c＝23，则( a＝log1 3 ， b ＝ 2 3
)
A．a＜b＜c C．c＜a＜b
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
3．已知a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系为________．
4．比较y＝4x，y＝x4与y＝log4x增长情况．
三种函数图像的比较 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表： x 1 y1 2 y2 2 y3 2 5 26 32 10 10 101 15 226 20 401 25 626 30 901
三种函数的增长对比
慢 ，幂函数 y＝xn(n>0)，指数函数 y＝ax(a>1) 对数函数 y＝logax(a>1)增长最___ ax>xa>logax ．指数函数值增长非 增长的快慢交替出现，当 x 足够大时，一定有____________ “指数爆炸” ． 常快，这种现象被称为_______________
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
y4 2 4.322 5.322
关于 x 呈指数型函数变化的变量是________．
[思路探究] 利用表格中数据增长速度的快慢来判断，指数型函数增长速度是越来越快．